10.3.1頻率的穩(wěn)定性高一數(shù)學下學期人教A版2019

10.3.1頻率的穩(wěn)定性復習引入頻數(shù)頻率1.頻數(shù)和頻率的概念2.拋擲一枚質地均勻的骰子，正面朝上是偶數(shù)的概率是多少？設“正面朝上是偶數(shù)”為事件A，則P(A)=由于骰子質地不均勻，所以每個基本事件發(fā)生不是等可能的，那么這個事件的概率就無法用古典概型公式進行計算.3.拋擲一枚質地不均勻的骰子，正面朝上是偶數(shù)的概率是多少？我們知道，事件的概率越大，意味著事件發(fā)生的可能性越大,在重復試驗中，相應的頻數(shù)一般也越大；事件的概率越小，則事件發(fā)生的可能性越小，在重復試驗中，相應的頻數(shù)一般也越?。骄浚侯l率的穩(wěn)定性對于樣本點等可能的試驗，我們可以用古典概型公式計算有關事件的概率．但在現(xiàn)實中，很多試驗的樣本點往往不是等可能的或者等可能不容易判斷．例如，拋擲一枚質地不均勻的骰子，或者拋擲一枚圖釘，此時無法通過古典概型公式計算有關事件的概率，我們需要尋找新的求概率的方法．那么，在重復試驗中，頻率的大小是否就決定了概率的大小呢？頻率與概率之間到底是一種怎樣的關系呢？概率的計算：把硬幣正面朝上記為1，反面朝上記為0，則這個試驗的樣本空間Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，思考１：重復做同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣的試驗，設事件A=“一個正面朝上，一個反面朝上”，統(tǒng)計A出現(xiàn)的次數(shù)并計算頻率，再與其概率進行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?因為A={(1,0)，(0,1)}，所以頻率的計算：下面我們分步實施試驗，考察隨著試驗次數(shù)的增加，事件A的頻率的變化情況，以及頻率與概率的關系．第一步．每人重復做25次試驗，記錄事件A發(fā)生的次數(shù)，計算頻率；第二步．每四位同學為一組，比較試驗結果；第三步．各組統(tǒng)計事件A發(fā)生的次數(shù)，計算事件發(fā)生的頻率，將結果填入表中．小組序號試驗總次數(shù)事件A發(fā)生的次數(shù)事件A發(fā)生的頻率1100

