新教材2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修第一冊(cè)學(xué)案：11集合的基本關(guān)系

溫馨提示:

此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合

適的觀看比例，答案解+析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。

1.1.2集合的基本關(guān)系

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

I.理解集合之間包含與★水平一

相等的含義.能識(shí)別給1.能從教材實(shí)例中抽象子集、真子集的概念.（數(shù)學(xué)抽象）

定集合的子集2.能識(shí)別給定集合的子集、直子集.（邏輯推理）

2.能使用維恩圖表達(dá)集3.會(huì)判斷集合間的關(guān)系.并能用符號(hào)和維恩圖表示.（直觀想象）

合的基本關(guān)系?體會(huì)圖★水平二

形對(duì)理解抽象概念的1.掌握列舉有限集的所有子集的方法.（邏輯推理）

作用2.能根據(jù)集合之間的關(guān)系.利用數(shù)形結(jié)合的思想求參數(shù)的值或取值范圍.（宜觀想象）

》基礎(chǔ)認(rèn)知?自主學(xué)習(xí)《

1.兩個(gè)集合之間包含關(guān)系和相等關(guān)系是如何定義

白田：和表示的？

:“；2.通常用什么圖形表示集合之間的關(guān)系？

:3.空集的定義是什么？關(guān)于空集有哪些結(jié)論？

1.維恩圖

用平面上一條封閉曲線的內(nèi)部來(lái)表示集合的示意圖.

2.子集和真子集

概念定義符號(hào)表示示意圖

如果集合A的任

A-8（或B二

意一個(gè)元素都是

A)讀作“A包

子集集合B的元素.那

含于夕'(或13

么集合A稱(chēng)為集

包含A”)

合3的子集.

如果集合A是集

合/3的子集.并且

,A—H（或I；一

真集合B中至少有

\）讀作“A!,[.

子「幾索不屬J-

包含J：””(或Qo）

集A,那么集合A稱(chēng)

''B真包含A”)

為集合8的真

子集.

思考

(1)任意兩個(gè)集合之間是否有包含關(guān)系？

提示：不一定，如集合A={1,3},B={2,3},這兩個(gè)集合就沒(méi)有包

含關(guān)系.

(2)符號(hào)“金”與”有什么區(qū)別？

提示：①“￡”是表示元素與集合之間的關(guān)系，比如1￡N,-UN.

②是表示集合與集合之間的關(guān)系，比如NGR,{1,2,3}。{3,

2,1).

③的左邊是元素，右邊是集合，而”的兩邊均為集合.

3.關(guān)于子集和真子集的性質(zhì)與結(jié)論

⑴空集是任意一個(gè)集合A的子集，即0cA.

(2)子集的性質(zhì)①0UA；②ACA；

③AGB,BQC,則AcC；

⑶真子集的性質(zhì)①08A(A")；

②A25,B&C,則A基C

4.集合相等與子集的關(guān)系

(1)如果ACB且BGA,則A=B.

(2)如果A=B,則AGB且BGA.

基礎(chǔ)小測(cè)

1.辨析記憶(對(duì)的打，錯(cuò)的打“X”).

⑴任何集合至少有兩個(gè)子集.()

提示：X.0只有一個(gè)子集.

(2){0,1,2}c{2,0,1}.()

提示：V.{0,1,2}={2,0,1],所以{0,1,2}。{2,0,1).

⑶若ACB,且AWB,則A桂B(yǎng).()

提示：若ACB,且AHB,則A匕B.

⑷集合{0,1}的子集是{0},⑴，{0,1}.()

提示：X.0也是集合{0,1}的子集.

2.以下四個(gè)關(guān)系：0￡{O},OG0,{0}c{0},0底{0},其中正確的

個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

選A.集合與集合間的關(guān)系是C,因此?！陒0}錯(cuò)誤，{0}。{0}錯(cuò)誤，空

集不含有任何元素，因此0仁0錯(cuò)誤，0/{0}正確，因此正確的有1

個(gè).

3.(教材例題改編)設(shè)人=31今<2},B={x|x<a},若AZB,則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是.

如圖，因?yàn)锳ZB,所以aN2,即a的取值范圍是{a|aN2}.

