2024年福建省福州市倉山區(qū)福州江南水都中學(xué)中考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷

2024年福建省福州市倉山區(qū)福州江南水都中學(xué)中考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。1．（4分）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）地球是人與自然共同生存的家園，在這個(gè)家園中，還住著許多常常被人們忽略的微小生命．在冰島海岸的黃鐵礦粘液池中的古菌身上，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了基因片段，并提取出了最小的生命體，它的直徑僅為0.0000002米．將數(shù)字0.0000002用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2×10﹣7 B．2×10﹣8 C．2×10﹣9 D．20×10﹣83．（4分）如果a＝（﹣2024）0，b＝（﹣2022）﹣1，c＝（﹣2）2024．則a，b，c三數(shù)的大小關(guān)系是（）A．c＞a＞b B．a(chǎn)＞b＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a4．（4分）下列運(yùn)算正確的是（）A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y(tǒng)5 C．x2?x2＝2x2 D．x6÷x2＝x35．（4分）某班體育委員統(tǒng)計(jì)了全班45名同學(xué)一周的體育鍛煉時(shí)間，并繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則在體育鍛煉時(shí)間這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．18，18 B．9，9 C．9，10 D．18，96．（4分）如圖，直線a∥b，直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（）A．45° B．55° C．65° D．75°7．（4分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，若∠ABD＝62°，則∠BCD＝（）A．31° B．56° C．28° D．52°8．（4分）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（）A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝369．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)，作直線PQ交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接CD．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．直線PQ是AC的垂直平分線 B．CD＝AB C．DE＝BC D．S△ADE：S四邊形DBCE＝1：410．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a是常數(shù)，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，B都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．m＞2二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為．12．（4分）有五張看上去無差別的卡片，正面分別寫著，，﹣0.5，π，0．背面朝上混合后隨機(jī)抽取一張，取出的卡片正面的數(shù)字是無理數(shù)的概率是．13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為．14．（4分）如圖1，筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車盛水筒的運(yùn)行軌跡是以O(shè)為圓心的一個(gè)圓，可簡(jiǎn)化為圖2．若⊙O被水面所截的弦長(zhǎng)AB＝8米，⊙O的半徑為5米，則筒車最低點(diǎn)距水面米．15．（4分）兩個(gè)函數(shù)y＝ax+b和y＝（abc≠0）的圖象如圖所示，請(qǐng)直接寫出關(guān)于x的不等式ax+b＞的解集．16．（4分）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)且BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為．三、解答題：本題共9小題，共86分。17．（8分）計(jì)算：．18．（8分）如圖，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求證：∠1＝∠2．19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．20．（8分）首屆楚文化節(jié)在荊州舉辦前，主辦方為使參與服務(wù)的志愿者隊(duì)伍整齊，隨機(jī)抽取了部分志愿者，對(duì)其身高進(jìn)行調(diào)查，將身高（單位：cm）數(shù)據(jù)分A，B，C，D，E五組制成了如圖的統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）．根據(jù)以上信息回答：（1）這次被調(diào)查身高的志愿者有人，表中的m＝，扇形統(tǒng)計(jì)圖中α的度數(shù)是；（2）若E組的4人中，男女各有2人，以抽簽方式從中隨機(jī)抽取兩人擔(dān)任組長(zhǎng)．請(qǐng)列表或畫樹狀圖，求剛好抽中兩名女志愿者的概率．