2024屆重慶康德普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試高三第一次聯(lián)合診斷檢測(cè)數(shù)學(xué)測(cè)試卷共4頁(yè)，滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。851．已知集合A{15}，A．2}B．{23}2．已知復(fù)數(shù)zabi，若ziz，則A．a(chǎn)b0B．a(chǎn)b0B{x|2x2x120}，則ABC．{34}D．{45}D．a(chǎn)b1C．a(chǎn)b03．b可以分別大致反映這組數(shù)據(jù)的A．平均數(shù)，中位數(shù)C．中位數(shù)，平均數(shù)B．平均數(shù)，眾數(shù)D．中位數(shù)，眾數(shù)ab42sin()2，則4．若1A．2B．C．1D．225．在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常用回歸模型來分析還款信度評(píng)價(jià)問題．某銀行統(tǒng)計(jì)得到如下模型：e0.970.127xP(x)xP(x)是按時(shí)還款概率的預(yù)測(cè)值．如果某人年1e0.127x收入是萬元，那么他按時(shí)還款概率的預(yù)測(cè)值大約為（參考數(shù)據(jù)：ln1.35）A．B．0.46C．0.57D．6．已知f(x)x)ln(abx)是奇函數(shù)，則f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為A．y2xB．yxC．y0D．y2x7．將一副三角板拼接成平面四邊形ABCD1，將其沿BD折起，使得面面BCDD三棱錐ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為7A．2B．C345860C．D．33AB8．已知函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)2，f4且當(dāng)x0時(shí)，f(x)2，若存在x2]，f(ax4x)f(2x)1，則a的取值范圍是2使得第一次聯(lián)合診斷檢測(cè)（數(shù)學(xué)）第1頁(yè)共9頁(yè)115B．[，]2852C．[，]8312D．[，]23A．(0，]2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列函數(shù)中，其圖象關(guān)于點(diǎn)(0)對(duì)稱的是6A．ysin(2x)B．ysin(2x)33C．ycos(2x)D．ytan(2x)66E：x124y2a2(a0)和E：y24x24a2(a0)，則10．已知橢圓A．E與E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B．E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與E的短軸長(zhǎng)相等1212C．E與E的離心率相等D．E與E有4個(gè)公共點(diǎn)1212ABCABC，，F(xiàn)分別是棱AB，，CAABCABC的體積為111111V，則A．棱錐1DEF的體積為11VB．棱錐A的體積為V165C．多面體ABABEF的體積為V112D．多面體ABC的體積為V111312．若不相等的兩個(gè)正數(shù)b滿足a2b2abab，則B．a(chǎn)b43A．a(chǎn)b1112C．D．3三、填空題：本題共4小題，每小題5201352的黑球和編號(hào)為3在取出的球顏色不同的條件下，球的編號(hào)之和為奇數(shù)的概率為14．若向量a，b滿足|a1，|b2，若b與a的夾角為銳角，則a(ab)的取值范圍是S2aS252，則．．15．記數(shù)列a的前n項(xiàng)和為，若S，且．nnnn6第一次聯(lián)合診斷檢測(cè)（數(shù)學(xué)）第2頁(yè)共9頁(yè)16．已知FF分別是雙曲線C：x2y2a(a0)的左、右焦點(diǎn)，過2作一直線交C于M，N兩點(diǎn)，若212F120，且△MNF的周長(zhǎng)為1，則C的焦距為．211四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17已知數(shù)列a}是等差數(shù)列，且a1，aa2．n58（1）求an}的通項(xiàng)公式；（2）[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如1，[[2．若n[a]，T是數(shù)列b}的nnn前n項(xiàng)和，求11]．