2x

答案:{a|a>2}

為能力形成?合作探究⑷

類(lèi)型一集合間關(guān)系的判斷（數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理）

題組訓(xùn)練

1.能正確表示集合｛%￡R|OS啟2｝和集合N=｛%￡園爐一％=0｝關(guān)系

的維恩圖是（）

ABCD

選B.解x-x=O得x=1或x=0,故N={0,1},易得N^-M,其對(duì)

應(yīng)的維恩圖如選項(xiàng)B所示.

2.已知集合A={%[x<—2或％〉O},B={x|O<x<l},則()

A.A=BB.C.D.AQB

選0.由數(shù)軸知6二4

3.判斷下列各組中集合之間的關(guān)系:

(l)A={x|x是12的約數(shù)},B={x\x是36的約數(shù)};

22

(2)A={x|x-x=0},fi={xGR|x+l=0}；

(3)4={x|%是平行四邊形},5={%僅是菱形},。={%僅是四邊形},D=

｛x\x是正方形｝;

(4)"=卜戶會(huì)"WZN=j%|%=1+小

（1）因?yàn)槿魓是12的約數(shù)，則必定是36的約數(shù)，反之不成立，所以

as.

(2)因?yàn)锳={x\x-x=Q}={0,1},8={x￡R|x?+1=0}=0,所以

匚二A

⑶由圖形的特點(diǎn)可畫(huà)出維恩圖如圖所示，

從而C*A*B*D.

⑷方法一：對(duì)于集合肥其組成元素是］,分子部分表示所有的整數(shù);

對(duì)于集合N,其組成元素是:+〃=2“),分子部分表示所有的奇

數(shù).由真子集的概念知，M工M.

方法二：用列舉法表示集合如下：

31135

"=『?，—2,一1，°，］，1，2，2,1，,?［，

I31135

KJ'—<???———————...〉

,￥,2，2，2，2，29，

所以/V'=M.

解題策略

1.集合間基本關(guān)系判定的兩種方法和一個(gè)關(guān)鍵

2.證明集合相等的兩種方法

⑴用兩個(gè)集合相等的定義，證明兩個(gè)集合A,B中的元素全部相同,

即可證明A=R

(2)證明AC5,同時(shí)5cA,推出A=A

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.已知集合4={%|%=3左，左￡Z},B={x\x=6k,左￡Z},則A與5之

間最適合的關(guān)系是()

A.AcBB.A2B

C.D.A^-B

選D.因?yàn)锳中元素是3的整數(shù)倍，而5中元素是3的偶數(shù)倍，所以集

合5是集合4的真子集.

2.已知集合U,S,T,尸之間的關(guān)系如圖所示，下列關(guān)系中錯(cuò)誤的有

.(只填序號(hào))

①S/U；②F/T；③S區(qū)T；④SkF；⑤F桂U.

根據(jù)子集、真子集的定義，

由維恩圖的關(guān)系，可以看出sS^U,S頻T,FZU正確，②④錯(cuò)誤.

答案：②④

—t心生入2〃+1

3.已知集合4={%|%=-~，〃￡Z},B=

|x|x=y+L"wz},則集合4,5的關(guān)系為.

1、

由集合/得：A=\x\x=~(2/?+1),/7eZr,

1、

由集合8得：B=\x\x=~(2/7+3),n^z\,

j

因?yàn)?〃+1,和2〃+3,都表示所有奇數(shù),

所以A=B.

答案：A=B

4.已知集合A={%|%=3八一2,n￡Z},B={y\y=3k+1,k^Z},證明：

A=B.

【證明】⑴設(shè)任意則為=3〃。-2,

JL/70Z,3no—2=3(0-1)+1,

因?yàn)?70^Z,

所以n0—1￡Z,

所以為￡8,故8.

⑵設(shè)任意必￡8,

則有必=3Ao+1,

且Ao￡Z,3Ao+1=3(Ao+1)—2,

因?yàn)閗gZ,

所以4+1￡Z,

所以必￡力,故柒4

綜上可得4=8.

類(lèi)型二元素個(gè)數(shù)有限的集合的子集問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)

【典例】1.滿足{2019}CA/{2019,2020,2021}的集合A的個(gè)數(shù)

為()

A.1B.2C.3D.4

【思路導(dǎo)引】依據(jù)子集和真子集的定義確定集合A中的元素，寫(xiě)出滿

足條件的集合.

選C.滿足{2019}CAZ{2019,2020,2021}的集合A可以是：A

=[2019],{2019,2020},{2019,2021},因此滿足條件的集合

A的個(gè)數(shù)為3.

