(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題09數(shù)列新定義難點(diǎn)綜合專練(原卷版+解析)

專題09數(shù)列新定義難點(diǎn)綜合專練（原卷版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)之積，若，則的值是（）A．1024 B．256 C．2 D．5122．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，則該數(shù)列的第7項(xiàng)為（）A．95 B．131 C．139 D．1413．若數(shù)列滿足：對(duì)任意的，總存在，使，則稱是“數(shù)列”．現(xiàn)有以下數(shù)列：①；②；③；④；其中是數(shù)列的有（）．A．①③ B．②④ C．②③ D．①④4．0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（）A． B． C． D．5．單調(diào)遞增的數(shù)列中共有項(xiàng)，且對(duì)任意，和中至少有一個(gè)是中的項(xiàng)，則的最大值為（）A．9 B．8 C．7 D．66．對(duì)于，，若正整數(shù)組滿足，，則稱為的一個(gè)拆，設(shè)中全為奇數(shù)，偶數(shù)時(shí)拆的個(gè)數(shù)分別為，，則（）A．存在，使得 B．不存在，使得C．存在，使得 D．不存在，使得7．對(duì)于數(shù)列若存在常數(shù)，對(duì)任意的，恒有，則稱數(shù)列為有界數(shù)列.記是數(shù)列的前項(xiàng)和，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是有界數(shù)列B．若數(shù)列是有界數(shù)列，則數(shù)列是有界數(shù)列C．若數(shù)列是有界數(shù)列，則數(shù)列是有界數(shù)列D．若數(shù)列、都是有界數(shù)列，則數(shù)列也是有界數(shù)列8．若數(shù)列滿足：，，，使得對(duì)于，都有，則稱具有“三項(xiàng)相關(guān)性”下列說法正確的有（）①若數(shù)列是等差數(shù)列，則具有“三項(xiàng)相關(guān)性”②若數(shù)列是等比數(shù)列，則具有“三項(xiàng)相關(guān)性”③若數(shù)列是周期數(shù)列，則具有“三項(xiàng)相關(guān)性”④若數(shù)列具有正項(xiàng)“三項(xiàng)相關(guān)性”，且正數(shù)，滿足，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，與的前項(xiàng)和分別為，，則對(duì)，恒成立．A．③④ B．①②④ C．①②③④ D．①②9．定義【】為“函符數(shù)列”，且有“函符數(shù)列”【】滿足.例如，數(shù)列滿足，則當(dāng)m=1時(shí)，.用表示當(dāng)m=1時(shí)的值.已知數(shù)列滿足，則（）（注：的值等于a，b，c中最大的值，的值等于a，b，c中最小的值）A． B．C． D．10．若數(shù)列滿足，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足B．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足C．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足D．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q部滿足二、填空題11．某項(xiàng)測(cè)試有道必答題，甲和乙參加該測(cè)試，分別用數(shù)列和記錄他們的成績．若第題甲答對(duì)，則，若第題甲答錯(cuò)，則；若第題乙答對(duì)，則，若第題乙答錯(cuò)，則．已知，且只有題甲和乙均答錯(cuò)，則甲至少答對(duì)______________________道題．12．對(duì)任一實(shí)數(shù)序列A＝(a1，a2，a3，…)，定義新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n項(xiàng)為an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有項(xiàng)都是1，且a12＝a22＝0，則a2＝________．13．在數(shù)列中，，若（為常數(shù)），則稱為“等差比數(shù)列”，下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：①不可能為0；②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0.其中所有正確的序號(hào)是________．14．?dāng)?shù)列：1，1，2，3，5，8，…，稱為斐波那契數(shù)列，該數(shù)列是由意大利數(shù)學(xué)家菜昂納多·斐波那契(LeonardoFibonacci)從觀察兔子繁殖而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．?dāng)?shù)學(xué)上，該數(shù)列可表述為，．對(duì)此數(shù)列有很多研究成果，如：該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化的，通項(xiàng)公式等．借助數(shù)學(xué)家對(duì)人類的此項(xiàng)貢獻(xiàn)，我們不難得到，從而易得＋＋＋…＋值的個(gè)位數(shù)為__________．15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.表示不超過x的最大整數(shù)，如，則數(shù)列的前35項(xiàng)和為___________.三、解答題16．已知數(shù)列，其中，且.若數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，或，則稱為數(shù)列A的“緊數(shù)列”.