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文檔簡介
一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限定義1
.設函數(shù)大于某一正數(shù)時有定義,若則稱常數(shù)時的極限,幾何解釋:記作直線y=A
為曲線的水平漸近線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束A
為函數(shù)兩種特殊情況:當時,有當時,有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.
證明證:取因此注:就有故欲使即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束直線y=A仍是曲線
y=f(x)
的漸近線.幾何意義:例如,都有水平漸近線都有水平漸近線又如,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限1.時函數(shù)極限的定義引例.
測量正方形面積.面積為A)邊長為(真值:邊長面積直接觀測值間接觀測值任給精度
,要求確定直接觀測值精度
:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1.
設函數(shù)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,當時,有則稱常數(shù)
A
為函數(shù)當時的極限,或即當時,有若記作幾何解釋:極限存在函數(shù)局部有界這表明:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.證明證:故對任意的當時,因此總有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.證明證:欲使取則當時,必有因此只要機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.
證明證:故取當時,必有因此機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.
證明:當證:欲使且而可用因此只要時故取則當時,保證.必有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.局部保號性定理定理1.若且
A>0,證:
已知即當時,有當
A>0時,取正數(shù)則在對應的鄰域上(<0)則存在(A<0)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束若取則在對應的鄰域上若則存在使當時,有推論:分析:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2.
若在的某去心鄰域內(nèi),且則證:
用反證法.則由定理1,的某去心鄰域,使在該鄰域內(nèi)與已知所以假設不真,(同樣可證的情形)思考:
若定理2中的條件改為是否必有不能!存在如假設A<0,條件矛盾,故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.左極限與右極限左極限:當時,有右極限:當時,有定理3.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.
設函數(shù)討論時的極限是否存在.解:
利用定理3.因為顯然所以不存在.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、極限的四則運算法則則有定理1.
若機動目錄上頁下頁返回結(jié)束推論:
若且則利用保號性定理證明.說明:
定理1可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形.提示:
令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2
.若則有說明:
定理2可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形.推論1.(C
為常數(shù))推論2.(n
為正整數(shù))例1.
設
n次多項式試證證:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(詳見P44)定理3.
若且B≠0,則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束
x=3時分母為0!例3.
設有分式函數(shù)其中都是多項式,試證:證:說明:
若不能直接用商的運算法則.例4.
若機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.
求解:
x=1時分母=0,分子≠0,但因機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5
.
求解:時,分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一般有如下結(jié)果:為非負常數(shù))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束四、復合函數(shù)的極限運算法則定理4.
設且
x滿足時,又則有證:
當時,有當時,有對上述取則當時故①因此①式成立.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4.
設且x
滿足時,又則有
說明:若定理中則類似可得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求解:
令已知∴原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求解:
方法1則令∴原式方法2機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、兩個重要極限一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準則第五節(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束極限存在準則及兩個重要極限
第二章一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準則1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理1.有定義,為確定起見,僅討論的情形.有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.有定義,且設即當有有定義,且對上述
,時,有于是當時故可用反證法證明.(略)有證:當“”“”機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.有定義且有說明:此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1
找一個數(shù)列不存在.法2
找兩個趨于的不同數(shù)列及使機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.
證明不存在.證:
取兩個趨于0的數(shù)列及有由定理1知不存在.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.函數(shù)極限存在的夾逼準則定理2.且(利用定理1及數(shù)列的夾逼準則可證)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束圓扇形AOB的面積二、兩個重要極限證:當即亦即時,顯然有△AOB
的面積<<△AOD的面積故有注注目錄上頁下頁返回結(jié)束當時注例2.
求解:例3.
求解:
令則因此原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束
解:
原式=例5.
已知圓內(nèi)接正n
邊形面積為證明:證:說明:計算中注意利用機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.證:當時,設則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束當則從而有故說明:
此極限也可寫為時,令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.
求解:
令則說明
:若利用機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則原式例7.求解:
原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應用(1)利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在(2)數(shù)列極限存在的夾逼準則法
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