2024八年級數(shù)學(xué)下冊專題突破第09講特殊平行四邊形中的折疊問題含解析新版浙教版

Page26第9講特殊四邊形中的折疊問題專題訓(xùn)練類型一折疊與角度1．如圖，將矩形紙片沿EF折疊，點C在線段BC上，∠AEC＝32°，則∠BFD等于（）A．28° B．32° C．34° D．36°【分析】依據(jù)矩形紙片沿EF折疊，可得∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，然后依據(jù)直角三角形兩個銳角互余可得∠AEC＝∠DCB，再由對頂角相等，即可解決問題．【解答】解：∵矩形紙片沿EF折疊，∴∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，∴∠AEC+∠ACE＝∠ACE+∠DCB＝90°，∴∠AEC＝∠DCB，∴∠AEC＝∠BFD，∵∠AEC＝32°，∴∠BFD＝32°，故選：B．2．如圖，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點，將△ABE沿AE折疊至△ABE處，BE與AC交于點F，若∠EFC＝69°，則∠CAE的大小為（）A．10° B．12° C．14° D．15°【分析】利用正方形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)很簡潔求出∠CAE的大?。窘獯稹拷猓骸摺螮FC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折疊的性質(zhì)可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故選：B．3．如圖，在?ABCD中，E為邊CD上一點，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點F．若∠B＝50°，∠DAE＝20°，則∠FED′的大小為度．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠D＝∠B＝50°，由折疊的性質(zhì)得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠AEF＝70°，與三角形內(nèi)角和定理求出∠AED′＝110°，即可得出∠FED′的大?。窘獯稹拷猓骸咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴∠D＝∠B＝50°，由折疊的性質(zhì)得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝110°，∴∠FED′＝110°﹣70°＝40°；故答案為：40．4．如圖（1）是長方形紙帶，∠DEF＝20°，將紙帶沿EF折疊圖（2），則∠FGD的度數(shù)是，再沿BF折疊成圖（3），則圖（3）中的∠CFE的度數(shù)是．【分析】依據(jù)圖形的翻折變換依據(jù)平行線性質(zhì)即可求解．【解答】解：依據(jù)折疊可知：∠FGD＝2∠FEG＝40°．∵AD∥BC∴∠EFG＝∠DEF＝20°∴∠CFE＝180°﹣20°﹣40°＝120°故答案為40°、120°．5．如圖，菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，點P是AB邊的中點，折疊紙片，使點C落在直線DP上的C處，折痕為經(jīng)過點D的線段DE．則∠DEC的度數(shù)為．【分析】連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A＝60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，進而求出∠PDC＝90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)．【解答】解：連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，∠C＝∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC＝120°，∵P為AB的中點，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折疊的性質(zhì)得：∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故答案為：75°．類型二折疊與長度6．如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為MN，則線段CN長是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】依據(jù)折疊的性質(zhì)，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若設(shè)CN＝x，則DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，依據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長．