2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

3.3.2拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)A級(jí)必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1.已知點(diǎn)P(6,y)在拋物線y2=2px(p>0)上,若點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于8,則焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于()A.2 B.1 C.4 D.82.過(guò)點(diǎn)P(0,1)與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()A.4條 B.3條 C.2條 D.1條3.在同一平面直角坐標(biāo)系中,方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0(a>b>0)表示的曲線大致為()4.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為拋物線上一點(diǎn),且|MF|=4|OF|,△MFO的面積為43,則拋物線方程為()A.y2=6x B.y2=8xC.y2=16x D.y2=1525.設(shè)拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1,到直線l:3x+4y+12=0的距離為d2,則d1+d2的最小值為()A.2 B.153 C.166.過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AB|=8,則p=.

7.已知正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2x上,則這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是.

8.已知拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為32的直線l與C的交點(diǎn)為A,B,與x軸的交點(diǎn)為(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練9.已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為B,C的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)A,P是C上的動(dòng)點(diǎn),則|PA||A.3 B.2 C.23 D.2210.(多選題)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),l為拋物線的準(zhǔn)線,A,B為拋物線上隨意兩點(diǎn),M(1,-3),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的有 ()A.過(guò)點(diǎn)M與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條B.|AM|與點(diǎn)A到直線l的距離之和的最小值為3C.若直線AB過(guò)點(diǎn)F,則拋物線C在A,B兩點(diǎn)處的切線相互垂直D.若直線OA與OB的斜率之積為-14,則直線AB過(guò)點(diǎn)11.已知A是拋物線x2=4y的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),B為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上且滿足|PA|=m|PB|,當(dāng)m取最大值時(shí),點(diǎn)P恰好在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A.2+12 B.2C.5+12 D.512.已知直線l與拋物線y2=8x交于A,B兩點(diǎn),且線段AB恰好被點(diǎn)P(2,2)平分.(1)求直線l的方程.(2)拋物線上是否存在點(diǎn)C和D,使得C,D關(guān)于直線l對(duì)稱?若存在,求出直線CD的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.13.已知拋物線C:y2=2px(0<p<10),F為拋物線的焦點(diǎn),D(8,y0)為拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)E為點(diǎn)D在x軸上的投影,且|DE|=45(1)求C的方程;(2)若直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA⊥OB,求證:直線AB過(guò)定點(diǎn).