182024年1月18民俗文化的了解情況，某機(jī)構(gòu)抽樣調(diào)查了某市的部分人群．（1）在100名受調(diào)人群中，得到如下數(shù)據(jù)：了解程度年齡不了解了解30歲以下50歲以上162444根據(jù)小概率值的2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析受調(diào)群體中對(duì)“臘八節(jié)”民俗的了解程度是否存在年齡差異；（2）調(diào)查問卷共設(shè)置個(gè)題目，選擇題、填空題各5個(gè)．受調(diào)者只需回答8個(gè)題：其中選擇題必須全部回答，填空題隨機(jī)抽取3個(gè)進(jìn)行問答．某位受調(diào)者選擇題每題答對(duì)的概率為0.8，知道其中3個(gè)填空題的答案，但不知道另外2個(gè)的答案．求該受調(diào)者答對(duì)題目數(shù)量的期望．n(bc)2參考公式：①2=．(ab)(cd)(ac)(bd)獨(dú)立性檢驗(yàn)常用小概率值和相應(yīng)臨界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828第一次聯(lián)合診斷檢測(cè)（數(shù)學(xué)）第3頁(yè)共9頁(yè)②隨機(jī)變量XY的期望滿足：E(XY)E(X)EY)19a2sinBsinCcosA在△ABC中，內(nèi)角C的對(duì)邊分別為c，已知△ABC的面積S．（1）求A；5（2）若BcosC，a1，求2bc2．520PABCDABCD2BC2BAD45PAPD．P（1）證明：PB；（2）若PA3，PC13，求二面角APBC的余弦值．DCAB21已知(22)，，C是拋物線E：x2py上的三點(diǎn)，且直線AB與直線AC的斜率之和為0．2（1）求直線BC的斜率；（2）若直線AB，AC均與圓M：x2(y2r(0r3)相切，且直線BC被圓M截得的線段22長(zhǎng)為，求r的值．522已知函數(shù)f(x)exa)xaxe為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）當(dāng)a1時(shí)，證明f(x)存在唯一的極小值點(diǎn)x，且f(x)2；00（2）若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)，記較小的零點(diǎn)為x，s是關(guān)于x的方程x)xax2的根，11證明：s1．第一次聯(lián)合診斷檢測(cè)（數(shù)學(xué)）第4頁(yè)共9頁(yè)2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試高三第一次聯(lián)合診斷檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案一、單選題1～8BAADCACD8題解析：易證f(x)是增函數(shù)，f(ax24x)f(2x)f[(ax24x)2x]2f(ax2x)21，所以2f(ax2x)1xy0f(0)2x1y1f(0x1y1，233得f(2)2；令x2y1，得f(4；令xy，得f()1，所以2234x31122x．原問題即2a在2]有解．令t，則2att在t[時(shí)有22x2x2412解，從而2a，]，a[，]．323二、多選題9．10BC12ABDa2b2abab，得(ab)(ab)ab．因?yàn)閎是正數(shù)，所以ab0，從而212題解析：由(ab)2(ab)2(ab)0，解得ab1．因?yàn)閍b，所以ab，4(ab)244從而(ab)2(ab)，解得ab．因?yàn)?ab，43341所以(ab)2(ab)(0，)，從而．故選ABD．92三、填空題1213．14．(1．4．26c16題解析：設(shè)雙曲線的焦距為2c，點(diǎn)M(xy)，N(xy)，則||||(xx)2a11222212a2(xx)2ay3(xc)x2y2a得2．由題意，直線的方程為，代入122x2627a0，所以xx32a，從而|4a．△MNF的周長(zhǎng)為212112|||NF||4a2|12a，由題意，a．所以焦距2c22a．116第一次聯(lián)合診斷檢測(cè)（數(shù)學(xué)）第5頁(yè)共9頁(yè)四、解答題1712．）設(shè)a的公差為d，由題意，得a4d1，2116dn1217nda3(n，故n所以13，．……5分22（2）由題意，[a]3，[a][a]2[a][a]1，[a][a]2，……，．1011123451Tbbbbbbb1122(222)．3221112345102所以T]．……分18）零假設(shè)H0：對(duì)“臘八節(jié)”民俗的了解程度與年齡相互獨(dú)立．