第25講 和倍問題《數(shù)學小學三年級奧數(shù)》（附答案）

《數(shù)學小學三年級奧數(shù)專題》第25講和倍問題

一、知識要點：

已知兩個數(shù)的和與兩個數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)分別是多少，像這樣

的應用題，通常叫做和倍問題。要想順利地解答和倍應用題，最好的方法就是

根據(jù)題意，畫出線段圖，使數(shù)量關(guān)系一目了然，從而正確列式解答。

解答和倍應用題，關(guān)鍵是要找出兩數(shù)的和以及與其對應的倍數(shù)和，從而先

求出1倍數(shù)，再求出幾倍數(shù)。數(shù)量關(guān)系可以這樣表示：

兩數(shù)和―（倍數(shù)+i）=小數(shù)（1倍數(shù)）

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)（幾倍數(shù)）

兩數(shù)和一小數(shù)=大數(shù)

二、精講精練

例1學校將360本圖書分給二、三兩個年級，已知三年級所分得的本數(shù)是二

年級的2倍，問二、三兩個年級各分得多少本圖書？

練習一

1、小紅和小明共有壓歲錢800元，小紅的錢數(shù)是小明的3倍。小紅和小明各有

壓歲錢多少元？

2、學校將360本圖書分給二、三年級，已知三年級所得本數(shù)比二年級的2倍還

多60本。二、三年級各得圖書多少本？

例2小寧有圓珠筆芯30枝，小青有圓珠筆芯15枝，問小青給小寧多少枝后,

小寧的圓珠筆芯枝數(shù)是小青的8倍？

練習二

1、紅紅有郵票80張，佳佳有郵票60張，要使紅紅的郵票張數(shù)是佳佳的4倍,

那么佳佳必須給紅紅多少張郵票？

2、甲水池有水69噸，乙水池有水36噸，如果甲水池中的水以每分鐘2噸的速

度流入乙水池，那么多少分鐘后，乙水池的水是甲水池的2倍？

例3被除數(shù)與除數(shù)的和為320,商是7,被除數(shù)和除數(shù)各是多少?

練習三

1、被除數(shù)和除數(shù)和為120,商是7,被除數(shù)和除數(shù)各是多少?

2、被除數(shù)、除數(shù)、商的和為79,商是4,被除數(shù)、除數(shù)各是多少？

例4兩數(shù)相除商為17余6,被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是479。被除數(shù)和除

數(shù)分別為多少？

練習四

1、兩個整數(shù)相除商14余2,被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是243,被除數(shù)比除

數(shù)大多少？

2、在一個減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和等于240,而減數(shù)是差的5倍。

差是多少？

例5兩個數(shù)之和是792,其中一個數(shù)的最后一位數(shù)數(shù)字是0,如果把0去掉,

就與另一個數(shù)相同。這兩個數(shù)分別是多少？

練習五

1、兩個數(shù)之和是253,其中一個數(shù)的最后一位數(shù)字是0,如果把0去掉，就與

另一個數(shù)相同。這兩個數(shù)分別是多少?

2、師徒兩人加工一批零件共693個，師傅加工零件個數(shù)的末位數(shù)字是0,如果

去掉這個0,加工的個數(shù)就與徒弟一樣多。師徒二人分別加工零件多少個？

三、課后作業(yè)

1、甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油給甲桶后，甲桶

油是乙桶的5倍？

2、甲書架有圖書18本，乙書架有圖書8本，班圖書管理員又買來圖書16本,

怎樣分配才能使甲書架圖書的本數(shù)是乙書架的2倍？

3、兩個整數(shù)相除商是21,余數(shù)為1,已知被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和一共是

441o被除數(shù)、除數(shù)各是多少？

4、學校買來83本書，其中科技書是故事書的2倍，故事書比文藝書多5本,

這三種書各多少本?