2.已知集合A=a￡N二7，5={3,4},集合°滿足匹仁4,

則所有滿足條件的集合C的個(gè)數(shù)為()

A.8B.16C.15D.32

【思路導(dǎo)引】確定出集合A由哪些元素構(gòu)成是關(guān)鍵.

12

選8因?yàn)閍￡N,―-￡N,

a—z

所以a—2=1或a—2=2或a—2=3或a—2=4或a—2=6或a—2=

12,

即a=3或a=4或a=5或a=6或a=8或a=14,

所以4={3,4,5,6,8,14),

又因?yàn)?={3,4}且集合。滿足店區(qū)4

所以集合。中一定含有元素3和4,可能含有5,6,8,14,因此所有

滿足條件的集合。的個(gè)數(shù)為24=16.

解題策略

求解有限集合的子集的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

(1)確定所求集合.

⑵合理分類(lèi)，按照子集所含元素的個(gè)數(shù)依次寫(xiě)出.

⑶注意兩個(gè)特殊的集合，即空集和集合本身.

跟蹤訓(xùn)練

(2021?濰坊高一檢測(cè))已知集合A={4?—妨+2=0,%￡R},B=

{x|0<%<5,X￡N},則滿足條件AGCC5的集合。的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

選D.求解一■元二次方程，得4={%|%2—3%+2=0,%￡R}={X|(%—1)(%

-2)=0,X￡R}={1,2},易知5={%|0<%<5,X￡N}={1,2,3,4}.因

為AECEB,所以根據(jù)子集的定義，集合。必須含有元素1,2,且可

能含有元素3,4,原題即求集合{3,4}的子集個(gè)數(shù)，即有22=4個(gè).

【拓展延伸】

1.當(dāng)一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，我們可以一一列舉出全部子集，從而

求出子集與真子集的個(gè)數(shù).注意別漏掉空集.

2.當(dāng)一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)較多時(shí)，一一列舉子集不太現(xiàn)實(shí)，對(duì)于其子

集的個(gè)數(shù)有如下結(jié)論：

若一個(gè)集合中含有〃個(gè)元素，則該集合的子集有2〃個(gè).原因是集合中

的元素都可以有選與不選2種可能，所以含有八個(gè)元素的集合中，子

集有2的〃次方個(gè).由此可知

（1）該集合的真子集有（2〃一1）個(gè)；

（2）該集合的非空子集有（2〃一1）個(gè)；

⑶該集合的非空真子集有（2〃一2）個(gè).

【拓展訓(xùn)練】

已知非空集合M滿足：對(duì)任意總有x2^M,且54若

Mc{0,1,2,3,4,5},則滿足條件的”的個(gè)數(shù)是（）

A.11B.12

C.15D.16

選A.由題意，可得集合”是集合{2,3,4,5}的非空子集，共有24

-1=15個(gè)，且2,4不能同時(shí)出現(xiàn)，同時(shí)出現(xiàn)共有4個(gè)，所以滿足題

意的集合用的個(gè)數(shù)為11.

類(lèi)型三由集合間的關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍（數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象）

幅由由集合相等求參數(shù)

【典例】已知集合4={2,%,y},B={2x,2,y2},且4=5,求X,y

的值.

【思路導(dǎo)引】根據(jù)列方程組，解方程組求出X,y,檢驗(yàn)集合中元

素的互異性，求出4,y的值.

x=2x

因?yàn)锳=B,所以集合A與集合B中的元素相同，所以《2’或

「X=y,2

y=2x,

1

x=0,1x=0,x=z，

解得A或4或＜

Lr=O〔v=11

v=2,

驗(yàn)證得，當(dāng)x=0,v=0時(shí)，A={2,0,0}這與集合元素的互異性相矛

盾，舍去.所以x,v的取值為

1

x=0,x=Z'

或＜

J=11

由集合間的包含關(guān)系求參數(shù)

【典例】已知集合A=|x|—2gg5},B={x\m+l<x<2m—1},若

求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

①當(dāng)B豐。時(shí)，如圖所示.

-2加+12/w-l5

4+12一2,/77+1>—2,

所以<2/77—1<5,或<2/77—1W5,解這兩個(gè)不等式組，得2W加W

、2勿—12加+1、2加—12勿+1,

3.

②當(dāng)8=。時(shí)，由勿+1＞2加-1,得欣2.

