高中數(shù)學2輪14 作業(yè)9

專題訓練?作業(yè)（九）

一、單項選擇題

1.（2021?高三沖刺聯(lián)考）已知公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝的前n項和為S?,若外一的+4=0,

貝嗤=（）

9

A.—3B京

1111

C.而D.v

答案B

解析設等差數(shù)列｛斯｝的公差為d（d中0）,因為0-痣+卷=0,所以ai-ai—4d+

6X（6-1）

6"2d八_36C,,04__田s+3"__9_?

6=0,所以句=刃，所以廝=5￡=5（0+2“）=夯?故選B.

2.（2021?成都市一診）若等比數(shù)列｛如｝滿足〃2+。3=2,“2—44=6,則。6=（）

A.-32B.-8

C.8D.64

答案A

[mg+〃iq~=2,\ci\—1,

解析設等比數(shù)列伍〃｝的公比為q,由題意，得3,得「所以〃6=。爐=

[a\q-a\q'=6,[q=-2,

（一2/=一32.故選A.

3.（2021.湖北十一校聯(lián)考）設數(shù)列㈤的前〃項和為S”且榭是等差數(shù)列，若43=3的，則澄

=()

A?B￡

A.5K?9

c.|D-y

答案c

解析方法一：數(shù)列餡是等差數(shù)列，且首項為辛=0,設其公差為“，則￥=?+(〃-1)”,

=2

Snna]+n(n—1)d=nd+(a\—rf)n,因為。3=3〃5,所以S3—52=3(Ss—S。，則9d+3(a\—d)

—[4t/+2(6Z|—t/)]=3[25d+5(ai—(I)—16d—4(。|—d)],即0=—10d,則S〃=/6/—Wdn,則￡

-30d5,,、生

—18J―彳故選0

方法二：因為數(shù)歹喘）是等差數(shù)列，所以數(shù)列｛如｝是等差數(shù)列，則治=既奇義3甘.故選C.

4.（2021?合肥市一檢）若數(shù)列伍“｝的前〃項和a滿足3S“=2斯-1,則“5=（）

A.32B.專

C.一mD.-16

答案D

解析方法一：因為3S“=2a”一1,所以當〃22時，3sLi=2〃“一1一1,兩式作差得3a“=2如

一2斯T（〃22）,即斯=一2%T（〃22）,又當”=1時，3$=2見一1,所以。尸一1,所以數(shù)列

｛&｝是以-1為首項,一2為公比的等比數(shù)列.所以為=-1X（-2）"-I,則〃5=-1義（一2打

i=-16.故選D.

方法二：因為3s〃=2小一1,所以當〃22時，3S〃=2（S〃-S—）—l,整理得S〃=—2S〃—]一

1（〃22）,即&+；=—2（S"-I+9（〃22）,又當"=1時，3s1=2”|一1,所以5|=一1,所以

數(shù)列1*+共是以一段為首項，-2為公比的等比數(shù)列.所以5“+；=一權（一2尸，S?="1x

IJJJJJJ

12

則45=8—S4=一§X[16—（一8）]=-16.故選D.

5.設｛斯｝是公差大于零的等差數(shù)歹!1,5“為數(shù)列｛如｝的前.〃項和，則“俏>0”是“&+|>3”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析由｛斯｝是公差大于零的等差數(shù)列，且。2>0,可得。"+1>0,所以a“+i=S"+i—S">0,即

S?+i>S?;反之,若&+1>&,則當〃=1時，S2>S1,即S2—Si=s>o.所以“0>0”是“S"+1>S,”

的充要條件.故選c

6.（2021?湖南衡陽八中模擬）元代數(shù)學家朱世杰在《算學啟蒙》中提及：今有銀一秤一斤十

兩，令甲、乙、丙從上作折半差分之.其意思是：現(xiàn)有銀一秤一斤十兩，將銀分給甲、乙、

丙三人，甲、乙、丙三人每一個人所得是前一個人所得的一半.若銀的數(shù)量不變，按此法將

銀依次分給5個人，則得銀最少的3個人一共得銀（規(guī)定：1秤=10斤，1斤=10兩）（）

■889戶

B,歷兩

-840kc1111g

C31兩Df兩

答案C

解析一秤一斤十兩共120兩，將這5人所得銀的數(shù)量由小到大排列，記為數(shù)列｛呢｝（"=1,

2,3,4,5）,則｛斯｝是公比q=2的等比數(shù)列，于是得前5項之和S5=卬（廠>）二仁一）

=120,解得。|=肝.

