高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (18)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（18）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，共25.0分）

1.己知四棱錐P-4BC。的五個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上,AB=AD=CD^BC,BC//AD,/.ABC=

60。，AP4B是等邊三角形，若四棱錐P-4BCO體積的最大值為9b，則球O的表面積為

A.567rB.547rC.527rD.50兀

2.在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，點(diǎn)O,E分別是邊AC,AB上的點(diǎn)，滿足DE〃BC且,=犯€

（0,1））.將AADE沿直線OE折到AdDE的位置.在翻折過程中，下列結(jié)論成立的是（）

A.在邊AE上存在點(diǎn)F,使得在翻折過程中，滿足BF〃平面4CD

B.存在46（0，），使得在翻折過程中的某個(gè)位置，滿足平面4'BC_L平面8CDE

C.若;1=；,當(dāng)二面角4-OE-B為直二面角時(shí)，|48|=回

D.在翻折過程中，四棱錐a'-BCOE體積的最大值記為f（Q,/（4）的最大值為手

3.己知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且AB=b，BC=V7.AC=2,則此三棱錐的

外接球的體積為（）

A8n8>/2"16n32

A-”B-—nc-丁D--n

4.在三棱錐4-BCD中，4ABD與4CBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且二面角4-BD-C的平面

角為120。，則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.7兀B,87rC.等D.等

33

5.邊長(zhǎng)為1的正方體4BC0-4B1GD1的棱上有一點(diǎn)尸，滿足|PB|+|PDi|=6，則這樣的點(diǎn)共

有（）

A.6個(gè)B.9個(gè)C.12個(gè)D.18個(gè)

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共9小題，共36.0分）

6.20世紀(jì)50年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術(shù)，通過石墨等碳質(zhì)原料和某些金屬反應(yīng)可

以人工合成金剛石，人工合成金剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及

他們的過渡形態(tài).其中立方八面體（如圖所示）有24條棱、12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面（6個(gè)正方形、八個(gè)

正三角形）,它是將立方體“切”去8個(gè)“角”后得到的幾何體.已知一個(gè)立方八面體的棱長(zhǎng)為1,

則（）

A.它的所有頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，且該球的直徑為2.

B.它的任意兩條不共面的棱所在的直線都互相垂直.

C.它的體積為

3

D.它的任意兩個(gè)共棱的面所成的二面角都相等.

7.正方體48。。一41816。1中，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)在側(cè)面

CCCiG上運(yùn)動(dòng)，且滿足〃平面&BE.以下命題正確的有（

A.側(cè)面CD/Ci上存在點(diǎn)F,使得名尸1CDr

B.直線當(dāng)尸與直線2C所成角可能為30°

C.平面&BE與平面CDDiG所成銳二面角的正切值為2魚

D.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則過點(diǎn)E,F,A的平面截正方體所得的截面面積最大筆

8.已知一個(gè)三棱錐，有一個(gè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，兩個(gè)面為等腰直角三角形，則該三棱錐的

外接球的表面積可能是（）

腰直角三角形，AB1BC,且4c=441=2,E,尸分別是AC,4G的中點(diǎn)，D,M分別是

BBi上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.FM與8。一定是異面直線

B.三棱錐O-ME產(chǎn)的體積為定值;

C.直線B1G與8。所成角為；

D.若。為A4的中點(diǎn)，則四棱錐。一B&FE的外接球表面積為5訂

10.如圖,在長(zhǎng)方體力$1（：1萬一4282c2。2中，4遇2=24/1=

2B】Ci=2,如圖，A,B,C分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論

中成立的是（）

A.異面直線。2c與所成的角為60°

B.平面&BCD2與平面ABGDi所成二面角的大小為120。

C.點(diǎn)&與點(diǎn)C到平面力BCiA的距離相等

D.平面&BC1截長(zhǎng)方體所得的截面面積為當(dāng)

11.如圖，在四棱錐P-4BCD中，PC_L底面ABC。，四邊形ABC。是

直角梯形，AB//CD,ABLAD,AB=2AD=2CD=2,F是AB

的中點(diǎn)，E是PB上的一點(diǎn)，則下列正確的是（）

A.若PB=2PE,則EF〃平面PAC

B.若PB=2PE,則四棱錐P-ABCD的體積是三棱錐E-4CB體積的6倍

C.三棱錐P-ADC中有且只有三個(gè)面是直角三角形

D.平面BCP_L平面4CE

12.（多選題）如圖所示，在正方體4BCD-41B1GD1中，M,N分別為棱

GO1，GC的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（）.

A.直線AM與CCi是相交直線

B.直線AM與8N是平行直線

C.直線8N與MB1是異面直線

D.直線MN與AC所成的角為60。.

