2024成都中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)之第三章 微專題 二次函數(shù)綜合題 類型五~七 教學(xué)課件

二次函數(shù)綜合題微專題滿分技法(1)求作平行四邊形①三定一動：如圖①，分別過三個定點作對邊的平行線，三條所作直線的交點即為所求動點；圖①類型五特殊四邊形存在性問題(8年2考)一階

設(shè)問突破②兩定兩動：已知A，B為兩定點，a．若AB為平行四邊形的邊，如圖②，平移AB，確定另外兩點位置；b．若AB為平行四邊形的對角線，如圖③，取AB中點，作過中點的直線確定另外兩點的位置．③求點坐標(biāo)的方法：a．線段中點坐標(biāo)公式：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(x1，y1)，點B(x2，y2)，則線段AB的中點坐標(biāo)為(，

)；b．平行四邊形頂點坐標(biāo)公式：平行四邊形兩條對角線兩端點的橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之和相等．(2)求作矩形①AB為邊時：如圖④，分別過點A，B作AC1⊥AB，BC2⊥AB確定點C；圖④②AB為對角線時：如圖⑤，以AB為直徑構(gòu)造輔助圓．(3)求作菱形①AB為邊時：如圖⑥，圖⑦，以點A或點B為圓心，AB長為半徑作圓；圖⑥圖⑦圖⑤②AB為對角線時：如圖⑧，作AB的垂直平分線．(4)求作正方形①AB為邊時：如圖⑨，過點A，B分別作垂直于AB的直線；②AB為對角線時：如圖⑩，作AB的垂直平分線．圖⑨圖⑩圖⑧例

如圖，拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C.(1)如圖①，在平面內(nèi)是否存在點D，使得以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；例題圖①解：(1)存在，理由如下：令y＝－x2－2x＋3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0).令x＝0，解得y＝3，∴C(0，3).如解圖①，由作圖可知，D1D2∥AB，∴點D1，D2的縱坐標(biāo)都為3.∵以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，∴CD1＝CD2＝AB＝1－(－3)＝4，∴D1(－4，3)，D2(4，3)，由中點坐標(biāo)公式可得D3橫坐標(biāo)為－2，縱坐標(biāo)為－3，∴D3(－2，－3)，綜上所述，滿足條件的點D的坐標(biāo)為(－4，3)或(4，3)或(－2，－3)；例題解圖①(2)如圖②，E是拋物線上一動點，若點G是對稱軸上的點，當(dāng)以點A，C，E，G為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點E的坐標(biāo)；例題圖②(2)設(shè)點E的坐標(biāo)為(m，－m2－2m＋3)，∵對稱軸為直線x＝－1，∴點G的橫坐標(biāo)為－1，∴分三種情況討論：①當(dāng)以AC為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得

，∴m＝－2，∴－m2－2m＋3＝3，此時點E的坐標(biāo)為(－2，3)；②當(dāng)以AC為邊，AE為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得

，∴m＝2.∴－m2－2m＋3＝－5，此時點E的坐標(biāo)為(2，－5)；③當(dāng)以AC為邊，AG為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得

，∴m＝－4，∴－m2－2m＋3＝－5，此時點E的坐標(biāo)為(－4，－5).綜上所述，滿足條件的點E的坐標(biāo)為(－2，3)或(2，－5)或(－4，－5)；例題圖②例題圖③(3)E是拋物線上一動點，F(xiàn)是平面內(nèi)任意一點，當(dāng)以點B，C，E，F(xiàn)為頂點，且BC為邊的四邊形是矩形時，求出點E的坐標(biāo)；(3)由(1)得A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3).設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx＋b，將B(1，0)，C(0，3)代入∴直線BC的表達(dá)式為y＝－3x＋3.得

