高中數(shù)學(xué)類比推理

1.設(shè)△H3C的三邊長分別為4,G△且SC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為乙

2S

Y---------

則a+b+c.類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P-WBC的四個(gè)面的面積分別為

內(nèi)切球的半徑為L四面體尸一25。的體積為匕則廣=()

V2V

A.S1+S2H-S3H-S4B.Si+S2+S3-Sa

3V鐘

C.Si+SZ+SJ+SJD.SI+SZ+SJ+SJ

2.如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為/(i=1,234),

此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第，條邊的距離記為%(1=1,2,3,4),若

:=今=母=*=%,則九+24+34+4〃4=菅.類比以上性質(zhì)，體積

為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為S,3=1,2,3,4),此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)。到

第，個(gè)面的距離記為乩(i=l,2,3,4),若9l=*=邑=P1=K,則

1234

%+2"2+3“3+4”4等于()

、2VVc3VcV

A.Bn.C.—D.

K2KK3K

3.由直線與圓相切時(shí)，圓心到切點(diǎn)連線與直線垂直，想到平面與球相切時(shí)，

球心與切點(diǎn)連線與平面垂直，用的是()

A.歸納推理B.演繹推理C.類比推理D.傳遞性推理

4.我們知道，在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值且a,

2

類比上述結(jié)論，在邊長為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到其四個(gè)面的距離之和為定值

()

AV6R#nV3

3434

5.平面幾何中的三角形在立體幾何中類比的對象是()

A.三棱柱B.三棱臺C.三棱錐D.正方體

巧

6.平面凡何中，有邊長為。的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離之和為定值2—a，

2

類比上述命題，棱長為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為

()

,V4V5八"V6

A.aB.ciC.aD.---ci

3434

7.天文學(xué)家經(jīng)研究認(rèn)為：“地球和火星在太陽系中各方面比較接近，而地球有

生命，進(jìn)而認(rèn)為火星上也有生命存在"，這是什么推理()

A.歸納推理B.類比推理C.演繹推理D.反證法

8.由“在平面內(nèi)三角形的內(nèi)切圓的圓心到三邊的距離相等”聯(lián)想到“在空間

中內(nèi)切于三棱錐的球的球心到三棱錐四個(gè)面的距離相等”這一推理過程是

()

A.歸納推理B.類比推理C.演繹推理D.聯(lián)想推理

9.下列推理是歸納推理的是()

A.A,B為定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足|PA|+1PB1=2a>|AB],則P點(diǎn)的軌跡為橢圓

B.由卬=1,4=3〃-1,求出5,S2,S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和S”的表達(dá)式

C.由圓/=r2的面積乃r2,猜想出橢圓二■+勺=1的面積5=乃出?

a~b2

D.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇

10.下列正確的是()

A.類比推理是由特殊到一般的推理

B.演繹推理是由特殊到一般的推理

C.歸納推理是由個(gè)別到一般的推理

D.合情推理可以作為證明的步驟

11.①由''若a,b,cCR,則(ab)c=a(bc)"類比"若a、b>c為三個(gè)向量,

則(a,b)c=a(b?c)”；

②在數(shù)列｛aj中，a,—0,a?+i=2a?+2,猜想a“=2"-2；

③在平面內(nèi)“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比在空間中“四面體的任意

三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積”；

上述三個(gè)推理中，正確的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

12.下面幾種推理中是懣承推掌的序號為()

A.半徑為r圓的面積S="/,則單位圓的面積5=乃；

B.由金、銀、銅、鐵可導(dǎo)電，猜想：金屬都可導(dǎo)電；

C.由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體性質(zhì)；

D.由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為(無一a)2+(y-與2=產(chǎn)，推測空間直角坐

標(biāo)系中球的方程為(x—a)2+(y-0)2+(z-c)2=r2.

