第2課時(shí)　矩形的判定課件北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

第一章特殊平行四邊形1.2矩形的性質(zhì)與判定第2課時(shí)矩形的判定

由矩形的定義判定矩形1.如圖，要使平行四邊形

ABCD

成為矩形，需要添加的條件是(

B

)A.∠

ABD

＝∠

CBD

B.∠

ABC

＝90°C.

AC

⊥

BD

D.

AB

＝

BC

B123456789101112【解析】A.

∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴

AB

∥

CD

.

∴∠

ABD

＝∠

BDC

.

∵∠

ABD

＝∠

CBD

，∴∠

BDC

＝∠

CBD

.

∴

BC

＝

CD

.

∴四邊形

ABCD

是菱形，不能推出四邊形

ABCD

是矩形，故此選項(xiàng)不符

合題意；B.

∵∠

ABC

＝90°，四邊形

ABCD

為平行四邊形，∴四邊形

ABCD

是矩形，故此選項(xiàng)符合題意；123456789101112C.

∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴當(dāng)

AC

⊥

BD

時(shí)，四邊形

ABCD

是菱形，不能推出四邊形

ABCD

是矩

形，故此選項(xiàng)不符合題意；D.

∵四邊形

ABCD

為平行四邊形，

AB

＝

BC

，∴四邊形

ABCD

為菱

形，不能推出四邊形

ABCD

是矩形，故此選項(xiàng)不符合題意.123456789101112

由矩形的角、對(duì)角線判定矩形2.下列說(shuō)法正確的是(

D

)A.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形B.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形C.兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是矩形D.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形D123456789101112【解析】A.

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)A不符合題

意；B.

兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C.

兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；D.

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，故選項(xiàng)D符合題意.1234567891011123.數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：如圖，四邊形

ABCD

是平行四邊形，

請(qǐng)同學(xué)們添加一個(gè)條件使平行四邊形

ABCD

成為矩形.小彤添加的條件

是

AC

＝

BD

，則小彤判定平行四邊形

ABCD

是矩形的依據(jù)是(

D

)A.矩形的四個(gè)角都是直角B.矩形的對(duì)角線相等C.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形D.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形第3題圖D1234567891011124.(2023·保定清苑區(qū)月考)如圖，在平行四邊形

ABCD

中，對(duì)角線

AC

，

BD

相交于點(diǎn)

O

，

OA

＝2，若要使平行四邊形

ABCD

為矩形，則

BD

的

長(zhǎng)應(yīng)該為(

A

)A.4B.3C.2D.1第4題圖A【解析】∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，

OA

＝2，∴

AC

＝2

AO

＝4.根據(jù)“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”可知當(dāng)

BD

＝

AC

＝4時(shí)，平行

四邊形

ABCD

是矩形.1234567891011125.(2023·保定高碑店市期中)如圖，在平行四邊形

ABCD

中，對(duì)角線

AC

，

BD

相交于點(diǎn)

O

，且

OA

＝

OD

，∠

OAD

＝55°，則∠

OCD

的度數(shù)

為(

A

)A.35°B.40°C.45°D.50°第5題圖A123456789101112【解析】∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴

OA

＝

OC

，

OB

＝

OD

，

AB

∥

CD

.

∵

OA

＝

OD

，∴

AC

＝

BD

.

∴四邊形

ABCD

是矩形.∴∠

DAB

＝90°.∴∠

OAB

＝∠

DAB

－∠

OAD

＝35°.又∵

AB

∥

CD

，∴∠

OCD

＝∠

OAB

＝35°.第5題圖1234567891011126.(2023·張家口?？家荒?如圖，在菱形

ABCD

中，

E

，

F

分別為邊

AB

，

CD

的中點(diǎn)，連接

AF

，

CE

.

若∠

ABC

＝60°，

AB

＝2，則四邊形

AECF

的面積為(

A

)A.

B.1C.2D.4第6題圖A123456789101112【解析】如圖，連接

AC

，∵四邊形

ABCD

是菱形，

∠

ABC

＝60°，

AB

＝2，∴∠

B

＝∠

D

＝60°，

AB

＝

BC

＝

CD

＝

AD

＝2，

∠

BAD

＝∠

BCD

＝120°.∴∠

BAC

＝∠

BCA

＝60°，∠

DAC

＝∠

DCA

＝60°.∴△

ABC

和△

ACD

都是等邊三角形，

AC

＝

AB

＝2.123456789101112∵

E

，

F

分別是

AB

，

CD

的中點(diǎn)，∴

CE

⊥

AB

，

AF

⊥

CD

，∠

CAF

＝∠

ACE

＝30°.∴∠

BAF

＝∠

DCE

＝90°.∴四邊形

AECF

是矩形.

