山東省聊城市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期11月期中試題含解析

Page29Page29本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區(qū)和科類填寫到答題卡和試卷規(guī)定的位置上.2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.3.第II卷必需用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能運(yùn)用涂改液、膠帶紙、修正帶.4.不按以上要求作答的答案無效.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則“直線與直線平行”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件2.經(jīng)過兩條直線，的交點(diǎn)，且直線的一個方向向量的直線方程為（）A. B.C. D.3.已知平面ABC，，，，則空間的一個單位正交基底可以為（）A. B.C. D.4.橢圓和（）A長軸長相等 B.短軸長相等C.焦距相等 D.頂點(diǎn)相同5.已知圓截直線所得線段的長度是，則圓與圓的位置關(guān)系是A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離6.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館保藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達(dá)了圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則點(diǎn)A到平面的距離是（）A. B. C. D.7.已知圓，為圓內(nèi)一點(diǎn)，將圓折起使得圓周過點(diǎn)（如圖），然后將紙片綻開，得到一條折痕，這樣接著下去將會得到若干折痕，視察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線，則該圓錐曲線的方程為（）A. B.C. D.8.如圖，在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的確定值相等，則直線方程可能為（）A. B.C. D.10.已知點(diǎn)圓：上，直線，則（）A.直線與圓相交 B.直線與圓相離C.點(diǎn)到直線距離最大值為 D.點(diǎn)到直線距離最小值為11.正方體的棱長為，已知平面，則關(guān)于截此正方體所得截面的推斷正確的是（）A.截面形態(tài)可能為正三角形B.截面形態(tài)可能為正方形C.截面形態(tài)可能為正六邊形D.截面面積最大值為12.已知橢圓分別為它的左右焦點(diǎn)，分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）A.存在使得B.的最小值為C.直線與直線斜率乘積為定值D.，則的面積為9第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.與圓同圓心，且過點(diǎn)的圓的方程是：__________.14.如圖，平面，底面是正方形，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，與交于點(diǎn)，，若平面，則__________.15.點(diǎn)到直線（為隨意實(shí)數(shù)）的距離的最大值是__________.16.2024年第19屆亞運(yùn)會在中國浙江杭州實(shí)行，杭州有許多圓拱的懸索拱橋，經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建立圓拱橋時(shí)每隔5米需用一根支柱支撐，則與相距30米的支柱的高度是__________米.（留意：）四、解答題：本題共6小題，第17題10分，其它每題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線和圓.（1）求證：對隨意實(shí)數(shù)，直線和圓總有兩個不同交點(diǎn)；（2）設(shè)直線和圓交于兩點(diǎn).若，求的傾斜角.18.如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為45°，底面為直角梯形，，，．（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．19.已知圓.（1）過點(diǎn)作圓切線，求的方程；（2）若圓與圓相交于A、兩點(diǎn)，求.20.已知橢圓的焦距和短軸長相等，上頂點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且，求的值.21.如圖，四棱臺中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，，、分別為、的中點(diǎn)，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為.（1）求證：平面；（2）邊上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.22.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，的下頂點(diǎn)為，直線，點(diǎn)在上.（1）若，線段的中點(diǎn)在軸上，求的坐標(biāo)；（2）橢圓上存在一個點(diǎn)，到的距離為，使，當(dāng)變更時(shí)，求的最小值.