13.20世紀(jì)50年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術(shù)，通過石墨等碳質(zhì)原料和某些金屬反應(yīng)可

以人工合成金剛石.人工合成金剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及

它們的過渡形態(tài).其中立方八面體（如圖所示）有24條棱、12個(gè)頂點(diǎn)、14個(gè)面（6個(gè)正方形、8個(gè)

正三角形），它是將立方體“切”去8個(gè)“角”后得到的幾何

體.已知一個(gè)立方八面體的棱長(zhǎng)為1,則（）

A.它的所有頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，且該球的直徑為2匕）

B.它的任意兩條不共面的棱所在直線都相互垂直/

c.它的體積為苧/、

D.它的任意兩個(gè)共棱的面所成的二面角都相等

14.已知M是正方體4BCD-4B1GD1的棱0%的中點(diǎn)，則下列是真命題的是（）

A.過點(diǎn)M有且只有一條直線與直線AB,BiG都相交

B.過點(diǎn)M有且只有一條直線與直線AB,BiG都垂直

C.過點(diǎn)M有且只有一個(gè)平面與直線AB,8也1都相交

D.過點(diǎn)M有且只有一個(gè)平面與直線AB,當(dāng)Ci都平行

三、填空題（本大題共3小題，共15.0分）

15.在正四棱錐P-ABCD中，頂點(diǎn)尸在底面的投影O恰為正方形ABC。的中心且48=2泥，設(shè)點(diǎn)

M,N分別為線段P￡>,P。上的動(dòng)點(diǎn)，已知當(dāng)4V+MN取得最小值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M恰為PD的中點(diǎn)，

則該四棱錐的外接球的表面積為.

16.如圖，矩形A8CZ）中，AB=4,BC=2,E為邊AB的中點(diǎn)，沿。E將△ADE折起，點(diǎn)A折至A1處

（AiC平面ABCD）,若M為線段AR的中點(diǎn)，則在AADE折起過程中，下列說法正確的是

⑴始終有MB〃平面AiDE

（2）不存在某個(gè)位置，使得AR，平面AiDE

（3）三棱錐A「ADE體積的最大值是竽

（4）一定存在某個(gè)位置，使得異面直線與AiE所成角為30。

17.如圖，在正方體4BCD-4BiGDi中，ACC\BD=0,E是B】C(不含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)，則下列正

確結(jié)論的序號(hào)是__________.

①D101平面4G。；

②0E〃平面&GD；

③三棱錐4-BDE體積為定值；

④二面角/一4C一B的平面角的正弦值為它.

6

四、解答題(本大題共13小題，共156.0分)

18.如圖，在四棱錐E—4BCD中，BC//AD,AD1DC,AD==DC=2BC,AB=AE=ED=BE.F是

AE的中點(diǎn).

AB

(1)證明：BF〃平面EDC；

(2)求8F與平面E8C所成角的正弦.

19.如圖所示的多面體中，四邊形48C。是正方形，平面4ED1平面ABC￡>,EF//DC,ED=EF=

-2CD=1,AEAD=30°.

(I)求證：AE1FC；

(II)求點(diǎn)。到平面BCF的距離.

20.如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABC￡>為等腰梯形，BC//AD,AD=1,BC=3,AB=

CD=遍，點(diǎn)？在底面的投影。恰好為AC與BC的交點(diǎn)，

D

H

(1)證明：AC1PB-,

(2)若E為PB的中點(diǎn)，求二面角B-EC-。的余弦值.

21.如圖所示，四棱錐P-4BCD的底面A8CO是邊長(zhǎng)為1的菱形，/BCD=60。，后是CD的中點(diǎn),

PA_L底面ABCD,PA=V3.

P

(1)證明：平面PBEJ■平面PA8；

(2)求二面角4-BE-P的大小.

22.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD1底面，平面PAO與平面P8C的交線為/.

(1)證明：(，平面?。。；

(2)已知PD=AD=1,。為/上的點(diǎn)，求尸8與平面QC。所成角的正弦值的最大值.

23.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1,AD=2,乙4BC=g,四邊形ACEF為矩形，平面4CEF_L

平面ABCD,AF=1,點(diǎn)"在線段EF上運(yùn)動(dòng)，且麗f=4品.

(1)當(dāng);1=：時(shí)，求異面直線DE與BM所成角的大小;

(2)設(shè)平面MBC與平面ECD所成二面角的大小為火0＜。＜與，求cos。的取值范圍.

24.在如圖的空間幾何體中，ZL4BC是等腰直角三角形，4A=90*BC=2a,四邊形BC￡￡＞為直

角梯形，/.DBC=90°,BD=1,DE=V2,尸為AB中點(diǎn).

(I)證明：DF〃平面ACE；

(11)若4。=百，求CE與平面AD8所成角的正弦值.

25.如圖，四棱錐P-4BC0中，側(cè)面PAQ是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底ABC￡>,4B=8C=

^AD,^BAD=乙ABC=90。,E是PO的中點(diǎn).

(1)證明：直線CE〃平面PAB；

(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線與底面ABC。所成角為45。，求二面角M-4B-0的余弦值.

26.如圖，直角梯形A8CO中，AB//CD,Z.BAD=90°,AB=AD=1,CD=2,若將△BCD沿著

BD折起至△BCD，使得AD1BC.

(1)求證：平面C'BD1平面ABD；

(2)求C7)與平面ABC所成角的正弦值；

(3)M為8。中點(diǎn)，求二面角M-AC-B的余弦值.

27.如圖，已知AB_L平面AC￡>,AB〃DE,AD=AC=DE=2AB=2,且尸是C￡)的中點(diǎn)，4F=V3.

