2024年中考數(shù)學(xué)【高分·突破】壓軸題培優(yōu)專題精練壓軸熱點(diǎn)考點(diǎn)21幾何證明(壓軸突破)(原卷版+解析)

壓軸熱點(diǎn)考點(diǎn)21幾何證明壓軸突破——2024年【中考沖刺】數(shù)學(xué)高頻熱點(diǎn)考點(diǎn)好題精編一、解答題1．在平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心，為半徑畫圓交y軸于點(diǎn)A，已知點(diǎn)，射線交于點(diǎn)B．(1)求證：；(2)只利用一把無刻度的直尺畫出過點(diǎn)P，且與相切的一條直線，并說明理由．（保留畫圖痕跡）2．某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)四邊形進(jìn)行了如下探究：在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若（為銳角），求四邊形的面積；（用含的代數(shù)式表示）(3)如圖3，若，求四邊形的面積．3．如圖，已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，與交于點(diǎn)P，，是的直徑，弦，垂足為M．(1)設(shè)與交點(diǎn)為N，求證：①，②；(2)若，求的值．4．如圖1，在矩形中，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，交于點(diǎn)F，．

(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，G為上一點(diǎn)，，相交于點(diǎn)O，連接．若，且，求的長(zhǎng)．5．約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個(gè)小三角形中有一個(gè)三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角”．例如，如圖1，在中，為邊上的中線，與相似，那么稱為關(guān)于邊的“華益美三角”．

(1)如圖2，在中，，求證：為關(guān)于邊的“華益美三角”；(2)如圖3，已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為直徑的⊙恰好經(jīng)過點(diǎn)．①求證：直線與相切；②若的直徑為，求線段的長(zhǎng)；(3)已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，求的面積．6．如圖1，為直徑，點(diǎn)E是弦中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，

(1)求證：；(2)如圖2，連接交于點(diǎn)F，求證：；(3)如圖3，在（2）條件下，延長(zhǎng)至點(diǎn)G，連接，若，，求的周長(zhǎng).7．知：如圖1，是的弦，點(diǎn)是的半徑的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，將翻折得到，交半徑于點(diǎn)．

(1)求證：．(2)若與相切．①如圖2，點(diǎn)落在上，求的值．②如圖3，若，，求的面積．8．如圖，等腰直角與交于點(diǎn)B，C，，延長(zhǎng)與分別交于點(diǎn)D，E，連接，并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：與相切；(3)若的半徑為2，求的長(zhǎng)．9．如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)若，，連接，求的最小值；(3)如圖2，矩形對(duì)角線與相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若平分．①判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明；②連接，當(dāng)?shù)拿娣e是矩形的時(shí)，求的值．10．如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上，平分，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若（m為常數(shù)），求證：；(3)在（2）的條件下，若，求的值．11．在四邊形中，平分，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連接，且，，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在上，連接，，，，求線段的長(zhǎng)．12．綜合與實(shí)踐

在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以如圖1的兩個(gè)含的直角三角尺為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，其中，，．(1)軸對(duì)稱小組將以為對(duì)稱軸翻折，如圖2，與交于點(diǎn)P，連接，發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．(2)旋轉(zhuǎn)小組將以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，、邊與邊、交于點(diǎn)、、，連接，求的長(zhǎng)度．(3)平移小組將沿向下平移到圖4時(shí)，分別延長(zhǎng)、，交、于點(diǎn)、，發(fā)現(xiàn)四邊形恰好是正方形，直接寫出此時(shí)正方形的面積．13．等邊中，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，在平面內(nèi)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若點(diǎn)在邊上，且，，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，若點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，連接、．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，若，且，猜想線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，點(diǎn)在邊上，且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，在點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)最小時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的面積．14．已知，如圖1，中，，分別與、相切于點(diǎn)B、點(diǎn)D，點(diǎn)F在上，連接交于點(diǎn)G，且G在上，，過D作于H，交于E，交于點(diǎn)N；

(1)求證：；(2)射線交于M，求證：；(3)在（2）條件下，連接，若由、和弧BD所圍成圖形的面積為時(shí)，求四邊形的面積．15．是的半徑，C是半徑上的動(dòng)點(diǎn)，過C作的垂線交于F，交于D、E兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．

