人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

教材分析：

教科書章引言一方面指出了章頭圖所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型，另一方面還列舉了這些數(shù)學(xué)模型

的其他背景實(shí)例，從而指出本章將類比幕函數(shù)的研究方法，學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、

圖象和性質(zhì)，并對(duì)這幾類基本初等函數(shù)的變化差異進(jìn)行比較，以及運(yùn)用它們解決一些實(shí)際問

題.

教科書章頭圖是良渚遺址.通過章引言，指出生物體死亡后，體內(nèi)碳14的含量隨著時(shí)

間的變化按一定的規(guī)律衰減，引出本章將要學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中，往往是先通過

技術(shù)手段測(cè)出死亡生物體內(nèi)碳14的含量,然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)建立生物體內(nèi)碳14的含量與死

亡時(shí)間的關(guān)系，并利用對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)推算生物死亡的大致時(shí)間，從而實(shí)現(xiàn)考古的目的.由

于死亡生物體內(nèi)碳14的含量隨時(shí)間連續(xù)變化，說明引進(jìn)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕和無理數(shù)指數(shù)幕的必要

性，并為指數(shù)函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集提供了現(xiàn)實(shí)背景.

研究函數(shù)必先掌握運(yùn)算，而數(shù)及其運(yùn)算是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉和動(dòng)力之一，是數(shù)學(xué)的基

石.指數(shù)累運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算是兩類基本運(yùn)算，對(duì)數(shù)運(yùn)算與指數(shù)幕運(yùn)算緊密相連，需要轉(zhuǎn)化成

指數(shù)幕運(yùn)算，因此，熟練掌握指數(shù)幕運(yùn)算是本章的基礎(chǔ).

指數(shù)累運(yùn)算的本質(zhì)是數(shù)的自乘,把整數(shù)指數(shù)累運(yùn)算推廣到有理數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算的本質(zhì)就是

使用新的運(yùn)算符號(hào)表示根式運(yùn)算和分式運(yùn)算（負(fù)數(shù)指數(shù)塞運(yùn)算），簡(jiǎn)而言之就是從一個(gè)符號(hào)

的規(guī)定再到另一個(gè)符號(hào)的規(guī)定.只要能夠準(zhǔn)確進(jìn)行兩種運(yùn)算符號(hào)的轉(zhuǎn)化即可.而有理數(shù)指數(shù)

幕這種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)表示的簡(jiǎn)潔性、運(yùn)算的倬捕性都優(yōu)于分式和根式，這一符號(hào)的產(chǎn)生具有

其必然性.比如：a與b的算術(shù)平均數(shù)為：（。+5），幾何平均數(shù)為，可理解為運(yùn)算

級(jí)的上升.事實(shí)上從16世紀(jì)比利時(shí)數(shù)學(xué)家斯蒂文嘗試用分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)根式開始，歷經(jīng)17世紀(jì)牛

頓用有理數(shù)指數(shù)累符號(hào)表示根式，直至18世紀(jì)歐拉才明確給出定"而?:表示法才被人們

普遍接受和使用.指數(shù)幕運(yùn)算的發(fā)展史充分說明基于數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)潔性、準(zhǔn)確性和合理性，

有理數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算符號(hào)的產(chǎn)生與完善是有其歷史必然性的.

教科書在研究累函數(shù)時(shí)把正方形場(chǎng)地的邊長(zhǎng)c關(guān)于面積S的函數(shù)記作

c=S）引出分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的表示法.數(shù)學(xué)中，引進(jìn)一個(gè)新的概念或法則時(shí)，總希望它與己有

的概念或法則相容，于是從根式的意義入手，將正整數(shù)指數(shù)累轉(zhuǎn)化為被°=君【指數(shù)能被根

指數(shù)整除的根式，推廣到被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除的根式，又為了希望整數(shù)指數(shù)幕

的運(yùn)算能與其相容，于是只規(guī)定了被開方數(shù)為正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)運(yùn)算.事實(shí)上分?jǐn)?shù)指數(shù)幕是根

式的一種新的表示方法，其表示的簡(jiǎn)潔性、運(yùn)算的便捷性都優(yōu)于根式.而負(fù)數(shù)為被開方數(shù)的

分?jǐn)?shù)指數(shù)幕是需要擴(kuò)充到復(fù)數(shù)空間研究的，不能用根式解釋，故此時(shí)討論(-2)’之類的問

題也是沒有意義的.

因此本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：根式與有理數(shù)指數(shù)幕的意義及運(yùn)算性質(zhì).