解得如解圖②，∵以點B，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是以BC為邊的矩形，∴分兩種情況：例題解圖②①當(dāng)CE⊥BC時，易得直線CE的表達(dá)式為y＝

x＋3，聯(lián)立解得x1＝－

，x2＝0(舍去)，此時點E的坐標(biāo)為(－

，

)；②當(dāng)BE⊥BC時，易得直線BE的表達(dá)式為y＝

x－

，聯(lián)立解得x1＝－

，x2＝1(舍去)，此時點E的坐標(biāo)為(－

，－

).例題解圖②綜上所述，點E的坐標(biāo)為(－

，

)或(－

，－

)；

解題關(guān)鍵點矩形的一邊BC固定，則分別過點B，點C作垂線即可，找點E或點F.例題圖④(4)E是拋物線對稱軸上一動點，Q是平面內(nèi)任意一點，當(dāng)以點A，C，E，Q為頂點的四邊形是菱形時，求出點E的坐標(biāo)；(4)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴拋物線對稱軸為直線x＝－1.設(shè)點E的坐標(biāo)為(－1，r)，∵A(－3，0)，C(0，3)，AC2＝32＋32＝18，∴AE2＝r2＋22＝r2＋4，CE2＝(3－r)2＋12＝r2－6r＋10.①當(dāng)AC是菱形的邊，AC＝AE時，如解圖③，則r2＋4＝18，解得r1＝

，r2＝－

，∴點E的坐標(biāo)為(－1，

)或(－1，－

)；AC＝CE時，如解圖④，則r2－6r＋10＝18，解得r3＝3＋

，r4＝3－

，∴點E的坐標(biāo)為(－1，3＋

)或(－1，3－

)；例題解圖③例題解圖④②當(dāng)AC是菱形的對角線，AE＝CE時，如解圖⑤，則r2＋4＝r2－6r＋10，解得r5＝1，∴點E的坐標(biāo)為(－1，1).綜上所述，點E的坐標(biāo)為(－1，

)或(－1，－

)或(－1，3＋

)或(－1，3－

)或(－1，1)；例題解圖⑤例題圖⑤(5)P是直線AC上一動點，點Q是平面內(nèi)一點，當(dāng)以點B，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形時，求出點P的坐標(biāo)；(5)由題意可得直線AC的表達(dá)式為y＝x＋3，設(shè)點P的坐標(biāo)為(p，p＋3).∵B(1，0)，C(0，3)，∴BC2＝12＋32＝10，BP2＝(1－p)2＋[0－(p＋3)]2＝2p2＋4p＋10，CP2＝(0－p)2＋[3－(p＋3)]2＝2p2.①如解圖⑥，當(dāng)BC是菱形的邊，BC＝BP時，2p2＋4p＋10＝10，解得p＝－2或p＝0(舍去)，∴點P的坐標(biāo)為(－2，1)；當(dāng)BC＝CP時，2p2＝10，解得p＝

或p＝－

，∴點P的坐標(biāo)為(

，

＋3)或(－

，－

＋3)，例題解圖⑥②如解圖⑦，當(dāng)BC是菱形的對角線時，BP＝CP，2p2＋4p＋10＝2p2，解得p＝－

，∴點P的坐標(biāo)為(－

，

).綜上所述，點P的坐標(biāo)為(－2，1)或(

，

＋3)或(－

，－

＋3)或(－

，

)；例題解圖⑦例題圖⑥(6)E是拋物線上一動點，點N為直線AC上一動點，點K為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點，若A，E，N，K四點構(gòu)成的四邊形為正方形，求出點E的坐標(biāo)．(6)∵A(－3，0)，C(0，3)，∴OA＝OC＝3，∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°.若A，E，N，K四點構(gòu)成的四邊形為正方形，則△AEN是等腰直角三角形，①當(dāng)AN為正方形對角線時，即AN為等腰直角三角形的斜邊時，如解圖⑧，此時點E1與B重合，E1(1，0)；例題解圖⑧②當(dāng)AN為正方形的邊時，即AN為等腰直角三角形的直角邊時，如解圖⑨，∴∠N2AE2＝90°，∴∠OAC′＝45°，∴OA＝OC′，∴C′(0，－3)，∴直線AC′的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x－3，∴－x－3＝－x2－2x＋3，解得x＝2或x＝－3(舍去)，∴E2(2，－5).當(dāng)點N在線段AC上時，如解圖⑩，點E4與B重合，E4(1，0)，綜上所述，點E的坐標(biāo)為(1，0)或(2，－5).例題解圖⑩例題解圖⑨探究相似三角形存在性問題的具體步驟：1.假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論：其中直角三角形找對應(yīng)的直角關(guān)系，一般三角形中會存在隱含的等角；2.設(shè)未知，求邊長．直接或間接設(shè)出所求點的坐標(biāo)，然后表示出線段長；3.建立關(guān)系式并計算．利用三角函數(shù)或由相似三角形列出比例式，進(jìn)行計算求解即可．滿分技法類型六相似三角形問題(2020.28)一階