試卷第2頁，總12頁

13.由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球

切于四個(gè)面（）

A.各正三角形內(nèi)一點(diǎn)B.各正三角形的某高線上的點(diǎn)

C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某點(diǎn)

14.在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形A6C的內(nèi)切圓面積為外接圓

A=1

面積為S2,則§24,推廣到空間幾何中可以得到類似結(jié)論：若正四面體

A-88的內(nèi)切球體積為匕，外接球體積為匕，則匕（）

J_￡J_J_

A.4B.8C.16D.27

15.已知結(jié)論：''在正A43C中，中點(diǎn)為。，若A48C內(nèi)一點(diǎn)G到各邊

的距離都相等，則把=2”.若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長都

GD

相等的四面體A8CD中，若ABC。的中心為M,四面體內(nèi)部一點(diǎn)。到四面

An

體各面的距離都相等，則一上=（▲）

0M

A.1B.2C.3D.4

16.現(xiàn)有兩個(gè)推理：①在平面內(nèi)“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比在空間

中“四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積”；

②由“若數(shù)列｛?！埃秊榈炔顢?shù)列，則有4+＞；??+/=%+%成

立''類比”若數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列，則有04A??…瓦。7bM2??…%成立”,

則得出的兩個(gè)結(jié)論

A.只有①正確B.只有②正確

C.都正確D.都不正確

17.在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長比為1:2.則它們的面積之比為1:4.類

似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長比為1:2,則它們的體積比為（）

A.1:2B.1:4C.1:6D.1:8

18.下列平面圖形中與空間的平行六面體作為類比對象較合適的是（）

A.三角形B.梯形C.平行四邊形D.矩形

19.由“半徑為R的圓內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大”，推理出“半徑為R

的球的內(nèi)接長方體中，正方體的體積最大”是（）

A.歸納推理B.類比推理C.演繹推理D.以上都不

是

20.學(xué)習(xí)合情推理后，甲、乙兩位同學(xué)各舉了一個(gè)例子，

甲：由“若三角形周長為/,面積為S,則其內(nèi)切圓半徑二=二二”類比可得“若

I

3V

三棱錐表面積為S,體積為V,則其內(nèi)切球半徑尸=二”；

S

乙：由“若直角三角形兩直角邊長分別為a、b,則其外接圓半徑r=

”類比可得“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長分別為a、b、c,

2

則其外接球半徑r='*+"+匚”.這兩位同學(xué)類比得出的結(jié)論()

3

A.兩人都對B.甲錯(cuò)、乙對

C.甲對、乙錯(cuò)D.兩人都錯(cuò)

21.求“方程3、+4'=5、的解”有如下解題思路：設(shè)/*)=(1)*+(1)*，則

/(X)在R上單調(diào)遞減，且/(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.類比上述

解題思路，方程的解為.

X'X

22.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的1,把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，

3

類似的結(jié)論是——.

23.在等差數(shù)列｛??｝中，若40=°，則有

(〃<19,且〃eN*)成立.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列也,｝中，若d=1,

則存在的類似等式為.

24.半徑為r的圓的面積s(r)=萬/，周長。(廣)=2?廣，若將r看作(0,+

8)上的變量，則(萬產(chǎn))，=2萬「①，①式用語言可以敘述為：圓的面積函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù).對于半徑為R的球，若將R看作(0,+?)上的變量，

請寫出類比①的等式：.上式用語言可以敘述為

25.已知圓的方程是V+y2=產(chǎn)，則經(jīng)過圓上一點(diǎn)〃(為，打)的切線方程為

試卷第4頁，總12頁

=,類比上述性質(zhì)，可以得到橢圓》+方=1類似的性質(zhì)為

26.在RtAABC中，若/C=90°,AC=b,BC=a,則AABC的外接圓半徑r

將此結(jié)論類比到空間有___________

27.設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,則S4,S8-S4,SI2-S8,Sl6-5|2成等差

數(shù)列.類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列｛2｝的前n項(xiàng)積為7；,則

刀,,，不成等比數(shù)列.

28.在RSABC中,若NC=90。，AC=b,BC=a,斜邊AB上的高為h,則有結(jié)論

2.2

h2=ab,運(yùn)用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長度分別為

2,,2

a+b

a,b,c,且三棱錐的直角頂點(diǎn)到底面的高為h,則有結(jié)論：.