故得銀最少的3個人一共得銀的數(shù)量為?+改+〃3=詈乂（1+2+22）=需（兩）.故選C.

7.設5〃是｛斯｝的前〃項和，?i=2,且即+i=-gs〃S〃+i，則--卜肅=（）

A.28B.48

C.68D.88

答案A

解析由題知，數(shù)列｛〃〃｝中，m=2,且〃〃+i=—Js“S〃+i,可得S“+i—S〃=-JsSru,即p-

一U且1=!=，.數(shù)歹I必｝表示首項為:，公差為;的等差數(shù)列..,左+白!----H￡-=

OnJ3141，233102012

12xg+12："義；=28.故選A.

8.已知g是等比數(shù)列｛a“｝的公比，且0>0,則“q>-l且q#0”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

42痂業(yè)1"S3s5業(yè)“S355?i（1一/）a\（1一k）—q—\

解析當4=1時，不言當gwi時，￡一工=的2（］?）-荷（…）=—^，由

4>一1且k0,可得柒沸%初得q>—1且#0.綜上可得“一1且行0”是嚕*

的充要條件.故選C.

9.（2021?揚州市適應性考試）已知數(shù)列｛斯｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若8—。2=5,則〃4

+8〃2的最小值為（）

A.40B.20

C.10D.5

答案A

解析由等比數(shù)列的性質知42?〃4=的2,所以〃4=野，所以〃4+8。2=3~+8〃2=

+8a2=9a2+^+10^2A/9^^+10=40,當且僅當9改=§,即〃2=?時等號成立，所

。2V。2a2s

以〃4+8他的最小值為40.故選A.

10.（2021,太原市模擬）意大利數(shù)學家斐波那契提出的“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,

21,34,55,89,144,233,…，在現(xiàn)代生物及化學等領域有著廣泛的應用，它可以表述為

數(shù)列｛如｝滿足0=42=1，如+2=%+|+%（〃6叱）.若此數(shù)列各項被3除后的余數(shù)構成一個新

數(shù)列｛兒｝，則｛d｝的前2021項和為（）

A.2014B.2022

C.2265D.2274

答案D

解析數(shù)列｛斯｝的各項被3除后的余數(shù)構成的新數(shù)列｛與｝為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,

2,0,2,可得數(shù)列｛b｝是周期為8的數(shù)列，設｛仇｝的前八項和為S”，則$8=9,所以S2

021=25258+55=252X9+6=2268+6=2274.故選D.

11.（2021?華大新高考聯(lián)盟高三質檢）拉面是很多食客喜好的食物.師傅在制作拉面的時候，

將面團先拉到一定長度，然后對折（對折后面條根數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍），再拉到上次面條的長

度.每次對折后，師傅都要去掉捏在手里的面團.如果拉面師傅將300g面團拉成細絲面條，

每次對折后去掉捏在手里的面團都是18g,第一次拉的長度是1m,共拉了7次，則最后每

根1m長的細絲面條的質量（假定所有細絲面條粗細均勻，質量相等）是（）

gB.3g

C.1.5gD.3.5g

答案B

解析這團面共拉7次，其中對折了6次，最后所有細絲面條的總質量是300—6X18=192

g,拉了7次后，共有27一1=64根長度為1m的細絲面條，每根這樣的面條質量為1賢92=3（g）.

OH-

二、多項選擇題

12.已知S”為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和，且“2=20,57=98,則（）

A.0+。5=34

B.|聞<|。9|

C.S"WSg

D.滿足S?<0的n的最小值為17

答案AD

7（1）

解析因為S7=----"5=7。4=98,所以。4=14,又。2=20,所以。|+。5=〃2+如=34,

A正確；設等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d,由以一〃2=2d=-6,解得d=-3,所以斯=〃2+（〃

一2)義(-3)=26—3及，08=26-3X8=2,班=26—3*9=—1,所以|聞>|。9|,B錯誤；由d

=—3知數(shù)列｛〃〃｝為遞減數(shù)列，又48=2>0,49=—1<0，所以S8為S”的最大值，C錯誤；因

、r16(〃]+〃16),17(41+。]7)"I、“I

為Si6=2=8(〃8+。9)=8>0,Sn=2=17X〃9=-17<0,所以滿足

工<0的"的最小值為17,D正確.故選AD.

