人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊單元1空間向量及其運算課件

第一章空間向量與立體幾何單元1空間向量及其運算期中期末·全優(yōu)手冊A卷·必備知識全優(yōu)B卷·關(guān)鍵能力全優(yōu)重點題型全練題型1空間向量的線性運算例1

(1)向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列結(jié)論正確的是

;(填序

號)①a∥b,a∥c;②a∥b,a⊥c;③a∥c,a⊥b.(2)已知點A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),點P的坐標(biāo)是(x,0,y),若PA⊥

平面ABC,則點P的坐標(biāo)是

.解析

(1)因為c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,所以a∥c.因為a·b=-2×2+(-3)×0+1×4=0,

所以a⊥b.(2)易知

=(-x,1,-y),

=(-1,-1,-1),

=(2,0,1).因為PA⊥平面ABC,AB,AC?平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,即

⊥

,

⊥

,即

·

=x+y-1=0,

·

=-2x-y=0,所以x=-1,y=2,故點P的坐標(biāo)是(-1,0,2).答案

(1)③

(2)(-1,0,2)例2

(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點.若

=a,

=b,

=c,則下列向量中與

相等的是

(

)A.-

a+

b+c

B.

a+

b+cC.-

a-

b+c

D.

a-

b+c(2)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為上底面A1B1C1D1的中心,若

=

+x

+y

,則x,y的值分別為

(

)A.1,1

B.1,

C.

,

D.

,1解析

(1)

=

+

=

+

(

-

)=c+

(b-a)=-

a+

b+c.故選A.(2)

=

+

=

+

=

+

(

+

),故x=

,y=

.故選C.答案

(1)A

(2)C例3如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)

=a,

=b,

=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,試用a,b,c表示以下各向量:(1)

;(2)

;

(3)

.解析

(1)∵P是C1D1的中點,∴

=

+

+

=a+

+

=a+c+

=a+

b+c.(2)∵N是BC的中點,∴

=

+

+

=-a+b+

=-a+b+

=-a+b+

c.(3)∵M(jìn)是AA1的中點,∴

=

+

=

+

=-

a+

=

a+

b+c.題型技巧本題考查空間向量基本定理及向量的線性運算.用不共面的三個向

量作為基向量表示某一向量時應(yīng)注意以下三點:(1)觀察圖形,將已知向量和未知

向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減

法與數(shù)乘運算的幾何意義,首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起點指

向末尾向量的終點的向量,我們把這個法則稱為向量加法的多邊形法則.(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.變式3-1

(1)例3的條件不變,試用a,b,c表示向量

;(2)若把例3中“P是C1D1的中點”改為“P在線段C1D1上,且

=

”,其他條件不變,如何表示

?解析

(1)因為P,N分別是C1D1,BC的中點,所以

=

+

+

=

+(-

)+

=-a+

b-

c.(2)

=

+

=

+

+

=a+c+

b.題型2共線、共面向量定理的應(yīng)用例4如圖所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,點M,N分別在AC1和BC上,且滿足

=k

,

=k

(0≤k≤1).判斷向量

是否與向量

,

共面.解析∵

=k

,

=k

,∴

=

+

+

=k

+

+k

=k(

+

)+

=k(

+

)+

=k

+

=

-k

=

-k(

+

)=(1-k)

-k

,∴由共面向量定理知向量

與向量

,

共面.例5

(1)(多選題)對空間任一點O和不共線的三點A,B,C,能得到P,A,B,C四點共

面的是

(

)A.

=

+

+

B.

=

+

+

C.

=

+

+

D.