29.已知邊長分別為a、b、c的三角形ABC面積為S,內(nèi)切圓0半徑為r,連

接OA、OB、0C,則三角形OAB、OBC、OAC的面積分別為、-ar.-br,

222

iiipq

由S=±cr+上w+上初?得尸=一^—,類比得四面體的體積為V,四個(gè)面

222a+b+c

的面積分別為S|5S2,S3,S4,則內(nèi)切球的半徑R=

30.已知點(diǎn)A（x,，。為）,8（々,優(yōu)>）是函數(shù)y=優(yōu)（a>1）的圖象上任意不同兩點(diǎn)，

依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論

*士3

-->a2成立.運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)

2

A（X],sinxJ,B（x2，sin*2）是函數(shù)y=sinx（xe（O,乃））的圖象上任意不同兩

點(diǎn)，則類似地有成立.

31.如圖（1）有面積關(guān)系：墾也=如,則圖（2）有體積關(guān)系：上皿

PAPB匕

32.在平面上，我們用一直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角

形，按如圖所標(biāo)邊長，由勾股定理有=/+匕2.設(shè)想正方形換成正方體，

把截線換成如圖截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐

O-LMN,如果用S”S2,§3表示三個(gè)側(cè)面面積，$4表示截面面積，那么類

比得到的結(jié)論是.

N

33.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑r與它的高〃的關(guān)系是：r=-h,把這個(gè)結(jié)論

3

推廣到空間正四面體，則正四面體內(nèi)切球的半徑r與正四面體高的關(guān)系

是-

34.在平面上，到直線的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是兩條平行直線.類比在空

間中：

(1)到定直線的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是;

(2)到已知平面相等的點(diǎn)的軌跡是.

35.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是。的

正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積

2

恒為幺；類比到空間，有兩個(gè)棱長均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另

4

一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為—

試卷第6頁，總12頁

36.若等差數(shù)列｛4,｝的首項(xiàng)為6,公差為d,前〃項(xiàng)的和為S.,則數(shù)列｛出｝為

n

等差數(shù)列，且通項(xiàng)為2?=q+（〃-l＞g.類似地，請完成下列命題：若各項(xiàng)

n2

均為正數(shù)的等比數(shù)列也,｝的首項(xiàng)為仇，公比為“，前〃項(xiàng)的積為7；,

則.

37.對于問題：“已知關(guān)于x的不等式ax?+法+。＞0的解集為（-1,2）,

解關(guān)于尤的不等式ax?—"+。＞0"，給出如下一種解法：

解：由+的解集為（T,2）,得a（-x）2+0（-x）+c＞0的解

集為（-2,1）,

即關(guān)于x的不等式數(shù)2—"+c＞。的解集為（-2,1）

kx+b1

參考上述解法，若關(guān)于力的不等式一^+±=±＜0的解集為（-1,--）U

x+ax+c3

（-,1）,則關(guān)于X的不等式一竺+竺擔(dān)＜0的解集為—

2ax+1cx+1

38.在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1：2,則它們的面積比為1:4,

類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1：2,則它們的體積比為

39.已知拋物線有性質(zhì)：過拋物線的焦點(diǎn)作一直線與拋物線交于A、8兩點(diǎn)，

則當(dāng)與拋物線的對稱軸垂直時(shí)，A3的長度最短；試將上述命題類比到其

他曲線，寫出相應(yīng)的一個(gè)真命題為.

40.將側(cè)棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，三棱錐的側(cè)面和底面分別

叫為直角三棱錐的“直角面和斜面”；過三棱錐頂點(diǎn)及斜面任兩邊中點(diǎn)的截面

均稱為斜面的“中面”.請仿照直角三角形以下性質(zhì)：（1）斜邊的中線長等于

斜邊邊長的一半；（2）兩條直角邊邊長的平方和等于斜邊邊長的平方；（3）斜

邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1.寫出直角三棱錐相應(yīng)性質(zhì)（至少

一條）：.