例如，數(shù)列A：2，4，6，8的所有“緊數(shù)列”為2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.(1)直接寫出數(shù)列A：1，3，6，7，8的所有“緊數(shù)列”；(2)已知數(shù)列A滿足：，，若數(shù)列A的所有“緊數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求證：所有符合條件的數(shù)列A的個(gè)數(shù)為；(3)已知數(shù)列A滿足：，，對(duì)于數(shù)列A的一個(gè)“緊數(shù)列”，定義集合，如果對(duì)任意，都有，那么稱為數(shù)列A的“強(qiáng)緊數(shù)列”.若數(shù)列A存在“強(qiáng)緊數(shù)列”，求的最小值.（用關(guān)于N的代數(shù)式表示）17．若有窮數(shù)列且滿足，則稱為M數(shù)列．(1)判斷下列數(shù)列是否為M數(shù)列，并說明理由；①1，2，4，3．②4，2，8，1．(2)已知M數(shù)列中各項(xiàng)互不相同．令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列；(3)已知M數(shù)列是且個(gè)連續(xù)正整數(shù)的一個(gè)排列．若，求的所有取值．18．設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，且滿足對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱這樣的數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是否具有性質(zhì)？并說明理由；(2)若，求出具有性質(zhì)的數(shù)列公差的所有可能值；(3)對(duì)于給定的，具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個(gè)，還是可以無窮多個(gè)？(直接寫出結(jié)論)19．已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列是各項(xiàng)均為非負(fù)實(shí)數(shù)的遞增數(shù)列.若對(duì)任意的，（），與至少有一個(gè)是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列具有性質(zhì).(1)判斷數(shù)列，，，是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，求證：；(3)若數(shù)列具有性質(zhì)，且不是等差數(shù)列，求項(xiàng)數(shù)的所有可能取值.20．已知數(shù)列滿足以下條件：①，且；②共有100項(xiàng)，且各項(xiàng)互不相等．定義數(shù)列為數(shù)列的一個(gè)“10階連續(xù)子列”．(1)若的通項(xiàng)公式為，寫出的一個(gè)“10階連續(xù)子列”，并求其各項(xiàng)和；(2)求證：對(duì)于每個(gè)，都至少有一個(gè)10階連續(xù)子列的各項(xiàng)和不小于505；(3)若對(duì)于每個(gè)，都至少有一個(gè)10階連續(xù)子列的各項(xiàng)和不小于正整數(shù)，求的最大值．專題09數(shù)列新定義難點(diǎn)綜合專練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)之積，若，則的值是（）A．1024 B．256 C．2 D．512【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】設(shè)數(shù)列的公比為q，由已知建立方程求得q，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得答案.【詳解詳析】解：因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)之積，，設(shè)數(shù)列的公比為q，所以，解得，所以，故選：D.2．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，則該數(shù)列的第7項(xiàng)為（）A．95 B．131 C．139 D．141【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】利用已知條件，推出數(shù)列的差數(shù)的差組成的數(shù)列是等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化求解即可【詳解詳析】由題意可知，1，5，11，21，37，61，……，的差的數(shù)列為4，6，10，16，24，……，則這個(gè)數(shù)列的差組成的數(shù)列為：2，4，6，8，……，是一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)原數(shù)列的第7項(xiàng)為，則，解得，所以原數(shù)列的第7項(xiàng)為95，故選：A若數(shù)列滿足：對(duì)任意的，總存在，使，則稱是“數(shù)列”．現(xiàn)有以下數(shù)列：①；②；③；④；其中是數(shù)列的有（）．A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】利用特殊值的方法可以否定②③,再根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)證明①④即可【詳解詳析】①,則,,則,故①是“數(shù)列”；②,則,若,則只能是1,2,但,,此時(shí),故②不是“數(shù)列”；③,則,若,則只能是1,2,但,,此時(shí),故③不是“數(shù)列”；④,則,，則,故④是“數(shù)列”故選：D【名師指路】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,考查對(duì)新定義的理解,考查分析閱讀能力,考查推理論證能力4．