【解答】解：設(shè)CN＝xcm，則DN＝（8﹣x）cm，由折疊的性質(zhì)知EN＝DN＝（8﹣x）cm，而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2，整理得16x＝48，所以x＝3．故選：A．7．如圖，將?ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D′處，折痕l交CD邊于點E，連接BE．若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，則AE＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠EAB+∠EBA＝90°，再結(jié)合勾股定理得出答案．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA＝180°，∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AB2＝AE2+BE2，∴AE＝＝3．故選：B．8．如圖，點F是矩形ABCD邊CD上一點，將矩形沿AF折疊，點D正好落在BC邊上的點E處，若AB＝6，BC＝10，則EF的長為（）A．2 B．3 C． D．4【分析】由折疊的性質(zhì)得出AE＝AD＝10，EF＝DF，依據(jù)勾股定理求出BE＝8，設(shè)EF＝x，則CF＝6﹣x，得出x2＝22+（6﹣x）2，解方程即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°；由翻折變換的性質(zhì)得：AE＝AD＝10，EF＝DF，∵BE2＝AE2﹣AB2，∴BE＝＝8，∴CE＝2，設(shè)EF＝x，則CF＝6﹣x；在Rt△EFC中，∵EF2＝CE2+CF2∴x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，即EF＝．故選：C．9．如圖，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，點D的對應(yīng)點為D′，若D′落在∠ABC的平分線上時，DE的長為（）A．3或4 B．或 C．或 D．或【分析】連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點M，CD于點N，作D′P⊥BC交BC于點P，先利用勾股定理求出MD′，再分兩種狀況利用勾股定理求出DE．【解答】解：如圖，連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點M，CD于點N，作D′P⊥BC交BC于點P∵點D的對應(yīng)點D′落在∠ABC的角平分線上，∴MD′＝PD′，設(shè)MD′＝x，則PD′＝BM＝x，∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，又折疊圖形可得AD＝AD′＝5，∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝3或4，即MD′＝3或4．在Rt△END′中，設(shè)ED′＝a，①當MD′＝3時，AM＝7﹣3＝4，D′N＝5﹣3＝2，EN＝4﹣a，∴a2＝22+（4﹣a）2，解得a＝，即DE＝，②當MD′＝4時，AM＝7﹣4＝3，D′N＝5﹣4＝1，EN＝3﹣a，∴a2＝12+（3﹣a）2，解得a＝，即DE＝．故選：B．10．如圖，已知在矩形ABCD中，M是AD邊中點，將矩形分別沿MN、MC折疊，A、D兩點剛好落在點E處，已知AN＝3，MN＝5，設(shè)BN＝x，則x的值為（）A． B． C． D．【分析】求出AM＝4，由折疊的性質(zhì)得出AN＝NE＝3，CE＝CD，由勾股定理得出x2+82＝（x+6）2，解方程即可得解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∵AN＝3，MN＝5，∴AM＝＝＝4，∵M是AD邊中點，∴AM＝DM＝4，BC＝8，∵將矩形分別沿MN、MC折疊，A、D兩點剛好落在點E處，∴AN＝NE＝3，CE＝CD，∵BN2+BC2＝CN2，∴x2+82＝（x+6）2，解得x＝．故選：B．11．如圖，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．點E為邊DC上的一個動點，△AD'E與△ADE關(guān)于直線AE對稱，當△CD'E為直角三角形時，DE的長為．【分析】分兩種狀況?分別求解，（1）當∠CED′＝90°時，如圖（1），依據(jù)軸對稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝18；（2）當∠ED′A＝90°時，如圖（2），依據(jù)軸對稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同始終線上，依據(jù)勾股定理得AC＝30，設(shè)DE＝D′E＝x，則EC＝CD﹣DE＝24﹣x，依據(jù)勾股定理得，D′E2+D′C2＝EC2，代入相關(guān)的值，計算即可．