441624)2100由題意，得22.706．40603268根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認(rèn)為對(duì)“臘八節(jié)”民俗的了解程度沒有年齡差異．（2）設(shè)選擇題部分和填空題部分答對(duì)題目分別為X和Y．因?yàn)閄服從B，所以54．……5分由題意，Y的可能取值為1，2，3．CC23C2C1C353C31PY32，PY2)2，PY3．C35105C3105331所以231.8．10510該受調(diào)者答對(duì)題目數(shù)量的期望為E(XY)4個(gè)．……分19）由題意，Sa2sinBsinCcosA12absinC，1因?yàn)閍0，sinC0，所以asinBbcosA．212由正弦定理，得sinAsinBsinBA，112因?yàn)閟inB0，所以sinAA，故A．……5分25255255（2）由（）得sinA，cosA，所以cos(BC)cosA，555由cos(BC)BCBC，及BcosC，得sinBsinC．55第一次聯(lián)合診斷檢測(cè)（數(shù)學(xué)）第6頁(yè)共9頁(yè)a2，所以bc5．由正弦定理，得BC2A由余弦定理，得b2c2a2bccosA5．……分20P解：取AD中點(diǎn)O，連接，．（1）△PAD中，因?yàn)镻APD，所以AD．1D△AOB中，因?yàn)?，1，BAD45，C2O由余弦定理，得1，所以O(shè)B22AB2，AD．AB因?yàn)?，是平面BOP上的兩條相交直線，所以AD平面BOP．因?yàn)镻B平面BOP，所以ADPB．因?yàn)锳DBC，所以PB．……5分（2）由（）知，PB，所以PB22BC2，則PB3，又22，PO229PB2，所以PO，則POABCD，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，zP則0)，B(00)，C(0)，D(0)，P(022)．則AB(，PB(022)，BC(0)DC設(shè)平面PAB的法向量為m(z)，則OABxy，ABm，xy取m(22．即PBm0.y22z0.設(shè)平面PBC的法向量為n(z)，則BCm，2x，取n(02．即PBm0.y22z0.mn931717cosmn．|m||n|173所以，二面角APBC的余弦值為3．……分21第一次聯(lián)合診斷檢測(cè)（數(shù)學(xué)）第7頁(yè)共9頁(yè)解：因?yàn)辄c(diǎn)(22)在拋物線E：xE的方程為：x2y．22py上，所以p1．2x212x222（1）設(shè)B(1，)，C(2，)，x2，x2且xx．1212x212x22222由題意，0，化簡(jiǎn)得xx4．122212x212x2221x2所以，直線BC的斜率為2．……5分122（2）由（BC的方程為y2xm，代入x2y，2消去y得：x24x2m0．則16m0，xx4，xx2m．1212因?yàn)橹本€BC被圓M截得的線段長(zhǎng)為2，所以(2m)2r(305)2，255化簡(jiǎn)得：(m25r26①．由0r3，則1m5122直線AB的方程為y2(x2)，即(xx2y2x0．11|421|4r2因?yàn)橹本€AB與圓M相切，所以r，化簡(jiǎn)得(12．4r2(12)424r2同理，(22)2．4r24r24r2xx是方程x24x40的兩根，所以xx4，122124r24r4r2故2m4②．4r2由①②解得m0（m26r2．22）當(dāng)a1時(shí)，()e……分fxxx，x0．11x因?yàn)閒(x)e在(0，)上單調(diào)遞增，且f()0，f0，x2第一次聯(lián)合診斷檢測(cè)（數(shù)學(xué)）第8頁(yè)共9頁(yè)1所以，存在x(，使得當(dāng)x(0x)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(x)時(shí)，f(x)0．00021且f(x)0，即e0．00故f(x)在(0x)上單調(diào)遞減，在(x)上單調(diào)遞增，f(x)存在唯一的極小值點(diǎn)x．0001(02因?yàn)閒(x)2e0xx22，所以f(x)2．0……5分000000（2）令exaxax0，得exxaxlnax，設(shè)g(x)e)xx，因?yàn)?)ex10，所以g(x)在定義域上單調(diào)遞增，gx而axlnaxeax，則有g(shù)(x)g(ln(ax))，由題意，1為x的兩個(gè)根中較小的根，即exx0，．111又由題意，有1s)s2，從而e1)ss2，則有s)s10設(shè)(s)s)s1，s1，當(dāng)s0時(shí)，s)0，1s1，所以(s)0符合題意，11s當(dāng)1s0時(shí)，(s)sin