人教版八年級數(shù)學上冊第十四章整式的乘法與因式分解壓軸題考點訓練(原卷版+解析)

第十四章整式的乘法與因式分解壓軸題考點訓練評卷人得分一、單選題1．有一個因式是，則另一個因式為（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．已知，，，則的值為A．0 B．1 C．2 D．34．已知當時，代數(shù)式值為6，那么當時，代數(shù)式值為（

）A．2 B．3 C．-4 D．-65．已知(x－2015)2＋(x－2017)2＝34，則(x－2016)2的值是(

)A．4 B．8 C．12 D．166．如果，表示的整數(shù)部分，則（）A． B． C． D．7．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，則ab+bc+ac＝（）A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11評卷人得分二、填空題8．已知，則的值為．9．分解因式：．10．用4張長為寬為的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．若，則之間存在的數(shù)量關(guān)系是．11．計算的結(jié)果是．12．已知，且，則的值為．評卷人得分三、解答題13．分解因式：.14．七年級學習代數(shù)式求值時，遇到這樣一類題“代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，求的值，”通常的解題方法是把看作未知數(shù)，看作已知數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，所以含項的系數(shù)為0，即原式，所以.則.【理解應(yīng)用】(1)若關(guān)于的代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，試求的值；(2)6張如圖1的長為，寬為的小長方形紙片，按圖2方式不重疊地放在矩形內(nèi)，未被覆蓋的部分(兩個矩形)用陰影表示，設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為，如果當?shù)拈L度變化時，始終保持不變，則應(yīng)滿足的關(guān)系是什么？【能力提升】(3)在(2)的條件下，用6張長為，寬為的矩形紙片，再加上張邊長為的正方形紙片，張邊長為的正方形紙片(都是正整數(shù))，拼成一個大的正方形(按原紙張進行無空隙，無重疊拼接)，則當?shù)闹底钚r，拼成的大正方形的邊長為多少(用含的代數(shù)式表示)？并求出此時的的值.15．一個四位正整數(shù)J，將千位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字交換，百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字交換，得到，我們稱這個數(shù)P為原數(shù)的“披荊數(shù)”，并規(guī)定；將千位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字交換，百位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字交換，得到，我們稱這個數(shù)Z為原數(shù)的“斬棘數(shù)”，規(guī)定，且（分母為0時舍去）．如：2147的“披荊數(shù)”為，，2147的“斬棘數(shù)”為，．(1)2937的“披荊數(shù)”是______，3587的“斬棘數(shù)”是______；(2)證明任意一個四位數(shù)的“披荊數(shù)”與“斬棘數(shù)”的差能被9整除；(3)設(shè)四位正整數(shù)（，且x，y均為正整數(shù)），交換其十位和個位的數(shù)字得到N，若為完全平方數(shù)且M能被3整除，則稱M為“乘風破浪數(shù)”，請求出所有“乘風破浪數(shù)”M中的最大值．16．【閱讀材料】“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學思想方法．比如：北師大版七年級下冊教材在學習“完全平方公式”時，通過構(gòu)造幾何圖形，用幾何直觀的方法解釋了完全平方公式：（如圖1）．利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問題，也可以用圖形關(guān)系解決代數(shù)問題．

【方法應(yīng)用】根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖2可得等式：；由圖3可得等式：；(2)利用圖3得到的結(jié)論，解決問題：若，，則；(3)如圖4，若用其中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a，b的長方形紙片拼出一個面積為長方形（無空隙、無重疊地拼接）．①請畫出拼出后的長方形；②；(4)如圖4，若有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為a，b的長方形紙片，5張邊長為b的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為．17．【閱讀材料】我們知道，圖形也是一種重要的數(shù)學語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，而運用代數(shù)思想也能巧妙的解決一些圖形問題．在一節(jié)數(shù)學課上，張老師準備了1張甲種紙片，1張乙種紙片，2張丙種紙片，如圖1所示，甲種紙片是邊長為x的正方形，乙種紙片是邊長為y的正方形，丙種紙片是長為y，寬為x的長方形．她將這些紙片拼成了如圖2所示的一個大正方形．【理解應(yīng)用】（1）圖2中的大正方形的邊長為______________；（2）觀察圖2，用兩種不同方式表示大正方形的面積，可得到一個等式，請你直接寫出這個等式_____________________________________；【拓展應(yīng)用】（3）利用（2）中的等式計算：①已知，求的值；②已知，求的值．

