高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講22雙曲線焦點(diǎn)三角形的十大應(yīng)用

雙曲線焦點(diǎn)三角形的十大應(yīng)用一．基本原理本節(jié)中約定已知雙曲線方程為如圖，頂點(diǎn)在第一象限，對(duì)于雙曲線焦點(diǎn)三角形，有以下結(jié)論：1.如圖，、是雙曲線的焦點(diǎn)，設(shè)P為雙曲線上隨意一點(diǎn)，記，則的面積.證明：由余弦定理可知．由雙曲線定義知||，可得所以則．2.如圖，有，3.離心率.4.若，則有.5.若，則有.6.焦半徑公式：如圖，對(duì)于雙曲線，，對(duì)雙曲線，其焦半徑的范圍為.7.雙曲線中，焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心的軌跡方程為.證明：設(shè)內(nèi)切圓與的切點(diǎn)分別為，則由切線長(zhǎng)定理可得,因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a.8.如圖，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，的左右焦點(diǎn)記為，則為平行四邊形.結(jié)論9.已知具有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的離心率分別為是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，則有.證明：依題意，在中，由余弦定理得，所以，即.結(jié)論10.如圖，過(guò)焦點(diǎn)的弦的長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為.二．典例分析例1．已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，在雙曲線上，若的面積是1，則的值是__________．解析：由雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式得：，所以，即．所以，從而．例2．已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則（）A．2B．4C．6D．8解析：由雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式得：所以．故選B．例3已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．解析：由題意知，且，即，所以，解得，故選A．例4.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在C上，且，則的面積為_(kāi)_______.解析：由焦點(diǎn)三角形面積公式，.例5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在C上，且，則的面積為_(kāi)_______.解析：記，則，所以，由知，所以，從而，故.例6.已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線C右支上的一點(diǎn)，，則________.解析：由焦點(diǎn)三角形面積公式，，又，所以，故，由雙曲線定義，，解得：.例7.（1）雙曲線,過(guò)焦點(diǎn)的直線與該雙曲線的同一支交于、兩點(diǎn),且，另一焦點(diǎn)為,則的周長(zhǎng)為（）

A.

B.C.D.（2）設(shè)與是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上,且滿意,則的面積是（）A.1B.C.2D.例8．如圖所示，已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，滿意，且，則雙曲線的離心率是__________.解析：由條件可得，，，則，，，所以在中，，即，即，則，所以雙曲線的離心率為：.故答案為：.例9．如圖所示,已知雙曲線:的右焦點(diǎn)為,雙曲線的右支上一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,滿意,且,則雙曲線的離心率是______.解析：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,連接,,依據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，由題意以及雙曲線定義，可得,則,,,所以,即,即，所以雙曲線的離心率為:.故答案為：.例10．如圖，，是雙曲線上的兩點(diǎn)，是雙曲線的右焦點(diǎn).是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn).若，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.解析：設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，依題意：是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可知：四邊形是矩形，所以，設(shè)，則，，由，即，整理得，.故答案為：例11．已知有相同焦點(diǎn)、的橢圓和雙曲線交于點(diǎn)，，橢圓和雙曲線的離心率分別是、，那么__________（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）．解析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半周長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，它們的半焦距都為，并設(shè)，依據(jù)橢圓的定義和雙曲線的定義可得，在中，由余弦定理得，即在中，由余弦定理得，即又由,兩式相加，則，又由，所以，所以，即.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線上的一點(diǎn)P滿意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)______.解析：由題意，，，，，由焦半徑公式，，，因?yàn)?，所以，解得：或（舍去）代入雙曲線的方程可求得，所以P的坐標(biāo)為.例13.已知橢圓，雙曲線，，為的焦點(diǎn)，為和的交點(diǎn)，若△的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為1，和的離心率之積為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6解析：不妨