【解答】解：（1）當∠CED′＝90°時，如圖（1），∵∠CED′＝90°，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝18；（2）當∠ED′A＝90°時，如圖（2），依據(jù)軸對稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，∴A、D′、C在同始終線上，依據(jù)勾股定理得AC＝＝30，∴CD′＝30﹣18＝12，設(shè)DE＝D′E＝x，則EC＝CD﹣DE＝24﹣x，在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2，即x2+144＝（24﹣x）2，解得x＝9，即DE＝9；綜上所述：DE的長為9或18；故答案為：9或18．12．如圖，將矩形ABCD的四個角向內(nèi)折疊鋪平，恰好拼成一個無縫隙無重疊的矩形EFGH，若EH＝5，EF＝12，則矩形ABCD的面積是（）A．13 B． C．60 D．120【分析】由折疊得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，于是矩形ABCD的面積等于矩形EFGH的2倍，矩形EFGH的面積可以求出，【解答】解：如圖，由折疊得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，∴S矩形ABCD＝2S矩形EFGH＝2×EF?EH＝2×5×12＝120，故選：D．13．（雁江區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝10，E、F分別在邊BC，AD上，BE＝DF．將△ABE，△CDF分別沿著AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG分別平分∠EAD，則GH長為（）A．3 B．4 C．5 D．7【分析】如圖作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．想方法求出BN，CT即可解決問題．【解答】解：如圖作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．由題意：∠BAD＝90°，∠BAE＝∠EAG＝∠GAM，∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，∵AB＝AG＝2，∴AM＝AG?cos30°＝3，同法可得CT＝3，易知四邊形ABNM，四邊形GHTN是矩形，∴BN＝AM＝3，GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣6＝4，故選：B．14．如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝8，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F、G分別在邊AB，AD上，則EG的長為（）A． B． C．4 D．4【分析】作EM⊥AD于M，由直角三角形的性質(zhì)得出DM＝DE＝2，ME＝DM＝2，由折疊的性質(zhì)得AG＝EG，在Rt△GME中，由勾股定理得出EG2＝（8﹣EG+2）2+（2）2，解得EG＝即可．【解答】解：作EM⊥AD于M，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，AB＝8，∴CD＝AD＝AB＝8，AB∥DC，∵AB∥CD，∴∠A＝∠MDC＝60°，∵E是CD中點，∴DE＝4，∵ME⊥AD，∠DMC＝60°∴∠MED＝30°，且ME⊥AD∴DM＝DE＝2，ME＝DM＝2，由折疊的性質(zhì)得：AG＝EG，∠AFG＝∠EFG，在Rt△GME中，EG2＝GM2+ME2．∴EG2＝（8﹣EG+2）2+（2）2，解得：EG＝，故選：A．15．如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，則AF長為（）A．cm B．cm C．cm D．8cm【分析】設(shè)AF＝xcm，則DF＝（8﹣x）cm，利用矩形紙片ABCD中，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，由勾股定理求AF即可．【解答】解：設(shè)AF＝xcm，則DF＝（8﹣x）cm，∵矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，∴DF＝D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，∴x2＝62+（8﹣x）2，解得：x＝．故選：B．類型三折疊與綜合16．如圖，在?ABCD中，點E是BC邊上的動點，已知AB＝4，BC＝5，∠BAD＝135°，現(xiàn)將△ABE沿AE折疊，點B'是點B的對應(yīng)點，設(shè)CE的長為x．若點B'落在△ADE內(nèi)（包括邊界），則x的取值范圍是．【分析】點B′恰好落在AD邊上時，四邊形ABEB′是邊長為4的菱形，求出CE＝1；點B′恰好落在DE邊上時，作AH⊥DE于H．解直角三角形求出AH、HB′、DH，再證明DA＝DE＝5，求出EB′即可解決問題．【解答】解：點B′恰好落在AD邊上時，四邊形ABEB′是邊長為4的菱形，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．點B′恰好落在DE邊上時，作AH⊥DE于H．