專題02 勾股定理全章復(fù)習(xí)攻略（2個(gè)概念2個(gè)定理3種方法2個(gè)應(yīng)用2種思想專練）原卷版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專題02勾股定理全章復(fù)習(xí)攻略（2個(gè)概念2個(gè)定理3種方法2個(gè)應(yīng)用2種思想專練）2個(gè)概念【考查題型一】互逆命題在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做它的逆命題.【例1】（2023秋?淮陽(yáng)區(qū)期末）判斷下列命題：①等腰三角形是軸對(duì)稱圖形；②若且，則；③全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；④直角三角形的兩銳角互余．其中逆命題正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【變式1-1】（2023秋?太康縣期末）下列命題的逆命題是假命題的是A．直角三角形的兩銳角互余 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．等腰三角形的底角相等【變式1-2】．（2023秋?松江區(qū)期末）“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”的逆命題是．【變式1-3】.在中，，平分，．（1）求證：；（請(qǐng)用一對(duì)互逆命題進(jìn)行證明）（2）寫出你所用到的這對(duì)互逆命題．【考查題型二】互逆定理如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中的一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理.【例2】．（2023秋?嘉定區(qū)期末）定理“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”（填“有”或“沒(méi)有”逆定理．【變式2-1】．（2023春?三明期末）下列定理有逆定理的是A．對(duì)頂角相等 B．兩直線平行，同位角相等 C．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 D．直角都相等【變式2-2】．（2023秋?澧縣期末）寫出定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理是．【變式2-3】．找出下列定理有哪些存在逆定理，把它填在橫線上．①矩形是平行四邊形．②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．③如果，那么．④全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．2個(gè)定理【考查題型三】勾股定理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．2．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．【例3】．（2023春?乾安縣期末）如圖，在中，，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)，時(shí)，則陰影部分的面積為A．4 B． C． D．8【變式3-1】．（2023春?樂(lè)陵市期末）閱讀下列一段文字，回答問(wèn)題．【材料閱讀】平面內(nèi)兩點(diǎn)，，，，則由勾股定理可得，這兩點(diǎn)間的距離．例如，如圖1，，，則．【直接應(yīng)用】（1）已知，，求、兩點(diǎn)間的距離；（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，，，與軸正半軸的夾角是．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②試判斷的形狀．【變式3-2】．（2023春?陳倉(cāng)區(qū)期末）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）求邊的長(zhǎng)．（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．【變式3-3】．（2023春?汝南縣期末）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖，后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請(qǐng)敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理；（如圖中圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有個(gè)；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，直角三角形面積為，請(qǐng)判斷，，的關(guān)系并證明．【考查題型四】勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說(shuō)明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)解決問(wèn)題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．【例4】．（2023春?科左中旗校級(jí)期末）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，7，8 D．1，，【變式4-1】．（2023春?蘿北縣期末）如圖，一塊草坪的形狀為四邊形，其中，，，，．求這塊草坪的面積．【變式4-2】．（2023春?莘縣期末）燕塔廣場(chǎng)視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場(chǎng)所，某校八年級(jí)的王明和孫亮兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得的長(zhǎng)度為8米；（注②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為17米；③牽線放風(fēng)箏的王明身高1.6米；（1）求風(fēng)箏的垂直高度；（2）若王明同學(xué)想讓風(fēng)箏沿方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【變式4-3】．