1234567891011127.如圖，在?

ABCD

中，

AE

⊥

BC

于點(diǎn)

E

，

CF

⊥

AD

于點(diǎn)

F

.

(1)求證：四邊形

AECF

是矩形；(1)證明：∵

AE

⊥

BC

，

CF

⊥

AD

，

∴∠

AEC

＝∠

CFA

＝90°.∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴

AD

∥

BC

.

∴∠

EAF

＝∠

AEC

＝90°.∴四邊形

AECF

是矩形.123456789101112

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)

D

作

DH

⊥

BC

，交

BC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

H

，則∠

DHB

＝90°，易得四邊形

DFCH

是矩形，

123456789101112

A.

B.

C.

D.

第8題圖C123456789101112

第8題圖1234567891011129.(2023·保定?？计谥?如圖，

O

是菱形

ABCD

對(duì)角線的交點(diǎn)，

DE

∥

AC

，

CE

∥

BD

，連接

OE

，設(shè)

AC

＝4，

BD

＝8，則

OE

的長(zhǎng)為(

B

)A.2

B.2

C.20D.10第9題圖B123456789101112

123456789101112第9題圖10.(2023·唐山遷安市)在?

ABCD

中，

EF

經(jīng)過(guò)兩條對(duì)角線的交點(diǎn)

O

，分

別交

AB

，

CD

于點(diǎn)

E

，

F

，在對(duì)角線

AC

上通過(guò)作圖得到點(diǎn)

M

，

N

，如

圖1，圖2，下面關(guān)于以點(diǎn)

F

，

M

，

E

，

N

為頂點(diǎn)的四邊形的形狀說(shuō)法正

確的是(

C

)A.都為矩形B.都為菱形C.圖1為矩形，圖2為平行四邊形D.圖1為矩形，圖2為菱形C123456789101112【解析】如圖1所示，連接

FN

，

NE

，

ME

，

FM

，∵在?

ABCD

中，對(duì)角線

AC

與

BD

交于點(diǎn)

O

，∴

OB

＝

OD

，

OA

＝

OC

，

AB

∥

DC

.

∴∠

FDO

＝∠

EBO

.

∴△

DFO

≌△

BEO

(ASA).∴

OF

＝

OE

.

123456789101112∵以點(diǎn)

O

為圓心，

OE

為半徑作弧，分別交

AC

于點(diǎn)

M

，

N

，∴

OE

＝

OF

＝

OM

＝

ON

，即

EF

＝

MN

.

∴四邊形

FNEM

為矩形；如圖2所示，連接

EN

，

FM

，同理可得△

DFO

≌△

BEO

，123456789101112∴

OF

＝

OE

.

∵

FN

⊥

AC

，

EM

⊥

AC

，∴∠

FNO

＝∠

EMO

＝90°.

∴△

NFO

≌△

MEO

(AAS)，∴

OM

＝

ON

.

又∵

OE

＝

OF

，∴四邊形

FNEM

為平行四邊形.123456789101112

A.6

B.12C.24D.48B123456789101112

123456789101112

12.

下面是多媒體上的一道試題：在菱形

ABCD

中，過(guò)點(diǎn)

B

作

BE

⊥

CD

于點(diǎn)

E

，點(diǎn)

F

在邊

AB

上，

AF

＝

CE

，連接

BD

，

DF

.

求證：四邊形

DFBE

是矩形.

123456789101112嘉嘉：先證明四邊形

DFBE

是平行四邊形，然后利用矩形的定義即可得證；琪琪：先證明△

ADF

與△

CBE

全等，然后利用“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”即可得證.(1)嘉嘉的思路

，琪琪的思路

；(均選填“正確”或

“錯(cuò)誤”)正確正確嘉嘉和琪琪分別給出了自己的思路：123456789101112(2)請(qǐng)按照你認(rèn)為正確的思路進(jìn)行解答.解：按嘉嘉的思路解答如下：∵四邊形

ABCD

是菱形，∴

AB

＝

CD

，

AB

∥

CD

.

∵

AF

＝

CE

，∴

BF

＝

DE

.

又∵

BF

∥

DE

，∴四邊形

DFBE

是平行四邊形.∵

BE

⊥

C