=2

-

-

(2)已知A,B,C三點共線,O為直線外任意一點,若

=m

+n

,則m+n=

.解析

(1)解法一:對A選項,

=

+

+

不能轉(zhuǎn)化成

=x

+y

的形式,故A選項不正確;對B選項,∵

=

+

+

,∴3

=

+

+

,∴

-

=-(

-

)-(

-

),∴

=-

-

,∴P,A,B,C四點共面,故B選項正確;對C選項,

=

+

+

=

+

(

+

)+

(

+

)=

+

+

,∴

-

=

+

,∴

=

+

,∴P,A,B,C四點共面,故C選項正確;對D選項,

=2

-

-

不能轉(zhuǎn)化成

=x

+y

的形式,故D選項不正確.故選BC.解法二:當(dāng)點P與A,B,C共面時,對空間任意一點O,都有

=x

+y

+z

,且x+y+z=1,據(jù)此可判斷出只有選項B,C符合要求.(2)因為A,B,C三點共線,所以存在實數(shù)λ,使得

=λ

,即

-

=λ(

-

),所以

=(1-λ)

+λ

,所以m=1-λ,n=λ,所以m+n=1.答案

(1)BC

(2)1例6如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為A1C上一點,且

=

,BD與AC交于點M.求證:C1,O,M三點共線.∵

=

,∴

=

+

=

+

=

+

(

+

)=

+

.易知

=2

,∴

=

+

=

-

=

-2

,∴

=

(

-2

)+

=

+

.證明如圖,連接AO,AC1,A1C1.又∵

+

=1,∴C1,O,M三點共線.題型技巧

(1)證明空間三點P,A,B共線的方法①證明

=λ

(λ∈R).②對空間任一點O,證明

=

+t

(t∈R).③對空間任一點O,證明

=x

+y

(x+y=1).(2)證明共面的常用方法①證明空間三個向量a,b,c共面,常用如下方法:(i)證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合,即a=xb+yc;(ii)尋找平面α,證明這些向量與平面α平行.②對空間四點P,M,A,B,可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點共面.(i)證明

=x

+y

;(ii)對空間任一點O,證明

=

+x

+y

;(iii)對空間任一點O,證明

=x

+y

+z

(x+y+z=1);(iv)證明

∥

(或

∥

或

∥

).題型3空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例7已知空間中三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a=

,b=

.(1)求向量a與向量b夾角的余弦值;(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求實數(shù)k的值.解析

(1)易知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),∴a·b=1×(-1)+1×0+0×2=-1,又|a|=

=

,|b|=

=

,∴cos<a,b>=

=-

,∴向量a與向量b夾角的余弦值為-

.(2)解法一:易知ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),∵ka+b與ka-2b互相垂直,∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)·(k+2)+k2-8=0,解得k=2或k=-

,∴當(dāng)ka+b與ka-2b互相垂直時,實數(shù)k的值為2或-

.解法二:由(1)得|a|=

,|b|=

,a·b=-1,∴(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-

.∴當(dāng)ka+b與ka-2b互相垂直時,實數(shù)k的值為2或-

.例8如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點A為端點的三條棱長都為1,

且兩兩夾角為60°.(1)求

的長;(2)求

與

夾角的余弦值.解析

(1)記

=a,

=b,

=c,則|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,∴a·b=b·c=c·a=

.|

|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×

=6,∴|

|=

,即

的長為

.(2)易知

=b+c-a,

=a+b,∴|

|=

=

=

=

,|

|=

=

=

=

,

·

=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=12-12+

+

=1,∴cos<

,

>=

=

.∴

與

夾角的余弦值為

.題型技巧

(1)在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟①將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合的形式;②利用向量的運算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積;③根

據(jù)向量的方向,正確求出向量的夾角及向量的模;④代入公式a·b=|a|·|b|·cos<a,b>求解.(2)空間向量數(shù)量積計算的兩種方法①定義法:a·b=|a||b|cos<a,b>.②坐標(biāo)法:設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則a·b=x1x2+y1y2+z1z2.利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系,也可以利用垂直關(guān)系,通過向量共線

確定點在線段上的位置.利用夾角公式可以求異面直線所成的角,也可以求二面

角.可以通過|a|2=a2將向量的長度問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題來求解,體現(xiàn)轉(zhuǎn)

化與化歸的數(shù)學(xué)思想.易錯易混全會一忽略向量垂直時數(shù)量積為零的情況例1判斷命題的真假:若a·b=a·c,則a=0或b=c.錯解真命題.錯因分析忽略當(dāng)a⊥(b-c)時,a·(b-c)=0.解析假命題.若a·b=a·c,則a·(b-c)=0,所以a=0或b=c或a⊥(b-c).二忽視對向量夾角的理解致錯例2在△ABC中,M是BC的中點,AM=1,點P在AM上且滿足

=2

,則

·(

+

)等于

(

)A.-

B.-

C.