（2023春?江津區(qū)期末）2023年江津區(qū)積極摸排城市建成區(qū)內(nèi)可利用的建設(shè)用地邊角地、閑置地，在摸排中發(fā)現(xiàn)，在某住宅建成區(qū)一處閑置地，城市綠化管理部門決定將其打造成“口袋公園”．如圖，四邊形為該住宅建成區(qū)一處閑置地，經(jīng)過(guò)測(cè)量得知：，，，，．（1）如圖，連接，試求的長(zhǎng)；（2）該塊閑置用地相關(guān)政府部門計(jì)劃投入24萬(wàn)元進(jìn)行打造，經(jīng)測(cè)算，每平方米打造的費(fèi)用為1000元，請(qǐng)你計(jì)算說(shuō)明將這塊地打造成“口袋公園”政府投入的費(fèi)用是否夠用？3種方法1．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見(jiàn)的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．2．平面展開-最短路徑問(wèn)題（1）平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們?cè)诮鉀Q有關(guān)結(jié)合問(wèn)題時(shí)的關(guān)鍵就是能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型．【考查題型五】化曲（折）為直法【例5】．（22-23八年級(jí)上·山東青島·期中）如圖，長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)和寬分別為和（），高為．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始如圖所示纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要（）cm．A． B．C． D．【變式5-1】．（22-23八年級(jí)上·山東青島·期中）如圖，一個(gè)圓柱形水杯，底面直徑為，高為，則一只小蟲從下底點(diǎn)處爬到上底處，則小蟲所爬的最短路徑長(zhǎng)是（取3）．

【變式5-2】．（21-22八年級(jí)下·廣西桂林·期中）如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B，D作，連接．已知．(1)求當(dāng)x等于何值時(shí)，?(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)利用圖形求代數(shù)式的最小值．【考查題型六】分類計(jì)算法【例6】．（23-24八年級(jí)上·廣東深圳·期末）如圖是盼盼家新裝修的房子，其中三個(gè)房間甲、乙、丙，他將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作，如果梯子的底端不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)梯子的頂端距離地面的垂直距離記作．(1)當(dāng)盼盼在甲房間時(shí)，梯子靠在對(duì)面墻上，頂端剛好落在對(duì)面墻角處，若米，米，則甲房間的寬度＝______米．(2)當(dāng)他在乙房間時(shí)，測(cè)得米，米，且，求乙房間的寬；(3)當(dāng)他在丙房間時(shí)，測(cè)得米，且，．求丙房間的寬．【變式6-1】．（23-24八年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期中）如圖①，等腰三角形中，，點(diǎn)在邊上，且．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，將沿折疊，點(diǎn)落在處，再將沿折疊，點(diǎn)也恰好落在點(diǎn)處，此時(shí)，的形狀是，線段之間的關(guān)系是__________；(2)如圖②，繞點(diǎn)在內(nèi)部任意位置時(shí)，線段之間的數(shù)量關(guān)系是__________．試證明你的猜想：若，求的長(zhǎng)．(3)當(dāng)圖③的位置時(shí)，線段之間的數(shù)量關(guān)系是__________．（不要求證明）【變式6-2】．（23-24八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．．(1)AC的長(zhǎng)為______．(2)①當(dāng)點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PC的長(zhǎng)為______；（用含t的代數(shù)式表示）②當(dāng)點(diǎn)P在的角平分線上，則PC的長(zhǎng)為______；(3)當(dāng)是直角三角形時(shí)，求t的值；(4)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，直接寫出為軸對(duì)稱圖形時(shí)t的值______．【考查題型七】化斜為直法【例7】．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過(guò)程．2個(gè)應(yīng)用【考查題型八】勾股定理的應(yīng)用【例8】．（22-23八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為米．【變式8-1】．（23-24八年級(jí)上·陜西榆林·期中）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺（尺），將它往前推進(jìn)兩步（尺，于），此時(shí)踏板升高離地五尺（尺），求秋千繩索（或）的長(zhǎng)度．【變式8-2】．（22-23八年級(jí)上·四川成都·期中）交通安全是社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題，安全隱患主要是超速和超載，某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)進(jìn)行了測(cè)試汽車的速度的實(shí)驗(yàn)，如圖，先在筆直的公路旁選取一點(diǎn)，在公路上確定點(diǎn)，使得，米，，這時(shí)，一輛轎車在公路上由向勻速駛來(lái)，測(cè)得此車從處行駛到處所用的時(shí)間為3秒，并測(cè)得，求的距離和此車的速度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）【變式8-3】．