42.通過圓與球的類比，由“半徑為R的圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積為

最大，最大值為2a.”猜想關(guān)于球的相應(yīng)命題為“半徑為R的球內(nèi)接六面體

中以的體積為最大，最大值為"

43.在平面內(nèi)，三角形的面積為S,周長為C,則它的內(nèi)切圓的半徑r=二L在

C

空間中，三棱錐的體積為V,表面積為S,利用類比推理的方法，可得三棱錐

的內(nèi)切球（球面與三棱錐的各個(gè)面均相切）的半徑R=。

（-）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題,兩題都選的只計(jì)算第14

題的得分.）

44.已知結(jié)論：“正三角形中心到頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離的2倍”。若把

該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：_________________________________________

45.在等差數(shù)列｛%｝中,若為0=°，則有等式

a｝+a2-\---=6+g+（〃＜19,〃eN"）成立，類比上述性

質(zhì)，在等比數(shù)列也,｝中，若d=1,則有等

式.

11、4

--1--2--

46.已知命題“設(shè)是正實(shí)數(shù)，如果4+4=機(jī)，則有qa2根用

類比思想推廣，”設(shè)是正實(shí)數(shù)，如果4+4+%=，〃，

則。

47.在圓中有結(jié)論：如圖所示，“48是圓。的直徑，直線劭是圓。過4

8的切線，尸是圓。上任意一點(diǎn)，切是過F的切線，則有"=用?加”.類

比到橢圓：“48是橢圓的長軸，直線4C,即是橢圓過4,8的切線，。是橢圓

上任意一點(diǎn)，口是過〃的切線，則有一▲一”

48.在平面幾何中，已知“正三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離之和是一個(gè)定值”，類

比到空間寫出你認(rèn)為合適的結(jié)論：..

22

49.若點(diǎn)6（%,%）在橢圓5+1=1（。＞。＞0）外，過點(diǎn)《作該橢圓的兩

ab~

條切線的切點(diǎn)分別為,則切點(diǎn)弦［外所在直線的方程為

22

辮+音=1.那么對于雙曲線「―4=］（。＞0/＞（））,類似地，可以得

abab

試卷第8頁，總12頁

到一個(gè)正確的命題為“若點(diǎn)不在雙曲線「-5=1(?>Q,b>0)

a'b

上，過點(diǎn)外作該雙曲線的兩條切線的切點(diǎn)分別為片,呂，則切點(diǎn)弦耳鳥所在直

線的方程為

50.對于平面幾何中的命題：“夾在兩條平行線之間的平行線段相等"，在立體幾

何中,類比上述命題，可以得到命題:“”這個(gè)類比

命題的真假性是

51.將側(cè)棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，三棱錐的側(cè)面和底面分別

叫直角三棱錐的“直角面和斜面”：過三棱錐頂點(diǎn)及斜面任兩邊中點(diǎn)的截面均

稱為斜面的“中面”.已知直角三角形具有性質(zhì)：“斜邊的中線長等于斜邊邊

長的一半”.仿照此性質(zhì)寫出直角三棱錐具有的性質(zhì)：.

52.試通過圓和球的類比，由“半徑為R的圓內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最

大，最大值為2肥”，猜測關(guān)于球的相應(yīng)命題

由C

53.下列使用類比推理所得結(jié)論正確的序號是

(1)直線。，"c.若allb,bllc,則a〃c.類推出：向量瓦c,若?！˙,M/c

則allc

(2)同一平面內(nèi)，三條不同的直線a,b,c,若則a〃4類推出：

空間中，三條不同的直線a,。,c,若4_1。,。_1_0,則

(3)任意b>0則a>b.類比出：任意。力€。,4一6>0則。>6

(4)、以點(diǎn)(0,0)為圓心，r為半徑的圓的方程是一+丁=/類推出：以點(diǎn)

(0,0,0)為球心，r為半徑的球的方程是x2+y2+z2=r2

54.等差數(shù)列有如下性質(zhì)，若數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，則當(dāng)

刈=幺+衛(wèi)+…+2時(shí)，數(shù)列仍“｝也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地

n

｛c〃｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列｛"〃｝也是等比數(shù)列。

55.在Rt^ABC中，CAXCB,斜邊AB上的高為力,則與=—二+—］：類

h；CA2CB2

比此性質(zhì)，如圖，在四面體P—ABC中，若PA,PB,PC兩兩垂直，底面ABC上

的高為h,則h與PA,PB,PC有關(guān)系式：.