學(xué)情分析：

雖然學(xué)生已經(jīng)掌握了整數(shù)指數(shù)幕的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，并在學(xué)習(xí)塞函數(shù)的過程中接觸過

二次根式的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的符號(hào)表示，但是由于n次方根及有理指數(shù)幕比較抽象，學(xué)生理解起

來還是有困難.

因此本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)是：理解根式及分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的定義，及有理數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì).

教科書是通過復(fù)習(xí)平方根、立方根的定義，然后類比出n次方根，歸納類比出n次方根

的一般定義與性質(zhì).n次方根的性質(zhì)實(shí)際上是平方根、立方根性質(zhì)的推廣.教學(xué)時(shí)，可以用

平方根、立方根、四次方根為基礎(chǔ)來加以說明，加深對(duì)這一性質(zhì)的理解.分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概

念的又一次推廣，教學(xué)中應(yīng)多舉實(shí)例讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，明確分?jǐn)?shù)指數(shù)幕是根式

的一種新的寫法，并通過根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化區(qū)分負(fù)數(shù)指數(shù)幕與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的不同，鞏

固、加深對(duì)有理數(shù)指數(shù)幕的理解.

教學(xué)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷n次方根定義形成過程，理解根式的意義，掌握根式的性質(zhì).

2.了解分?jǐn)?shù)指數(shù)塞表示的合理性、簡(jiǎn)潔性，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)累間的互化.

3.理解有理數(shù)指數(shù)幕意義，掌握其運(yùn)算性質(zhì)，并通過初步應(yīng)用提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：理解〃次方根及根式的概念，掌握根式的性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：理解根式及分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的定義，有理數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì).

教學(xué)過程：

1.獨(dú)立閱讀，明確任務(wù)

問題1請(qǐng)同學(xué)們先閱讀教材第四章的章頭圖和章引言，再回答如下問題：

(1)本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么？涉及到哪些函數(shù)？

(2)這些函數(shù)可以解決哪些現(xiàn)實(shí)問題？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立閱讀教材內(nèi)容，回答上述問題.

預(yù)設(shè)的答案：(1)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，及其相關(guān)知識(shí).

(2)比如人口增長(zhǎng)模型是指數(shù)函數(shù)；不可治愈的強(qiáng)傳染病在大量人群中傳播的初期都

是一個(gè)簡(jiǎn)單的指數(shù)增長(zhǎng)；聲音的強(qiáng)度單位分貝是用對(duì)數(shù)做單位的(因?yàn)槿硕鷮?duì)聲音的變化很

不敏感，其變化成倍數(shù)時(shí)才會(huì)有感)；衡量酸堿度的PH值也是取離子濃度的對(duì)數(shù)做單位

的……舉例時(shí)應(yīng)突出指數(shù)函數(shù)爆炸性增長(zhǎng)的特點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)增速變緩的特征.

設(shè)計(jì)意圖：明確本章研究?jī)?nèi)容、目的、實(shí)際應(yīng)用背景，為本章的研究指明方向.

2.創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考

問題2為了研究指數(shù)函數(shù)，我們需要把指數(shù)的范圍拓展到全體實(shí)數(shù).初中已經(jīng)學(xué)過整

數(shù)指數(shù)累，請(qǐng)回顧正整數(shù)指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)基的意義，并談?wù)務(wù)麛?shù)指數(shù)幕運(yùn)算與乘法、除

法運(yùn)算的關(guān)系.指數(shù)的范圍還能進(jìn)一步擴(kuò)充嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答，提出自己的猜想，教師予以歸納.

預(yù)設(shè)的答案：正整數(shù)指數(shù)幕來源于自乘運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)累運(yùn)算來源于數(shù)的自乘運(yùn)算的

倒數(shù)，這種募運(yùn)算在表示形式上更加簡(jiǎn)潔.在學(xué)習(xí)幕函數(shù)時(shí)曾經(jīng)把正方形場(chǎng)地的邊長(zhǎng)c關(guān)于

面積s的函數(shù)0二君記作c=,因此猜想，指數(shù)的范圍還能進(jìn)一步擴(kuò)充.

設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算，體會(huì)指數(shù)運(yùn)算源于數(shù)的自乘，同時(shí)為了表示的

簡(jiǎn)潔才引入了指數(shù)幕運(yùn)算，闡述指數(shù)塞運(yùn)算產(chǎn)生的必要性，以便引出分?jǐn)?shù)指數(shù)幕運(yùn)算.

