有限樣本空間與隨機(jī)事件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第十章概率10.1隨機(jī)事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件引入

通過(guò)我們上一章的學(xué)習(xí)可知，許多實(shí)際問(wèn)題都可以用數(shù)據(jù)分析的方法解決，即通過(guò)隨機(jī)抽樣收集數(shù)據(jù),再選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表描述和表達(dá)數(shù)據(jù)，并從樣本中提取所需要的信息，估計(jì)總體的規(guī)律，從而解決相應(yīng)的問(wèn)題.

同時(shí)我們也發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)問(wèn)題，當(dāng)樣本容量較小時(shí)，每次得到的結(jié)果往往不同，但如果有足夠多的數(shù)據(jù)，就可以從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律.

問(wèn)題1：某同學(xué)將每天從家到校的時(shí)間作了一個(gè)記錄

(精確到分).

思考(1)：該同學(xué)從家到學(xué)校所需時(shí)間能事先預(yù)知嗎？如記錄一周數(shù)據(jù)如下，這些時(shí)間有什么特點(diǎn)?第一周2526302427

該同學(xué)每天從家到學(xué)校所需時(shí)間是不能預(yù)知的，且每天所花的時(shí)間不一定相同.

思考(2)：如果該同學(xué)將一學(xué)期記錄的數(shù)據(jù)繪制直方圖如右，你能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎?

該同學(xué)每天從家到學(xué)校所需時(shí)間具有相對(duì)穩(wěn)定的分布規(guī)律，如大多數(shù)天數(shù)在25~29分鐘內(nèi).

問(wèn)題2：從裝有5個(gè)白球和10個(gè)紅球的袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)，事先能確定它的顏色嗎？但如果有放回地重復(fù)摸很多很多次，每次記錄摸到的球的顏色，你認(rèn)為會(huì)有規(guī)律嗎？

任何一次隨機(jī)取一個(gè)球，事先都不能確定它的顏色.但如果有放回地重復(fù)取很多很多次，就會(huì)發(fā)現(xiàn)取到球的顏色會(huì)呈現(xiàn)一定的規(guī)律，例如白色大約占1/3，紅色大約占2/3.問(wèn)題3：類(lèi)似于問(wèn)題1和問(wèn)題2中的現(xiàn)象有什么共同特點(diǎn)？

就一次觀(guān)測(cè)而言，出現(xiàn)結(jié)果具有偶然性，但在大量重復(fù)觀(guān)測(cè)下，各個(gè)出現(xiàn)結(jié)果的頻率具有穩(wěn)定性.這類(lèi)現(xiàn)象叫做隨機(jī)現(xiàn)象.隨機(jī)現(xiàn)象是概率論研究的對(duì)象.也是我們本章要探討的內(nèi)容.隨機(jī)現(xiàn)象

知識(shí)探究(一)

問(wèn)題4：考察下列試驗(yàn)，各有多少個(gè)可能結(jié)果，事先能否預(yù)知出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果？能否確定所有可能的結(jié)果？(1)將一枚硬幣拋擲2次，觀(guān)察正面、反面出現(xiàn)的情況；(2)從你所在的班級(jí)隨機(jī)選擇10名學(xué)生，觀(guān)察近視的人數(shù)；(3)在一批燈管中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命；(4)從一批發(fā)芽的水稻種子中隨即選取一些，觀(guān)察分蘗數(shù)；(5)記錄某地區(qū)七月份的降水量.2種可能的結(jié)果，試驗(yàn)前不能預(yù)知會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果

，可以確定所有可能的結(jié)果.11種可能的結(jié)果，試驗(yàn)前不能預(yù)知會(huì)出現(xiàn)哪一種結(jié)果

，可以確定所有可能的結(jié)果.無(wú)限種可能的結(jié)果，試驗(yàn)前不能預(yù)知會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果

，不能確定所有可能的結(jié)果.很多種可能的結(jié)果，試驗(yàn)前不能預(yù)知會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果

，不能確定所有可能的結(jié)果.無(wú)限種可能的結(jié)果，試驗(yàn)前不能預(yù)知會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果

，不能確定所有可能的結(jié)果.