如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD＝135°，AD＝BC＝5，AD∥BC，∴∠B＝45°，由折疊的性質(zhì)得：∠AB'H＝∠B＝45°，AB'＝AB＝4，∠AEB＝∠AED，在Rt△AHB′中，∵∠AB′H＝45°，AB′＝4，∴HB′＝AH＝AB'＝2，在Rt△ADH中，DH＝＝＝，∴B'D＝DH﹣HB'＝﹣2，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝∠AED，∴DA＝DE＝5，∴EB′＝BE＝DE﹣B'D＝5﹣（﹣2）＝5﹣+2，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣（5﹣+2）＝﹣2，∴若點B′落在△ADE內(nèi)（包括邊界），則x的取值范圍是1≤x≤﹣2，故答案為：1≤x≤﹣2．17．如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線折疊，設(shè)重疊部分為△EBD，那么下列說法錯誤的是（）A．EB＝ED B．折疊后∠ABE和∠CBD確定相等 C．AE＝EC D．△EBA和△EDC確定是全等三角形【分析】由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠ADB＝∠CBD，可得BE＝DE，可證AE＝CE，由“SAS”可證△ABE≌△CDE，即可求解．【解答】解：如圖，∵把矩形紙片ABC'D沿對角線折疊，∴∠CBD＝∠DBC'，CD＝C'D＝AB，BC＝BC'，∵AD∥BC'，∴∠ADB＝∠DBC'，∴∠ADB＝∠CBD，∴BE＝DE，∴AE＝CE，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE（SAS），∴選項A、C、D都不符合題意，故選：B．18．如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，BE＝4，EC＝8，將正方形邊AB沿AE折疊到AF，延長EF交DC于G，連接AG，現(xiàn)在有如下四個結(jié)論：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中結(jié)論正確的序號是．【分析】①正確．證明∠GAF＝∠GAD，∠EAB＝∠EAF即可．②錯誤．可以證明DG＝GC＝FG，明顯△GFC不是等邊三角形，可得結(jié)論．③正確．證明CF⊥DF，AG⊥DF即可．④錯誤．證明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面積即可．【解答】解：如圖，連接DF．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，設(shè)GD＝GF＝x，∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正確，在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，∴x＝6，∵CD＝BC＝BE+EC＝12，∴DG＝CG＝6，∴FG＝GC，∵FG＞EF，∴F不是EG的中點，∴FG≠FC，故②錯誤，∵GF＝GD＝GC，∴∠DFC＝90°，∴CF⊥DF，∵AD＝AF，GD＝GF，∴AG⊥DF，∴CF∥AG，故③正確，∵S△ECG＝×6×8＝24，F(xiàn)G：FE＝6：4＝3：2，∴FG：EG＝3：5，∴S△GFC＝×24＝，故④錯誤，故答案為：①③．19．如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；③EC平分∠DCH；④當點H與點A重合時，EF＝2以上結(jié)論中，你認為正確的有．（填序號）【分析】①先推斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再依據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF＝FH，然后依據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，推斷出①正確；②點H與點A重合時，設(shè)BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點G與點D重合時，CF＝CD，求出BF＝4，然后寫出BF的取值范圍，推斷出②正確；③依據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°時EC平分∠DCH，推斷出③錯誤；④過點F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，推斷出④正確．【解答】解：①∵FH與EG，EH與CF都是原來矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四邊形CFHE是平行四邊形，由翻折的性質(zhì)得，CF＝FH，∴四邊形CFHE是菱形，故①正確；②點H與點A重合時，設(shè)BF＝x，則AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，點G與點D重合時，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，故②正確；③∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°時EC平分∠DCH，故③錯誤；過點F作FM⊥AD于M，則ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF＝＝2，故④正確．