第十四章整式的乘法與因式分解壓軸題考點訓練評卷人得分一、單選題1．有一個因式是，則另一個因式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先因式分解，再確定另一因式．【詳解】解：，∴另一個因式為D．【點睛】本題考查多項式因式分解，掌握因式分解方法是解題關(guān)鍵．2．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先乘以（2-1）值不變，再利用平方差公式進行化簡即可.【詳解】=（2-1）=24n-1.故選A.【點睛】本題考查乘法公式的應(yīng)用，熟練掌握并靈活運用平方差公式是解題關(guān)鍵.3．已知，，，則的值為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)，，分別求出a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式將題目中的式子變形，即可完成.【詳解】∵，，，∴故選D【點睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵.4．已知當時，代數(shù)式值為6，那么當時，代數(shù)式值為（

）A．2 B．3 C．-4 D．-6【答案】A【分析】：把代入代數(shù)式，得出關(guān)于a,b的關(guān)系式，再把代入，求出代數(shù)式的值.【詳解】解：把代入代數(shù)式得，把代入得，=故選A.【點睛】本題主要考查整體代入的思想，關(guān)鍵是代入和代入是得到的代數(shù)式的關(guān)系，利用整體帶入的思想解決問題.5．已知(x－2015)2＋(x－2017)2＝34，則(x－2016)2的值是(