56.若｛2｝是等比數(shù)列，祖,〃，〃是互不相等的正整數(shù)，則有正確的結(jié)論:

(b(b(b

上V.一LY?」Y=1.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若｛%｝是等差數(shù)列，

b

yP)

m,n,p是互不相等的正整數(shù)，則有正確的結(jié)

論：..

57.我們知道：周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長一定的所有

矩形與圓中，圓的面積最大.將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論

是.

58.在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)(x0,%)為圓心，r為半徑的圓的方程為

222

(x-x0)+(y-y0)=r,類比圓的方程，請寫出在空間直角坐標(biāo)系中以點(diǎn)

P(x0,%,z°)為球心，半徑為r的球的方程為.

59.在平面幾何里，已知直角三角形ABC中，角C為90,AC=b,BC=a，運(yùn)用

類比方法探求空間中三棱錐的有關(guān)結(jié)論：

有三角形的勾股定理，給出空間中三棱錐的有關(guān)結(jié)論：

若三角形ABC的外接圓的半徑為/'=上——,給出空間中三棱錐的有關(guān)結(jié)

2

論：________

60.己知P(x。,yo)是拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn),過P點(diǎn)的切線方程的斜率可

通過如下方式求得：

在y-2px兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得：

2yy'=2p,則y'=2，所以過P的切線的斜率:k=B.

yYo

試卷第10頁，總12頁

2

y

試用上述方法求出雙曲線X2-E=I在P（&,m）處的切線方程為.

APAr

61.在平面幾何中，的內(nèi)角平分線應(yīng)分4?所成線段的比為生上，

EBBC

把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐｛一版中（如圖所示），平面〃笫平分二面

角/一切一夕且與用相交于E,則得到的類比的結(jié)論是.

62.類比平面幾何中“三角形任兩邊之和大于第三邊”，得空間相應(yīng)的結(jié)

論為.

63.已知。是aABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AO、BO、CO并延長交對邊于A',B',C',

則史+”+色2=這是一道平面幾何題其證明常采用，，面積法”.

AA'DD'「

0A'+OB'+_S^OBC+SAOCA+SAOAB_SAABC=1，

A4'BB'CCS^BCSZMBC^&ABC

請運(yùn)用類比思想，對于空間中的四面體V—BCD,存在什么類似的結(jié)論？并用

體積法證明.

64.把空間平行六面體與平面上的平行四邊形類比，試由“平行四邊形對邊相

等”得出平行六面體的相關(guān)性質(zhì).

65.如圖（1）,在三角形ABC中，ABLAC,若AOJ.BC,則AB2=8Z>BC；

若類比該命題，如圖（2）,三棱錐4-8C。中，AO_L面48C,若A點(diǎn)在三角

形8co所在平面內(nèi)的射影為M,則有什么結(jié)論？命題是否是真命題.

圖（1）圖（2）

66.（本小題12分）類比平面直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性

質(zhì)的猜想，并證明。

試卷第12頁，總12頁

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參考答案

1.C

【解析】

試題分析：設(shè)內(nèi)切球的球心為0,所以可將四面體P-A8C分為四個(gè)小的三棱錐，即

0-J5co-PJB。-PACZO-PBC,而四個(gè)小三棱錐的底面積分別是四面體P-WBC

的四個(gè)面的面積，高是內(nèi)切球的半徑，所以

,,11111,、3F

V=7s/+彳s?r+彳s3r+-s4r=-(電+^+^+“)匕二尸=--------------

33333S1+$2+與+“

故選c?