5、甲、乙兩數(shù)的和是209,甲數(shù)縮小10倍就和乙數(shù)同樣大，甲、乙兩數(shù)分別是

多少？

答案

第二十五周和倍問題

專題簡析：

已知兩個數(shù)的和與兩個數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)分別是多少，像這樣

的應用題，通常叫做和倍問題。要想順利地解答和倍應用題，最好的方法就是

根據(jù)題意，畫出線段圖，使數(shù)量關(guān)系一目了然，從而正確列式解答。

解答和倍應用題，關(guān)鍵是要找出兩數(shù)的和以及與其對應的倍數(shù)和，從而先

求出1倍數(shù)，再求出幾倍數(shù)。數(shù)量關(guān)系可以這樣表示：

兩數(shù)和十（倍數(shù)+1）=小數(shù)（1倍數(shù)）

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)（幾倍數(shù)）

兩數(shù)和一小數(shù)=大數(shù)

例題1學校將360本圖書分給二、三兩個年級，已知三年級所分得的本數(shù)

是二年級的2倍，問二、三兩個年級各分得多少本圖書？

思路導航：將二年級所得圖書的本數(shù)看作1倍數(shù)，則三年級所得本數(shù)是這

樣的2倍。如圖所示：

?本

由圖可知，二、三年級所得圖書本數(shù)的和360本相當于二年級的（1+2）

倍，則二年級所得圖書本數(shù)的360：（1+2）=120本，三年級為120X2=240本。

練習一

1,小紅和小明共有壓歲錢800元，小紅的錢數(shù)是小明的3倍。小紅和小明

各有壓歲錢多少元？答案

解：小明：8004-（3+1）=200（元）

小紅：800-200=600（元）

答：小紅有壓歲錢600元，小明有200元。

2,學校將360本圖書分給二、三年級，已知三年級所得本數(shù)比二年級的2

倍還多60本。二、三年級各得圖書多少本？答案

解:已知三年級所分得的本數(shù)是二年級的2倍多60本，說明圖書一共分成了3份還多60本：

每份是：（360—60）+3=100（本）

三年級得2份還多60本，100X2+60=260（本）

二年級得1份，100X1=100（本）

答：二年級分得100本圖書，三年級分得260本圖書.

故答案為：

100本；260本

根據(jù)此題我們可以歸納總結(jié)：已知兩個數(shù)的和與兩個數(shù)之間的倍數(shù)，求這兩個數(shù)是多少？這是和倍

問題，鐲此類題的關(guān)鍵就是，找出兩個數(shù)的和以及對應的份數(shù)和，先求出一份，在求出幾份.

解析

根據(jù)題意可知，這道題需要弄清楚，三年級先多分出60本后，，二三年級又將300本圖書一共分了

3份，其中二年級分的一份，三年級分的2份.

3,甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油給甲桶后，

甲桶油是乙桶的5倍？答案

根據(jù)題意可知，不管怎么甲乙兩桶倒騰，兩桶油的和是不變的，由甲桶有油25千克，乙桶有油17

千克，可以求出兩桶的總質(zhì)量，即25+17=42千克，再根據(jù)和倍公式，可以求出乙桶油倒入甲桶后，乙桶

剩余的質(zhì)量，用乙桶原來的減去剩余的就是倒給甲桶的質(zhì)量.

答案

解：

根據(jù)題意可得：

25+17=42（千克）；

由和倍公式可得：

乙桶倒入甲桶后剩余的是：424-（5+1）=7（千克）；

那么乙桶倒入給甲桶的是：17-7=10（千克）；

答：乙桶倒入10千克油給甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍

故答案為：

10千克

點評

根據(jù)題意，可以求出兩桶油的和，又知道倒入后的倍數(shù)，由和倍公式，較小數(shù)=和+（倍數(shù)+1）,可

以求出倒入后，甲桶剩余的，就不難求出倒入的質(zhì)量.