綜上所述，結(jié)論正確的有①②④．故答案為：①②④．20．如圖，正方形ABCD的邊長AB＝12，翻折AD到GN分別交CD于點M，交BC于點N，BN＝5，連接AN．（1）求△AEN的面積；（2）試推斷EF與AN的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得NE＝AE，設(shè)NE＝AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝12﹣x，在Rt△EBN中，由勾股定理得出方程，得出AE＝，由三角形面積公式即可得出答案；（2）作FH⊥AB于H，則FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，由折疊的性質(zhì)得出EF⊥AN，證明△EFH≌△NAB（ASA），得出EF＝AN即可．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，由折疊的性質(zhì)得：NE＝AE，設(shè)NE＝AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝12﹣x，在Rt△EBN中，由勾股定理得：52+（12﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AE＝，∴△AEN的面積＝AE×BN＝××5＝；（2）EF⊥AN，EF＝AN，理由如下：作FH⊥AB于H，如圖所示：則FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，由折疊的性質(zhì)得：EF⊥AN，∴∠NAB+∠FEH＝90°，∴∠EFH＝∠NAB，在△EFH和△NAB中，，∴△EFH≌△NAB（ASA），∴EF＝AN．21．如圖，在?ABCD中，將△ADC沿AC折疊后，點D恰好落在DC的延長線上的點E處，若∠B＝60°，AB＝3，求：（1）△ADE的周長；（2）△ACO的面積．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得∠ACD＝∠ACE＝90°，AD＝AE，CD＝CE，由平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC，AB＝CD＝3＝CE，∠B＝∠D＝60°，AB∥CD，由直角三角形的性質(zhì)可求AD＝2CD＝6，即可求解；（2）由勾股定理可求AC的長，可證四邊形ABEC是平行四邊形，可得AO＝OE，可得S△ACO＝S△ACE＝××3×3＝．【解答】解：（1）∵將△ADC沿AC折疊∴∠ACD＝∠ACE＝90°，AD＝AE，CD＝CE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝CD＝3＝CE，∠B＝∠D＝60°，AB∥CD，∴AD＝2CD＝6＝AE，∴△ADE的周長＝AD+AE+CE+CD＝6+6+3+3＝18；（2）∵AD＝6，CD＝3，∴AC＝＝＝3∵AB∥CE，AB＝CE＝CD，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴AO＝OE，∴S△ACO＝S△ACE＝××3×3＝．22．綜合與實踐：學(xué)習(xí)完了矩形后，愛好小組的同學(xué)們在一起共同探討矩形的折疊．如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點B落在AC上的點M處，將邊CD沿CF折疊，使點D落在AC上的點N處．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AB＝6，AC＝10，求四邊形AECF的面積．【分析】（1）依據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到AF∥CE，AE∥CF，即可得到四邊形AECF是平行四邊形；（2）設(shè)CE＝x，則EM＝BE＝8﹣x，CM＝10﹣6＝4，利用勾股定理即可得到CE的長，進而得出四邊形AECF的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠BAC＝∠DCA，由折疊的性質(zhì)知，∠EAC＝∠BAC，∠FCA＝∠DCA，∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF，又∵AD∥BC，∴四邊形AECF為平行四邊形；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，由勾股定理得，BC＝＝8，由折疊的性質(zhì)知，∠ABC＝∠AME＝90°，BE＝EM，在Rt△CEM中，CM＝AC﹣AM＝10﹣6＝4，設(shè)CE＝x，則BE＝EM＝8﹣x，由勾股定理得，ME2+CM2＝EC2，即（8﹣x）2+16＝x2，解得x＝5，∵由（1）得，四邊形AECF為平行四邊形，∴S四邊形AECF＝EC?CD＝5×6＝30．23．將一個矩形紙片OABC放置在平面直角坐標系中，點O（0，0），點A（0，2），點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上．沿著OE折疊該紙片，使得點A落在OC邊上，對應(yīng)點為A'，如圖①．