⑴求證：4/7/平面BCE；

(2)求證：平面BCE_L平面CZ)E；

(3)求CB與平面COE所成角的正弦值.

28.如圖，在四棱錐P-4BCD中，AD//BC,AB1AD,AB1PA,BC=2AB=2AD=4BE,平

面PABJL平面ABCD.

p

(1)求證：平面PED_L平面PAC；

(2)若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為?，求平面PCA和平面尸CC夾角的余弦值.

29.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,ABJ.AP,AB=3,AD=4,BC=5,CD=6.過直

線AB的平面分別交棱P。，PC于E,尸兩點(diǎn).

(1)求證：PD1EF；

(2)若直線PC與平面PAD所成角為W，且PA=PD,EF^AB,求二面角A—BD—尸的余弦值.

30.如圖所示為一個(gè)半圓柱，E為半圓弧CO上一點(diǎn)，CD=縣.

(1)若4。=2遍，求四棱錐E-ABCO的體積的最大值;

(2)有三個(gè)條件：(T)4DE-DC=EC-DCi②直線4。與BE所成角的正弦值為|；

z^xsin/.EAB_\/6

DsxnLEBA-2

請(qǐng)你從中選擇兩個(gè)作為條件，求直線4。與平面E4B所成角的余弦值.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

【試題解析】

本題主要考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，球表面積的求法，涉及棱錐體積的求法，考查了空間想象能力，

屬于較難題，先根據(jù)題意得到平面P4B，平面A8CQ時(shí)，四棱錐P-4BCD體積最大，設(shè)△P4B的邊

長(zhǎng)為根據(jù)幾何關(guān)系表示四棱錐P-4BC。體積最大值，進(jìn)而求出。值，然后取BC的中點(diǎn)。1，得

到梯形A8CZ)的外接圓圓心是邊BC的中點(diǎn)Oi，根據(jù)APAB是等邊三角形，得到接圓圓心”是等邊

△P4B的中心，再分別過0rG作梯形ABC。、APAB所在平面的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)。即是四

棱錐P-ABC。的外接球球心，再運(yùn)用勾股定理求出球半徑即可求解.

解：由題意知，當(dāng)四棱錐P-48C0體積最大時(shí)，平面PAB平面ABCD,設(shè)△PAB的邊長(zhǎng)為°,在

等腰梯形ABCD中，

易知4B=AD=CD=a,又NABC=60°,可得BC=2a,

所以等腰梯形ABCD的面積S=工x(a+2a)x更a=越。2,

當(dāng)平面PAB_L平面ABCO時(shí)，棱錐的高即為APAB的高為立a，

2

所以四棱錐P-4BCD體積最大值為U=工x地a?x&=?a3=9通，解得a=26，

3428

取BC的中點(diǎn)。1，

因?yàn)锳BAC與ABOC是直角三角形，所以梯形ABC。的外接圓圓心是邊8C的中點(diǎn)。[,

又4PAB是等邊三角形，其外接圓圓心。2是等邊△PAB的中心，

分別過?！竿庾魈菪蜛BC。、AP/IB所在平面的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)。即是四棱錐P-ABCD的外

接球球心，

則四棱錐P-4BCD外接球的半徑為R=\OB\=，舊。1/+|0。1/=J(26)2+]=713-

所以球。的表面積S=4兀/?2=527r.

故選C

2.答案：D

解析：解：如圖所示，

4在邊4E上點(diǎn)凡在4'。上取一點(diǎn)M使得

FN"ED,在EC上取一點(diǎn)H,使得NH〃EF,

作HG〃BE交BC于點(diǎn)G,

則可得FN〃BG，即四邊形8GNF為平行四邊

形，NG〃BE,而GN始終與平面4co相交,

在邊4E上不存在點(diǎn)凡使得在翻折過程中，

B

正確.在翻折過程

中，點(diǎn)4'在底面8CCE的射影不可能在交線BC上,因此不滿足平面ABC，平面BCEE因此不正確.

C.A=當(dāng)二面角4-DE-B為直二面角時(shí)，取的中點(diǎn)M,可得：4Ml平面BCDE.

則|AB|=>JAM2+BM2=J(y)2+1+(i)2-2x1x|cosl20°=唱#:耳，因此不正確?

D在翻折過程中，取平面ZED_L平面BCDE,四棱錐4'一BCDE體積/⑷=|-S四邊形BCDE.色入=

|xV3(l-22)-V32=A-A3,AG(0,l).f'W=1-3A2,可得；I時(shí)，函數(shù)/⑷取得最大值=

更(1_工)=也，因此正確.

3、3，9

故選：D.

4在邊AE上點(diǎn)凡在A'D上取一點(diǎn)N,使得FN〃ED,在E￡>上取一點(diǎn)H,使得NH〃EF,作HG〃BE

交BC于點(diǎn)G,可得四邊形BGN尸為平行四邊形，可得GN始終與平面ACD相交，即可判斷出結(jié)論.

8.26(0]),在翻折過程中，點(diǎn)A在底面BCOE的射影不可能在交線BC上，即可判斷出結(jié)論.