參考答案3.3.2拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)1.C拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-p2,因?yàn)镻(6,y)為拋物線上的點(diǎn),所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,所以6+p2=8,所以p=4,所以焦點(diǎn)F2.B當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(0,1)的直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+1,由方程組y=kx+1,y2=2x,消去y,得k2x2+(2k-2)x+1=0,若k=0,則-2若k≠0,則令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=12,此時(shí)直線與拋物線相切,只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(0,1)的直線不存在斜率時(shí),該直線方程為x=0,與拋物線相切,只有一個(gè)公共點(diǎn).綜上,過(guò)點(diǎn)P(0,1)與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條.3.D(方法1)將方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0轉(zhuǎn)化為x21a2+y2因?yàn)閍>b>0,所以1b>1a>0,所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,拋物線的焦點(diǎn)在x(方法2)在方程ax+by2=0(a>b>0)中,將y換成-y,其結(jié)果不變,即ax+by2=0表示的曲線關(guān)于x軸對(duì)稱,解除B,C;由方法1知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,解除A.故選D.4.B設(shè)點(diǎn)M(xM,yM),則由|MF|=4|OF|得xM+p2=4×p即xM=32p,則yM2=3則|yM|=3p,則S△OMF=12×p2解得p=4,即拋物線的方程為y2=8x.5.A由y2=4x,3x+4y+12=0,得3y2+16則直線3x+4y+12=0與拋物線相離.又d1+d2=d1+1+d2-1,而d1+1為點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離,故d1+1等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F(1,0)的距離,從而d1+1+d2的最小值為點(diǎn)F到直線3x+4y+12=0的距離,即|1×3+0×4+12|326.2(方法1)依據(jù)過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式可知|AB|=2psin2α(方法2)∵點(diǎn)Fp2∴直線AB的方程為y=x-p2,將其與y2=2px聯(lián)立,消去y,得x2-3px+p24設(shè)點(diǎn)A(xA,yA),B(xB,yB),由根與系數(shù)的關(guān)系知xA+xB=3p,xAxB=p2|AB|=2(xA+解得p=2.7.43依據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,正三角形另外兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為y022,y0(y0>0),則有tanπ6=28.解設(shè)直線l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2)(1)由題設(shè)得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由題設(shè)可得x1+x由y=32x+t,y2=3x可得9x則Δ=144(t-1)2-144t2>0,即t<12x1+x2=-12(從而-12(t-1所以l的方程為y=32x-7(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3所以y1+y2=2.從而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=49.B如圖所示,易知拋物線的準(zhǔn)線l:y=-1,過(guò)點(diǎn)P作PN⊥l交l于點(diǎn)N,則|PN|=|BP|,則|PA要使得|PA||PB|取最大值,則sin∠PAN取得最小值,即∠PAN取到最小值,所以當(dāng)且僅當(dāng)PA與拋物線相切于點(diǎn)P當(dāng)PA與拋物線相切時(shí),設(shè)直線PA的方程為y=kx-1,代入x2=4y,可得x2-4kx+4=0,此時(shí)需滿足Δ=16k2-16=0,解得k=±1,不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,則k=1,此時(shí)sin∠PAN=22,所以(sin∠PAN)min=22,所以|PA||10.BC拋物線C的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l:x=-1.對(duì)于A,當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線斜率不為0時(shí),設(shè)切線方程為x=m(y+3)+1,由x=m(y+3)+1,y2=4x,消去x得y2-4my-12m-4=0,Δ=16m2+4(12m+4)=16(m2+3m+1)=0,解得m=-3±52對(duì)于B,過(guò)點(diǎn)A作AN⊥l于點(diǎn)N,如圖,則|AN|=|AF|,|AM|+|AN|=|AM|+|AF|≥|MF|=3,當(dāng)且僅當(dāng)A為線段MF與拋物線C的交點(diǎn)時(shí),等號(hào)成立,故B正確;對(duì)于C,直線AB的方程為x=ty+1,代入拋物線C的方程得y2-4ty-4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2=-4,x1x2=y12y2216=1,不妨設(shè)y1<0<y2,由y=2x,求導(dǎo)得y'=1x,由y=-2x,求導(dǎo)得y'=-1x,因此拋物線C在點(diǎn)A處的切線的斜率為-1x1,在點(diǎn)B處的切線的斜率為1x2,明顯對(duì)于D,由選項(xiàng)C知,當(dāng)直線AB過(guò)點(diǎn)F時(shí),直線OA與OB的斜率之積y1x1·y2x211.B由x2=4y,得p=2,∴焦點(diǎn)B(0,1),準(zhǔn)線l:y=-1,從而A(0,-1),如圖所示.過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q,設(shè)∠PAQ=θ.∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,∴m=|PA||PB|=|PA||PQ|=1sinθ.結(jié)合圖形知,當(dāng)AP與拋物線相切時(shí),sinθ最小,從而m最大.設(shè)直線由Δ=16k2-16=0,解得k=±1,不妨取k=1,得點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,1).設(shè)雙曲線的方程為y2a2-x2b在雙曲線y2a2-x2b2=1(2a=|PA|-|PB|=22-2,即a=2-1,∴離心率e=ca=12-12.解(1)由題意可得直線AB的斜率存在,且不為0.設(shè)直線AB:x-2=m(y-2),m≠0,與拋物線方程聯(lián)立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.判別式Δ=(-8m)2-4(16m-16)=64m-122+34>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有y1+y2=8m,由8m=4,得m=12,所以直線l的方程為2x-y-2=0.(2)不存在.理由如下,假設(shè)C,D兩點(diǎn)存在,則可設(shè)lCD:y=-12x+n,與拋物線方程y2=8x消去y,得14x2-(n+8)x+n2=其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,則n>-4. (*)又因?yàn)閤C+xD=4(n+8),所以CD的中點(diǎn)為(2(n+8),-8),代入直線l的方程,得n=-192,不滿足(*)式.所以滿足題意的C,D兩點(diǎn)不存在13.(1)解由題可知|y0|=4p,|DE|=4p,|DF|=8+p2∵|DE|=45|DF|,∴4p=458+p2,平方后化簡(jiǎn)得p2-68p+256=0,解得p=4或∵0<p<10,∴p=4.∴拋物線C的方程為y2=8x.(2)證明當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),直線l與拋物線交于一點(diǎn)