0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】根據(jù)新定義，逐一檢驗(yàn)即可【詳解詳析】由知，序列的周期為m，由已知，，對(duì)于選項(xiàng)A，，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)B，，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)D，，不滿足；故選：C【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.5．單調(diào)遞增的數(shù)列中共有項(xiàng)，且對(duì)任意，和中至少有一個(gè)是中的項(xiàng)，則的最大值為（）A．9 B．8 C．7 D．6【標(biāo)準(zhǔn)答案】C假設(shè)是中大于0的最大的4項(xiàng)，由題意得和中至少有一個(gè)是中的項(xiàng)，得到，進(jìn)而得到和都不是中的項(xiàng)，再由題意得和中至少有一個(gè)是中的項(xiàng)，得到以，得出中大于0的最多有3項(xiàng)，進(jìn)而得出存在數(shù)列滿足題意，得到答案.【詳解詳析】假設(shè)是中大于0的最大的4項(xiàng)，對(duì)于來說，因?yàn)?，所以和都不是中的?xiàng)，又由題意得和中至少有一個(gè)是中的項(xiàng)，所以是中的項(xiàng)，且，所以，對(duì)于來說，因?yàn)?，所以和都不是中的?xiàng)，又由題意得和中至少有一個(gè)是中的項(xiàng)，所以是中的項(xiàng)，且，所以，所以，矛盾，所以中大于0的最多有3項(xiàng)，同理，中小于0的最多有3項(xiàng)，加上0，故的最大值為7，此時(shí)存在數(shù)列滿足題意.故選C.【名師指路】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：1、通過給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.6．對(duì)于，，若正整數(shù)組滿足，，則稱為的一個(gè)拆，設(shè)中全為奇數(shù)，偶數(shù)時(shí)拆的個(gè)數(shù)分別為，，則（）A．存在，使得 B．不存在，使得C．存在，使得 D．不存在，使得【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】任意的，至少存在一個(gè)全為1的拆分，判斷選項(xiàng)A；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，判斷能否是全偶拆分，判斷選項(xiàng)B；選項(xiàng)，可以舉例發(fā)現(xiàn)規(guī)律，判斷選項(xiàng).【詳解詳析】對(duì)于任意的，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故A錯(cuò)誤；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是每個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的分拆，則它至少對(duì)應(yīng)了和的均為奇數(shù)的拆，當(dāng)時(shí)，偶數(shù)拆為，奇數(shù)拆為，；當(dāng)時(shí)，偶數(shù)拆為，，奇數(shù)拆為，；故當(dāng)時(shí)，對(duì)于偶數(shù)的拆，除了各項(xiàng)不全為1的奇數(shù)拆分外，至少多出一項(xiàng)各項(xiàng)均為1的拆，故，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，關(guān)鍵是讀懂題意，理解定義，并能根據(jù)選項(xiàng)舉例解決問題.7．對(duì)于數(shù)列若存在常數(shù)，對(duì)任意的，恒有，則稱數(shù)列為有界數(shù)列.記是數(shù)列的前項(xiàng)和，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是有界數(shù)列B．若數(shù)列是有界數(shù)列，則數(shù)列是有界數(shù)列C．若數(shù)列是有界數(shù)列，則數(shù)列是有界數(shù)列D．若數(shù)列、都是有界數(shù)列，則數(shù)列也是有界數(shù)列【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)有界數(shù)列的定義，利用不等式放縮，可判斷A、C正確；設(shè)，可判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列和數(shù)列的有界性，用和來控制，即可選項(xiàng)D.【詳解詳析】解：對(duì)A:設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為，則，當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是有界數(shù)列，故A正確；對(duì)B:事實(shí)上，設(shè)，則，易知數(shù)列是有界數(shù)列，而此時(shí)，所以，由的任意性，知數(shù)列不是有界數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)閿?shù)列是有界數(shù)列，所以存正數(shù)，對(duì)任意有，即，于是，所以數(shù)列是有界數(shù)列，故C正確；對(duì)D：若數(shù)列、都是有界數(shù)列，則存在正數(shù)，，使得對(duì)任意，有；，又因?yàn)橥?，可得，所以，所以，?shù)列也是有界數(shù)列，故D正確.故選：B【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于讀懂題目，準(zhǔn)確把握“有界數(shù)列”的定義.8．