C.A=當(dāng)二面角A'-DE-B為直二面角時(shí)，取ED的中點(diǎn)M,可得：AM1平面BCDE.可得|4'B|=

NAM?+BM2,結(jié)合余弦定理即可得出.

D在翻折過程中，取平面4E01平面BCDE,四棱錐4'一BCOE體積/⑷=：-S四邊形BCDE-g=

A-A3,AG(0,1),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

本題考查了利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)理解空間線面面面位置關(guān)系、四棱錐的體積計(jì)算公式、余弦定理、利用

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力空間想象能力與計(jì)算能力，屬于難題.

3.答案：B

解析：

本題給出三棱錐的空間特征及外接球問題，屬于中檔題.

依題三棱錐可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-4BC外接球.求出PA1,PC

V3,PB=2,算出長(zhǎng)方體的對(duì)角線，即球直徑，進(jìn)而利用球的體積公式求解.

解：???AB=V5.BC=V7,AC=2,

則PA2+PB2=5,PB2+PC2=7,PA2+PC2=4

.,?解得P4=1,PC=V3，PB=2,

以PA、PB、PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖，

則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-力BC外接球.

r長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為VI+3+4=2企,

.?.球直徑為2a，半徑R=V2.

因此三棱錐P-4BC外接球的體積是。R3=。*(V2)3=

故選

4.答案：D

解析：

【試題解析】

本題考查了球的表面積公式的應(yīng)用，重點(diǎn)考查球的球心位置的判定.屬于中檔題.

首先確定球心的位置，進(jìn)一步確定球的半徑，最后確定球的表面積.

解：如圖所示：

因?yàn)椤鰽BD^^BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且二面角4-BD-C為120。,

取△力BD和△BCD的中心凡E,取BO的中點(diǎn)記為G,連接EG,FG,

所以“GF=120°,

則球心。為過△ABD^a^BCD的中心的垂線的交點(diǎn)，

在四邊形OEG中可計(jì)算得：OE=OF=1,又因?yàn)镋D=2,

3

利用勾股定理得：球的半徑r=J#+（爭(zhēng)2=與，

則外接球的表面積S=4兀?￡=等.

故選D.

5.答案：C

解析：

本題考查橢圓的定義的運(yùn)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn)P到8和。1的距離之和等于定值通，可得滿足條件的

點(diǎn)的全體構(gòu)成一個(gè)橢球面，由此能求出結(jié)果.

解：在邊長(zhǎng)為1的正方體4BC0-&當(dāng)（71。1中，

點(diǎn)P到8和劣的距離之和等于定值遙的點(diǎn)的全體構(gòu)成一個(gè)橢球面，

該橢球面的焦點(diǎn)即為B和Di，

橢球的長(zhǎng)半軸為更，

2

焦距為正方體的對(duì)角線的一半，即爭(zhēng)

所以短半軸為J??_(3=當(dāng)，

所以該橢球面和正方體的棱有12個(gè)交點(diǎn).

所以P的個(gè)數(shù)為12.

故選C.

6.答案：ACD

解析：

本題考查棱錐和棱柱的體積公式，異面直線的夾角，二面角，屬于較難題.

可將該立方八面體理解為1個(gè)直四棱柱和4個(gè)四棱錐組成，逐項(xiàng)分析即可.

解：由題意，可將該立方八面體理解為1個(gè)直四棱柱和4個(gè)四棱錐組成，如圖所示:

對(duì)于4選項(xiàng)，取AE,DH,MN的中點(diǎn)R,S,0,連接MR,SN,

???立方八面體的棱長(zhǎng)為1,△力EM為等邊三角形，

MR=叵,AB=內(nèi)根據(jù)對(duì)稱性可知梯形MRSN的高為但=烏

222

則NM=1+2xjg)2_囹=2,

在棱柱EADH-FBCG中，=J12+12+(V2)2=2，

根據(jù)對(duì)稱性可知，。為MN和8”的交點(diǎn)，OM=0N=0B=0H=1,

故該立方八面體的12個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，其直徑為2,故A正確;

對(duì)于8選項(xiàng)，可知4M〃PB,直線4W和直線8c不在同一平面內(nèi),

NPBC為直線AM和直線BC的夾角，其大小為60。，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，分別計(jì)算直四棱柱和四棱錐的體積，

所以該立方八面體的體積為V=lxlxV2+4xixlxV2x—=—,故C正確；

323

對(duì)于。選項(xiàng)，該立方八面體的每一條棱所相交而來的兩個(gè)面均是一個(gè)正方形和一個(gè)三角形,

根據(jù)對(duì)稱性可知，它的任意兩個(gè)共棱的面所成的二面角都相等，故。正確；

故選ACD.

7.答案：AC

解析：

【試題解析】

本題考查空間直線與直線的位置關(guān)系、異面直線所成角及二面角的正切值，屬于較難題.

根據(jù)條件，結(jié)合直線與直線垂直證明及線線所成角、二面角知識(shí)逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.

解：取中點(diǎn)M,CG中點(diǎn)N,連接B1M,B]N,MN,

則易證得BiN〃&E,MN“A、B,

從而平面々MN〃平面

所以點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN.