例題2小寧有圓珠筆芯30枝，小青有圓珠筆芯15枝，問小青給小寧多少

枝后，小寧的圓珠筆芯枝數(shù)是小青的8倍？

思路導航：我們把變化后小青的圓珠筆芯枝數(shù)看作1倍數(shù)，那么小寧與小

青圓珠筆芯的枝數(shù)和相當于變化后小青枝數(shù)的9倍，所以變化后小青的枝數(shù)為

（30+15）+（1+8）=5枝，再用15—5=10枝，則表示小青給小寧的枝數(shù)。

練習二

1,紅紅有郵票80張，佳佳有郵票60張，要使紅紅的郵票張數(shù)是佳佳的4

倍，那么佳佳必須給紅紅多少張郵票？答案

解：

60-（80+60）4-5

=60-28

=32（張）

答：佳佳必須給紅紅32張郵票

故答案為：

32張

要理解：要使紅紅的郵票張數(shù)是佳佳的4倍，那么最后紅紅郵票的張數(shù)占兩個人總郵票數(shù)量的五分

之一；所以佳佳最后的郵票有140+5=28張.

解析

紅紅和佳佳一共有80+60=140張，要使紅紅的郵票張數(shù)是佳佳的4倍，那么佳佳最后的郵票有140

+5=28張，所以佳佳必須給紅紅60—28=32張；以此解答即可.

2,甲水池有水69噸，乙水池有水36噸，如果甲水池中的水以每分鐘2噸

的速度流入乙水池，那么多少分鐘后，乙水池的水是甲水池的2倍？答案

解：根據(jù)題意設(shè)x分鐘后乙水池的水是甲水池的2倍.

（69—2x）X2=36+2x

138—4x=36+2x

6x=102

x=17（分鐘）

答：17分鐘后乙水池的水是甲水池的2倍.

故答案為：17

此題關(guān)鍵是，先要找出x分鐘內(nèi)從甲水池流入乙水池水的量（2噸/分鐘Xx分鐘，即2x噸）這個

量來，

然后仔細運算即可.

解析

根據(jù)已知條件，列出方程，然后解答.

3,甲書架有圖書18本，乙書架有圖書8本，班圖書管理員又買來圖書16

本，怎樣分配才能使甲書架圖書的本數(shù)是乙書架的2倍？答案

解：

18+8+16=42（本）

分配后乙書架圖書本數(shù)：42+3=14（本）

則應給乙書架14—8=6（本）

給甲書架16—6=10（本）

答：買來的圖書分給甲書架10本，乙書架6本.

故答案為：

分給甲書架10本，乙書架6本

本題主要考查學生對倍數(shù)關(guān)系的應用.本題的答題關(guān)鍵是明確：分配后甲書架圖書本數(shù)是乙書架圖書

本數(shù)的2倍，則書的總量是分配后乙書架圖書本數(shù)的3倍.

解析

根據(jù)題意，書的總量是18+8+16=42（本），因為要求分配后甲書架圖書本數(shù)是乙書架圖書本數(shù)的2

倍，則書的總量是分配后乙書架圖書本數(shù)的3倍.據(jù)此解答即可.

例題3被除數(shù)與除數(shù)的和為320,商是7,被除數(shù)和除數(shù)各是多少？

思路導航：由商是7可知，被除數(shù)是除數(shù)的7倍，把除數(shù)看作1份數(shù)，被

除數(shù)就有這樣的7份，一共7+1=8份。

除數(shù):3204-8=40

被除數(shù)：40X7=280

練習三

1,被除數(shù)和除數(shù)和為120,商是7,被除數(shù)和除數(shù)各是多少？答案

解：

除數(shù)：120+(7+1)=15,被除數(shù)：15X7=105.答：被除數(shù)是105,除數(shù)是15.

故答案為：

被除數(shù)是105,除數(shù)是15

解答這種類型的題目，關(guān)鍵之處就是要仔細審題，認真理解題干中的每一句話、每一個字的含義，

然后結(jié)合所學知識列式計算即可，據(jù)此解題.

2,被除數(shù)、除數(shù)、商的和為79,商是4,被除數(shù)、除數(shù)各是多少？答案

解：

79-4=75,754-(4+1)=15,15X4=60.

答:被除數(shù)是60,除數(shù)是15.