（22-23八年級(jí)上·山東青島·期中）問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，，如何求線段的長(zhǎng)度？小明在網(wǎng)上搜索到下面的文字材料：在軸上有兩個(gè)點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別為和．則這兩點(diǎn)所成線段長(zhǎng)為；同樣的，若在軸上的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，則這兩點(diǎn)所成線段長(zhǎng)為．

根據(jù)上面材料，完成探究：（1）如圖1，在直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)其坐標(biāo)分別是和，分別過(guò)這兩點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，構(gòu)成一個(gè)直角三角形，其中直角邊，，利用勾股定理可得，．應(yīng)用：（2）平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)和，線段．（3）若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．拓展：（4）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，且，，三點(diǎn)不在同一條直線上，點(diǎn)在什么位置時(shí)的周長(zhǎng)最?。孔钚≈凳嵌嗌?？【考查題型九】勾股定理的逆定理的應(yīng)用【例9】．（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期中）著名的趙爽弦圖（如圖（1），其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為a，較小的直角邊長(zhǎng)都為，斜邊長(zhǎng)都為，大正方形的面積可以表示為），可以推導(dǎo)出重要的勾股定理．

(1)請(qǐng)你利用圖（2）推導(dǎo)勾股定理．(2)如圖（3）一條東西走向河的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)，其中，由于種種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通了，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)（在一條直線上），并新修一條路，測(cè)得千米，千米，千米．是不是從村莊到河邊的最近路，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；并求比原來(lái)的路線近了多少．【變式9-1】．（23-24八年級(jí)上·廣東梅州·期中）森林火災(zāi)是一種常見(jiàn)的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國(guó)科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開始應(yīng)用飛機(jī)灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺(tái)救火飛機(jī)沿東西方向，由點(diǎn)A飛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為其中一個(gè)著火點(diǎn)，且點(diǎn)C與直線上兩點(diǎn)A，B的距離分別為和，又，飛機(jī)中心周圍以內(nèi)可以受到灑水影響．(1)著火點(diǎn)C受灑水影響嗎？為什么？(2)若飛機(jī)的速度為，要想撲滅著火點(diǎn)C估計(jì)需要13秒，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算判斷著火點(diǎn)C能否被撲滅？【變式9-2】．（22-23八年級(jí)上·四川成都·期中）問(wèn)題背景：如圖1，某車間生產(chǎn)了一個(gè)豎直放在地面上的零件，過(guò)點(diǎn)A搭了一個(gè)支架AC，測(cè)得支架AC與地面成角，即；在的中點(diǎn)D處固定了一個(gè)激光掃描儀，需要對(duì)零件進(jìn)行掃描，已知掃描光線的張角恒為，即．問(wèn)題提出：數(shù)學(xué)興趣小組針對(duì)這個(gè)裝置進(jìn)行探究，研究零件邊上的被掃描部分（即線段EF），和未掃到的部分（即線段和線段）之間的數(shù)量關(guān)系．問(wèn)題解決：(1)先考慮特殊情況：①如果點(diǎn)E剛好和點(diǎn)A重合，或者點(diǎn)B剛好和點(diǎn)F重合時(shí)，________（填“>”，“<”或“=”）；②當(dāng)點(diǎn)E位于特殊位置，比如當(dāng)時(shí)，________（填“>”或“<”）；(2)特殊到一般：猜想：如圖2，當(dāng)時(shí)，________，證明你所得到的結(jié)論：(3)研究特殊關(guān)系：如果，求出的值．【變式9-3】．（22-23八年級(jí)上·遼寧丹東·期中）如圖，在中，，，.(1)試判斷的形狀，并證明：(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)從A出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，①當(dāng)平分時(shí)，求的值：②當(dāng)點(diǎn)落在邊的垂直平分線上時(shí)，求的值；③在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫出為等腰三角形時(shí)的值.【變式9-4】．（22-23八年級(jí)上·福建漳州·期中）問(wèn)題提出如圖，等腰直角中，，，點(diǎn)，在邊上，且，問(wèn)是否存在以，，為邊的三