1概念：

我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀(guān)察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn)，常用字母E表示.隨機(jī)試驗(yàn)

2.特點(diǎn)：

我們主要研究的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：

(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但是現(xiàn)在不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。

思考：我們把類(lèi)似于以上的方法叫隨機(jī)試驗(yàn)，而且目前我們只重點(diǎn)研究(1)(2)兩種情況，那么這兩種有什么共同的特點(diǎn)呢？

問(wèn)題4：體育彩票搖獎(jiǎng)時(shí)，將10個(gè)質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號(hào)0,1,2，…，9的球放入搖獎(jiǎng)器中，經(jīng)過(guò)充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球，觀(guān)察這個(gè)球的號(hào)碼.

這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)共有多少個(gè)可能結(jié)果？如何表示這些結(jié)果呢？如果要用集合來(lái)進(jìn)一步刻畫(huà)這些可能結(jié)果，又該怎樣表示?返回共有10個(gè)可能的結(jié)果；若設(shè)搖出球的號(hào)碼為m，則m可取0，1，2，…，9;所有可能結(jié)果用集合表示為{0，1，2，…，9}.

在這個(gè)試驗(yàn)中，我們把這里m叫樣本點(diǎn)，集合{0，1，2，…，9}叫樣本空間.

樣本空間

(1)樣本點(diǎn)：

隨機(jī)試驗(yàn)E

的每個(gè)可能的基本結(jié)果.一般用

ω

表示.(2)樣本空間：

全體樣本點(diǎn)的集合.

一般用Ω

表示樣本空間.(3)有限樣本空間:

如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有

n

個(gè)可能結(jié)果的ω1，ω2，…，ωn，則稱(chēng)樣本空間

Ω={ω1，ω2，…，ωn}

為有限樣本空間.

由剛才我們所學(xué)的可知，我們目前所研究的隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間都是有限樣本空間.

返回例析

例1.拋擲一枚硬幣，觀(guān)察它落地時(shí)哪一面朝上，寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間.

∵落地時(shí)只有正面向上和反面向上兩個(gè)可能結(jié)果，

∴試驗(yàn)的樣本空間可以表示Ω={正面向上，反面向上}.

如果用h表示“正面向上”,t表示“反面向上”，則樣本空間又可表示為Ω={h，t}解：

例2.拋擲一枚骰子，觀(guān)察它落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù),寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間.解：

設(shè)ω表示朝上的“點(diǎn)數(shù)為

ω”，則

ω有1,2,3,4,5,6共6個(gè)可能的基本結(jié)果，∴試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω={1,2,3,4,5,6}.一般地，我們應(yīng)盡可能將樣本點(diǎn)符號(hào)化和數(shù)據(jù)化

例3.拋擲兩枚硬幣，觀(guān)察它們落地時(shí)朝上的面的情況,寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間.

拋擲兩枚硬幣，若第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，則

試驗(yàn)的樣本點(diǎn)可用（x，y）表示。

∴試驗(yàn)的樣本空間Ω={（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}.解：

思考(1)：如果我們用用1表示“正面朝上”，0表示“背面朝上”，那么樣本空間還可以怎么表示？

思考(2)：你能用初中學(xué)過(guò)的樹(shù)狀圖來(lái)列舉出所有的樣本點(diǎn)嗎？Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}101010第一枚第二枚一般地，我們?cè)诹信e樣本點(diǎn)時(shí)可以借助于樹(shù)狀圖和表格練習(xí)(4)拋擲三枚硬幣，觀(guān)察他們落地時(shí)面朝上的情況。寫(xiě)出下列各隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間.(1)采用抽簽的方式，隨機(jī)選擇一名同學(xué)，并記錄其性別；(2)采用抽簽的方式，隨機(jī)選擇一名同學(xué)，觀(guān)察其ABO血型；(3)隨機(jī)選擇一個(gè)有兩個(gè)小孩的家庭，觀(guān)察兩個(gè)孩子的性別；知識(shí)探究(二)

問(wèn)題5：在上面體育彩票搖號(hào)試驗(yàn)中,搖出“球的號(hào)碼為奇數(shù)”是隨機(jī)事件嗎?