故答案為：60；15

解析

先求出被除數(shù)與除數(shù)的和，用三個數(shù)的和減商，79-4=75,商是4,那么被除數(shù)是除數(shù)的4倍，可

以把被除數(shù)看做4份，除數(shù)看做1份75+(4+1)=15,除數(shù)就是15,15X4=60,被除數(shù)就是60.

先求出被除數(shù)與除數(shù)的和是解題的關(guān)鍵，再根據(jù)商找到被除數(shù)與除數(shù)的關(guān)系，分別求出被除數(shù)與除

數(shù).

3,兩個整數(shù)相除商是21,余數(shù)為1,已知被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和一

共是441。被除數(shù)、除數(shù)各是多少？答案

被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是451,

被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)、

(除數(shù)商+余數(shù))+除數(shù)+商+余數(shù)=451

除數(shù)的27倍、+26+10X2=451

除數(shù)的27倍、=405

除數(shù)、=15

被除數(shù)=除數(shù)X商+余數(shù)=15X26+10=400

例題4兩數(shù)相除商為17余6,被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是479。被除數(shù)和

除數(shù)分別為多少？

思路導航：被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是479,減去商17和余數(shù)6,得

到被除數(shù)與除數(shù)的和為479—17—6=456；又因為被除數(shù)比除數(shù)的17倍多6,所

以456—6=450就相當于除數(shù)的(17+1)倍，因此除數(shù)為450：(17+1)=25,

被除數(shù)為25X17+6=431o

練習四

1,兩個整數(shù)相除商14余2,被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是243,被除數(shù)

比除數(shù)大多少？答案

除數(shù)(243-2-2-14)+(1+14)=225+15=15

被除數(shù)比除數(shù)大15x(14-1)+2=195+2=197

答：被除數(shù)比除數(shù)大197.

解析

根據(jù)題意，我們可以利用除法算式里被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)幾者的關(guān)系來做題。告訴了商、余數(shù)、

和。而且知道被除數(shù)+除數(shù)=和一商一余數(shù)。此時有兩個未知數(shù)，根據(jù)被除數(shù)和除數(shù)的關(guān)系，根據(jù)已知條

件可知，被除數(shù)=除數(shù)X14+2.,代入到剛才的關(guān)系式中，求出除數(shù)。問題就容易解決了。

2,在一個減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和等于240,而減數(shù)是差的5

倍。差是多少？答案

解：2404-2=120

1204-(5+1)

=1204-6

=20

答：差是20.

故答案為：

20

3,學校買來83本書，其中科技書是故事書的2倍，故事書比文藝書多5

本，這三種書各多少本？答案

22本故事書,44本科技書,17本文藝書

例題5兩個數(shù)之和是792,其中一個數(shù)的最后一位數(shù)數(shù)字是0,如果把0

去掉，就與另一個數(shù)相同。這兩個數(shù)分別是多少？

思路導航：把一個數(shù)的最后一位數(shù)字0去掉，就與另一個數(shù)相同，說明這

兩個數(shù)中大數(shù)是小數(shù)的10倍。又已知兩個數(shù)之和是792,那我們就可以求出這

兩個數(shù)分別是多少了。

小數(shù):7924-(10+1)=72

大數(shù)：72X10=720

練習五

L兩個數(shù)之和是253,其中一個數(shù)的最后一位數(shù)字是0,如果把0去掉，

就與另一個數(shù)相同。這兩個數(shù)分別是多少？答案

45450

解析

提示1：根據(jù)“其中一個數(shù)個位上的數(shù)字是0,如果把0去掉，就與另一個數(shù)相同”可知，一個數(shù)是

另一個數(shù)的10倍，由它們的和是495,根據(jù)和倍公式進行解答即可.

提示2：根據(jù)題意，找出這兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)給出的和，由和倍公式進行解答即可.解：根

據(jù)題意可知，一個數(shù)是另一個數(shù)的10倍，由和倍公式可得：

較小數(shù)是：4954-(10+1)=45,

較大數(shù)是：45X10=450.

故答案為:45,450.

2,師徒兩人加工一批