設(shè)問突破例

如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，OA＝OC＝3，點P在拋物線上．(1)如圖①，若點P在第三象限，連接PB與線段AC交于點M，若△ABM∽△CPM，求點P的坐標(biāo)；例題圖①解：(1)∵OA＝OC＝3，∴A(－3，0)，C(0，－3).將A(－3，0)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2＋2x－3.∵△ABM∽△CPM，∴∠ABM＝∠CPM，∴CP∥AB.令y＝x2＋2x－3中y＝－3，得x＝0或x＝－2.∵點P在第三象限內(nèi)，∴點P的坐標(biāo)為(－2，－3)；例題圖①得

解得(2)如圖②，連接BC，若點P在第三象限，過點P作PQ⊥AC于點Q，是否存在點P，使得△PCQ和△BOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；例題圖②(2)存在．∵A(－3，0)，C(0，－3)，∴直線AC的表達(dá)式為y＝－x－3.如解圖，過點P作PN⊥x軸于點N，與AC相交于點G，過點G作GR⊥OC于點R，例題解圖設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，x2＋2x－3)，則點G的坐標(biāo)為(x，－x－3)，∴PG＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x，GR＝－x，∴GC＝－

x.∵PG∥y軸，PQ⊥AC，∴∠PGC＝45°，則△PQG是等腰直角三角形，∴QG＝PQ＝

PG＝

(－x2－3x)，∴QC＝GC－QG＝－

x－

(－x2－3x)＝

x2＋

x，令y＝x2＋2x－3中y＝0，得x1＝－3或x2＝1，∴點B的坐標(biāo)為(1，0)，∴OB＝1.例題解圖①當(dāng)△QCP∽△OCB時，

，∴x2＋

x＝3×

(－x2－3x)，解得x＝0(舍去)或x＝－

，此時點P的坐標(biāo)為(－

，－

)；②當(dāng)△QCP∽△OBC時，

，∴

(－x2－3x)＝3×(

x2＋

x)，解得x＝0(舍去)或x＝－

，此時點P的坐標(biāo)為(－

，－

).綜上所述，點P的坐標(biāo)為(－

，－

)或(－

，－

)；例題解圖(3)存在，∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴點D的坐標(biāo)為(－1，－4)，∴AD＝

＝2，CD＝

＝

，AC＝

＝3.∵(3)2＋(

)2＝(2

)2，即AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，x2＋2x－3)，則點F的坐標(biāo)為(x，0)，∴FA＝|x＋3|，PF＝|x2＋2x－3|.(3)如圖③，拋物線的頂點為D，過點P作PF⊥x軸于點F，拋物線上是否存在點P，使得△APF與△ACD相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；例題圖③①當(dāng)△AFP∽△ACD時，

，即

，整理得3x2＋5x－12＝0或3x2＋7x－6＝0，解得x1＝

，x2＝－3(舍去)，x3＝

，x4＝－3(舍去)，∴點P的坐標(biāo)為(

，

)或(

，－

).②當(dāng)△PFA∽△ACD時，

，即

，整理得x2－x－12＝0或x2＋5x＋6＝0，解得x1＝4，x2＝－3(舍去)，x3＝－2，x4＝－3(舍去)，∴點P的坐標(biāo)為(4，21)或(－2，－3).例題圖③綜上所述，點P的坐標(biāo)為(，

)或(

，－

)或(4，21)或(－2，－3)；(4)由(2)知直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x－3，令x＝－1，得y＝－2，∴點D的坐標(biāo)為(－1，－2).設(shè)P(m，m2＋2m－3)，N(－1，n)(n＞－2)，則DN＝n＋2.分情況討論：①當(dāng)∠DNP＝90°時，△DNP∽△AOC，∴DN＝PN，∴n＝m2＋2m－3，n＋2＝|m＋1|，解得m1＝－2(舍)，m2＝1，m3＝0(舍)，m4＝－3，∴n2＝n4＝0，∴N1(－1，0)；(4)連接AC交拋物線的對稱軸于點D，在D點上方的拋物線對稱軸上有一點N，當(dāng)△DPN與△AOC相似時，求出點N的坐標(biāo)．例題圖④例題圖④②當(dāng)∠PDN＝90°時，△PDN∽△AOC，∴DP＝DN，∴m2＋2m－3＝－2，n＋2＝|m＋1|，解得m1＝－1＋