)A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【詳解】(x－2015)2＋(x－2017)2=(x－2016+1)2＋(x－2016-1)2===34∴故選D．點睛：本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，把(x－2015)2＋(x－2017)2化為(x－2016+1)2＋(x－2016-1)2，利用完全平方公式展開，化簡后即可求得(x－2016)2的值，注意要把x-2016當作一個整體．6．如果，表示的整數(shù)部分，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，，即，由，可得，則答案可得．【詳解】解：設(shè)，則，∴，∴，即，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了立方和公式，關(guān)鍵是進行合理的變形，難度較大．7．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，則ab+bc+ac＝（）A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11【答案】B【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通過配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整體求出ab+bc+ac即可．【詳解】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，∴a﹣c＝4，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．故答案為B．【點睛】本題主要考查了完全平方式以及配方法的應(yīng)用，靈活運用完全平方式進行配方成為解答本題的關(guān)鍵．評卷人得分二、填空題8．已知，則的值為．【答案】2017．【分析】把化成同底數(shù)冪的除法算式得出的值，然后整體代入算式即可求解．【詳解】∵∴，∴．故答案為：2017．【點睛】此題考查了同底數(shù)冪的除法的逆運算，然后用到整體代入的思想求解．要熟練同底數(shù)冪的除法的法則是解題的關(guān)鍵．9．分解因式：．【答案】【分析】先分組，然后再運用提取公因式法和公式法進行因式分解即可．【詳解】解：====．故答案為．【點睛】本題考查了運用分組法、提取公因式法、公式法因式分解，對原式正確的分組是正確解答本題的關(guān)鍵．10．用4張長為寬為的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．若，則之間存在的數(shù)量關(guān)系是．【答案】a=2b【分析】如下圖，先求出空白部分的面積，然后求出陰影部分的面積，利用，可得出a、b之間的關(guān)系．【詳解】如下圖則空白部分的面積+化簡得：∵∴化簡得：=0∴a=2b故答案為：a=2b．【點睛】本題考查完全平方公式的計算與化簡，解題關(guān)鍵是先求出和的面積．11．計算的結(jié)果是．【答案】【分析】設(shè)，把原式化簡為關(guān)于x的代數(shù)式，再運算求解【詳解】設(shè)，則原式【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，關(guān)鍵是靈活運用整體法求解．12．已知，且，則的值為．【答案】【分析】利用完全平方公式，得，利用這個公式變形即可得出答案．【詳解】解：由，去分母，得，則∵∴原式故答案為：【點睛】本題主要考查完全平方公式，熟記公式的幾個變形公式是解題的關(guān)鍵．評卷人得分三、解答題13．分解因式：.【答案】【分析】首先去括號，再重新分組為m2n2+2mn+1與（n2+m2-2mn），再利用公式法分解因式即可．【詳解】解：原式=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2）=（mn+1）2-（m-n）2=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）.【點睛】此題考查了分組分解法分解因式以及二次三項式的分解因式，本題沒有公因式可提取，又不能直接應(yīng)用公式，因而考慮用拆項法制造分組分解的條件.拆項法是因式分解中一種技巧性較強的方法，它通常是把多項式中的某一項拆成幾項，再分組分解，14．七年級學習代數(shù)式求值時，遇到這樣一類題“代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，求的值，”通常的解題方法是把看作未知數(shù)，看作已知數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，所以含項的系數(shù)為0，即原式，所以.則.【理解應(yīng)用】(1)若關(guān)于的代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，試求的值；(2)6張如圖1的長為，寬為的小長方形紙片，按圖2方式不重疊地放在矩形內(nèi)，未被覆蓋的部分(兩個矩形)用陰影表示，設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為，如果當?shù)拈L度變化時，始終保持不變，則應(yīng)滿足的關(guān)系是什么？【能力提升】(3)在(2)的條件下，用6張長為，寬為的矩形紙片，再加上張邊長為的正方形紙片，張邊長為的正方形紙片(都是正整數(shù))，拼成一個大的正方形(按原紙張進行無空隙，無重疊拼接)，則當?shù)闹底钚r，拼成的大正方形的邊長為多少(用含的代數(shù)式表示)？并求出此時的的值.【答案】(1)；(2)；(3)邊長為，當，時，的值最小.【分析】（1）根據(jù)仿例進行運算即可；（2）當?shù)拈L度變化時，始終保持不變，說明S的取值與BC的長度無關(guān)，求出S與C的關(guān)系，按照仿例計算即；（3）先表示出拼成的大正方形的面積，根據(jù)（2）中a、b的關(guān)系進行變形，求出面積是b的倍，因為都是正整數(shù)，故為平方數(shù)，最小值為25，據(jù)此可求解.【詳解】（1）∵此代數(shù)式的值與無關(guān)，則，解得：（2）設(shè)令左上角矩形面積為，右下角矩形面積為，∵當?shù)拈L度變化時，的值不變∴的取值與無關(guān)∴即（3）由題意得：拼成一個大的正方形的面積由(2)知：∴因為大正方形的邊長一定是的整數(shù)倍∴是平方數(shù)∵都是正整數(shù)∴最小是25，即∴，或，或，此時則當?shù)闹底钚r，拼成的大的正方形的邊長為，此時，.【點睛】本題主要考查了整式的乘法，整式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是理解題目中字母x的取值無關(guān)的意思．15．一個四位正整數(shù)J，將千位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字交換，百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字交換，得到，我們稱這個數(shù)P為原數(shù)的“披荊數(shù)”，并規(guī)定；將千位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字交換，百位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字交換，得到，我們稱這個數(shù)Z為原數(shù)的“斬棘數(shù)”，規(guī)定，且（分母為0時舍去）．如：2147的“披荊數(shù)”為，，2147的“斬棘數(shù)”為，．(1)2937的“披荊數(shù)”是______，3587的“斬棘數(shù)”是______；(2)證明任意一個四位數(shù)的“披荊數(shù)”與“斬棘數(shù)”的差能被9整除；(3)設(shè)四位正整數(shù)（，且x，y均為正整數(shù)），交換其十位和個位的數(shù)字得到N，若為完全平方數(shù)且M能被3整除，則稱M為“乘風破浪數(shù)”，請求出所有“乘風破浪數(shù)”M中的最大值．【答案】(1)3729，7853；(2)見解析；(3)的最大值為．【分析】（1）利用“披荊數(shù)”，“斬棘數(shù)”的定義解答即可；（2）設(shè)任意四位正整數(shù)為，則其“披荊數(shù)”為，“斬棘數(shù)”為，直接計算，即計算可得得證結(jié)論；（3）根據(jù)題意得，計算，得，易知為正整數(shù)，且，為整數(shù)，可得或，由為3的倍數(shù)，知應(yīng)為3的倍數(shù)，且，可得當時，或；當時，或；由定義得，將，所對應(yīng)得值代入即可求得，再找出最大值即可．【詳解】（1）解：2937的“披荊數(shù)”是3729，3587的“斬棘數(shù)”是7853，故答案為：3729，7853；（2）證明：設(shè)任意四位正整數(shù)為，則其“披荊數(shù)”為，“斬棘數(shù)”為，∴∴“披荊數(shù)”與“斬棘數(shù)”的差能被9整除；（3）∵（，且x，y均為正整數(shù)），∴，∴，∵為完全平方數(shù)，∴為正整數(shù)，且，為整數(shù)，則：當時，；當時，（舍去）；當時，（舍去）；當時，；當時，（舍去）；故或，又∵為3的倍數(shù)，∴應(yīng)為3的倍數(shù)，且，當時，或；當時，或；則當，時，；當，時，；當，時，；當，時，；故：的最大值為．【點睛】本題主要考查了整式的加減，因式分解得應(yīng)用，數(shù)字變化的規(guī)律，本題是新定義型，準確理解新定義的規(guī)定并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．16．【閱讀材料】“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學思想方法．比如：北師大版七年級下冊教材在學習“完全平方公式”時，通過構(gòu)造幾何圖形，用幾何直觀的方法解釋了完全平方公式：（如圖1）．利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問題，也可以用圖形關(guān)系解決代數(shù)問題．