考點(diǎn)：類比推理。

【方法點(diǎn)睛】類比推理是一種重要的推理方法，可以根據(jù)已知題目方法推理出所求題目的方

法，甚至直接從形式上推理出答案。本題可以通過三角形面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系的推導(dǎo)方

法，推理出四面體的體積與其內(nèi)切球的半徑的關(guān)系。三角形的內(nèi)切圓的圓心與三個(gè)頂點(diǎn)相連

可將三角形分為三個(gè)小的三角形，每個(gè)小三角形的底邊是原三角形的邊，高為其內(nèi)切圓的半

徑，運(yùn)用類比推理，可將四面體的內(nèi)切球的球心將四面體分為四個(gè)小的四面體，每個(gè)小四面

體的底面是原四面體的四個(gè)面，高為其內(nèi)切球的半徑，從而得解。

2.C

【解析】

3V

試題分析：類比，得”1+2〃2+3”3+4"4=二一；證明如下：連接。與三棱錐的四個(gè)頂

K

點(diǎn)，則將原三棱錐分成四個(gè)小三棱錐，其體積和為V,即

K+K+匕+匕=v,!(號“|+$”|+$“1+5Y)=\/,又由,=3=3=}=犬，

K

得S\=K,S[=2K,S,=3K,S4=4K,則—(//,+W2+//3+W4)=V,即

3V

2H2+3H3+4H4=乙，故選C.

K

考點(diǎn)：類比推理.

【名師點(diǎn)睛】類比推理的應(yīng)用一般分類比定義、類比性質(zhì)和類比方法.

類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來求解；

類比性質(zhì)：從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比性問題，求解時(shí)要

認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵；

類比方法:有一些處理問題的方法具有類比性，可將這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，

注意知識的遷移.

3.C

【解析】

試題分析：類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相

同的推理。本題中描述的都是關(guān)于相切問題下的性質(zhì)，因此屬于類比推理

考點(diǎn)：類比推理

4.A

【解析】

試題分析：此四棱錐的高為立a]=凡,

丫132J3

答案第1頁，總15頁

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所以此棱錐的體積為V=/sin60]

3（2）312

棱錐內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為〃，可將此棱錐分成4個(gè)同底的小棱錐根據(jù)體積相等

3

可得sin601/7=—a,

3（2）12

解得〃故A正確.

3

考點(diǎn)：1棱錐的體積；2類比推理.

5.C

【解析】

試題分析：一般平面幾何中的點(diǎn)對應(yīng)立體幾何中的線，線對應(yīng)平面，所以對應(yīng)的是三棱錐.

考點(diǎn)：類比推理

6.C

【解析】

試題分析：設(shè)任一點(diǎn)。到四個(gè)平面ABCABRACRBCD的距離分別為4，。2,13，4，

則正四面體的體積

^A-BCD~%-ABC+V()_ABD+^O-ACD+^O-liCD~§(^MBC'山+MBDX4+&ACDX4+S.CDX%)

正四面體的體積等于V=1XSAX/2=|XSAX(J,+d2+di+dA),所以

dA+d2+d3+d4^h,這樣轉(zhuǎn)化為求正四面體的高，求法，如圖:

由點(diǎn)A向平面BCD引垂線，垂足為P,連BP,這樣在直角三角形ABP內(nèi)，根據(jù)勾股定理:

AP^h^^AB2-BP2=Ja2-\—a\=—a,故選C.

VI3J3

答案第2頁，總15頁

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考點(diǎn)：1.類比推理；2.等體積轉(zhuǎn)化求高.

7.B

【解析】

試題分析：類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相

同的推理.

考點(diǎn)：類比推理

8.B

【解析】

試題分析：圓的圓心=三棱錐的球的球心，相同類型，用類比方法.

考點(diǎn)：類比推理.

9.B

【解析】

試題分析：A選項(xiàng)用的雙曲線的定義進(jìn)行推理，不符合要求.B選項(xiàng)根據(jù)前3個(gè)5，S2,S3

的值，猜想出S.的表達(dá)式，屬于歸納推理，符合要求.C選項(xiàng)由圓Y+yJr?的面積Sumi,

猜想出橢圓一+==1的面積5=萬。匕，用的是類比推理，不符合要求.D選項(xiàng)用的是演

a"b~

繹推理，不符合要求.故選B.

考點(diǎn)：歸納推理.

10.C

【解析】

試題分析：對于A,類比推理是從個(gè)別到個(gè)別的推理，故A錯(cuò)；對于B：演繹推理是由一般到

特殊的推理，故B錯(cuò)；對于C：歸納推理是由個(gè)別到一般的推理，是正確的；對于D：合情

推理不可以作為證明的步驟，故D錯(cuò)；因此選C.