，m2＝－1－

.∵n＋2＝|m＋1|，∴n＝

－2，∴N2(－1，

－2)；③當(dāng)∠DPN＝90°時，△DPN∽△AOC，∴DP＝PN，∴x軸是△DPN斜邊的垂直平分線，∴點D和點N關(guān)于x軸對稱，∴N3(－1，2).綜上所述，點N的坐標(biāo)為(－1，0)或(－1，

－2)或(－1，2).例

如圖，拋物線y＝－x2＋3x＋4與x軸交于A，B兩點(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C，對稱軸為直線l.(1)如圖①，點G是y軸上一點，連接AC，若AG恰好平分∠OAC，求點G的坐標(biāo)；一階

設(shè)問突破例題圖①類型七角度問題(8年2考：2021.28，2018.28)解：(1)如解圖①，過點G作GH⊥AC于點H，設(shè)點G的坐標(biāo)為(0，n)，令y＝0時，即－x2＋3x＋4＝0，解得x1＝4，x2＝－1，∴A(－1，0)，B(4，0).令x＝0時，則y＝4，∴C(0，4).∵AG平分∠OAC，GO⊥AO，GH⊥AC，∴∠GHA＝∠AOC＝90°.設(shè)GH＝GO＝n，∵∠GCH＝∠ACO，∴△CHG∽△COA，∴，例題解圖①∵A(－1，0)，C(0，4)，∴在Rt△AOC中，AC＝

＝

，∴，解得n＝

，∴點G的坐標(biāo)為(0，

)；例題解圖①(2)已知點P是拋物線對稱軸上一點，當(dāng)∠PCB＝15°時，求點P的坐標(biāo)；例題圖②【思維教練】因為點P在拋物線的對稱軸l上運(yùn)動，當(dāng)∠PCB＝15°時，分點P在直線BC上方和點P在直線BC下方兩種情況討論即可．(2)根據(jù)題意可得拋物線的對稱軸為直線x＝－

＝

，∵點P是拋物線對稱軸上的點，∴點P的橫坐標(biāo)為

.由(1)知，OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°.①如解圖②，當(dāng)點P位于直線BC上方時，連接CP并延長交x軸于點D.∵∠PCB＝15°，∴∠DCO＝∠PCB＋∠OCB＝60°，∴∠CDO＝30°，∴CD＝2OC＝8，∴OD＝

＝4，∴D(4，0).設(shè)直線CD的表達(dá)為y＝kx＋b(k≠0)，把點C(0，4)，D(4，0)代入y＝kx＋b(k≠0)中，∴直線CD的表達(dá)式為y＝－

x＋4，當(dāng)x＝

時，y＝－

×

＋4＝4－

，∴點P的坐標(biāo)為(

，4－

)；得

解得

例題解圖②②如解圖③，當(dāng)點P位于直線BC下方時，連接CP并延長交x軸于點E.∵∠PCB＝15°，∴∠PCO＝∠OCB－∠PCB＝30°，設(shè)OE＝x，則CE＝2x，在Rt△COE中，OC2＋OE2＝CE2，∴42＋x2＝(2x)2，解得x1＝－

(舍去)，x2＝

，∴E(，0)，例題解圖③設(shè)直線CE的表達(dá)為y＝k1x＋b1(k1≠0)，把點C(0，4)，E(，0)代入y＝k1x＋b1(k1≠0)中，∴直線CE的表達(dá)式為y＝－

x＋4，得

解得當(dāng)x＝

時，y＝－

×

＋4＝4－

，∴點P的坐標(biāo)為(

，4－

).綜上所述，點P的坐標(biāo)為(

，4－

)或(

，4－

)；例題解圖③(3)如圖③，P為拋物線x軸上方一點，連接AC，BP，若∠PBA＋∠ACB＝90°，求點P的坐標(biāo)；例題圖③【思維教練】構(gòu)造直角，通過等角轉(zhuǎn)換得到兩