若數(shù)列滿足：，，，使得對(duì)于，都有，則稱具有“三項(xiàng)相關(guān)性”下列說法正確的有（）①若數(shù)列是等差數(shù)列，則具有“三項(xiàng)相關(guān)性”②若數(shù)列是等比數(shù)列，則具有“三項(xiàng)相關(guān)性”③若數(shù)列是周期數(shù)列，則具有“三項(xiàng)相關(guān)性”④若數(shù)列具有正項(xiàng)“三項(xiàng)相關(guān)性”，且正數(shù)，滿足，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，與的前項(xiàng)和分別為，，則對(duì)，恒成立．A．③④ B．①②④ C．①②③④ D．①②【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)題目給出的“三項(xiàng)相關(guān)性”的定義，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解詳析】①若為等差數(shù)列，則有即，①正確②，，（）即易知，顯然成立時(shí)，，取有，也成立，所以②正確③周期數(shù)列：0，0，1，0，0，1，時(shí)，，顯然不成立，③錯(cuò)誤④即，∴，易知即，，故：，④正確綜上：①②④正確故選：B9．定義【】為“函符數(shù)列”，且有“函符數(shù)列”【】滿足.例如，數(shù)列滿足，則當(dāng)m=1時(shí)，.用表示當(dāng)m=1時(shí)的值.已知數(shù)列滿足，則（）（注：的值等于a，b，c中最大的值，的值等于a，b，c中最小的值）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【詳解詳析】解析征集10．若數(shù)列滿足，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足B．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足C．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足D．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q部滿足【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】根據(jù)題意，找到合適的數(shù)列滿足遞推關(guān)系，或舉反例否定.對(duì)選項(xiàng)，找到，且滿足題意；對(duì)選項(xiàng)，找到，且滿足題意；對(duì)選項(xiàng)，找到與題設(shè)矛盾；對(duì)選項(xiàng)，找到滿足題意；【詳解詳析】對(duì)選項(xiàng)，令，且，則有：，故選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)，由，得：令，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足題設(shè)，所以B正確；對(duì)選項(xiàng)，由，令，得，，，，令，得，，，則，，從而，與矛盾，所以錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，存在數(shù)列，比如，則有：，故選項(xiàng)正確；故選：【名師指路】需要熟悉常見函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，比如對(duì)數(shù)運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算等，注意類比常見函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，尋找恰當(dāng)?shù)臄?shù)列；否定命題，賦值舉反例，發(fā)現(xiàn)矛盾.二、填空題11．某項(xiàng)測(cè)試有道必答題，甲和乙參加該測(cè)試，分別用數(shù)列和記錄他們的成績．若第題甲答對(duì)，則，若第題甲答錯(cuò)，則；若第題乙答對(duì)，則，若第題乙答錯(cuò)，則．已知，且只有題甲和乙均答錯(cuò)，則甲至少答對(duì)______________________道題．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】設(shè)出甲和乙均答對(duì)的題數(shù)，表示出恰有人答對(duì)的題數(shù)，再依據(jù)條件列式求解即得.【詳解詳析】設(shè)甲和乙均答對(duì)的題數(shù)為，則甲和乙中恰有人答對(duì)的題數(shù)為，依題意，若第題甲和乙均答對(duì)，則，若第題甲和乙恰有人答對(duì)，則，若第題甲和乙均答錯(cuò)，則，于是得，解得，即甲和乙有題均答對(duì)，剩余題目甲可能都答錯(cuò)，所以甲至少答對(duì)道題.故答案為：2212．對(duì)任一實(shí)數(shù)序列A＝(a1，a2，a3，…)，定義新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n項(xiàng)為an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有項(xiàng)都是1，且a12＝a22＝0，則a2＝________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】100【思路指引】結(jié)合新定義，令bn＝an＋1－an，由題可知{bn}為公差為1的等差數(shù)列，求得，列式得a1＝a1，a2－a1＝b1，…，an－an－1＝bn－1，疊加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)可得an＝(n－1)a2－(n－2)a1＋，令n＝12，n＝22解方程可求.【詳解詳析】令bn＝an＋1－an，依題意知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差為1，所以bn＝b1＋(n－1)×1，a1＝a1，a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，…an－an－1＝bn－1，累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋，＝(n－1)a2－(n－2)a1＋，分別令n＝12，n＝22，得解得a1＝，a2＝100.故答案為：10013．