13.(2021?雅禮中學模擬)已知等比數(shù)列｛斯｝的首項4>1,公比為生前〃項和為S〃，前〃項

積為4,函數(shù)0)=x(x+m)(x+〃2)…(x+s),若，(0)=1,則()

A.｛1g斯｝為單調遞增的等差數(shù)列

B.Q<q<\

cjs,一告|為單調遞增的等比數(shù)列

D.使得7>1成立的n的最大值為6

答案BCD

解析令g(x)=(x+ai)(x+a2)…(x+s),則式x)=xg(x),(x)=g(x)+xg'(x),二/(0)

=g(O)=0a2…a7=1,因為｛“"｝是等比數(shù)列，所以…。7=加7=1,即。4=1=41由，,；的>1,

/.0<?7<1,B正確；?.'Iga”=lg(ai/「5=lgai+(〃-l)lgq,二｛1g斯｝是公差為lgq的遞減等

差數(shù)列，人錯誤；：5"一告=告(1一/-1)=徵.4"7,二卜，，一尚是首項為念<0,

公比為q的遞增等比數(shù)列，C正確；V?1>1,0<q<l,44=1,???〃<3時，小>1,時，

0<afl<\,.?."W4時，Tn>\,丁仆=。1。2…47=〃/=1,時，。尸乃恁出…=1,又

Ts=痣>1,76=7>1,所以使得7>1成立的"的最大值為6,D正確.故選BCD.

14.(2021?河北衡水中學二調)提丟斯?波得定則是關于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何

學規(guī)則，它是在1766年由德國的一位中學老師戴維?提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺

長波得歸納成一個經(jīng)驗公式，即數(shù)列｛斯｝：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6.......表示

的是太陽系第〃顆行星與太陽的平均距離(以天文單位A.U.為單位).現(xiàn)將數(shù)列｛如｝的各項乘

以10后再減4,得到數(shù)列｛勾｝,可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛兒｝從第3項起，每項是前一項的2倍，則下

列說法正確的是()

A.數(shù)列｛為｝的通項公式為與=3X2"-2

B.數(shù)列｛斯｝的第2021項為0.3X22020+0.4

C.數(shù)列｛斯｝的前〃項和S?=0.4ra+0.3X2n-1-0.3

D.數(shù)列｛血｝的前n項和D=(3"T>2"-i

答案CD

解析數(shù)列｛斯｝各項乘以10再減4得到數(shù)列｛為)為0,3,6,12,24,48,96,192,

0,n=\,

故該數(shù)列從第2項起構成公比為2的等比數(shù)列，所以為=°亡，廠2故A錯誤；從而

3X2,〃=2,

兒+4[04,n=l,

10所以。2021=0.3X2239+0.4,故B錯誤；當〃=1時,

一1O.3X2'L2+0.4,〃22,

ol,-2

Si=0=O.4；當〃》2時，5?=ai+fi2+-+an=O.4+O.3(2+2+-+2')+O.4(n-l)=O.4n

1—2〃1

+0.3X-]:=0.4〃+0.3X2〃-i-0.3.當〃=1時，Si=0.4也符合上式，所以S“=0.4〃+

1—2

[0,〃=1,

0.3X2"-i-0.3,故C正確；因為油“=、所以當〃=1時，刀=加=0,當

【3”X2"2,心2,

12n2

時，Tn=bi+2bi+3b3-\------Fn^,=0+3(2X20+3X2+4X2H------\-nX2~),則2T?=0+

3(2X2l+3X22+4X23+-+nX2,1~l),所以一口=0+3(2+21+22+“?+2”-2一〃義2廠|)=

(2—2"-|_\

3(2+-p三--"X2LiJ=3(l—〃)X2"一]，所以7；=3(〃-l)X2"r.又當〃=1時，心也滿足上

式，所以￡=3("—l)X2”r,故D正確.

三、填空題

15.(2021.雅禮中學一模)設正項等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”，若$2=3,54=15,則公比q

等于.

答案2

解析因為$2=3,54=15,54—52=12,

[ai+a—3,\a\(l+q)=3,

所以｛2即｛

[的+a4=12,[aiq2(1+q)=12,

兩個方程左右兩邊分別相除，得d=4,因為數(shù)列｛斯｝是正項等比數(shù)列，所以g=2.

16.(2021?四省八校聯(lián)考)已知等比數(shù)列｛”“｝的公比為q,前〃項和為S,=m一若〃5=一

8a2，則Ss=.