D.

錯解由

=2

,M是BC的中點,知P為△ABC的重心,根據(jù)向量的平行四邊形法則,知

+

=2

,所以

·(

+

)=

·2

=2|

||

|·cos0=

.故選D.錯因分析

,

的夾角是π,不是0.解析由

=2

,M是BC的中點,知P為△ABC的重心,根據(jù)向量的平行四邊形法則,得

+

=2

,所以

·(

+

)=

·2

=2|

||

|·cosπ=-

.故選A.答案

A滿分策略

(1)當(dāng)兩個非零空間向量共線且同向時,夾角為0,共線且反向時,夾角

為π.(2)對空間任意兩個非零向量a,b,有①<a,b>=<b,a>;②<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;③

<-a,-b>=<a,b>.第一章空間向量與立體幾何單元1空間向量及其運算

A卷基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)卷一、單項選擇題1.(2023杭州二中期中)已知平行六面體ABCD-A'B'C'D',則

+

+

=

(

)A.

B.

C.

D.

解題思路

+

+

=

+

=

.故選C.C2.(2024甘肅酒泉期末)已知空間向量m=(2,1,4),n=(-1,λ,-2),且m⊥n,則實數(shù)λ=

(

)A.-10

B.10

C.

D.4

解題思路因為m⊥n,所以m·n=0,所以(2,1,4)·(-1,λ,-2)=-2+λ-8=0,所以λ=10,故選B.B3.(2024哈爾濱市第三中學(xué)校期末)如圖,在四面體ABCD中,∠BAC=60°,∠BAD=

∠CAD=45°,AD=

,AB=AC=3,則

·

=

(

)

A.

B.

C.

D.3

C解題思路

·

=(

-

)·(

-

)=

·

-

·

-

·

+

=|

||

|cos∠CAD-|

||

|cos∠BAD-|

||

|·cos∠BAC+

=3×

×

-3×

×

-3×3×

+9=

.故選C.4.(2023河南焦作溫縣一中月考)已知點A(3,3,-5),B(2,-3,1),C為線段AB上一點,且

=

,則點C的坐標(biāo)為

(

)A.

B.

C.

D.

C解題思路設(shè)點C的坐標(biāo)為(x,y,z).∵A(3,3,-5),B(2,-3,1),∴

=(-1,-6,6),

=(x-3,y-3,z+5).又∵

=

,∴(x-3,y-3,z+5)=

(-1,-6,6),由此解得x=

,y=-1,z=-1.故選C.5.(2024廣西防城港期末)已知空間向量a=(1,2,1),b=(3,-2,1),c=(-4,4,-1),則下列說

法錯誤的是

(

)A.|a|=

B.a,b,c是共面向量C.a⊥b

D.(a+b)·c=10D解題思路|a|=

=

,選項A中的說法正確;設(shè)a=mb+nc,則

解得

故a=3b+2c,所以a,b,c共面,選項B中的說法正確;a·b=3-4+1=0,所以a⊥b,選項C中的說法正確;(a+b)·c=(4,0,2)·(-4,4,-1)=-18,選項D中的說法錯誤.故選D.6.(人教B版選擇性必修第一冊P17練習(xí)BT2改編回歸教材)如圖,在四面體OABC

中,

=a,

=b,

=c,D為BC的中點,E為AD的中點,則

可用向量a,b,c表示為

(

)

A.

a+

b+

c

B.

a+

b+

c

C.

a+

b+

c

D.

a+

b+cB解題思路因為

=a,

=b,

=c,D為BC的中點,E為AD的中點,所以

=

+

=

+

×

(

+

)=

+

+

=

a+

b+

c.故選B.二、多項選擇題7.(2023福建寧德期中)正四棱柱ABCD-A1B1C1D1如圖,則下列向量相等的是

(

)

A.

