高考總復習優(yōu)化設計一輪用書文科數(shù)學配北師版課時規(guī)范練35　綜合法、分析法、反證法

課時規(guī)范練35綜合法、分析法、反證法1.已知a>5,求證:a-證明:要證a-只需證a-只需證(a-5+a)2<(只需證2a-5+2a2-5a<2a-5只需證a2只需證a2-5a<a2-5a+6,只需證0<6,顯然成立,所以a-52.用合適的方法證明:(1)已知a,b都是正數(shù),求證:a5+b5≥a2b3+a3b2.(2)已知a是整數(shù),a2是偶數(shù),求證:a也是偶數(shù).證明:(1)綜合法:(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)(a2+ab+b2)(a-b)(a+b)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),因為a,b都是正數(shù),所以上式非負,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)≥0,所以a5+b5≥a2b3+a3b2.(2)反證法:假設a不是偶數(shù),即a是奇數(shù),不妨設a=2n+1(n∈Z),則a2=4n2+4n+1.因為4(n2+n)是偶數(shù),所以4n2+4n+1是奇數(shù),這與已知a2是偶數(shù)矛盾,由上述矛盾可知,a一定是偶數(shù).3.已知α∈(0,π),試用分析法和綜合法分別推證下列命題:2sin2α≤sinα證明:(方法1分析法)要證2sin2α≤sinα1-cosα成立,只需證4sinαcos∵α∈(0,π),∴sinα>0,∴只需證4cosα≤11∵1-cosα>0,∴只需證4cosα(1-cosα)≤1,即4cos2α-4cosα+1≥0,只需證(2cosα-1)2≥0,顯然成立.命題得證.(方法2綜合法)sinα1-cosα-2sin2α=sinα11-cosα∵α∈(0,π),∴-1<cosα<1,0<sinα<1,∴(1-2cosα)2sinα1-cos∴2sin2α≤sinα4.(2021上海松江實驗高級中學月考)(1)證明:|x-3|-|x-5|≥-2,對所有實數(shù)x均成立,并求等號成立時x的取值范圍.(2)求證:6是無理數(shù).證明:(1)對于不等式|x-3|-|x-5|≥-2,當x≤3時,左邊=3-x+(x-5)=-2,不等式成立.當3<x<5時,左邊=x-3+(x-5)=2x-8>-2,不等式成立.當x≥5時,左邊=x-3-(x-5)=2>-2.所以|x-3|-|x-5|≥-2,對所有實數(shù)x均成立,等號成立時x∈(-∞,3].(2)假設6是有理數(shù),則6=mn,其中m,則m=6n,兩邊平方得m2=6n,所以m為偶數(shù),設m=2k,k∈Z,則4k2=6n,2k2=3n,所以n為偶數(shù),與“m,n是互質的整數(shù)”矛盾,所以假設不成立.所以6是無理數(shù).5.(2021青海海東模擬)(1)用分析法證明:若x>1,則3x2+1x2>3x+1x>(2)用反證法證明:若a<e2,則函數(shù)f(x)=ax2-4ex(x>0)無零點.證明:(1)因為x>1,所以要證3x2+1x2>3x+只需證3x4+1>3x3+x,即證3x3(x-1)>x-1,所以只需證3x3>1.因為x>1,所以3x3>3>1,故3x2+1x2>3x+1令t=x>1,則3x+1x>3x+1x等價于3t2+1t又因為已證明3x2+1x2>3x+1x,所以3t2+1t2故3x2+1x2>3x+1x>(2)假設函數(shù)f(x)=ax2-4ex(x>0)有零點,則方程f(x)=0在(0,+∞)上有解,即a=4exx2在(0,+設g(x)=4exx2(x>0),g'(x)=當0<x<2時,g'(x)<0;當x>2時,g'(x)>0.所以g(x)min=g(2)=e2,又因為a<e2,所以a=4exx2在(0,+顯然矛盾,故假設不成立,即原命題得證.6.(2021安徽黃山模擬)列三角形數(shù)表假設第n行的第二個數(shù)為an(n≥2,n∈N+).(1)歸納出an+1與an的關系式并求出an的通項公式;(2)求證:數(shù)列{an}(n≥2,n∈N+)中任意的連續(xù)三項不可能構成等差數(shù)列.(1)解:由三角形數(shù)表可知a2=2,an+1=an+n(n≥2,n∈N+),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=(n-1)+(n-2)+…+2+2=(n-2)(n-1+2)2又a2=2也滿足上式,∴an=n2-n+22(n≥2,n(2)證明:(反證法)假設{an}中存在連續(xù)三項構成等差數(shù)列,可設