取尸為的中點(diǎn)，

因?yàn)锳BiMN是等腰三角形，所以J.MN,

又因?yàn)樗怨蔄正確；

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為“，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)M或點(diǎn)N重合時(shí)，直線&F與直線8c所成角最大,

此時(shí)tan/QBi尸=|<^=t即30°,所以B錯(cuò)誤；

平面&MN〃平面&BE,取尸為MN的中點(diǎn)，則MN1GF,MN18/,

二/BJG即為平面BiMN與平面CDDiG所成的銳二面角，

tan/B/G=弊=2近，所以C正確；

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)M時(shí)，截面為等腰梯形，易得其面積為2>更，故。錯(cuò)誤.

82

故選AC.

8.答案:ABC

解析：

本題考查三棱錐外接球的表面積，考查分類討論思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等核

心素養(yǎng)，屬于較難題.

分三種情況討論，分別利用正弦定理、補(bǔ)體法和外接球直徑的相關(guān)知識(shí)求出球半徑，即可得其表面

積.

解：情況一：如圖⑴，△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△4BC和△力BC是等腰直角三角形，AB1BD,

AB1BC.

則AB=BC=CD=BD=2,AC=AD=2y/2-

設(shè)△ABC和ABC。的外接圓半徑分別為①r2,該三棱錐的外接球半徑為R.

由題意易得％企.

92

在ABC。中，由正弦定理，得一^^=2「2，則上=不.

smouV3

2

由題意可得R2=療—管）+片=2—1+；1，

因此該三棱錐的外接球的表面積S=4兀/?2=等.

A

圖(1)

情況二：如圖(2),△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△ABC和△48。是等腰直角三角形，AB1AC,

AB1AD.

則AB=AC=AD=yf2,BC=CD=BD=2,

則A/WC,△4BD,A/ICD均是等腰直角三角形，因此可以利用補(bǔ)體法來解決.

將三棱錐4-BCD放在棱長(zhǎng)為立的正方體中，設(shè)三棱錐的外接球半徑為R,

則有(2R)2=(V2)2+(V2)2+(偽2,解得辟=

因此該三棱錐的外接球的表面積S=4兀R2=6兀.

圖(2)

情況三：如圖(3),△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△4CD和A4BC是等腰直角三角形，AB1BC,

AD1CD.

則4B=AD=BC=CD=BD=2,AC=2近，

則△48。也是等邊三角形，易知AC的中點(diǎn)即為三棱錐4-BCD的外接球的球心.

設(shè)該三棱錐的外接球半徑為R,則R=y=V2,

因此該三棱錐的外接球的表面積S=4nR287r.

2

圖（3）

故選ABC.

9.答案：BCD

解析：

本題考查異面直線成角，棱錐的體積以及棱錐的外接球的表面積，難度較大.

由異面直線成角，棱錐的體積以及棱錐的外接球的表面積等公式，逐個(gè)進(jìn)行計(jì)算判斷.

解：A項(xiàng)，當(dāng)M,8重合時(shí)，F(xiàn)M（即BF）與8。是相交直線，故該說法錯(cuò)誤；

8項(xiàng)，由已知可得名尸1aG，

又平面4BC_L平面C44iC「所以BiF_L平面C441G，

在矩形AEF4中，4DE尸的面積S=gxEFxAiF=：x2x1=1,

又B]F=141cl=1,所以三棱錐。-MEF的體積UM-DEF=gsxB/=1x1x1=%

所以該說法正確；

C項(xiàng)，由，平面4祖6，得1BG，

又BiGlA/i，所以BiG1平面為B1B4所以BiG_LB。，所以該說法正確；

。項(xiàng)，由題意可得四邊形BBiFE為矩形，連接BF,

則矩形BBiFE外接圓的圓心為8尸的中點(diǎn)0「且0/=0/=爭(zhēng)

過。1作OiNJLE/與點(diǎn)N,連接DV,01D,

則04=5DN=1,0rN1DN,故0山=苧，

所以。】就是四棱錐D-BB】FE的外接球的球心，所以外接球半徑R=與

故外接球的表面積S-ITTR25TT，故該說法正確.

故選BCD.

10.答案：AC

解析：

本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，空間角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、

轉(zhuǎn)化能力.

以長(zhǎng)方體為背景，分別求得異面直線所成的角、平面與平面所成的二面角、點(diǎn)到直線的距離以及截

面面積逐一進(jìn)行判斷作出選擇.