與

B.

與

C.

與

D.

與

CD解題思路由正四棱柱可知,對于選項A,|

|=|

|,但

與

方向相反,故選項A不符合題意;對于選項B,|

|=|

|,但

與

方向不同,故選項B不符合題意;對于選項C,|

|=|

|,且

與

方向相同,故選項C符合題意;對于選項D,|

|=|

|,且

與

方向相同,故選項D符合題意.故選CD.8.(2023南京鼓樓期中)已知a,b,c是三個向量,在下列命題中,假命題是

(

)A.a·b=b·a

B.a·(b+c)=a·b+a·cC.(a·b)·c=a·(b·c)

D.若a·b=a·c,則b=c解題思路向量數(shù)量積公式滿足交換律和分配律,故A、B中的命題是真命題;(a·b)·c表示與向量c共線的向量,a·(b·c)表示與向量a共線的向量,兩個向量不一定

相等,故C中的命題是假命題;a·b=a·c?a·(b-c)=0,所以a=0或b=c或a⊥(b-c),故D中

的命題是假命題.故選CD.CD9.(2024福建寧德期末)關(guān)于空間向量,以下說法正確的是

(

)A.已知a=(0,1,1),b=(0,0,-1),則a在b上的投影向量為

B.已知兩個向量a=(1,m,3),b=(5,-1,n),且a∥b,則mn=-3C.若{a,b,c}是空間向量的一組基底,則{a+b,b,c}也是空間向量的一組基底D.若對空間中任意一點O,有

=

+

+

,則P,A,B,C四點共面BC解題思路對于A,因為a=(0,1,1),b=(0,0,-1),所以a·b=-1,|b|=1,所以a在b上的投影向量為

·b=-b=(0,0,1),故A錯誤;對于B,因為a∥b,所以可設(shè)a=λb(λ≠0),又因為a=(1,m,3),b=(5,-1,n),所以

解得

所以mn=-3,故B正確;對于C,若{a,b,c}是空間向量的一組基底,則a,b,c不共面,假設(shè)a+b,b,c共面,則可設(shè)a+b=xb+yc,顯然該方程無解,所以a+b,b,c不共面,則{a+b,b,c}也是空間向量的一組基底,故C正確;對于D,

=

+

+

,而

+

+

=

≠1,則P,A,B,C四點不共面,故D錯誤.故選BC.三、填空題10.(2024北京昌平期中)①已知a=(1,0,-1),b=(2,1,1),則|2a-b|=

.②空間向量m=(2,-3,-1),n=(λ,6,2),若m∥n,則|n|=

.答案①

②2

解題思路①由已知可得2a-b=(2,0,-2)-(2,1,1)=(0,-1,-3),所以|2a-b|=

=

.②因為m∥n,所以

=

=

,解得λ=-4,則n=(-4,6,2),所以|n|=

=2

.11.(2024廣東東莞期中)如圖,正四棱錐模型P-ABCD中,過點A作一個平面分別交

棱PB,PC,PD于點E,F,G,若

=

,

=

,則

=

.

