重慶市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page22留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)的值為（）．A.4 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】依題意可得，依據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】解：因?yàn)?，，且，所以，解?故選：A2.已知表示的曲線是圓，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方程配方后得，依據(jù)圓的半徑大于0求解.【詳解】由方程可得，所以當(dāng)時(shí)表示圓，解得.故選：C.3.數(shù)列滿意，且則的值為（）A. B.C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，求得數(shù)列的周期性，結(jié)合周期性得到，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿意，且，可得，可得數(shù)列是以三項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，所以.故選：C.4.已知直線，直線，設(shè)，則是的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)兩直線平行的條件可知，計(jì)算出的值即可得出結(jié)論.【詳解】解：兩直線平行充分必要條件是，且，解得，閱歷證，當(dāng)時(shí)，兩直線平行．故選：C．5.若成等差數(shù)列；成等比數(shù)列，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程，求出，，求出.【詳解】由題意得：，設(shè)的公比為，則，，解得：，.故選：B6.已知橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的特征可求得，并得到中點(diǎn)坐標(biāo)；利用點(diǎn)差法可構(gòu)造等式求得，依據(jù)橢圓離心率可求得結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對(duì)稱，，又中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為；設(shè)，，則，兩式作差得：，即，；又，，，解得：，橢圓的離心率.故選：A.7.已知是拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若是圓：上隨意一點(diǎn)，則的最小值是（）A. B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】畫(huà)出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，利用拋物線的幾何性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為C，P，F(xiàn)之間的距離之和，依據(jù)三點(diǎn)共線求得最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線方程是，PH與準(zhǔn)線的交點(diǎn)是，圓C的半徑為，圓心為，依題意作下圖：由圖可知：，，當(dāng)C，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)最小，的最小值是6；故選：D.8.意大利聞名數(shù)學(xué)家斐波那契在探討兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)覺(jué)有這樣一列數(shù)：，從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，即，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，記，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意可得，，兩式相加可得，再結(jié)合已知條件可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以①，②，由?②，得，又，即，所以.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為C.若，則數(shù)列的前17項(xiàng)和為D.若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則當(dāng)時(shí)，的最大值為2024【答案】BC【解析】【分析】令時(shí)，由求出可推斷A；由知，，當(dāng)時(shí)，取得的最小值可推斷B；若，求出數(shù)列的前項(xiàng)和可推斷C；由數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可得，則可推斷D.【詳解】對(duì)于A，由，當(dāng)時(shí)，，由，當(dāng)時(shí)，，所以，A不正確；對(duì)于B，若，當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，取得的最小值為，所以，B正確；對(duì)于C，若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，故C正確；對(duì)于D，數(shù)列為等差數(shù)列，且，則，所以，當(dāng)時(shí)，的最大值為，所以D不正確.故選：BC.10.已知方程，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.方程可表示圓B.當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓C.當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D.當(dāng)方程表示橢圓或雙曲線時(shí)，焦距均為10【答案】BCD【解析】【分析】分別將的值代入各個(gè)命題，依據(jù)圓錐曲線方程的特點(diǎn)即可作出推斷．詳解】對(duì)于A，當(dāng)方程可表示圓時(shí)，，無(wú)解，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí).，，，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故C正確.對(duì)于D，當(dāng)方程表示雙曲線時(shí)，；當(dāng)方程表示橢圓時(shí)，，所以焦距均為10，故D正確.故選：BCD11.如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】在選項(xiàng)A中，利用線面垂直的判定定理，結(jié)合正方體的性質(zhì)進(jìn)行推斷即可；在選項(xiàng)B中，依據(jù)線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解推斷即可；在選項(xiàng)C中，依據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解推斷即可；在選項(xiàng)D中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可.【詳解】在選項(xiàng)A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直線平面，故A正確；在選項(xiàng)B中，∵，平面，平面，∴平面，∵點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故B正確；在選項(xiàng)C中，∵，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.易知為等邊三角形，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，直線與直線的夾角為.故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；在選項(xiàng)D中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，，所以，.由A選項(xiàng)正確：可知是平面的一個(gè)法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為：，∴當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD12.一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合.若直線與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的離心率是 B.線段長(zhǎng)度的取值范圍是C.面積的最大值是 D.的周長(zhǎng)存在最大值【答案】AC【解析】【分析】求得橢圓的離心率推斷選項(xiàng)A；求得線段長(zhǎng)度的取值范圍推斷選項(xiàng)B；求得面積的最大值推斷選項(xiàng)C；依據(jù)表達(dá)式結(jié)合參數(shù)范圍推斷的周長(zhǎng)是否存在最大值.【詳解】由題意得半圓的方程為，設(shè)半橢圓的方程為，又，則，則半橢圓的方程為則橢圓的離心率，故選項(xiàng)A推斷正確；直線與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是.