解：連接B2C,B2D2,

易知/IDJ/BCJ/B2C,則4B2CD2為異面直線D2c與所成的角，

連接入為，易知4B2,42B，AB21BC,A2BQBC=B,

??AB2_L平面AZBC。2，

連接BIC,同理可證BiC1平面4BG5，

二平面&BCD2與平面ABGDI所成二面角即異面直線4殳與SC所成的角或其補(bǔ)角，

連接4。2，易知/（7/4￡）2，

.??異面直線工殳與BiC所成的角NB24D2或其補(bǔ)角，

又=24]Bi=2B1C1=2,

二AB2。2c和△為外人均為等邊三角形，

貝此殳C"=60°,LB2AD2=60°,

故異面直線D2c與ADi所成的角為60°，平面與平面ABG5所成二面角為60?；?20。,

故A正確，B錯(cuò)誤;

平面且8傳與BC1垂直平分，

???點(diǎn)當(dāng)與點(diǎn)C到平面48cmi的距離相等，

乂4$1〃平面486。1,

???點(diǎn)4與點(diǎn)名到平面ABG%的距離相等，

即點(diǎn)&與點(diǎn)C到平面4BC1D1的距離相等,

故C正確；

取。m2的中點(diǎn)E，連接&凡EG，

易知皴〃8的，ECr//A2B,

故平面4BGE為平面Z2BG截長(zhǎng)方體所得的截面,

在A4BCI中，A2B=BCr=V2,A2Ci=V6,

c_炳

3AA28cl—

則平面4口的截長(zhǎng)方體所得的截面面積為V5.

故。錯(cuò)誤.

故選AC.

11.答案：AD

解析：

本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及棱錐的體積公式，屬于較難題目.

根據(jù)線面平行的判定定理可以判斷4利用棱錐的體積公式通過計(jì)算可以判斷B；根據(jù)線面垂直的

性質(zhì)結(jié)合空間直線與直線的位置關(guān)系可以判斷G利用面面垂直的判定定理可以判斷D.

解：對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)镻B=2PE,所以E是P8的中點(diǎn)，

因?yàn)槭茿B的中點(diǎn)，所以EF〃PA,

因?yàn)?4u平面PAC,EFU平面PAC,所以E。/平面PAC,故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)镻B=2PE,所以Vp-ABCD=^E-ABCD>

因?yàn)锳B〃CD,AB1AD,AB=2AD=2CD=2,

所以梯形ABCD的面積為:(CD+4B)?力D=：x(1+2)x1=|,

AB

SAABC=\?4D=；x2xl=l,

-2

所以%-4BCD=5%-4BC，所以％-48co=3%_4BC，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)镻C1底面ABC。，AC,CDcJixSiABCD,

所以PCIAC,PC1CD,

所以4P4C,4PCD為直角三角形，

又AB"CD,AB1AD,所以4。IC。，貝必力CO為直角三角形，

所以P42=pC2+AC2=pC2+AD2+CD2tpD2=+

^\PA2=PD2+AD2,所以回PAD是直角三角形，

故三棱錐P-4DC的四個(gè)面都是直角三角形，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，因?yàn)镻C1底面A8C￡>,ACu底面ABC。，所以PC_L4C,

在RtAAC'D中，AC=y/AD2+CD2=V2,

在直角梯形ABCD中，BC=yjAD2+(AB-CD)2=夜，

^VXAC2+BC2=AB2,則ACIBC,

因?yàn)锽CnPC=C,BC,PCu平面BCP,

所以4C_L平面BCP,且4Cu平面ACE,

所以平面BCPJ■平面ACE,故。正確.

故選AC.

12.答案:CD

解析：

【試題解析】

本題考查異面直線的判定方法，考查兩條直線的位置關(guān)系，兩條直線有三種位置關(guān)系，異面，相交

或平行.

利用兩條直線是異面直線的判斷方法來驗(yàn)證的正誤，利用平移法，判斷。，得到結(jié)論.

解：???直線CG在平面CGI。內(nèi)，

而Me平面CC/i。，4c平面CC1D1。，

???直線AM與直線CG異面，故A不正確，

???直線AM與直線BN異面，故B不正確，

利用A的方法驗(yàn)證直線BN與直線MB1異面，故C正確，

利用平移法，可得直線與AC所成的角為60。，故。正確，

故選CD.

13.答案：ACD

解析：

本題考查棱錐和棱柱的體積公式，異面直線的夾角，二面角，屬于較難題.

可將該立方八面體理解為1個(gè)直四棱柱和4個(gè)四棱錐組成，逐項(xiàng)分析即可.

解：由題意，可將該立方八面體理解為1個(gè)直四棱柱和4個(gè)四棱錐組成，如圖所示：

0

F

BC

對(duì)于A選項(xiàng)，取AE,DH,MN的中點(diǎn)上S,0,連接MR,SN,

???立方八面體的棱長(zhǎng)為1,ZkAEM為等邊三角形，

MR=—,AB=y/2,根據(jù)對(duì)稱性可知梯形MRSN的高為”=立，

222

則/M=1+2XJ(y)2-(y)2=2'

在棱柱E40H-FBCG中，BH=卜+/+(可=

根據(jù)對(duì)稱性可知，。為MN和的交點(diǎn)，0M=ON=OB=OH=1,

故該立方八面體的12個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，其直徑為2,故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，可知4M〃PB,直線AM和直線8C不在同一平面內(nèi)，

NPBC為直線AM和直線BC的夾角，其大小為60。，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，分別計(jì)算直四棱柱和四棱錐的體積，

所以該立方八面體的體積為U=lxlxV2+4xixlxV2x—,故C正確；

323

對(duì)于D選項(xiàng)，該立方八面體的每一條棱所相交而來的兩個(gè)面均是一個(gè)正方形和一個(gè)三角形，

根據(jù)對(duì)稱性可知，它的任意兩個(gè)共棱的面所成的二面角都相等，故。正確；

故選ACD.