答案解題思路設(shè)

=λ(λ≠0),則

=λ

=λ(

+

)=λ(

+

)=λ(

+

-

)=λ

=λ

+2λ

-

λ

,因為A,F,E,G四點共面,所以λ+2λ-

λ=1,解得λ=

.12.(2023浙江臺州期中)如圖所示,在四棱錐M-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的

正方形,側(cè)棱AM的長為3,且∠MAB=∠MAD=60°,N是CM的三等分點(靠近M點),

則BN的長為

.答案

解題思路

=

-

=

+

-

,

=

=

(

+

-

),則

=

+

+

=-

+

+

(

+

-

)=-

+

+

,則

=

=

(4

+

+4

-4

·

-8

·

+4

·

)=

×

=

,所以|

|=

=

,所以BN的長為

.四、解答題13.(10分)(2024浙江寧波期末)已知空間三點A(-1,0,2),B(0,1,2),C(-3,0,4),設(shè)

=a,

=b.(1)求a與b的夾角θ的余弦值;(2)若向量ka+b與a-kb互相垂直,求k的值.審題指導(dǎo)(1)先求出向量a,b,再利用空間向量的夾角公式求解即可;(2)利用向量垂直的充要條件列出方程,解方程求出k的值.解題思路

(1)易知a=

=(1,1,0),b=

=(-2,0,2),

(2分)所以cosθ=

=

=-

,所以a與b的夾角θ的余弦值為-

.

(5分)(2)由(1)可知a=(1,1,0),b=(-2,0,2),則|a|=

,|b|=2

,a·b=-2.因為向量ka+b與a-kb互相垂直,所以(ka+b)·(a-kb)=0,

(7分)所以k|a|2-k|b|2+(1-k2)a·b=0,所以2k-8k-2(1-k2)=0,

(9分)所以k2-3k-1=0,解得k=

.

(10分)14.(10分)如圖,已知O,A,B,C,D,E,F,G,H為空間的9個點,且

=k

,

=k

,

=k

,

=

+m

,

=

+m

,k≠0,m≠0.(1)求證:A,B,C,D四點共面,E,F,G,H四點共面;(2)求證:平面ABCD∥平面EFGH;(3)求證:

=k

.解題思路證明:(1)因為

=

+m

,m≠0,所以

,

,

共面,即A,B,C,D四點共面.

(1分)因為

=

+m

,m≠0,所以

,

,

共面,即E,F,G,H四點共面.

(2分)(2)連接HF,BD,

=

+m

=

-

+m(

-

)=k(

-

)+km(

-

)=k

+km

=k(

+m

)=k

,所以

∥

,

(4分)又因為EG?平面ABCD,AC?平面ABCD,所以EG∥平面ABCD.

(5分)因為

=

-

=k(

-

)=k

,所以

∥

,

(6分)又FH?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以FH∥平面ABCD,

(7分)又因為EG與FH相交,EG,FH?平面EFGH,所以平面ABCD∥平面EFGH.

(8分)(3)由(2)知

=k

,所以

=

+

=k

+k

=k(

+

)=k

.

(10分)第一章空間向量與立體幾何單元1空間向量及其運算

B卷提優(yōu)檢測卷一、單項選擇題1.(2023山東聊城二中開學(xué)考)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列選項中化簡后為

零向量的是

(

)A.

+

+

B.

-

+

C.

+

+

D.

+

A解題思路如圖,對于A,

+

+

=

+

+

=

+

=0,對于B,

-

+

=

+

=

,對于C,

+

+

=

+

=

,對于D,

+

=

.故選A.2.(2023安徽黃山屯溪一中期中)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka-b與2a+b互相

平行,則k=

(

)A.1

B.-2

C.-1

D.2

解題思路

根據(jù)題意,ka-b=k(1,1,0)-(-1,0,2)=(k+1,k,-2),2a+b=(2,2,0)+(-1,0,2)=(1,2,2).根據(jù)兩向量平行,得

=

=

,解得k=-2.故選B.B3.(2024安徽期中數(shù)學(xué)文化)圖1是元代數(shù)學(xué)家郭守敬主持建造的觀星臺,其可近

似看作一個正四棱臺ABCD-A1B1C1D1(如圖2),若AB=2A1B1,點M在BD1上,且BM=3

D1M,則

=

(

)A.

+

-

B.

+

-

C.

-

-

D.