組別身高分組人數(shù)A155≤x＜1603B160≤x＜1652C165≤x＜170mD170≤x＜1755E175≤x＜180421．（8分）在我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日清明節(jié)期間，學(xué)校將組織200名師生去革命烈士陵園掃墓．請(qǐng)你認(rèn)真閱讀如圖對(duì)話，解決實(shí)際問題．根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，求每輛甲、乙種客車各有多少個(gè)座位．22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC為直徑的⊙O交AC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：∠DCE＝∠DBC；（2）若AB＝2，CE＝3，求⊙O的半徑．23．（10分）在課題學(xué)習(xí)《如何設(shè)計(jì)遮陽棚》中，計(jì)劃在移門上方安裝一個(gè)可伸縮的遮陽棚（如圖1），其中AC為移門的高度，B為遮陽棚固定點(diǎn)，BD為遮陽棚的寬度（可變動(dòng)）AB＝50cm，AC＝210cm，∠CBD＝80°．小丁所在小組負(fù)責(zé)探究“移門在正午完全透光時(shí)太陽高度角與遮陽棚寬度的關(guān)系”，查閱得到如下信息：太陽高度角是指太陽光線與地平面的夾角；該地區(qū)冬至日正午的太陽高度角a最?。s35°）；夏至日正午的太陽高度角a最大（約80°）．請(qǐng)你協(xié)助該小組，完成以下任務(wù)：【任務(wù)1】如圖2，在冬至日正午時(shí)要使太陽光完全透過移門，BD應(yīng)該不超過多少長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1cm）．【任務(wù)2】如圖3，有一小桌子在移門的正前方，桌子最外端E到移門的距離為180cm，桌子高度MN＝80cm．若要求在夏至日正午時(shí)太陽光恰好照射不到桌面，則BD應(yīng)該多長(zhǎng)？（結(jié)果精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，）．24．（12分）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖1，正方形紙片ABCD和EFGB有公共頂點(diǎn)B，其中，BE＝4，將正方形EBGF繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α．觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖2，當(dāng)α＜90°時(shí)，連接AE，CG，小組成員發(fā)現(xiàn)AE與CG存在一定的關(guān)系，其數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．探索研究：（2）當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出圖形，并直接寫出此時(shí)DE的長(zhǎng)度．拓展延伸：（3）猜想圖3中CF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明．25．（14分）拋物線y＝﹣ax2+3ax+4a（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B，CD平行于x軸交拋物線于另一點(diǎn)D，點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MD，過點(diǎn)M作MK⊥MD交y于點(diǎn)K（點(diǎn)K在線段OC上，不與點(diǎn)O重合），（1）求A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)（D點(diǎn)坐標(biāo)用含a的式子表示）．（2）若點(diǎn)K的坐標(biāo)為，則線段OB存在唯一一點(diǎn)M，①求拋物線的解析式②如圖2，連接BC，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，連接CP，是否存在點(diǎn)P使△PCQ中某個(gè)角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案與試題解析一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。1．（4分）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、C、D不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B是中心對(duì)稱圖形，符合題意．故選：B．2．（4分）地球是人與自然共同生存的家園，在這個(gè)家園中，還住著許多常常被人們忽略的微小生命．在冰島海岸的黃鐵礦粘液池中的古菌身上，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了基因片段，并提取出了最小的生命體，它的直徑僅為0.0000002米．將數(shù)字0.0000002用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2×10﹣7 B．2×10﹣8 C．2×10﹣9 D．20×10﹣8【解答】解：0.0000002＝2×10﹣7．故選：A．3．（4分）如果a＝（﹣2024）0，b＝（﹣2022）﹣1，c＝（﹣2）2024．則a，b，c三數(shù)的大小關(guān)系是（）A．c＞a＞b B．a(chǎn)＞b＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵a＝（﹣2024）0＝1，，c＝（﹣2）2024＝22022，且，∴c＞a＞b．故選：A．4．