2100

3100

…

合計

思考２：比較在自己試驗25次，小組試驗100次和全班試驗總次數(shù)的情況下，事件A發(fā)生的頻率．1．各小組的試驗結果一樣嗎？為什么會出現(xiàn)這種情況？各小組的試驗結果可能不一樣，因為隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性．2．隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率有什么變化規(guī)律？隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率波動幅度變小，但試驗次數(shù)多的波動幅度并不全都比次數(shù)少的小，只是波動幅度小的可能性更大．利用計算機模擬擲兩枚硬幣的試驗：在重復試驗次數(shù)為20，100，500時各做5組試驗，得到事件A=“一個正面朝上，一個反面朝上”發(fā)生的頻數(shù)nA和頻率fn(A)．序號n=20n=100n=500頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506用折線圖表示頻率的波動情況(如下圖).思考３：用折線圖表示頻率的波動情況,你有什么發(fā)現(xiàn)?n=20n=100n=500我們發(fā)現(xiàn)：(1)試驗次數(shù)n相同，頻率fn(A)可能不同，這說明隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性．(2)從整體來看，頻率在概率0.5附近波動．當試驗次數(shù)較少時，波動幅度較大；當試驗次數(shù)較大時，波動幅度較小，但試驗次數(shù)多的波動幅度并不全都比次數(shù)少的小，只是波動幅度小的可能性更大．大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性．一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以使用頻率fn(A)估計概率P(A)．歸納總結對概率的正確理解：（1）概率是事件的本質屬性，不隨試驗次數(shù)的變化而變化，概率反映了事件發(fā)生的可能性的大小，但概率只提供了一種“可能性”，而不是試驗總次數(shù)中某一事件一定發(fā)生的比例．（2）任何事件的概率都是區(qū)間[0,1]上的一個確定數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性，概率越接近于1，表明事件發(fā)生的可能性就越大；反過來，概率越接近于0，表明事件發(fā)生的可能性就越小．（3）小概率(概率接近于0)事件很少發(fā)生，但不代表一定不發(fā)生；大概率(概率接近于1)事件經(jīng)常發(fā)生，但不代表一定發(fā)生．（4）必然事件Ω的概率為1，即P(Ω)＝1；不可能事件?的概率為0，即P(?)＝0.判斷下列說法是否正確，并說明理由：（1）拋擲一枚硬幣正面朝上的概率為0.5，則拋擲兩枚硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；（2）拋擲一枚質地均勻的硬幣10次，結果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率為0.4；（3）當試驗次數(shù)很大時，隨機事件發(fā)生的頻率接近其概率；（4）在一次試驗中，隨機事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，所以事件發(fā)生和不發(fā)生的概率各是0.5.練習解：（１）不正確．拋擲兩枚硬幣，樣本空間Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，所以拋擲兩枚硬幣，不一定是一次正面朝上一次反面朝上，只能說“出現(xiàn)一次正面朝上，一次反面朝上的概率為0.25”．（２）不正確．不能說概率為0.4，只能說正面朝上的頻率為0.4．（３）正確．試驗次數(shù)較大時，頻率穩(wěn)定到概率；（４）不正確．一次試驗，只能說事件發(fā)生和不發(fā)生的頻率各是0.5．例1：新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應的男嬰數(shù).通過抽樣調(diào)查得知，我國2014年，2015年新出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51．(1)分別估計我國2014年和2015年男嬰的出生率（新生兒中男嬰的比率，精確到0.001）；(2)根據(jù)估計結果，你認為”生男孩和生女孩是等可能的”這個判斷可靠嗎？例題分析：根據(jù)“性別比”的定義和抽樣調(diào)查結果，可以計算男嬰出生的頻率；由頻率的穩(wěn)定性，可以估計男嬰的出生率解：(1)2014年男嬰出生的頻率為2015年男嬰出生的頻率為由此估計，我國2014年男嬰出生率約為0.537,2015年男嬰出生率約為0.532.

課本253頁解：由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本非常大，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對男嬰出生率的估計具有較高的可信度．因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結論．要得到生男孩和生女孩是否等可能的科學判斷，還需要用統(tǒng)計學中假設檢驗的方法進行檢驗．例1：新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應的男嬰數(shù).通過抽樣調(diào)查得知，我國2014年，2015年新出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51．(2)根據(jù)估計結果，你認為”生男孩和生女孩是等可能的”這個判斷可靠嗎？課本253頁據(jù)統(tǒng)計ABO血型具有民族和地區(qū)差異.在我國H省調(diào)查了30488人，四種血型的人數(shù)如下：（１）計算H省各種血型的頻率并填表（精確到0.001）；（２）如果從H省任意調(diào)查一個人的血型，那么他是O型血的概率大約是多少？練習課本254頁據(jù)統(tǒng)計ABO血型具有民族和地區(qū)差異.在我國H省調(diào)查了30488人，四種血型的人數(shù)如下：（２）如果從H省任意調(diào)查一個人的血型，那么他是O型血的概率大約是多少？課本254頁例2：一個游戲包含兩個隨機事件A和B，規(guī)定事件A發(fā)生則甲獲勝，事件B發(fā)生則乙獲勝．判斷游戲是否公平的標準是事件A和B發(fā)生的概率是否相等．在游戲過程中甲發(fā)現(xiàn)：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700次．據(jù)此，甲認為游戲不公平，但乙認為游戲是公平的．你更支持誰的結論？為什么？例題解:當游戲玩了10次時，甲乙獲勝的頻率都為0.5；當游戲玩了1000次時，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7．根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率偏離概率很大的可能性會越來越小．相對10次游戲，1000次游戲時的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時的頻率離概率更近．課本253頁而游戲玩到1000次時，甲乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由認為游戲是不公平的．因此，應該支持甲對游戲公平性的判斷．用擲兩枚硬幣做勝負游戲，規(guī)定：兩枚硬幣同時出現(xiàn)正面或同時出現(xiàn)反面算甲勝，一個正面，一個反面算乙勝.這個游戲公平嗎？解：這個游戲是公平的．理由如下：擲兩枚質地均勻的硬幣的樣本空間Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，則兩枚硬幣同時出現(xiàn)正面或同時出現(xiàn)反面的概率為即甲勝的概率為，一個正面、一個反面的概率為即乙勝的概率為，所以用擲兩枚硬幣做勝負游戲是公平的．練習課本254頁思考３：氣象工作者有時用概率預報天氣，如某氣象臺預報“明天的降水概率是90%，如果您明天要出門，最好攜帶雨具”，如果第二天沒有下雨，我們或許會抱怨氣象臺預報得不準確．那么如何理解“降水率是90%”？又該如何評價預報得結果是否準確呢？降水的概率是氣象專家根據(jù)氣象條件和經(jīng)驗，經(jīng)分析推斷得到的．對“降水的概率為90%”比較合理的解釋是：大量觀察發(fā)現(xiàn)，在類似的氣象條件下，大約有90%的天數(shù)要下雨．只有根據(jù)氣象預報的長期記錄，才能評價預報的準確性．如果在類似氣象條件下預報要下雨的那些天(天數(shù)較多)里，大約有90%確實下雨了，那么應該認為預報是準確的；如果真實下雨的天數(shù)所占的比例與90%差別較大，那么就可以認為預報不太準確．如果某種病治愈的概率是0.3，那么前7個人沒有治愈，后3個人一定能治愈嗎？如何理解治愈的概率是0.3?解：如果把治療一個病人作為一次試驗，治愈率是30%，指隨著試驗次數(shù)增加，即治療的病人數(shù)的增加，大約有30%的人能夠治愈．對于一次試驗來說，其結果是隨機的，因此10個人中前7個病人沒有治愈是可能的，對于后3個人來說，其結果仍然是隨機的，即有可能治愈，也可能沒有治愈．練習隨堂檢測1.下列說法一定正確的是（）A.一名籃球運動員，號稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，不會出現(xiàn)三投都不中的情況B.一枚骰子拋擲一次得到2的概率是