在數(shù)列中，，若（為常數(shù)），則稱為“等差比數(shù)列”，下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：①不可能為0；②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0.其中所有正確的序號(hào)是________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】①④【思路指引】根據(jù)得到k不為0，①正確，考慮常數(shù)列得到②③錯(cuò)誤，數(shù)列0，1，0，1，…是等差比數(shù)列，得到④正確，得到答案.【詳解詳析】由等差比數(shù)列的定義可知，，故，故k不為0，所以①正確；當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以②錯(cuò)誤；當(dāng)是等比數(shù)列，且公比q＝1時(shí)，不是等差比數(shù)列，所以③錯(cuò)誤；數(shù)列0，1，0，1，…是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個(gè)0，所以④正確．故答案為：①④.14．?dāng)?shù)列：1，1，2，3，5，8，…，稱為斐波那契數(shù)列，該數(shù)列是由意大利數(shù)學(xué)家菜昂納多·斐波那契(LeonardoFibonacci)從觀察兔子繁殖而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．?dāng)?shù)學(xué)上，該數(shù)列可表述為，．對(duì)此數(shù)列有很多研究成果，如：該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化的，通項(xiàng)公式等．借助數(shù)學(xué)家對(duì)人類的此項(xiàng)貢獻(xiàn)，我們不難得到，從而易得＋＋＋…＋值的個(gè)位數(shù)為__________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】4【思路指引】先根據(jù)將式子化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化求得答案.【詳解詳析】因?yàn)椋?又該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化，所以的個(gè)位數(shù)字相同，的個(gè)位數(shù)字相同，易知，則，所以的個(gè)位數(shù)字為4.故答案為：4.15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.表示不超過x的最大整數(shù)，如，則數(shù)列的前35項(xiàng)和為___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】397【思路指引】利用數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系可得，利用數(shù)列的新定義可得數(shù)列的各項(xiàng)，即求.【詳解詳析】由題可得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又也適合上式，∴，令，則，，，，，，，…，，，，所以，，，，，，，…，，，，所以數(shù)列前35項(xiàng)的和為.故答案為：397.【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義的特點(diǎn)，分析數(shù)列各項(xiàng)，使問題得到解決.三、解答題16．已知數(shù)列，其中，且.若數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，或，則稱為數(shù)列A的“緊數(shù)列”.例如，數(shù)列A：2，4，6，8的所有“緊數(shù)列”為2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.(1)直接寫出數(shù)列A：1，3，6，7，8的所有“緊數(shù)列”；(2)已知數(shù)列A滿足：，，若數(shù)列A的所有“緊數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求證：所有符合條件的數(shù)列A的個(gè)數(shù)為；(3)已知數(shù)列A滿足：，，對(duì)于數(shù)列A的一個(gè)“緊數(shù)列”，定義集合，如果對(duì)任意，都有，那么稱為數(shù)列A的“強(qiáng)緊數(shù)列”.若數(shù)列A存在“強(qiáng)緊數(shù)列”，求的最小值.（用關(guān)于N的代數(shù)式表示）【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)；；；(2)證明見解析(3)【思路指引】（1）利用“緊數(shù)列”的定義求解；（2）由均為遞增數(shù)列，得到，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明：①，②，③，④即可；（3）記，且根據(jù)“強(qiáng)緊數(shù)列”的定義求解.(1)解：；；；.(2)依題意，對(duì)任意，有或，或，因?yàn)榫鶠檫f增數(shù)列，所以有，即同時(shí)滿足：①，②，③，④.因?yàn)闉檫f增數(shù)列，因此①和②恒成立.又因?yàn)闉檎麛?shù)數(shù)列，對(duì)于③，也恒成立.對(duì)于④，一方面，由，得，即.另一方面，，所以，即從第項(xiàng)到第項(xiàng)是連續(xù)的正整數(shù)，所以，，因此，故共有種不同取值，即所有符合條件的數(shù)列共有個(gè).(3)記，依題意，對(duì)任意，有或，注意到，即對(duì)任意，有，若，則，即；若，則，即，即對(duì)任意，或者，或者.所以，所以不能成立.記，，則，且.注意到：若存在且，即，則.否則，若，則，不合題意.因此集合有以下三種情形：①，.