考點(diǎn)：推理方法.

11.C

【解析】

試題分析：①顯然錯(cuò)誤，向量沒有結(jié)合律；

②根據(jù)an+i=2an+2,可構(gòu)造出a?+[+m=2（%+加），即加=2,可得與比士2=2,該數(shù)列

a?+2

是公比為2,首項(xiàng)是4+2=2的等比數(shù)列，所以其通項(xiàng)公式為a0+2=2",可得an=2"-2,

正確；

③四面體就是三棱錐,可看作是底面三角形中任取一點(diǎn),將其向上提而形成的幾何體,顯然三

個(gè)側(cè)面的面積之和大于底面面積.正確.

考點(diǎn)：向量運(yùn)算定律;利用遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式;空間幾何的猜想.類比推理.

12.A

【解析】

試題分析：根據(jù)演繹推理的定義，應(yīng)該是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，

只有A符合從特殊到一般這一特征.

考點(diǎn)：演繹推理的定義.

13.C

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【解析】

試題分析：四面體的面可以與三角形的邊類比，因此三邊的中點(diǎn)也就類比成各三角形的中心，

故選C.

考點(diǎn)：類比推理.

14.D

【解析】平面上，若兩個(gè)正三角形的內(nèi)切圓與外接圓面積的比為1：4,則它們的半徑比為1：

2,類似地，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，得出：在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的外

接球的半徑比為1：3,則它以體積比為1：27,故選D

15.C

【解析】解：設(shè)正四面體ABCD邊長為1,易求得AM=—,又0到四面體各面的距離都相

3

等，

所以0為四面體的內(nèi)切球的球心，設(shè)內(nèi)切球半徑為r,則有r=3V/S表，可求得r即0M=*5,

12

所以AO=AM-OM=-,所以AO0M=3故答案為：3

4

16.C

【解析】因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比在空間中“四面體的任意三個(gè)

面的面積之和大于第四個(gè)面的面積”成立。同理根據(jù)等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)性質(zhì)可知也成立，

選C

17.D

【解析】

試題分析：

由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合三角形的面積比的方法類比求四面體的體積比即

可解：平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1：2,則它們的面積比為1：4,類似地，由

平面圖形面積類比立體圖形的體積，得出：在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1：2,

則它們的底面積之比為1：4,對應(yīng)高之比為1：2,所以體積比為1：8故選D

考點(diǎn)：類比推理

點(diǎn)評：本試題主要是考查了類比推理，類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的

一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去。

18.C

【解析】

試題分析：根據(jù)題意，由于平面圖形中與空間的平行六面體作為類比對象，那么最適合的

為平行四邊形的運(yùn)用，故可知答案為C.

考點(diǎn)：類比推理

點(diǎn)評：主要是考查了類比推理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。

19.B

【解析】

試題分析：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類

事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）.所以，由“半徑為R

的圓內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大”，推理出“半徑為R的球的內(nèi)接長方體中，正方體的

答案第4頁，總15頁

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體積最大”是類比推理。選B。

考點(diǎn)：本題主要考查類比推理。

點(diǎn)評：簡單題，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用

一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）.

20.C

【解析】利用等面積與等體積法可推得甲同學(xué)類比的結(jié)論是正確的；把三條側(cè)棱兩兩垂直的

三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，則此三棱錐的外接球半徑等于長方體的外接球半徑，可求得其半徑

r=-..........-,因此，乙同學(xué)類比的結(jié)論是錯(cuò)誤的.