再沿OF折疊，這時點E恰好與點C重合，如圖②．（Ⅰ）求點C的坐標；（Ⅱ）將該矩形紙片綻開，再折疊該矩形紙片，使點O與點F重合，折痕與AB相交于點P，綻開矩形紙片，如圖③．①求∠OPF的大小；②點M，N分別為OF，OE上的動點，當PM+MN取得最小值時，求點N的坐標（干脆寫出結(jié)果即可）．【分析】（Ⅰ）先由折疊的性質(zhì)得OA'＝OA＝2，OC＝OE，再證四邊形OA'EA是正方形，得OA'＝A'E＝2，然后由勾股定理得OE＝2，即可求解；（Ⅱ）①連接EF，由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，再證△EBF是等腰直角三角形，得BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，設(shè)AP＝x，則PB＝2﹣x，然后由勾股定理得出方程，解得：x＝2﹣2，最終證Rt△POA≌Rt△FPB（HL），得∠POA＝∠FPB，進而得出結(jié)論；②作點N關(guān)于OF的對稱點N′，過點N作NG⊥x軸于G，連接MN′，則△OGN為等腰直角三角形，當P、M、N′三點共線時，PM+MN有最小值，此時∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，再求出OG＝NG＝ON＝2﹣，即可解決問題．【解答】解：（Ⅰ）∵點A（0，2），∴OA＝2，由折疊的性質(zhì)得：OA'＝OA＝2，OC＝OE，∵四邊形OABC是矩形，∴四邊形OA'EA是正方形，∴OA'＝A'E＝2，在Rt△OA'E中，由勾股定理得：OE＝＝＝2，∴點C的坐標為：（2，0）；（Ⅱ）①連接EF，如圖③所示：由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，由折疊的性質(zhì)得：∠OEF＝∠OCF＝90°，∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，設(shè)AP＝x，則PB＝2﹣x，由折疊的性質(zhì)得：PO＝PF，即PO2＝PF2，在Rt△OAP中，由勾股定理得：PO2＝OA2+AP2，在Rt△PBF中，由勾股定理得：PF2＝PB2+BF2，∴22+x2＝（2﹣x）2+（2﹣2）2，解得：x＝2﹣2，∴AP＝BF，在Rt△POA和Rt△FPB中，，∴Rt△POA≌Rt△FPB（HL），∴∠POA＝∠FPB，∵∠POA+∠APO＝90°，∴∠FPB+∠APO＝90°，∴∠OPF＝180°﹣（∠FPB+∠APO）＝90°；②由①知，AP＝2﹣2，∠EOC＝45°，作點N關(guān)于OF的對稱點N′，過點N作NG⊥x軸于G，連接MN′，如圖④所示：則△OGN為等腰直角三角形，當P、M、N′三點共線時，PM+MN有最小值，此時∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，∴四邊形APN′O為矩形，∴ON＝ON′＝AP＝2﹣2，∴OG＝NG＝ON＝×（2﹣2）＝2﹣，∴N（2﹣，2﹣）．24．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，點E從點A動身沿AB以每秒1cm的速度向點B運動，同時點D從點C動身沿CA以每秒2cm的速度向點A運動，運動時間為t秒（0＜t＜6），過點D作DF⊥BC于點F．（1）試用含t的式子表示AE、AD的長；（2）如圖①，在D、E運動的過程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請說明理由；（3）連接DE，當t為何值時，△DEF為直角三角形？（4）如圖②，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，試問當t為何值時，四邊形AEA′D為菱形？并推斷此時點A是否在BC上？請說明理由．【分析】（1）依據(jù)題意干脆表示出來即可；（2）由“在直角三角形中，30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得DF＝t，又AE＝t，則DF＝AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四邊形AEFD的對邊平行且相等”，由此得四邊形AEFD是平行四邊形；（3）①明顯∠DFE＜90°；②如圖（1），當∠EDF＝90°時，四邊形EBFD為矩形，此時AE＝AD，依據(jù)題意，列出關(guān)于t的方程，通過解方程來求t的值；③如圖（2），當∠DEF＝90°時，此時∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，此時AD＝AE，依據(jù)題意，列出關(guān)于t的方程，通過解方程來求t的值；（4）如圖（3），若四邊形AEA′D為菱形，則AE＝AD，則t＝12﹣2t，所以t＝4．即當t＝4時，四邊形AEA′D為菱形．【解答】解：（1）AE＝t，AD＝12﹣2t；（2）∵DF⊥BC，∠C＝30°∴DF＝CD＝×2t＝t∵AE＝t∴DF＝AE，∵∠ABC＝90°，DF⊥BC∴DF∥AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形；（3）①明顯∠DFE＜90°；②如圖（1），當∠EDF＝90°時，四邊形EBFD為矩形，此時AE＝AD∴∴t＝3，③如圖（2），當∠DEF＝90°時，此