(1)求證：；(2)已知的半徑為4，①當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，且，②請(qǐng)直接寫出①中的長(zhǎng)．壓軸熱點(diǎn)考點(diǎn)21幾何證明壓軸突破——2024年【中考沖刺】數(shù)學(xué)高頻熱點(diǎn)考點(diǎn)好題精編一、解答題1．在平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心，為半徑畫圓交y軸于點(diǎn)A，已知點(diǎn)，射線交于點(diǎn)B．(1)求證：；(2)只利用一把無刻度的直尺畫出過點(diǎn)P，且與相切的一條直線，并說明理由．（保留畫圖痕跡）【答案】(1)見解析(2)圖見解析，理由見解析【分析】（1）連接，作于D．求出，，證明，求出，得到，由垂徑定理得到，即可得到結(jié)論；（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，則直線為的切線．證明，由，得到，則，又由直徑即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，作于D．由，得，．∵，，，∴．又∵，，∴，，∵，∴．又∵．∴．∴．∴．∴，∴．又∵，C是圓心，∴，∴．（2）解：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，則直線為的切線．理由如下：∵，，∴．又∵．∴．∴，∵，．∴．∴．∴直徑．∴為的切線．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)四邊形進(jìn)行了如下探究：在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若（為銳角），求四邊形的面積；（用含的代數(shù)式表示）(3)如圖3，若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】本題考查了全等三角形、勾股定理、三角函數(shù)，最后一問由已知條件聯(lián)想截長(zhǎng)補(bǔ)短的輔助線，可發(fā)現(xiàn)圖中隱藏的“手拉手”全等，從而解決問題．（1）由垂直定理得，再根據(jù)勾股定理，，即可解答．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．根據(jù)即可解答．（3）在上取點(diǎn)，使，連接，，為，的交點(diǎn)，先證明，再證明即可．【詳解】（1），．由勾股定理，得，，．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．，．（3）如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，，為，的交點(diǎn)。，，，與均為等邊三角形，，，，，，，，，又，，由（2）知．3．如圖，已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，與交于點(diǎn)P，，是的直徑，弦，垂足為M．(1)設(shè)與交點(diǎn)為N，求證：①，②；(2)若，求的值．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)【分析】（1）①由垂徑定理可知，可得，由，可知，再由三角形的外角的性質(zhì)可得，進(jìn)而可證得結(jié)論；②連接，由圓周角定理可知，可得，利用等弧所對(duì)的圓周角相等可得，，結(jié)合三角形的內(nèi)角和可知，可得，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）連接，，，由，可得，，可得，可知是的垂直平分線，可得，易證得是等邊三角形，得，利用等弧所對(duì)圓心角相等可得，由圓周角定理可得，，由三角形外角可知，即：，可得，即可求得答案．【詳解】（1）證明：①∵，是直徑，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；②連接，∵是直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）連接，，，∵，即，，∴，∵，∴則是的垂直平分線，∴，∵，∴，則是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，等弧所對(duì)得圓周角、圓心角之間的關(guān)系，等邊三角形的判定，求正切值等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．4．如圖1，在矩形中，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，交于點(diǎn)F，．

(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，G為上一點(diǎn)，，相交于點(diǎn)O，連接．若，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)證明，得出即可；（2）證明，得出，根據(jù)，，得出，求出結(jié)果即可；（3）連接，證明，得出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，求出．設(shè)，則，根據(jù)谷歌定理求出，得出（負(fù)值舍去）．求出，，根據(jù)勾股定理求出．【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，，，又∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由（1）可知，∴，∴，∴，即．

（3）解：連接，如圖所示：

∵，且，∴，，又∵，∴，∴，∵O為的中點(diǎn)，∴，∵，∴．由（2）可知：，則，設(shè)，則，在中，，即，解得：（負(fù)值舍去）．∴，，又∵，∴，∴在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等和三角形相似的判定方法．5．約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個(gè)小三角形中有一個(gè)三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角”．例如，如圖1，在中，為邊上的中線，與相似，那么稱為關(guān)于邊的“華益美三角”．