答案33

解析由的=-8。2得aq4=-8aq(aiW0),解得q=-2,則)=胃-黃=

m-q",則胃=加=1,從而S5=1一(—2》=33.

42020

17.(2021?漳州市第三次質檢)已知數(shù)列｛斯｝滿足斯+尸斯+%+2，“GN*,屬0=5,則gs

分析根據(jù)知+1=%+如+2,可推出%+6=%，即數(shù)列｛“"｝的周期為7=6,再結合〃1+42

.4

+“3+04+45+46=0和,？產(chǎn)尸5求解.

答案5

解析因為%+1=即+期+2,

所以。"+2—4"+1

所以m+3=4"+2—=—期，

所以%+6=斯，

所以周期7=6,

而0+〃2+〃3+〃4+。5+。6=°，

又因為/Z=〃1i=5,

所以高0=336X0+,?產(chǎn)，=5.

評說求和問題從通項公式入手，具體數(shù)列具體分析，掌握常見的數(shù)列求和方法：①公式

法.②分組求和.③裂項相消.④錯位相減.⑤倒序相加.⑥并項法.

18.我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺.莞生一日，

長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長等？”意思是：“今有蒲草第1天長高3

尺，莞草第1天長高1尺.以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一天的2

倍，問第幾天蒲草和莞草的高度相同？”根據(jù)上述的已知條件，可求得第天時，蒲

草和莞草的高度相同(結果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關數(shù)據(jù)：1g3七0.4771,1g2

~0.3010).

答案3

解析由題意得，蒲草每天長高的長度組成首項為0=3,公比為3的等比數(shù)列｛斯｝,設其前

”項和為A“；莞草每天長高的長度組成首項為"=1,公比為2的等比數(shù)列｛兒｝,設其前〃

項和為B”.則A,,=----j—,令------「=『"，化簡得2"+獷=7(〃6N*),解

112~1112—12

1-21-2

得2"=6,所以〃=翳=1+昌七3,即第3天時蒲草和莞草高度相同.

培優(yōu)練：重點班選做

19.(2021.山東濱州二模)在公差為1的等差數(shù)列｛為｝中，己知b?=—±r,若對任意

斯十1

的正整數(shù)〃，兒W仇恒成立，則實數(shù)，的取值范圍是()

A.f-y,-9)B.(-9,-8)

C.(-10,—y)D.(-10,-9)

答案D

n+1-1iI

解析由題意知斯=〃+1—1,所以b,尸―一~7~—=1——1,所以點(〃,力〃)在函數(shù)兀￥)=1-1

fiIiriii人Ii

的圖象上，由兒W")知，加為數(shù)列｛/%｝的最大項，所以9＜一?由,所以一9.故選D.

20.【多選題】數(shù)學中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類.螺旋

線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”.小明對螺旋線有著濃厚的興趣,

連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長為

1的正方形ABC。中，作它的內接正方形EFG”，且使得NB￡F=15°；再作正方形EFG4

的內接正方形MNPQ,且使得NFMN=15°,類似地，依次進行下去，就形成了陰影部分

的圖案，如圖所示.設第〃個正方形的邊長為斜（其中第1個正方形ABC。的邊長為

第2個正方形EFGH的邊長為他=￡凡…），第〃個直角三角形（陰影部分）的面積為S,（其中

第1個直角三角形4E”的面積為$,第2個直角三角形EQM的面積為S2,…），則（）

2

A.數(shù)列｛知｝是公比為前勺等比數(shù)列

B.5T

C.數(shù)列｛a｝是公比為3的等比數(shù)列

D.數(shù)列｛S,｝的前“項和刀,<1

答案BD

解析由圖可知an=an+?cos15°+a?+isin150,解得多」=［一］.-=

ancos15十sin15

八.4。、=嘩,則數(shù)列｛斯｝是首項為1,公比為半的等比數(shù)列，A錯誤；42=坐,

\2sin（45十15）JJJ

Sl="（?2—蘇尸|一|）=*，B正確；5"=（（4"2一期+|2）=（斯2一（當/卜占“2,則

，，，-41-f-Yl

3三~=0低。=（牛）巖，所以數(shù)列｛SJ是公比為］的等比數(shù)列，C錯誤；Tn=----y—

1-3

12X11

<-----7=4.或由圖可知，△AEH,ABFE,ACGF,△OHG的面積相等，△EMQ,叢FNM,

1-3

△GPN,△HQP的面積相等...所以〃=Si+S2+…+S”<^S正方彩ABCD=",D正確.故選

BD.