，則拋擲6次一定會出現(xiàn)一次2C.若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元D.隨機事件發(fā)生的概率與試驗次數(shù)無關解析：A錯誤，概率小不代表一定不發(fā)生；B錯誤，概率不等同于頻率；C錯誤，概率是預測，不必然出現(xiàn)；D正確，隨機事件發(fā)生的概率是頻率的穩(wěn)定值，與試驗次數(shù)無關.答案：D2.(多選)下列說法中正確的有（）A.做9次拋擲一枚質地均勻的硬幣的試驗，結果有5次出現(xiàn)正面，所以出現(xiàn)正面的概率是B.盒子中裝有大小和形狀相同的3個紅球，3個黑球，2個白球，每種顏色的球被摸到的可能性相同C.從－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一個數(shù)，取得的數(shù)小于0和不小于0的可能性不相同D.設有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，次品的件數(shù)可能不是10件在B中，摸到白球的概率要小于摸到紅球或黑球的概率，B錯誤；在C中，取得的數(shù)小于0的概率大于不小于0的概率，C正確；在D中，任取100件產(chǎn)品，次品的件數(shù)是隨機的，D正確.故選C，D.答案：CD4.在一個不透明的袋中有大小相同的4個小球，其中有2個白球，1個紅球，1個藍球，每次從袋中摸出一球，然后放回攪勻再摸，在摸球試驗中得到下列表格中部分數(shù)據(jù)：摸球次數(shù)105080100150200250300出現(xiàn)紅球的頻數(shù)2

20273650

出現(xiàn)紅球的頻率

30%

26%24%(1)請將表中數(shù)據(jù)補充完整；解：頻數(shù)分別是15,65,72；頻率分別是20%,25%,27%,24%,25%.(2)如果按照此方法再摸球300次，所得頻率與表格中摸球300次對應的頻率一定一樣嗎？為什么？(3)試估計紅球出現(xiàn)的概率.解：可能不一樣，因為頻率會隨每次試驗的變化而變化.解：頻率集中在25%附近，所以可估計概率為0.25.2.估算法求概率的方法：(1)在實際問題中，常用事件發(fā)生的頻率作為概率