14.答案：ABD

解析：

本題主要考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系，異面直線，屬于中檔題.

根據(jù)題目畫出圖形，結(jié)合異面直線和空間中直線與直線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行判斷即可.

解：直線AB與&G是兩條互相垂直的異面直線，點(diǎn)M不在這兩異面直線中的任何一條上，

如圖所示：取GC的中點(diǎn)N,則MN〃AB,且MN=2B,

設(shè)BN與B1cl交于H,則點(diǎn)A、B、M、N、”共面，直線必與AB直線相交于某點(diǎn)。.

所以過M點(diǎn)有且只有一條直線”。與直線AB、81G都相交，故A正確;

過例點(diǎn)有且只有一條直線與直線AS、BiC1都垂直，此垂線就是棱故B正確;

過/點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與直線A8、&Ci都相交，故C不正確;

過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線48、BiCi都平行，此平面就是過M點(diǎn)與正方體的上下底都平行的

平面，故。正確.

故選：ABD.

64TT

15.答案:

解析：

本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐與外接球的位置關(guān)系，球的表面積計(jì)算，屬于中檔題.

在PC上取對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M',進(jìn)一步可得當(dāng)M'為PC的中點(diǎn)時(shí)，AM'LPC,計(jì)算棱錐的高，利用勾股定

理計(jì)算球的半徑，從而得出球的表面積.

解：依題意知，四棱錐P-ABCD是正四棱錐，在尸C上取點(diǎn)M',使得PW=PM,

則MN=M'N,

當(dāng)AW1PC時(shí)，AM'取得最小值,

即4N+NM'的最小值為力M',

為尸。的中點(diǎn)，

故而M'為PC的中點(diǎn)，

???PA=AC=4,PO=7PA2一力。2=2乃,

設(shè)外接球的半徑為廣，

則72=（2百—r）2+4）

解得：r=越，

3

???外接球的表面積為4兀"=等.

故答案為.

16.答案:(1)(2)(3)

解析：解：對(duì)于(1)，延長(zhǎng)CB,DE交于H,連接由E為AB的中點(diǎn)，可得8為CH的中點(diǎn),

又M為&C的中點(diǎn)，可得〃4",BMC平面&DE,aHu平面4DE,貝ijBM〃平面&DE,故⑴

正確；

不論必在何位置,&C在平面ABCZ)中的射影為AC,AC與OE不垂直，則OE與&C不垂直，可得4C

與平面&0E不垂直，故(2)正確；

對(duì)于(3),設(shè)。為OE的中點(diǎn)，連接。4,由直角三角形斜邊的中線長(zhǎng)為斜邊的一半，可得041=魚，

當(dāng)平面4DE1平面4OE時(shí)，三棱錐4-ADE的體積最大，

最大體積為V=[S—DE?公。=[x3X2?x0=牛，故(3)正確；

對(duì)于(4),AB=2AD=4,過E作EG〃BM,G€平面&DC,則乙41EG是異面直線與&E所成的

角或所成角的補(bǔ)角，

且ZJliEG=Z.EArHy在4中，EAr=2,EH=DE=2V2,ArH=

A/22+2x22-2x2x2V2xcosl350=2A/5>

則NE&H為定值，即乙LEG為定值，.?.不存在某個(gè)位置，使得異面直線與&E所成角為30°,故(4)

錯(cuò)誤.

故答案為(1)(2)(3).

對(duì)于(1),延長(zhǎng)CB,DE交于H,連接運(yùn)用中位線定理和線面平行的判定定理，可得〃平

面&DE,即可判斷(1)；

對(duì)于(2),不論公在何位置，&C在平面ABCQ中的射影為AC,由AC與。E不垂直，得。E與&C不

垂直，從而可得&C與平面&DE不垂直，由此判斷(2)；

對(duì)于(3),由題意知平面&DE_1_平面4。2時(shí)，三棱錐&-4DE的體積最大，求出即可；

對(duì)于(4),運(yùn)用平行線的性質(zhì)和解三角形的余弦定理，以及異面直線所成角的定義，求出異面直線所

成的角，說明(4)錯(cuò)誤.

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判

定，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.

17.答案：②③

解析：

本題考查了簡(jiǎn)單多面體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)）及其結(jié)構(gòu)特征，線面平行的判定，空間中的距離，二面

角，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積，面面平行的判定和面面平行的性質(zhì)，考查學(xué)生的

空間想象能力，屬于較難題.

利用正方體的結(jié)構(gòu)特征得平面4GD,從而對(duì)①進(jìn)行判斷，利用面面平行的判定得平面

4G?！ㄆ矫?CB],再利用面面平行的性質(zhì)對(duì)②進(jìn)行判斷，利用線面平行的判定得BiC〃平面

再利用空間中的距離得點(diǎn)E到平面40B的距離是定值，再利用三棱錐的體積等量對(duì)③進(jìn)行判斷，

利用求二面角當(dāng)-AC-B的正弦值對(duì)④進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：對(duì)于①、因?yàn)樵谡襟w4BCD-4B1GD1中，DiBl平面&GD,

而過一點(diǎn)2只能作平面46。的一條垂線，因此①不正確；

對(duì)于②、因?yàn)樵谡襟w4BCD中，AC〃AG，A^D/fB^C,

而AiGu平面&C1。，Ai。u平面AiG。，

2CC平面41GD,B1CC平面41GD,

所以AC〃平面&GD,B1C〃平面&GD.