搖出“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”是隨機(jī)事件嗎?如何用集合的形式來(lái)表示它們?

思考：這兩個(gè)隨機(jī)事件的集合與這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間有什么關(guān)系?

如何利用集合語(yǔ)言來(lái)解釋“一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生”的意義？“球的號(hào)碼為奇數(shù)”和“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”都是隨機(jī)事件.

若用A表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為奇數(shù)”，則

A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)搖出的號(hào)碼為1,3,5,7,9之一，即事件A發(fā)生等價(jià)于搖出的號(hào)碼屬于集合{1,3,5,7,9}

∴事件A可用集合{1,3,5,7,9}來(lái)表示.同理，若用B表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”，則

事件B可用集合{3,6,9}來(lái)表示.

集合{1,3,5,7,9}和{3,6,9}都是樣本空間合表示為?={0，1，2，…，9}的子集.

一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的的樣本空間的子集來(lái)表示。隨機(jī)事件

一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的的樣本空間的子集來(lái)表示。

(1)隨機(jī)事件

我們將樣本空間Ω的子集稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件。

只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱(chēng)為基本事件。

隨機(jī)事件一般用大寫(xiě)字母A,B,C,…表示。

在每次實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中的某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)，稱(chēng)為事件A發(fā)生。(2)必然事件

Ω作為是自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω都會(huì)發(fā)生，我們成Ω為必然事件。

(3)不可能事件

空集

?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次實(shí)驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱(chēng)

?為不可能事件。返回

例4.如右圖，一個(gè)電路中有A、B、C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件可能正常，也可能失效.

把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，觀(guān)察這個(gè)電路中各元件是否正常.

(1)寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；

(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個(gè)元件正?！?；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”例析

思考(1)：這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的觀(guān)察點(diǎn)是什么，有多少種可能的結(jié)果

？

這個(gè)試驗(yàn)的觀(guān)察點(diǎn)是A,B,C三個(gè)元件的正常與否。共有8種不同情況。

思考(2)：如何才能將“這個(gè)電路中各元件是否正?！睌?shù)學(xué)化和數(shù)字化

？

一是可以用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài);

二是將表示

A,B,C三個(gè)元件的是否正常的數(shù)字按順序排列得到的有序數(shù)組作為樣本點(diǎn).

例4.如右圖，一個(gè)電路中有A、B、C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件可能正常，也可能失效.

把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，觀(guān)察這個(gè)電路中各元件是否正常.

(1)寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；

(2)用集合表示下列事件：

M=“恰好兩個(gè)元件正?！?；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”解：

(1)分別用x1,

x2和x3表示元件A,

B和C的可能狀態(tài)，則這個(gè)電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,

x3)表示.

進(jìn)一步，假設(shè)用1表示元件狀態(tài)的“正?！?，用0表示狀態(tài)“失效”，則樣本空間為Ω=

{(0,0,0)，

(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，

(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1),(1,1,1)}.

思考(3)：你能用樹(shù)狀圖來(lái)表示所有的樣本點(diǎn)嗎？01元件A0101元件B01010101元件C000001010011100101110可能結(jié)果111(2)

∵“恰好兩個(gè)元件正?！钡葍r(jià)于

(x1,x2,

x3)∈?，且x1,x2,

x3中恰有兩個(gè)1，∴M={(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}.∵“電路是通路”等價(jià)于

(x1,x2,

x3)∈?，且x1=1x2,

x3中至少有1個(gè)1,∴N={(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)}.∵“電路是斷路”等價(jià)于

(x1,x2,

x3)∈?，且x1=0，或

x2=x3=0,∴T={(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,1,1),

(1,0,0)}.練習(xí)

拋擲一黃、一藍(lán)兩枚兩枚均勻的正四面體骰子，分別觀(guān)察底面的數(shù)子.

(1)用表格表示試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；

(2)列舉下列事件所含的樣本點(diǎn)：A=