(1)如圖2，在中，，求證：為關(guān)于邊的“華益美三角”；(2)如圖3，已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為直徑的⊙恰好經(jīng)過點(diǎn)．①求證：直線與相切；②若的直徑為，求線段的長(zhǎng)；(3)已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②(3)或或【分析】（1）根據(jù)中線的定義可設(shè)，即，再由，可得，，即有，結(jié)合，可得，問題得證；（2）①連接，根據(jù)，可得，根據(jù)為的直徑，可得，根據(jù)，可得，即有，可得，問題得證；②由題意可知，，即有，，可得，即有，進(jìn)而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；（3）分類討論：當(dāng)時(shí)，過A點(diǎn)作于點(diǎn)E，利用相似可得，即，根據(jù)，可得，此時(shí)面積可求；當(dāng)時(shí)，過A點(diǎn)作于點(diǎn)，同理利用相似可得，進(jìn)而可得，根據(jù)，可得，，則有，利用，可得，求出，進(jìn)而可得，面積可求，問題隨之得解．【詳解】（1）如圖，

∵為的中線，∴，即，∵，∴，又∵，，∴，又∵，∴；∴為關(guān)于邊的“華益美三角”；（2）①證明：連接，如圖，

由題意可知，∴，又∵為的直徑，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵為的半徑，∴為的切線；②∵由題意可知，，∴，，∴，∵的直徑為，∴，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，解得：（負(fù)值舍去）；（3）分類討論：當(dāng)時(shí)，過A點(diǎn)作于點(diǎn)E，如圖，

∵為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，∴，，∴，即，∴，∵，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，過A點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，

∵為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，∴，，∴，即，∴，根據(jù)還有：，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴；綜上：的面積為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及解一元二次方程等知識(shí)，理解“華益美三角”的含義，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．6．如圖1，為直徑，點(diǎn)E是弦中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，

(1)求證：；(2)如圖2，連接交于點(diǎn)F，求證：；(3)如圖3，在（2）條件下，延長(zhǎng)至點(diǎn)G，連接，若，，求的周長(zhǎng).【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)圓心角與弧之間的關(guān)系得出即可；（2）連接，證明，得出，即可證明；（3）連接，交于點(diǎn)H，證明，得出，求出，得出，根據(jù)為的中點(diǎn)，得出，求出，根據(jù)解析（2）求出，設(shè)的半徑為r，根據(jù)勾股定理得出，求出，最后求出圓的周長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

∴，∵E是弦中點(diǎn)，∴，∴．（2）證明：連接，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（3）解：連接，交于點(diǎn)H，如圖所示：

∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，由（2）得：，∴，設(shè)的半徑為r，在中，，，，∴，解得：，∴，即的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓心角、弧之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．7．知：如圖1，是的弦，點(diǎn)是的半徑的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，將翻折得到，交半徑于點(diǎn)．

(1)求證：．(2)若與相切．①如圖2，點(diǎn)落在上，求的值．②如圖3，若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)①；②．【分析】（1）證明即可；（2）①通過、和的關(guān)系，結(jié)合是直角三角形得到，進(jìn)而求的值；②說明是直角三角形，再利用求面積即可．【詳解】（1）證明：將翻折得到，，，，，，；（2）解：①與相切，，，，將翻折得到，，，，，，；②作，垂足為，則，

，，，，，，，，即，，，，，，，，即，，．【點(diǎn)睛】本題以圓為載體考查了圓的性質(zhì)，平行線的判定，翻折問題，相似，解直角三角形等知識(shí)，（2）②的關(guān)鍵是得出是直角三角形．8．如圖，等腰直角與交于點(diǎn)B，C，，延長(zhǎng)與分別交于點(diǎn)D，E，連接，并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：與相切；(3)若的半徑為2，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)證明見詳解(3)【分析】（1）連接，由，得為的直徑，再由是等腰直角三角形，即可求解；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)可知，得，進(jìn)而即可證明；（3）連接，，即可求解；【詳解】（1）解：連接，∵，∴過圓心O，∴為的直徑，∴，∵是等腰直角三角形，∵，∴．