-

-

C解題思路由題意得

=

-

=

+

-

,又因為BM=3D1M,所以

=

=

+

-

,所以

=

-

=

-

=

+

-

-

=

-

-

.故選C.4.(2024石家莊期中)三棱錐O-ABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC=

,OA=2OB=2,若CB⊥OA,則OC=

(

)

A.1

B.2

C.

D.

A解題思路由題意可知

=

-

,∵CB⊥OA,∴

⊥

,∴

·

=0,∴(

-

)·

=0,∴

·

-

·

=0,∴1×2×cos

-2|

|·cos

=0,解得|

|=1,即OC=1.故選A.5.(2024哈爾濱市第九中學(xué)校月考)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,PA⊥平面

ABC,AE⊥PB于點E,M是AC的中點,PB=1,則

·

的最小值為

(

)

A.-

B.-

C.-

D.-

A解題思路連接EC(圖略),因為PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又PB?平面PAB,所以BC⊥PB.因為點M是AC的中點,所以

=

(

+

)=

+

(

+

),又AE⊥PB,所以

·

=

·

=

·

+

·

+

·

=

·

=-

|

||

|≥-

=-

,當(dāng)且僅當(dāng)|

|=|

|=

時,等號成立,所以

·

的最小值為-

.故選A.6.(2023廣東天河外國語學(xué)校期末)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為6,點M

為CC1的中點,點P為底面A1B1C1D1上的動點,滿足BP⊥AM的點P的軌跡長度為

(

)A.2

π

B.3

C.6

D.3

πB解題思路以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系,分別取A1B1,A1D1的中點E,F,連接EF,

則A(6,0,0),B(6,6,0),M(0,6,3),設(shè)P(x,y,6),x∈[0,6],y∈[0,6],則

=(-6,6,3),

=(x-6,y-6,6),由BP⊥AM得-6(x-6)+6(y-6)+3×6=0,即y=x-3,由于x∈[0,6],y∈[0,6],故x∈[3,6],y∈[0,3],所以點P的軌跡為圖中的線段EF,易知EF=

=3

.故選B.二、多項選擇題7.(2024湖南郴州期中)已知空間向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),則下列結(jié)論正確的是

(

)A.(2a+b)∥a

B.5|a|=

|b|C.a⊥(5a+6b)

D.a與b夾角的余弦值為

BC解題思路對于A,因為a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),所以2a+b=2(-2,-1,1)+(3,4,5)=(-1,2,

7),假設(shè)(2a+b)∥a,則存在實數(shù)λ,使得2a+b=λa,即(-1,2,7)=λ(-2,-1,1)=(-2λ,-λ,λ),所以

方程組無解,故不存在實數(shù)λ,使得2a+b=λa,所以2a+b和a不平行,故A錯誤;對于B,易得|a|=

=

,|b|=

=5

,則5|a|=5

=

|b|,故B正確;對于C,易得5a+6b=5(-2,-1,1)+6(3,4,5)=(8,19,35),又a=(-2,-1,1),所以a·(5a+6b)=-2×8+(-1)×19+1×35=0,所以a⊥(5a+6b),故C正確;對于D,易得cos<a,b>=

=

=-

,故D錯誤.故選BC.8.(2023山東滕州一中期末)下列說法錯誤的是

(

)A.若空間向量a∥b,則存在唯一的實數(shù)λ,使得b=λaB.A,B,C三點不共線,空間中任意點O,若

=

+

+

,則P,A,B,C四點共面C.a=(x,2,1),b=(4,-2+x,x),若a與b夾角為鈍角,則x的取值范圍是

D.若{

,

,

}是空間向量的一組基底,則O,A,B,C四點共面,但不共線ACD解題思路對于A選項,若a是零向量,b是非零向量,則a∥b,但不存在實數(shù)λ,使得b=λa,A選項中的說法錯誤.對于B選項,

=

+

+

=

+

+

,

-

=

(

-

)+

(

-

),即

=

+

,所以P,A,B,C四點共面,B選項中的說法正確.對于C選項,當(dāng)x=-2時,a=(-2,2,1),b=(4,-4,-2),則b=-2a,a與b夾角為π,C選項中的說

法錯誤.對于D選項,如圖所示的三棱錐O-ABC中,{

,

,

}是空間向量的一組基底,但O,A,B,C不共面,D選項中的說法錯誤.9.(2024江蘇鎮(zhèn)江期中)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,∠A1

AB=∠A1AD,A1C1∩B1D1=O1,則下列說法正確的是

(

)A.四邊形B1BDD1為矩形B.