I備選題

I.（2021?洛陽第三次文科考試）已知S“是等差數(shù)列｛〃“｝的前”項和，59=126,。4+00=40,

則空答的最小值為（）

A.1275+1B.4小+1

C.19D.28

答案D

解析設等差數(shù)列｛飆｝的公差為d,?.?59=126=9怒=。5=14,又?.,ot+aio=40,/.

a]+4d=14,f6ii=2,2&+603〃2+〃+60（,20A-

解得.?'S“=%2+%—n—=3（〃+刃+1.令危）

2〃i+12d=40,[d=3,n

=x+Y（x>0）,則大x）在（0,2?。┥蠁握{遞減，在（2小，+8）上單調遞增.?.?〃GN+,丸4）

=犬5）=9,當〃=4或n=5時，---有最小值28.故選D.

2.（2021?重慶南開中學模擬）已知數(shù)列｛為｝,｛6｝，｛或｝均為等差數(shù)列，若m+加+門=0,z

+岳+。2=1，則?！?6〃+金=（）

A.n—1B."一2

C.n+1D.n

答案A

解析由題有數(shù)列｛斯+?！??！ǎ且?為首項、1為公差的等差數(shù)列，故〃〃+b〃+c〃=0+（〃

-1）X1=〃-1.故選A.

3.（2021?益陽模擬考試）已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為孔,且斯+1=m+2〃一|,0=2,若S會

128,則〃的最小值為（）

A.5B.6

C.7D.8

答案C

解析方法一：由0=2及即+]=m+2〃-1可知42=3,。3=5,…，47=65,又57=41+。2

+…+s=134,S6=69,???S〃2128的〃的最小值為7.故選C.

方法二：由港=2及4+1=跖+2〃-1,通過累加法得詼=2〃r+l,?,.S〃=2〃+”一l,驗證可

知〃=7符合要求.故選C.

4.【多選題】（2021?湖南省六校聯(lián)考）已知數(shù)列｛斯｝滿足見=1,02=3,3+2—斯=2,〃￡N*,

則（）

A.（〃1+〃2）,（。3+〃4），（的+〃6），…為等差數(shù)列

B.（改一。1），（。4一。3），（〃6一〃5），…為常數(shù)列

C.。2〃-1=4〃-3

D.若數(shù)列｛兒｝滿足兒=(T)"?為，貝!)數(shù)列｛兒｝的前100項和為100

答案ABD

解析方法一：采用不完全歸納可得，數(shù)列｛斯｝：1,3,3,5,5,7,7,9,9,???,不難

求出A、B正確，而。2"-1=2〃-1,故C錯誤，對于D,數(shù)列｛兒｝的前100項和為-1+3—

3+5-5+7-7+9=2X50=100.故選ABD.

方法二：令"=2k—1,ZGN",有。2*-1=2,令n=2k,k6N,有。2?+2—。2￡=2,故

｛比,一｝為以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，｛42〃｝為以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，則

。2"-1=2〃-1,“2"=2”+1,易得A、B、D正確.

5.(2021?西安五校聯(lián)考)已知等比數(shù)列｛斯｝滿足斯>0,n=\,2,…，且的?S,L5=22"(心3),

則當”24時，log2ai+log2a3T---blog2a2.-1=()

A.?(2n-l)B.(〃+l)2

C.n2D.(〃-1)2

答案C

解析因為數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，且的Z2"-5=2叫〃23),所以根據(jù)等比數(shù)列的性質知，log20

n

+log2a3H---Hlog2a2"-1=Iog21(ai儂-|)(。3儂-3)…]=log2(22")2=層.故選C.

6.已知等差數(shù)列｛%｝的通項公式為a“=31一仇(tGZ),當且僅當〃=10時，數(shù)列｛?。那啊?/p>

項和S”最大，則當&=-10時，k=()

A.20B.21

C.22D.23

答案A

Qio>O,(410=31—10f>0,3

解析由題意知，、即-八解得鼎，因為rez,所以，=3,所以如

laji<0,^n=31-lh<0,1110

n(28+31-3/i)k(28+31-3攵)10,解得/舍去)

=31—3〃.易知Sn—?所以Sk—

22

或4=20.故選A.

7.