2

21.-1或1

【解析】

試題分析：設(shè)/（6=丁+*_（++：）函數(shù)的增區(qū)間為（-00,0）（0,+oo）且

/（-1）=0,/（1）=0,所以方程x3+x=-^+-的解為-1或1

XX

考點(diǎn)：方程與函數(shù)的互相轉(zhuǎn)化

22.正四面體內(nèi)切球的半徑是高的工

4

【解析】

試題分析：類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相

同的推理。本題中正三角形內(nèi)切圓類比到空間為正四面體內(nèi)切球，因此類似的結(jié)論為正四面

體內(nèi)切球的半徑是高的1

4

考點(diǎn)：類比推理

23.bxb2■?-bn=bxb2?--bxl_n（n<17,且〃wN*）

【解析】

試題分析：等差是加，等比就是乘，由已知，當(dāng)19-〃〉〃時(shí)，〃<10右邊-左邊等于

??+1+an+2+....+?|9_?=（19-2n）aw=0,所以原式成立，當(dāng),210時(shí)，左邊-右邊等于

%0-"+%「"+???+%=（2〃-19Mo=。，所以原式成立當(dāng)為等比數(shù)列時(shí)，猜想

4）2…a=4匕2…仇7-"（〃<17，且〃GN*），當(dāng)17—時(shí)，〃<9時(shí)，右邊/左邊

=bn+ibn+2…仇7_〃=1等式成立，當(dāng)17—〃<〃時(shí)，即〃29時(shí)，右邊/左邊

=仇8fbi9f…-b“=b『"=11等式成立。

考點(diǎn)：1.類比推理；2.等差數(shù)列的性質(zhì)；3.等比數(shù)列的性質(zhì).

24.（1萬R3），=4萬R2,球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)

【解析】

答案第5頁，總15頁

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試題分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式知：（：4乃Ra》=4〃R,2,用語言敘述為球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

等于球的表面積函數(shù).

考點(diǎn)：類比推理

22

25.經(jīng)過橢圓「+2=1上一點(diǎn)P（%,先）的切線方程為岑+*=1

a-b-ab-

【解析】圓的性質(zhì)中，經(jīng)過圓上一點(diǎn)〃（面,％）的切線方程就是將圓的方程中的一個(gè)％與y

22

分別用M（玉），為）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換.故可得橢圓3+斗=1類似的性質(zhì)為：過橢圓

22

5+與=1上一點(diǎn)P5,%）的切線方程為岑+誓=1.

a'b'a"b'

26.在三棱錐A—BCD中，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且AB=a,AC=b,AD=c,則此三

序+:2+c2

棱錐的外接球半徑R=AF—~~-

【解析】

試題分析：根據(jù)類比推理的特點(diǎn)，平面中的直角三角形應(yīng)類比空間中三十個(gè)側(cè)面兩垂直的三

棱錐；平面中三角形的外接圓類比空間中三棱錐的外接球，于是答案應(yīng)填：在三棱錐A—BCD

中，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且AB=a,AC=b,AD=c,則此三棱錐的外接球半徑R

la2+b2+c2

一q2

考點(diǎn)：合情推理.

o7（

【解析】

試題分析：當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)54,58-54，&2-58，耳6-52成立，所以由類比推理可得：

當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)應(yīng)為“Q.

考點(diǎn)：類比推理.

a2b2+b2c2+c2a

【解析】

試題分析：

如圖，設(shè)PA、PB、PC為三棱錐的三條兩兩互相垂直的側(cè)棱,

答案第6頁，總15頁

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三棱錐P-ABC的高為PD=h,

連接AD交BC于E,

：PA、PB、PC兩兩互相垂直，

平面PBC,PEu平面PBC,

APAlPE,PA1BC,

AAE1BC,PE±BC

八「

b2c2PA2PE?〃2+C-

PE2h2=PD2

b2+c2PA2+PE2

b'+c~

a2b2c2

a2b-+b2c2+c2a-

考點(diǎn)：類比推理.

S]+S,+S3+S4

【解析】

試題分析：設(shè)球心為0,分別連結(jié)四個(gè)頂點(diǎn)與球心0,將四面體分割成底面面積分別為

S1,S2，S3，S4高為R的三棱錐，其體積分別為:^S2R,h3R,1S47?,由

11113V

V=—SiR+—S,R+—S、R+7R得,R=-----------------------

1234

3333S,+S,+S3+S4

考點(diǎn)：類比推理

30.2也殳<sin土土強(qiáng)

22

【解析】

試題分析：由于函數(shù)y=a*(a>l)的圖象上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位

答案第7頁，總15頁

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ax'+淖忙”

于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論^_—