2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區(qū)和科類填寫到答題卡和試卷規(guī)定的位置上.2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.3.第II卷必需用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能運(yùn)用涂改液、膠帶紙、修正帶.4.不按以上要求作答的答案無效.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則“直線與直線平行”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用直線平行的性質(zhì)，分別推斷充分性和必要性即可.【詳解】若直線與直線平行，則，充分性成立；；當(dāng)時(shí)，則直線與直線平行，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不滿意題意，必要性不成立；所以直線與直線平行是的充分不必要條件.故選：A.2.經(jīng)過兩條直線，的交點(diǎn)，且直線的一個方向向量的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出交點(diǎn)，由方向向量可得斜率，然后由點(diǎn)斜式可得方程.【詳解】聯(lián)立，解得：，即直線的交點(diǎn)為，又直線的一個方向向量，所以直線的斜率為，故該直線方程為：，即故選：D.3.已知平面ABC，，，，則空間的一個單位正交基底可以為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)正交基地的定義可知，三個向量兩兩相互垂直，且模長為1.【詳解】因?yàn)槠矫鍭BC，AB、AC都在面ABC內(nèi)，所以，.因?yàn)椋?，，所以，又SA=1，所以空間的一個單位正交基底可以為.故選：A4.橢圓和（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.焦距相等 D.頂點(diǎn)相同【答案】C【解析】【分析】依據(jù)方程求出a，b，c后比較可得．【詳解】橢圓中，，，橢圓中中，，，只有半焦距相等，因此焦距相同，其他都不相同，故選：C．5.已知圓截直線所得線段的長度是，則圓與圓的位置關(guān)系是A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離【答案】B【解析】【詳解】化簡圓到直線的距離，又兩圓相交.選B6.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館保藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達(dá)了圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則點(diǎn)A到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，則平面的一個法向量為，則點(diǎn)A到平面的距離.故選：C7.已知圓，為圓內(nèi)一點(diǎn)，將圓折起使得圓周過點(diǎn)（如圖），然后將紙片綻開，得到一條折痕，這樣接著下去將會得到若干折痕，視察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線，則該圓錐曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】記點(diǎn)關(guān)于折痕的對稱點(diǎn)為A，折痕相交于點(diǎn)，分析的值，結(jié)合橢圓定義可解.【詳解】由題知，，記點(diǎn)關(guān)于折痕的對稱點(diǎn)為A，折痕相交于點(diǎn)，則點(diǎn)A在圓周上，折痕為線段的垂直平分線，如圖所示：則有，可知，所以點(diǎn)軌跡是以為左、右焦點(diǎn)的橢圓，其中長軸，焦距，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程，即折痕圍成輪廊的圓錐曲線的方程為.故選：.8.如圖，在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，，先利用空間向量法表示出線面角的正弦值，再結(jié)合二次函數(shù)求范圍即可.【詳解】如圖，設(shè)正方體棱長為1，，則，以原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，故，又，則，所以.在正方體中，可知體對角線平面，所以是平面的一個法向量，所以.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)或1時(shí)，取得最小值.所以.故選：A.【點(diǎn)睛】求空間中直線與平面所成角的常見方法為：(1)定義法：干脆作平面的垂線，找到線面成角；(2)等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點(diǎn)到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；(3)向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的確定值，即是線面成角的正弦值.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的確定值相等，則直線方程可能為（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】探討直線過原點(diǎn)時(shí)和直線不過原點(diǎn)時(shí)，分別求出對應(yīng)的直線方程即可．【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，斜率為，所求的直線方程為y=2x，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求的直線方程為x±y=k，把點(diǎn)A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，求得k=-1，或k=3，故所求的直線方程為，或；綜上知，所求的直線方程為、，或．故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題考查了利用分類探討思想求直線方程的問題，是基礎(chǔ)題．10.已知點(diǎn)在圓：上，直線，則（）A.直線與圓相交 B.直線與圓相離C.點(diǎn)到直線距離最大值為 D.點(diǎn)到直線距離最小值為【答案】BC【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心到直線的距離，即可推斷.【詳解】解：圓：，即，圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，又點(diǎn)在圓上，所以點(diǎn)到直線距離最大值為，點(diǎn)到直線距離最小值為，故正確的有B、C.故選：BC11.正方體的棱長為，已知平面，則關(guān)于截此正方體所得截面的推斷正確的是（）A.截面形態(tài)可能為正三角形B.截面形態(tài)可能為正方形C.截面形態(tài)可能為正六邊形D.截面面積最大值為【答案】AC【解析】【分析】借助正方體，畫出截面圖形，再對選項(xiàng)進(jìn)行一一推斷．【詳解】如圖，在正方體中，連接、、、，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，又因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，同理可證，因?yàn)?，、平面，則平面，所以平面與平面平行或重合，所以平面與正方體的截面形態(tài)可以是正三角形，當(dāng)、、、、、分別為對應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，截面為正六邊形，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，同理可得平面，又因?yàn)?