（2）根據(jù)圓的性質(zhì)可知，∵，∴，∵，∴，∴與相切．（3）連接，∵，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合應(yīng)用、勾股定理、等腰直角三角形的應(yīng)用，正確做出輔助線是解本題的關(guān)鍵．9．如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)若，，連接，求的最小值；(3)如圖2，矩形對(duì)角線與相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若平分．①判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明；②連接，當(dāng)?shù)拿娣e是矩形的時(shí)，求的值．【答案】(1)見解析(2)的最小值為2(3)①，證明見解析；②【分析】（1）利用證明；（2）取的中點(diǎn)，連接，由圓周角定理得到點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案；（3）①過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得到，證明，等量代換證明；②根據(jù)勾股定理得到，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式、矩形面積公式得到，得到，計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，在和中，，；（2）解：，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值，，，，，，即的最小值為2；（3）解：①，證明如下：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平分且，是等腰三角形，，，，，，；②如圖2，連接，設(shè)，，由①可知：，，，，在中，，，，，，，，即，解得：，的面積是矩形的，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上，平分，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若（m為常數(shù)），求證：；(3)在（2）的條件下，若，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）由垂直定義得，．進(jìn)而得．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，從而利用等腰三角形的性質(zhì)即可得解；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)．根據(jù)三線合一得，從而得．分別證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得解；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，由（2）知，．由得，根據(jù)勾股定理得．再證得，從而即可得解．【詳解】（1）解：，．又，．為邊的中點(diǎn)，，．（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．．，．，．．由（1）知，．（3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，由（2）知，．由（2）知，，．，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及同角的余角相等等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．在四邊形中，平分，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連接，且，，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在上，連接，，，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)證明過程見詳解(2)證明過程見詳解(3)【分析】（1）設(shè)，則，通過計(jì)算出，由此即可求解；（2）如圖所示，在上截取，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)中位線定理可得，從而可得，再證，可得是等邊三角形，由此即可求解；（3）如圖所示，連接，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可證，由此可得，根據(jù)題意可求出，再證明點(diǎn)共圓，可得，由此即可求解．【詳解】（1）證明：根據(jù)題意，設(shè)，則，在中，，，∴，∵平分，∴，在中，，，∴，∵是的外角，∴，∴，∴．（2）證明：如圖所示，在上截取，取的中點(diǎn)，連接，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴．（3）解：如圖所示，連接，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∴，，由（2）可知，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，由（2）可知，，，∵，∴點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，確定圓的條件等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等及相似．12．綜合與實(shí)踐

在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以如圖1的兩個(gè)含的直角三角尺為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，其中，，．(1)軸對(duì)稱小組將以為對(duì)稱軸翻折，如圖2，與交于點(diǎn)P，連接，發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．(2)旋轉(zhuǎn)小組將以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，、邊與邊、交于點(diǎn)、、，連接，求的長(zhǎng)度．(3)平移小組將沿向下平移到圖4時(shí)，分別延長(zhǎng)、，交、于點(diǎn)、，發(fā)現(xiàn)四邊形恰好是正方形，直接寫出此時(shí)正方形的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，，，根據(jù)對(duì)頂角相等可得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，推得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)直角三角形中，度所對(duì)的邊是斜邊的一半可得，，根據(jù)勾股定理求得，同理求得，即可根據(jù)勾股定理求解；（3）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，即可求得，最后利用正方形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，即，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵將以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得，∴，，∵，，，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，在中，，即，解得：，同理可得，，，即，在中，．（3）解：∵，∴，∴，∵，在中，，∵四邊形是正方形，∴，即，又，∴，即，∴，解得：，∴，∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，等角對(duì)等邊，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．等邊中，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，在平面內(nèi)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若點(diǎn)在邊上，且，，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，若點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，連接、．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，若，且，猜想線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，點(diǎn)在邊上，且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，在點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)最小時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）作，求出長(zhǎng)，再求出，證明，即可；（2）作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由條件，，再證明出，得到，再證出，即可證明出結(jié)論；（3）判斷出點(diǎn)在過且平行于的直線上，點(diǎn)定在以為圓心，為半徑的上，連接，作直線，交于，作于，用梯形的面積減去三角形的面積，再減去三角形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖1，作于點(diǎn)，

，，，，，，，，，，，，，；（2）．如圖，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

，，即，，，即，，，，，，，，，，，，；（3）如圖，若將沿直線翻折得到，則，點(diǎn)在過且平行于的直線上，將沿直線翻折得到，則，點(diǎn)定在以為圓心，為半徑的上，過作于，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為最小值，連接，作直線，交于，作于，

由題得點(diǎn)在上，且，，，，，，，由折疊得，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角