（4分）下列運(yùn)算正確的是（）A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y(tǒng)5 C．x2?x2＝2x2 D．x6÷x2＝x3【解答】解：A．（3xy）2＝9x2y2，故此選項(xiàng)符合題意；B．（y3）2＝y(tǒng)6，故此選項(xiàng)不合題意；C．x2?x2＝x4，故此選項(xiàng)不合題意；D．x6÷x2＝x4，故此選項(xiàng)不合題意．故選：A．5．（4分）某班體育委員統(tǒng)計(jì)了全班45名同學(xué)一周的體育鍛煉時(shí)間，并繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則在體育鍛煉時(shí)間這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．18，18 B．9，9 C．9，10 D．18，9【解答】解：由圖可知，鍛煉9小時(shí)的有18人，所以9在這組數(shù)中出現(xiàn)18次為最多，所以眾數(shù)是9．把數(shù)據(jù)從小到大排列，中位數(shù)是第23位數(shù)，第23位是9，所以中位數(shù)是9．故選：B．6．（4分）如圖，直線a∥b，直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（）A．45° B．55° C．65° D．75°【解答】解：如圖：∵∠ACB＝90°，∠1＝35°，∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠ACB＝55°，∵a∥b，∴∠3＝∠2＝55°，故選：B．7．（4分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，若∠ABD＝62°，則∠BCD＝（）A．31° B．56° C．28° D．52°【解答】解：如圖，連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝62°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝28°，∴∠BCD＝∠BAD＝28°，故選：C．8．（4分）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（）A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36【解答】解：由題意得：1+x+x（1+x）＝36，故選：C．9．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)，作直線PQ交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接CD．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．直線PQ是AC的垂直平分線 B．CD＝AB C．DE＝BC D．S△ADE：S四邊形DBCE＝1：4【解答】解：由作圖可知PQ垂直平分線段AC，故選項(xiàng)A正確，∴DA＝DC，AE＝EC，∴∠A＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠B＝∠DCB，∴DB＝DC，∴AD＝DB，∴CD＝AB，故選項(xiàng)B正確，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，故選項(xiàng)C正確，據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到DE∥BC，進(jìn)而證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到面積比S△ADE：S△ABC＝1：4；故選：D．10．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a是常數(shù)，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，B都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．m＞2【解答】解：∵a＜0，∴y＝﹣3a＞0，∵A（m，y1）和B（2m，y2）兩點(diǎn)都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，∴4am2﹣8am＞﹣3a，∴4m2﹣8m+3＜0，∴＜m＜①，∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a是常數(shù)，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點(diǎn)．∴am2﹣4am＞4am2﹣8am，∴3am2＜4am，∵a＜0，m＞0，∴am＜0，∴m＞②，由①②得＜m＜．故選：C．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為x≠3．【解答】解：由題意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案為：x≠3．12．（4分）有五張看上去無差別的卡片，正面分別寫著，，﹣0.5，π，0．背面朝上混合后隨機(jī)抽取一張，取出的卡片正面的數(shù)字是無理數(shù)的概率是．【解答】解：背面朝上混合后隨機(jī)抽取一張有5種等可能結(jié)果，其中取出的卡片正面的數(shù)字是無理數(shù)的有1種結(jié)果，所以取出的卡片正面的數(shù)字是無理數(shù)的概率是，故答案為：．13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為4．【解答】解：Δ＝16﹣4m＝0，∴m＝4．故答案為：4．14．（4分）如圖1，筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車盛水筒的運(yùn)行軌跡是以O(shè)為圓心的一個(gè)圓，可簡(jiǎn)化為圖2．