【方法應(yīng)用】根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖2可得等式：；由圖3可得等式：；(2)利用圖3得到的結(jié)論，解決問題：若，，則；(3)如圖4，若用其中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a，b的長方形紙片拼出一個面積為長方形（無空隙、無重疊地拼接）．①請畫出拼出后的長方形；②；(4)如圖4，若有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為a，b的長方形紙片，5張邊長為b的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為．【答案】(1)(2)155(3)①見解析；②9(4)【分析】（1）用兩種不同的方法表示出大長方形的面積，以及大正方形的面積，即可得出結(jié)論；（2）利用（1）中的結(jié)論進行求解即可；（3）①根據(jù)，得到大長方形是由2張邊長為a的正方形，2張邊長為b的正方形，5張邊長分別為a、b的長方形紙片拼成，畫圖即可；②根據(jù)①可知的值，代入求解即可；（4）根據(jù)拼接成的是正方形，得到選取的紙片的面積和必須構(gòu)成完全平方式，進行討論求解即可．【詳解】（1）解：由圖2知，∵大長方形的面積，大長方形的面積3個小正方形的面積+3個小長方形的面積，∴；由圖3知，∵大正方形的面積，大正方形的面積＝3個正方形的面積+2個小長方形的面積+2個小長方形的面積+2個小長方形的面積，∴；故答案為：，．（2）∵由（1）知：，∴，，把代入，．故答案為：155．（3）①∵，可以看成2張邊長為a的正方形，2張邊長為b的正方形，5張邊長分別為a、b的長方形紙片拼成的大長方形的面積，如圖：

②由①知：，∴．故答案為：9．（4）3張邊長為a的正方形紙片的面積為，4張邊長分別為的長方形紙片的面積為，5張邊長為b的正方形紙片的面積為，要想從中取出若干張紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則選取的紙片的面積和必須構(gòu)成完全平方式，∴可以選取1張邊長為a的正方形紙片、2張邊長分別為的長方形紙片、1張邊長為b的正方形紙片，此時圍成的正方形面積為，此時正方形的邊長，也可以選取1張邊長為a的正方形紙片、4張邊長分別為的長方形紙片、4張邊長為b的正方形紙片，此時圍成的正方形面積為，此時正方形的邊長，∴拼成的正方形的邊長最長為．故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景以及多項式乘多項式與幾何圖形的面積．熟練掌握完全平方公式以及多項式乘以多項式的法則，是解題的關(guān)鍵．17．【閱讀材料】我們知道，圖形也是一種重要的數(shù)學語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，