·

=

·

C.

=

+

-

D.如果

=

+

+

,那么點M在平面A1BD內(nèi)ABD解題思路連接AC,設(shè)AC∩BD=O,連接A1O,易知AC⊥BD,AD=AB,在△A1AB和△A1AD中,由余弦定理得A1B2=A1A2+AB2-2AA1·ABcos∠A1AB,A1D2=A1A2+AD2-2AA

1·ADcos∠A1AD,又∠A1AB=∠A1AD,所以A1B=A1D,故A1O⊥BD,又A1O∩AC=O,A1O,AC?平面ACC1A1,所以BD⊥平面ACC1A1,又AA1?平面ACC1A1,所以BD⊥AA1,易知AA1∥BB1,所以

BD⊥BB1,易知BD

B1D1,所以四邊形B1BDD1為矩形,故A正確,由上面的分析可知BD⊥平面ACC1A1,又AO1?平面ACC1A1,所以BD⊥AO1,所以

·

=0,即(

-

)·

=0,所以

·

=

·

,故B正確,取A1O1的中點N,連接AN,易得

+

=2

,則

=2

-

,易知

+

=

(

+

)=

,

≠2

,所以

≠

+

-

,故C錯誤,因為

=

+

+

,且

+

+

=1,所以M,B,D,A1四點共面,故M在平面A1BD內(nèi),故D正確.故選ABD.三、填空題10.(2024上海期中)已知{a,b,c}是空間不共面的一組向量,{a,b+c,b-c}是空間不

共面的另一組向量,若向量p在{a,b,c}下的坐標(biāo)為(2,3,-1),則向量p在{a,b+c,b-c}

下的坐標(biāo)是

.答案

(2,1,2)解題思路由向量p在{a,b,c}下的坐標(biāo)為(2,3,-1),得p=2a+3b-c,設(shè)向量p在{a,b

+c,b-c}下的坐標(biāo)是(x,y,z),則p=xa+y(b+c)+z(b-c)=xa+(y+z)b+(y-z)c,則

解得

所以向量p在{a,b+c,b-c}下的坐標(biāo)是(2,1,2).11.(2023河南聯(lián)考)正多面體也稱柏拉圖立體,被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu),是所

有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體(各面都是全等的正多邊形).數(shù)學(xué)家已

經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體,即正四面體、正六面體、正八面體、正

十二面體、正二十面體.已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是2(如圖),P,Q分

別為棱AB,AD的中點,則

·

=

.答案

1解題思路正八面體ABCDEF中,

,

,

不共面,而P,Q分別為棱AB,AD的中點,有

·

=

·

=|

||

|cos60°=2,

·

=0,

=

+

,

=

+

+

=

+

+

(

-

)=

-

-

+

+

(

-

)=

-

-

,∴

·

=

·

=

-

+

·

-

·

-

·

=

×22-

×22=1.12.(2024福建泉州德化期末)已知單位空間向量e1,e2,e3滿足e1·e2=0,e2·e3=e1·e3=

.若空間向量a滿足a·e1=a·e2=

,且對于任意實數(shù)x,y,|a-xe1-ye2|的最小值是2,則e3在e1,e2所構(gòu)成的平面內(nèi)的投影向量的長度是

;|a-λe3|(λ∈R)的最小值是

.答案

;

審題指導(dǎo)建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)條件求向量的坐標(biāo),由模的坐標(biāo)運算求e3

在e1,e2所構(gòu)成的平面內(nèi)的投影向量的長度