若⊙O被水面所截的弦長(zhǎng)AB＝8米，⊙O的半徑為5米，則筒車最低點(diǎn)距水面2米．【解答】解：過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，并延長(zhǎng)OC與⊙O相交于點(diǎn)D，連接OA，∴點(diǎn)D為筒車最低點(diǎn)，筒車最低點(diǎn)距水面的距離為CD的長(zhǎng)，∵AB＝8米，OC⊥AB，∴（米），又∵⊙O的半徑為5米，即OA＝5米，∴（米），又∵OD＝5米，∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（米），∴筒車最低點(diǎn)距水面2米．故答案為：2．15．（4分）兩個(gè)函數(shù)y＝ax+b和y＝（abc≠0）的圖象如圖所示，請(qǐng)直接寫出關(guān)于x的不等式ax+b＞的解集﹣3＜x＜0或x＞1．【解答】解：當(dāng)﹣3＜x＜0或x＞1時(shí)，ax+b＞，所以關(guān)于x的不等式ax+b＞的解集為﹣3＜x＜0或x＞1．故答案為﹣3＜x＜0或x＞1．16．（4分）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)且BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為．【解答】解：在x軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)N（﹣3，0），連接NC，∵點(diǎn)A坐標(biāo)（3，0），點(diǎn)N坐標(biāo)（﹣3，0），∴點(diǎn)O為NA中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M為AC中點(diǎn)，∴OM是△ANC的中位線，∴OM＝．∵BC＝2，∴點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，2為半徑的圓上．當(dāng)點(diǎn)C在NB延長(zhǎng)線與⊙B的交點(diǎn)處時(shí)，NC取得最大值，在Rt△BNO中，NB＝，∴NC的最大值為，∴OM的最大值為．故答案為：．三、解答題：本題共9小題，共86分。17．（8分）計(jì)算：．【解答】解：原式＝＝﹣1+﹣1﹣1＝﹣3．18．（8分）如圖，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求證：∠1＝∠2．【解答】證明：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SSS），∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠1＝∠2．19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【解答】解：＝＝＝，當(dāng)時(shí)，原式＝．20．（8分）首屆楚文化節(jié)在荊州舉辦前，主辦方為使參與服務(wù)的志愿者隊(duì)伍整齊，隨機(jī)抽取了部分志愿者，對(duì)其身高進(jìn)行調(diào)查，將身高（單位：cm）數(shù)據(jù)分A，B，C，D，E五組制成了如圖的統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）．根據(jù)以上信息回答：（1）這次被調(diào)查身高的志愿者有20人，表中的m＝6，扇形統(tǒng)計(jì)圖中α的度數(shù)是54°；（2）若E組的4人中，男女各有2人，以抽簽方式從中隨機(jī)抽取兩人擔(dān)任組長(zhǎng)．請(qǐng)列表或畫樹狀圖，求剛好抽中兩名女志愿者的概率．組別身高分組人數(shù)A155≤x＜1603B160≤x＜1652C165≤x＜170mD170≤x＜1755E175≤x＜1804【解答】解：（1）由題意得，×100%＝30%，解得m＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝6是原方程的解且符合題意，∴這次被調(diào)查身高的志愿者有3+2+6+5+4＝20（人）．扇形統(tǒng)計(jì)圖中α的度數(shù)是360°×＝54°．故答案為：20；6；54°．（2）列表如下：男男女女男（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，男）（女，女）女（女，男）（女，男）（女，女）共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽中兩名女志愿者的結(jié)果有2種，∴剛好抽中兩名女志愿者的概率為＝．21．（8分）在我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日清明節(jié)期間，學(xué)校將組織200名師生去革命烈士陵園掃墓．請(qǐng)你認(rèn)真閱讀如圖對(duì)話，解決實(shí)際問題．根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，求每輛甲、乙種客車各有多少個(gè)座位．【解答】解：設(shè)甲種客車每輛有x個(gè)座位，則乙種客車每輛有（x+5）個(gè)座位，可得：，解得：x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝50是原方程的解，且符合題意；∴x+5＝55，答：甲、乙兩種客車每輛各有50、55個(gè)座位．22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC為直徑的⊙O交AC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：∠DCE＝∠DBC；（2）若AB＝2，CE＝3，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：∵BC為⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°．