對(duì)任意，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)：，，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)存在“強(qiáng)緊數(shù)列”，故此情形下，的最小值為；②，，其中.對(duì)任意，有，對(duì)任意，有..故此情形下，的最小值不小于；③，.對(duì)任意，有，.故此情形下，的最小值不小于.綜上，的最小值為.17．若有窮數(shù)列且滿足，則稱為M數(shù)列．(1)判斷下列數(shù)列是否為M數(shù)列，并說明理由；①1，2，4，3．②4，2，8，1．(2)已知M數(shù)列中各項(xiàng)互不相同．令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列；(3)已知M數(shù)列是且個(gè)連續(xù)正整數(shù)的一個(gè)排列．若，求的所有取值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)①數(shù)列不是M數(shù)列；②數(shù)列是M數(shù)列；理由見解析(2)證明見解析(3)的所有取值為4或5【思路指引】（1）直接根據(jù)條件檢驗(yàn)即可；（2）先判斷必要性，若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，可得數(shù)列是常數(shù)列．再判斷充分性，若數(shù)列是常數(shù)列，可得，進(jìn)而可得是等差數(shù)列；（3）先判斷不符合題意，，符合題意，進(jìn)而證明不符合題意，令，可得有三種可能：①；②；③．當(dāng)，根據(jù)（2）的結(jié)論排除這3種可能性，則可得答案.(1)①因?yàn)?，所以該?shù)列不是M數(shù)列；②因?yàn)?，所以該?shù)列是M數(shù)列．(2)必要性：若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則．所以數(shù)列是常數(shù)列．充分性：若數(shù)列是常數(shù)列，則，即．所以或．因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)互不相同，所以．所以數(shù)列是等差數(shù)列．(3)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，不符合題意；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為．此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為．此時(shí)，符合題意；下證當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意．令，則，且，所以有以下三種可能：①；②；③．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，由?）知：是公差為1（或?1）的等差數(shù)列．當(dāng)公差為1時(shí)，由得或，所以或，與已知矛盾．當(dāng)公差為?1時(shí)，同理得出與已知矛盾．所以當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意．其它情況同理可得．綜上可知，的所有取值為4或5．【名師指路】方法點(diǎn)睛：1、對(duì)于數(shù)列種的新定義問題，一定要理解新數(shù)列的性質(zhì)后才能解題，充分利用新數(shù)列的定義去解答問題.2、對(duì)于第三問，可能的取值必然不多，那么可以通過嘗試取值，然后找到規(guī)律和方法來解決問題.18．設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，且滿足對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱這樣的數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是否具有性質(zhì)？并說明理由；(2)若，求出具有性質(zhì)的數(shù)列公差的所有可能值；(3)對(duì)于給定的，具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個(gè)，還是可以無窮多個(gè)？(直接寫出結(jié)論)【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)數(shù)列具有性質(zhì)，理由見解析；(2)，；(3)有限個(gè).【思路指引】（1）由題意，由性質(zhì)的定義，即可知是否具有性質(zhì).（2）由題設(shè)，存在，結(jié)合已知得且，則，由性質(zhì)的定義只需保證為整數(shù)即可確定公差的所有可能值；（3）根據(jù)（2）的思路，可得且，由為整數(shù)，在為定值只需為整數(shù)，即可判斷數(shù)列的個(gè)數(shù)是否有限.(1)由，對(duì)任意正整數(shù)，，說明仍為數(shù)列中的項(xiàng)，∴數(shù)列具有性質(zhì).(2)設(shè)的公差為．由條件知：，則，即，∴必有且，則，而此時(shí)對(duì)任意正整數(shù)，，又必一奇一偶，即為非負(fù)整數(shù)因此，只要為整數(shù)且，那么為中的一項(xiàng)．易知：可取，對(duì)應(yīng)得到個(gè)滿足條件的等差數(shù)列.(3)同（2）知：，則，∴必有且，則，故任意給定，公差均為有限個(gè)，∴具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個(gè).【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)性質(zhì)的定義，在第2、3問中判斷滿足等差數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合各項(xiàng)均為整數(shù)，判斷公差的個(gè)數(shù)是否有限即可.19．已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列是各項(xiàng)均為非負(fù)實(shí)數(shù)的遞增數(shù)列