，、平面，則平面平面，所以，平面，此時(shí)，截面為正六邊形，C對；將平面平移，可知截面不行能是正方形，B錯；如圖設(shè)截面為多邊形，設(shè)，則，則所以多邊形的面積為兩個等腰梯形的面積和，所以因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，D錯.故選：AC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間幾何體的截面問題，求解時(shí)要留意從動態(tài)的角度進(jìn)行分析問題和求解問題，結(jié)合函數(shù)思想求解最值.12.已知橢圓分別為它的左右焦點(diǎn)，分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）A.存在使得B.的最小值為C.直線與直線斜率乘積為定值D.，則的面積為9【答案】AD【解析】【分析】A選擇可由數(shù)量積求夾角余弦值來推斷的最大角是否大于等于直角即可；B選項(xiàng)利用橢圓的定義以及余弦定理結(jié)合基本不等式的學(xué)問可解；C選項(xiàng)干脆求，結(jié)合橢圓方程化簡可得定值，也可以記住這個小結(jié)論干脆推斷；D選項(xiàng)由橢圓定義和勾股定理可求的值，再利用面積公式求答案.【詳解】設(shè)橢圓上下頂點(diǎn)為，由題知橢圓中，，所以，，對于A選項(xiàng)，由于，所以的最大角為鈍角，故存在使得，故A正確；對于選項(xiàng)，記，則，由余弦定理：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取不正確；對于選項(xiàng)，設(shè)，則，于是，故C錯誤.對于D選項(xiàng)，由于，故，所以正確；故選：AD.第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.與圓同圓心，且過點(diǎn)的圓的方程是：__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)所求方程為，然后代入點(diǎn)即可求解.【詳解】設(shè)所求圓的一般式方程為，代入點(diǎn)，可得，解得，所以，所求圓的方程為.14.如圖，平面，底面是正方形，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，與交于點(diǎn)，，若平面，則__________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，依據(jù)求解即可.【詳解】如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則得一個法向量為.因?yàn)槠矫?，則，設(shè)，則，所以，解得，所以，即.故答案為：15.點(diǎn)到直線（為隨意實(shí)數(shù)）的距離的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】求出直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，由定點(diǎn)與的連線和直線垂直時(shí)距離最大可得結(jié)論．【詳解】直線可化為：，由，解得，直線恒過定點(diǎn)，時(shí)距離最大，點(diǎn)到直線的距離為，故答案為：.16.2024年第19屆亞運(yùn)會在中國浙江杭州實(shí)行，杭州有許多圓拱的懸索拱橋，經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建立圓拱橋時(shí)每隔5米需用一根支柱支撐，則與相距30米的支柱的高度是__________米.（留意：）【答案】【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)所求圓的半徑為，由勾股定理可列等式求得的值，進(jìn)而可求得圓的方程，然后將代入圓的方程，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而即可計(jì)算出的長．【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)圓拱橋弧所在圓的半徑為，由勾股定理可得，又，即，解得，所以圓心的坐標(biāo)為，則圓的方程為，將代入圓的方程得，又，解得，所以(米)．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，第17題10分，其它每題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線和圓.（1）求證：對隨意實(shí)數(shù)，直線和圓總有兩個不同交點(diǎn)；（2）設(shè)直線和圓交于兩點(diǎn).若，求的傾斜角.【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）解法1：聯(lián)立方程結(jié)合分析推斷；解法2：利用點(diǎn)到直線的距離推斷直線與圓的位置關(guān)系；解法3：依據(jù)直線過定點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分析推斷；（2）依據(jù)弦長關(guān)系求直線的斜率，進(jìn)而求直線的傾斜角.【小問1詳解】解法1：將代入，得，因?yàn)?，故直線和圓總有兩個不同的交點(diǎn)；解法2：由題意可知：圓圓心為，半徑，圓心到直線的距離，于是直線和圓總有兩個不同的交點(diǎn)；解法3：直線，即，令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，于是直線和圓總有兩個不同的交點(diǎn).【小問2詳解】圓心到直線的距離，由弦長公式，即，解得即直線的斜率為，所以的傾斜角為或.18.如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為45°，底面為直角梯形，，，．（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得向量，和平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（2）由平面的一個法向量，求得平面的一個法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．【小問1詳解】解：因?yàn)槠矫?，且平面，所以，，又因?yàn)?，所以，因?yàn)榕c底面所成的角為，所以，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，，可得，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，可得，取，則，可得，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．【小問2詳解】解：依據(jù)題意，平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量為，可得，取，則，，所以則，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．19.已知圓.（1）過點(diǎn)作圓的切線，求的方程；（2）若圓與圓相交于A、兩點(diǎn)，求.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)切線方程為，依據(jù)圓心到直線距離等于半徑即可求解；（2）利用兩圓方程消去求得公共弦所在直線方程，再由弦長公式可解.【小問1詳解】圓方程可化為，則圓心，半徑為2，由，可知點(diǎn)在圓外，由圖可知，過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè)的方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得或，的方程為或.【小問2詳解】由消去，整理得直線方程為，則圓心到直線的距離，直線與圓相交，所以.20.已知橢圓的焦距和短軸長相等，上頂點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意即可得，然后可解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