∵CE為⊙O的切線，∴CE⊥BC，∴∠BCE＝90°．∵∠DCE+∠BCD＝90°，∠DBC+∠BCD＝90°，∴∠DCE＝∠DBC；（2）解：∵∠ABC+∠BCE＝90°+90°＝180°，∴AB∥CE，∴∠A＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，在Rt△ABC中，tanA＝＝，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝＝，即＝，∴BC2＝2×3＝6，∴BC＝，∴⊙O的半徑為．23．（10分）在課題學(xué)習(xí)《如何設(shè)計(jì)遮陽棚》中，計(jì)劃在移門上方安裝一個(gè)可伸縮的遮陽棚（如圖1），其中AC為移門的高度，B為遮陽棚固定點(diǎn)，BD為遮陽棚的寬度（可變動(dòng)）AB＝50cm，AC＝210cm，∠CBD＝80°．小丁所在小組負(fù)責(zé)探究“移門在正午完全透光時(shí)太陽高度角與遮陽棚寬度的關(guān)系”，查閱得到如下信息：太陽高度角是指太陽光線與地平面的夾角；該地區(qū)冬至日正午的太陽高度角a最?。s35°）；夏至日正午的太陽高度角a最大（約80°）．請(qǐng)你協(xié)助該小組，完成以下任務(wù)：【任務(wù)1】如圖2，在冬至日正午時(shí)要使太陽光完全透過移門，BD應(yīng)該不超過多少長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1cm）．【任務(wù)2】如圖3，有一小桌子在移門的正前方，桌子最外端E到移門的距離為180cm，桌子高度MN＝80cm．若要求在夏至日正午時(shí)太陽光恰好照射不到桌面，則BD應(yīng)該多長(zhǎng)？（結(jié)果精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，）．【解答】解：任務(wù)1：在冬至日正午時(shí)要使太陽光完全透過移門，α＝35°，設(shè)BD＝x，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，如圖，∵∠CBD＝80°，∴∠EBD＝10°，在Rt△BED中，，，∴BE＝0.17x，DE＝0.98x，又∵α＝35°，∴∠DAE＝55°，在Rt△AED中，，∴，又∵AB＝50cm，∴，解得x≈58.5，答：BD應(yīng)該不超過58.5cm；任務(wù)2：如圖，作EF⊥BC于點(diǎn)F，連接BE，過點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G，設(shè)BD＝acm，則EF＝180cm，F(xiàn)C＝MN＝80cm，BF＝210+50﹣80＝180cm＝EF，∴△BEF是等腰直角三角形，則∠FBE＝∠FEB＝45°，，∵∠FEH＝α＝80°，則∠FED＝100°，∴∠BDE＝360°﹣100°﹣90°﹣80°＝90°，∠DEG＝100°﹣45°＝55°，∠DBG＝80°﹣45°＝35°，∠BDG＝90°﹣35°＝55°，在Rt△BGD中，，，∴BG＝0.82a，DG＝0.57a，在Rt△EDG中，，∴GE＝，又∵，∴0.82a+＝180，解得a≈208，答：BD長(zhǎng)約為208cm．24．（12分）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖1，正方形紙片ABCD和EFGB有公共頂點(diǎn)B，其中，BE＝4，將正方形EBGF繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α．觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖2，當(dāng)α＜90°時(shí)，連接AE，CG，小組成員發(fā)現(xiàn)AE與CG存在一定的關(guān)系，其數(shù)量關(guān)系是AE＝CG，位置關(guān)系是AE⊥CG．探索研究：（2）當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出圖形，并直接寫出此時(shí)DE的長(zhǎng)度．拓展延伸：（3）猜想圖3中CF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明．【解答】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)AE，交CG于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)O，在正方形紙片ABCD和EFGB中，∠ABC＝∠EBG＝90°，AB＝CB，BE＝BG，∴∠ABC﹣∠CBE＝∠EBG﹣∠CBE，∴∠ABE＝∠CBG，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴AE＝CG，∠BAE＝∠BCG，∴∠ABE+∠AOB＝∠BCG+∠AOB＝90°，∵∠COH＝∠AOB，∴∠BCG+∠COH＝90°，∴∠CHA＝90°，∴AE⊥CG，故答案為：AE＝CG，AE⊥CG；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AF上時(shí)，∵四邊形EFGB是正方形，∴∠FEB＝90°，∴∠AEB＝90°，作EM⊥AB于M，作EN⊥AD于N，∴∠AME＝∠BEM＝∠ANE＝∠AFB＝90°，∴四邊形AMEN是矩形，∵cos∠ABE＝，∴，∴BM＝，∴EM＝＝，∴AM＝AB﹣BM＝4，AN＝EM＝，∴DN＝AD﹣AN＝4＝，∴DE＝＝4，如圖3，當(dāng)E在AF的延長(zhǎng)線上時(shí)，由上知：EM＝，EN＝，∴DN＝AD+AN＝4+＝，∴DE＝＝4，綜上所述：DE＝4或4；（3）如圖2和圖3中，AE＝，由（1）得CG＝AE＝8，∴圖2中，CF＝FG，圖3中，C