人教版高中數(shù)學必修一《基本初等函數(shù)》之《冪函數(shù)》教學學案

2.3寨函數(shù)

三維目標定向

K知識與技能》

(1)了解幕函數(shù)的概念；

2

(2)會畫函數(shù)y=的圖象，并了解它們的變化情況。

K過程與方法』

通過畫y=X,y==%3,y=%T,y=*2的圖象，由特殊到一般，歸納出事函數(shù)的圖

象和性質(zhì)。

K情感、態(tài)度與價值觀U

通過大量實例，感受基函數(shù)的概念，體會塞函數(shù)在客觀現(xiàn)實中的應用，學會應用數(shù)學的方

法，形成一定的數(shù)學應用意識.

教學重難點：基函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

教學過程設(shè)計

一、實例剖析

引例：(1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜X千克，那么她需要支付丫=元；

(2)如果正方形的邊長為x,那么正方形的面積y=；

(3)如果立方體的邊長為x,那么立方體的體積y=；

(4)如果一個正方形場地的面積為x,那么這個正方形的邊長為y=；

(5)如果某人xs內(nèi)騎車行進了1km,那么他騎車的平均速度＞=km/So

問題：以上函數(shù)具有什么共同特征？

共同特征：函數(shù)解析式是累的形式，且指數(shù)是常數(shù)，底數(shù)是自變量。

二、幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

(-)定義：函數(shù)y=x"叫做事函數(shù)。(其中x為自變量，a為常數(shù))

探究1:你能指幾個學過的基函數(shù)的例子嗎？

探究2：你能說出幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別嗎？

名稱

式了

aXy

指數(shù)函數(shù)：y=a*底數(shù)指數(shù)基值

幕函數(shù)：y=x"指數(shù)底數(shù)/值

探究3：如何判斷一個函數(shù)是累函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)？

看看自變量x是指數(shù)（指數(shù)函數(shù)）還是底數(shù)（累函數(shù)）。

練習：1、下面幾個函數(shù)中，哪幾個函數(shù)是基函數(shù)？

(1)>=與；(2)y-2x2；(3)y=x2+x；(4)y=；(5)y=2*。

2、已知基函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點（3,、Q）,求這個函數(shù)的解析式。

3、如果函數(shù)/（x）=（m2—加一1）?力"是塞函數(shù)，求實數(shù)小的值。

（-）幕函數(shù)性質(zhì)的探究：

對于基函數(shù)，我們只討論a=，時的情況，

2

2

即：y=x,y=x2,y=x3,}>=X-1,y=%2

探究4：結(jié)合前面指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的方法，我們應如何研究幕函數(shù)呢？

作具體基函數(shù)的圖象一觀察圖象特征-總結(jié)函數(shù)性質(zhì)

[

探究5：在同一平面直角坐標系內(nèi)作出基函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x~],y=x2的圖

象:

探究6：性質(zhì):

1_

y=x23l

y=xy=x'y=*2y=x~

定義域RRR［。,+8）{x|"0}

值域R[0,+8)R[0,+8){y|"0}

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)

[0,+8)增(-8,0)，

單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)[0,+8)增

(-00,0]減(0,+8)減

公共點(1,1)

三、例題

例1：證明基函數(shù)/（幻=?在［0,+8）上是增函數(shù)。

（備用）例2：在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當氣體通過圓形管道時，其流量速率

v（單位：cn?/s）與管道半徑r（單位：cm）的四次方成正比。

(1)寫出氣流速率V關(guān)于管道半徑，?的函數(shù)解析式；

(2)若氣體在半徑為3cm的管道中，流量速率為400cm3/s,求該氣體通過半徑為r的

管道時，其流量速率v的表達式；

(3)已知(2)中的氣體通過的管道半徑為5cm,計算該氣體的流量速率。

四、練習：P79,習題2.3。

幕函數(shù)

--教學目標：

1.知識技能

(1)理解基函數(shù)的概念；

(2)通過具體實例了解基函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能進行初步的應用.

2.過程與方法

類比研究一般函數(shù)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的過程與方法，后研塞函數(shù)的圖象和性質(zhì).

3.情感、態(tài)度、價值觀

(1)進一步滲透數(shù)形結(jié)合與類比的思想方法；

(2)體會基函數(shù)的變化規(guī)律及蘊含其中的對稱性.

二.重點、難點

重點：從五個具體的幕函數(shù)中認識的概念和性質(zhì)

難點：從幕函數(shù)的圖象中概括其性質(zhì)

5.學法與教具

(1)學法：通過類比、思考、交流、討論，理解基函數(shù)的定義和性質(zhì)；

(2)教學用具：多媒體

三.教學過程：

引入新知

閱讀教材P90的具體實例(1)~(5),思考下列問題.

(1)它們的對應法則分別是什么？

(2)以上問題中的函數(shù)有什么共同特征？

讓學生獨立思考后交流，引導學生概括出結(jié)論

答：1、(1)乘以1(2)求平方(3)求立方

(4)求算術(shù)平方根(5)求一1次方

2、上述的問題涉及到的函數(shù)，都是形如：y=x"，其中％是自變量，。是常數(shù).

探究新知

1.嘉函數(shù)的定義

一般地，形如y=x°(xeR)的函數(shù)稱為幕孫函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

如y=x2,y=/,y=xW等都是塞函數(shù)，塞函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)一樣，都是基本

初等函數(shù).

2.研究函數(shù)的圖像

(1)y=x(2)y=x^(3)y=x2

(4)y-%-1(5)y=x3

提問：如何畫出以上五個函數(shù)圖像

引導學生用列表描點法，應用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性，定義域等，畫出函數(shù)圖像，最后,

教師利用電腦軟件畫出以上五個數(shù)數(shù)的圖像.

讓學生通過觀察圖像，分組討論，探究基函數(shù)的性質(zhì)和圖像的變化規(guī)律，教師注意引導學

生用類比研究指數(shù)函數(shù)，對函數(shù)的方法研究幕函數(shù)的性質(zhì).

通過觀察圖像，填P外探究中的表格

1

y=xl

y=￡y=x^y=x^y=x~

定義域RRR{x|x>0){x|xw0}

奇偶性奇奇奇非奇非偶奇

在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限

單調(diào)增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減

定點(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)

3.基函數(shù)性質(zhì)

（1）所有的幕函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都過點（1,1）（原因：

（2）x>0時，塞函數(shù)的圖象都通過原點，并且在［0,+8］上，是增函數(shù)（從左往右看,

函數(shù)圖象逐漸上升）.

特別地，當x>l,x>l時，xe(0,1),y=f的圖象都在y=x圖象的下方，形狀

向下凸越大，下凸的程度越大(你能找出原因嗎？)

當/a<l時，xG(0,1),y=V的圖象都在y=x的圖象上方，形狀向上凸，a越

小，上凸的程度越大(你能說出原因嗎？)

(3)a<0時，基函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù).

在第一家限內(nèi)，當X向原點靠近時，圖象在丁軸的右方無限逼近y軸正半軸，當X慢慢地

變大時，圖象在X軸上方并無限逼近X軸的正半軸.

例題：

1.證明幕函數(shù)/(x)=?在［0,包上是增函數(shù)

證：任取冷泡€［0,+8),且X］則

/(%)-/(彳2)=H

.(A-后)(G+嘉)