故選項(xiàng)B推斷錯(cuò)誤；不妨設(shè)則由，可得；由，可得；則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故選項(xiàng)C推斷正確；的周長(zhǎng)為則在上單調(diào)遞減，則的周長(zhǎng)不存在最大值.故選項(xiàng)D推斷錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．13.若數(shù)列是等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，為正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___.【答案】1【解析】【分析】利用與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，又是等比數(shù)列，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，此數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為.故答案為：1.14.已知數(shù)列滿意則___.【答案】1024【解析】【分析】由可得，從而可得數(shù)列是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，可求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求出【詳解】因?yàn)樗?，所以?shù)列是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故答案為：102415.已知?jiǎng)訄AP圓心P在y軸的右側(cè)，圓P與y軸相切，且與圓C：外切．則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】由題意，設(shè)點(diǎn)，圓P與y軸相切則圓P的半徑為，在依據(jù)兩圓的位置關(guān)系求出解析式即可.【詳解】由題知，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)閳AP與y軸相切，所以圓P的半徑為，由圓C：，所以圓心為，半徑，由圓P與圓外切，所以，即，化簡(jiǎn)得：故答案為：.16.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，作的垂線，垂足為，，若，則____________；_____________．【答案】①.4②.【解析】【分析】由拋物線的焦點(diǎn)為，求得p=4；過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，利用直線的斜率為,結(jié)合拋物線定義求解即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，所以，所以p=4；如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，由拋物線的定義知，，且，所以，，所以，所以直線的斜率為；設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，由，消去整理得，所以，所以，所以，所以的面積為.故答案為：；．四、解答題：本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知圓的方程為．（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)，且與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，求直線的方程．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）斜率不存在時(shí)明顯相切，斜率存在時(shí)，設(shè)出直線點(diǎn)斜式方程，由圓心到直線距離等于半徑求出，進(jìn)而得解；（2）設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，由幾何關(guān)系得圓心到直線距離為，進(jìn)而得解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，明顯與相切；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)，由幾何關(guān)系可得，解得，故，即，故過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為或；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，可設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，即圓心到直線距離，解得或7，故直線或，即或.18.如圖，三棱柱中，M，N分別是上的點(diǎn)，且．設(shè)，，．（1）試用，，表示向量；（2）若，求MN的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.（2）依據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：，∴；【小問(wèn)2詳解】解：，，，，，即MN的長(zhǎng)為.19.已知等差數(shù)列中，，，在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的，即可求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式（2）表示出的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公差為，則，所以解得，所以；由題設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題得，，∴，∴．所以．所以．【小問(wèn)2詳解】由題得．所以則兩式相減得所以．20.如圖，在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，易得四邊形為平行四邊形，從而，再利用線面垂直的判定定理證得平面即可.（2）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OF建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，然后由求解.【詳解】（1）如圖所示：連接交于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，所以，，又為的中點(diǎn)﹐，所以，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，.直四棱柱中，平面，平面，所以.又因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以，又，平面，平面，所以平?所以平面.（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由，知，又，則，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量.由，得，令，可得.設(shè)為平面的一個(gè)法向量.由，即，令，可得..如圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1、利用向量求異面直線所成的角的方法：設(shè)異面直線AC，BD的夾角為β，則cosβ＝.2、利用向量求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要留意結(jié)合實(shí)際圖形推斷所求角是銳角還是鈍角．21.設(shè)橢圓右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為，．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線l：與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若，求k的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可求得，.則橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意可得.易知直線的方程為，由方程組可得.由方程組可得.結(jié)合，可得，解出，或.經(jīng)檢驗(yàn)的值為.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得．又，所以，，所以，橢圓的方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以有，，，所以，即．易知直線的方程為，由方程組消去y，可得．由方程組消去，可得．由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或．當(dāng)時(shí)，由可得，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，由可得，，.所以，.22.已知等軸雙曲線：的虛軸長(zhǎng)為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)軸上是否存在確定點(diǎn)P，使得?若存在，懇求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）滿意題意的定點(diǎn)Р存在，坐標(biāo)為.【解析】【分析】（1）由題意得，，即可得到雙曲線方程；（2）依據(jù)已知可設(shè)直線AB的方程為.設(shè)存在，依據(jù)，可得，