3.類比歸納，形成定義

問題3請(qǐng)類比平方根、立方根的概念，試著說說4次方根，5次方根，10次方根，11

次方根，……你認(rèn)為n次方根應(yīng)該是什么？

預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：先由學(xué)生舉例解釋，然后進(jìn)行觀察、歸納、抽象.

預(yù)設(shè)答案：

學(xué)生舉例：①(土2)4=16,我們把叫做16的4次方根;

②(-2)5=-32,我們把叫做-32的5次方根；

③37=2187,我們把3叫做2187的7次方根;

教師講解:

〃次方根：一般地，若工”=4,則x叫做。的〃次方根，其中力＞L且

5

追問1：觀察所舉的例AD(±2)=16,我們把±2叫做16的4次方根；②(-2)=-32,

我們把-2叫做-32的5次方根；@37=2187,我們把3叫做2187的7次方根.當(dāng)n為偶數(shù)

時(shí)，被開方數(shù)的符號(hào)、〃次方根分別是什么？〃為奇數(shù)時(shí)呢？

預(yù)設(shè)的答案：當(dāng)?為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的?次方根用也表示；正數(shù)。的負(fù)的?次方

根用-也表示.正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫成士也.

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，。的〃次方根用符號(hào)也表示.

國叫做根式，其中"稱為根指數(shù)，。為被開方數(shù).

追問2：。的"次方根該如何規(guī)定？

預(yù)設(shè)的答案：零的“次方根為零，記為a=0.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般進(jìn)行觀察、歸納、抽象.形成n次方根的定義.

4.深入分析，精致定義

問題4對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)，它的n次方根分別是怎樣的？

預(yù)設(shè)答案：

〃為奇數(shù)，而欹方根有一個(gè)，為融

協(xié)正數(shù):

〃為偶數(shù)，邳欹方根有兩個(gè),為土而

〃為奇數(shù)，曲，次方根只有一個(gè)，為樂

a為負(fù)數(shù):.

〃為偶數(shù)，曲，次方根不存在.

設(shè)計(jì)意圖：規(guī)范根式的表示方法，通過對(duì)被開方數(shù)的分類討論，理解根式的意義.

問題5:（加）"=。一定成立嗎？而7表示"的"次方根,等式海=。一定成立嗎？

如果不一定成立，那么"等于什么？

預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生依然是通過大量舉例來解決問題.在舉例過程中注意進(jìn)行分類條

理，分類標(biāo)準(zhǔn)是："為奇數(shù)或偶數(shù)，。的符號(hào).

預(yù)設(shè)答案：

（1）由（檢/=2,（退/=-2,（皖/=-3,（盟『=4

（平球無意義，可以抽象得到：（％）"=。（。>0,〃曰*）；

（%）"=4（4<0,〃是奇數(shù)）；（夜）無意義是偶數(shù)）

也就是說，只要根式有意義則（柘）”=O.

（2）由取—3）3=劃-27=-3,N2,=432=2,—^/0=0,…

可以抽象得到："為奇數(shù)，聒=a；

（3）由0（-8）4=|-81=8，^（-3）=|-3|=3,>/7^'=|7|=7）^/o^=|o|=O,...

r-fa67>0

可以抽象得到：〃為偶數(shù)，0/旦。|=A.

一4a<0

小結(jié)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),化簡(jiǎn)得到結(jié)果先取絕對(duì)值，再根據(jù)絕對(duì)值算具體的值,

這樣就容易避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.

設(shè)計(jì)意圖：通過分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，進(jìn)一步理解n次方根概念，形成嚴(yán)謹(jǐn)

的邏輯劃分思想，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).將正整數(shù)指數(shù)塞轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)的指數(shù)能被根

指數(shù)整除的根式引出分?jǐn)?shù)指數(shù)幕運(yùn)算的定義.

追問1："=（%）”是否成立，舉例說明.

預(yù)設(shè)的答案：存'=（用［將'=（汨［如6）5=（2j,

［（一6『=6,（注,無意義.

追問2：談?wù)勀銓?duì)乘方與開方關(guān)系的理解，在實(shí)際化簡(jiǎn)運(yùn)算中該注意什么？

預(yù)設(shè)的答案：被開方數(shù)是正數(shù)時(shí)"=（夜）"，將=（我）'=25=32簡(jiǎn)化運(yùn)算.

預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成證明，然后交流展示.