綜上可得，勿的取值范圍是〃W3.

一題多變

1.若本例條件"4={%|-245}”改為“A={%|—2<%<5}”,其他條件不變,

求m的取值范圍.

①當(dāng)8=0時(shí)，由力+1>2加-1,得成2.

②當(dāng)B豐。時(shí)，如圖所示

J11I__.

-2m+12w-l5x

‘加+1>—2

所以<2/77—1<5

“+1W2/77—1,

/77>—3

解得<欣3

、心2,

即2W//K3,

綜上可得，勿的取值范圍是成3.

2.若本例條件“5星A”改為“AC5”，其他條件不變，求機(jī)的取值范圍.

當(dāng)彳。8時(shí)，如圖所示，此時(shí)8H0.

_II1__=

m+\-252w-lx

2/77-1>加+1,

所以<勿+1W—2,

、2加一125,

%>2,

即<加W—3,

、心3,

所以勿不存在.即不存在實(shí)數(shù)勿使B.

解題策略

1.由集合相等求參數(shù)取值的方法

從集合相等的含義出發(fā)，轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，一是利用分類(lèi)討論的

方法建立方程組求參數(shù)的值，二是利用元素相同，則元素的和與積分

別相同，建立方程組求參數(shù)的值.需要注意的是解方程組后要代入檢

驗(yàn)，對(duì)不符合題意的參數(shù)的值要舍去.

2.由集合之間的包含關(guān)系求參數(shù)的兩類(lèi)問(wèn)題

⑴若集合中的元素是一一列舉的，依據(jù)集合之間的關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為解

方程（組）求解，此時(shí)要注意集合中元素的互異性.

（2）若集合中的元素有無(wú)限多個(gè)，無(wú)法一一列舉（如不等式的解集），常借

助于數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式（組）求解，此時(shí)要注意端點(diǎn)值能否取到.

3.由集合之間的包含關(guān)系求參數(shù)的關(guān)注點(diǎn)

空集是任何集合的子集，因此在解AC的含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要注

意討論A=。和A#兩種情況，前者常被忽視，造成思考問(wèn)題不全面.

題組訓(xùn)練

1.已知集合4={1,3,。},5={1,〃一Q+1},且5。A,則a=.

因?yàn)轹?所以才一a+1=3或a~a+1=a.

①由才一a+1=3得,一a—2=0,解得a=—1或a=2,當(dāng)a=-1時(shí),

4={1,3,-1],8={1,3],滿足隹4

當(dāng)a=2時(shí)，4={1,3,2},8={1,3},滿足隹4

②由才一a+1=a得/-2a+1=0,

解得a=1,

當(dāng)a=1時(shí)，彳={1,3,1],不滿足集合元素的互異性.

綜上，若隹4則a=—1或a=2.

答案：一1或2

2.已知集合"={%2—2%—8=0},N={x\ax+4=Q},且NGV,則由

a的取值組成的集合是.

因?yàn)?={x|x?—2x—8=0},所以的={4,—2],

若a=0,則N=。,滿足NQM.

4

若aHO,則〃={x|ax+4=0}={——

[a

4

要使世的，則一一=4或一2,

a

解得a=—1或a=2.

所以滿足條件的a的取值集合為{0,-1,2}.

答案：[0,-1,2}

3.已知集合4={%,盯，x—y},B={Q,\x\,y}且A=5,求實(shí)數(shù)％與

y的值.

由已知4=8={0,|x\,y\,所以0￡4

若x=0,則4={0,0,-y},不滿足元素的互異性；

若處=0,即v=0,則8={0,|x|,0),也不滿足元素的互異性.

所以只有x—v=0,即y=x.

所以4={x,xy,x—y\={x,x,0],8={0,\x\,x\.

所以f=|x|,所以x=0(舍)或x=1或x=—1.

當(dāng)x=1時(shí)，A=B={1,1,0),

不滿足元素的互異性，故

當(dāng)x=-1時(shí)，4=8={—1,1,0},滿足題意.

所以x=y=—1即為所求.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

已知集合A=(—3,4),B=[m—1,m+1),且B匕A.求實(shí)數(shù)m的取

值范圍.

B

-3m-\m+\4x

(—、f—3<m—1,

因?yàn)锽=A,畫(huà)出數(shù)軸，觀察可知《

[m+1W4,

解得一2<mW3,

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-2,3]