又因?yàn)锳CC81c=C,ACu平面4cBi，BiCu平面4cB口

所以平面46。〃平面AC/,

而OEu平面AC8i，因此OE〃平面4G。，所以②正確；

對(duì)于③、因?yàn)?C//B1C,&Du平面408,BiCC平面4DB,

所以BiC〃平面

又因?yàn)镋是&C（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，

所以點(diǎn)E到平面4DB的距離等于BiC到平面&DB的距離，是定值，

而Z&OB也是一個(gè)定值，

因此乙-41DB為定值，所以匕「BOE=為定值,因此③正確；

對(duì)于④、若正方體4BCD-的棱長(zhǎng)為a,

連接當(dāng)0,

因?yàn)锳C_L平面D/B1B,B]O,OBu平面DDiBiB,

所以AC1Bi。，AC1OB,

因此NBiOB是二面角位-AC-B的平面角，

所以sin/Bi°B=既=套=今因此④不正確.

2U

故答案為②③.

18.答案：⑴證明：取EO中點(diǎn)G,連接FG,CG,為4E的中點(diǎn)，二%〃?1。,

FG=^AD,又BC〃AD且鳴/ID,FG//BCH.FG=BC,

則四邊形BCG尸為平行四邊形，可得BF〃CG.：CGu平面

CDE,BFC平面CDE,:.BF〃平面EDC；

(2)解:取AZ)中點(diǎn)O,連接8O,EO,「BC//OD,￡LBC=OD,

可得BC￡>0為平行四邊形，又4C1DC,可得AD10B,

V.AE=DE,OE1AD,可得AD1平面BOE,在平面BOE

中，過。作。z,底面ABCQ,以。為原點(diǎn)，分別以0A,

02所在直線為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)BC=1,貝J1B(O,2,0),

C(-l,2,0),Ee(o,冷)，端,等),

BC=(-1,0,0),FF=(0,-*),前=GT，等)，

設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為司=(x,y,z),

n?BC=-x=0

｛一一5回，

n?BE=——yH——z=0

44

取z=1,可得元=(0,半，1),

―F13V55x/55—

???BF與平面E8C所成角的正弦值為|cos<n,BF>\=|言映=|三寧1=

|n|-|orIZjLXx^-i-6

解析：本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解

線面角，是中檔題.

(1)取ED中點(diǎn)G,連接FG,CG,由已知可得則四邊形8CGF為平行四邊形，可得BF〃CG.再由線

面平行的判定可得BF〃平面EDC-,

(2)取AD中點(diǎn)O,連接BO,E。，證明4。1平面BOE,在平面BOE中，過。作Oz1底面ABC。，

以。為原點(diǎn)，分別以。4。8所在直線為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)8C=1,求出喬及平面

BCE的一個(gè)法向量匯由前與五所成角的余弦值可得BF與平面E8C所成角的正弦.

19.答案：解：（【）???四邊形ABCO是正方形，?.?CD1.AD,

又?.?平面4ED1平面ABC。，平面4E0D平面4BC0=AD,CDu面

ABCD,

：.CD1平面ADE,（2分）j-----

又4Eu平面ADE,CD1AE,（3分）.

?.,在△40E中，AD=2,DE=1,Z.EAD=30°,

由余弦定理得，AE=V5,二452+?！?=4。2,...4￡_1,￡￡）.（4分）

又CDnED=D,AAE_L平面EFCD.（5分）

又FCu平面EFCD：.AE1FC.（6分）

（口）過點(diǎn)6做后“_14。交4￡＞于點(diǎn)//,連結(jié)ED.

???平面4DE，平面ABCD,平面ADEn平面ABC。=AD,EHu平面ADE,

???EH，平面ABCD,在Rt△AED中，EH（7分）

5LEF//DC,?：DCu面ABCD,vEFC面ABCD

EF//^ABCD：.E到面ABCD的距離等于尸至lj面ABCD的距離（8分），

/_BCD=[SABCD,EH=gx2x^=￥.（9分）

在直角梯形EF8A中，EF=1,AE=6，DC=2,AB=2,可得BF=2,

?■1S&BFC=xV2X?=y（10分）

設(shè)D點(diǎn)到平面BFC的距離為d,VD.BCF=VF-BCD，

即豹ABCF?d=J,.??點(diǎn)D到平面BCF的距離竽.（12分）

解析：（I）首先證明CD1平面AQE,CD1AE,又在△ADE中，由余弦定理得可得4E1ED.即可得

AEJL平面EFCD.4E1FC.

（H）過點(diǎn)E做EH1.40交AD于點(diǎn)H,連結(jié)FD,求得=/，易知E到面A8CQ的距離等于F到

面ABCO的距離，設(shè)。點(diǎn)到平面8