設(shè)計(jì)意圖：通過簡(jiǎn)單應(yīng)用，落實(shí)一個(gè)數(shù)到底有沒有n次方根，一定先考慮被開方數(shù)到底

是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，還要分清n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況.通過反例說明兩步缺一不可.如果被

開方數(shù)是一個(gè)正數(shù)，那么一是一定成立的，并且其結(jié)果就是?為引出分?jǐn)?shù)指數(shù)

幕做鋪墊.

5.初步應(yīng)用，深化理解

例1求下列各式的值：

(1)^7；

(2)7(-10)2；

(3)#(3_萬)3

(4)&a-bf

追問：求解的依據(jù)是什么？

解：⑴而鏟'=-8;

(2)7(-10)2=|-10|=10；

(3).(3田，=萬-3；

(4)J(a_b)，=._.=［：b

\p-a,a<b-

6.類比研究，獲得有理數(shù)指數(shù)塞

問題6負(fù)整數(shù)指數(shù)幕是用于表示分式的，如-，其本質(zhì)是通過擴(kuò)充指數(shù)

的范圍表示分式.那么根式可以利用指數(shù)幕的形式表示嗎？如果能，你要如何擴(kuò)充指數(shù)的范

圍呢？嘗試給出一個(gè)合理規(guī)定表示根式，并談?wù)勀氵@樣規(guī)定的合理性.

預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生分組交流，可談出多種方法，教師可提示以不改變指數(shù)塞的運(yùn)

算性質(zhì)為標(biāo)準(zhǔn).

設(shè)計(jì)意圖：從16世紀(jì)比利時(shí)數(shù)學(xué)家斯蒂文嘗試用分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)根式開始，歷經(jīng)17世紀(jì)牛頓

用有理數(shù)指數(shù)幕符號(hào)表示根式，直至18世紀(jì)歐拉明確給出定義，這一表示法才被人們普遍

接受和使用.這一歷史發(fā)展過程充分說明分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的產(chǎn)生有其歷史必然性，學(xué)生可以通過

類比歸納，感受數(shù)學(xué)家制定規(guī)則時(shí)內(nèi)在的邏輯性、概念之間的相容性，體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，

提升類比推理的能力.

追問1:根據(jù)n次方根的定義和數(shù)的運(yùn)算，我們知道

ma'。='(一/=a?=q5>0),

y[a^='3『=a3=a4(a>0),

這就是說，被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除的根式，可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式.那

么被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除的根式，比如''，是否

也可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式？如何表示？

預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生類比猜想得到答案.

221331

拓出桂安標(biāo)=〃，標(biāo)=。4=。2,汨=疳，=a9=a3,(a>0)

坎收?告?萊：

教師講解：我們規(guī)定正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是

m

被開方數(shù)為負(fù)時(shí)不做研究.

設(shè)計(jì)意圖：為問題6的解決鋪設(shè)階梯.

追問2：閱讀教科書，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，談?wù)勜?fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義.零與負(fù)數(shù)有

分?jǐn)?shù)指數(shù)累嗎？能不能說說這些規(guī)定的合理性？

預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀教科書，回答問題.

預(yù)設(shè)答案：負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕是在正分?jǐn)?shù)指數(shù)募的基礎(chǔ)上取倒數(shù).規(guī)定0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕都

是0;0不能做分母，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞沒有意義.而負(fù)數(shù)為被開方數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕是需要

2

擴(kuò)充到復(fù)數(shù)空間研究的，不能用根式解釋，故此時(shí)討論(-2)3之類的問題也是沒有意義的.

規(guī)定：(1)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0；

(2)0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累沒有意義.

設(shè)計(jì)意圖：規(guī)范表示方法，通過探討數(shù)學(xué)符號(hào)形成的科學(xué)性與合理性，與根式比較體會(huì)

分?jǐn)?shù)指數(shù)表示在運(yùn)算中的簡(jiǎn)潔性，同時(shí)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕意義的本質(zhì)就是根式.

追問3：有理指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)有哪些？

預(yù)設(shè)的答案：

⑴a"=a"*(a>0,r,se0);

⑵=a"(o>0,7,,se0);

(3)(ab)'-arbr(a>0,6>0,7,e0);

7.初步應(yīng)用，深化理解

例2求值：

211

(1)83；(2)252；(3)(―尸

例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)募的形式表示下列各式（其中a>0）：

⑴a城(2)Ja設(shè).

追問：求解的依據(jù)是什么？

預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，并展示，教師予以糾錯(cuò)并規(guī)范.

預(yù)設(shè)的答案：

例2

223x2

解：⑴第=（2廳=2.=2?=4；

⑵25T=(52)+=5"嚀=5-J；；

例3

22

解：⑴a2^=a2a^=a^