高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (32)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（32）

一、單項選擇題（本大題共14小題，共70.（）分）

1.在正方體48。。一4816。1中，E為棱CZ）的中點，則（）

A.ArE1DCrB..4iE±BDC.ArE1BCrD.AE_LAC

2.三棱錐P-ABC中，48=BC=6,4C=6,PCJ_平面ZBC,PC=2,則該三棱錐的外接球的表

面積為（）

.—83Itn830—25nn—25it

A.2B.—37TC.2D.3

3.某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,三棱錐表面上的點M在俯視圖上

的對應(yīng)點為A,三棱錐表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為8,則線段MN的長度的最大值為（）

A.2y/3B.3V2C.4V2D.3^3

4.正三棱錐P-4BC,。為BC中點，PA=gAB=2,過。的平面截三棱錐P-4BC的外接球

所得截面的面積范圍為

A.[）,|汨B.聲,|網(wǎng)C.[7r,27T]D.[兀,|網(wǎng)

5.設(shè)正方體的表面積為24cm2,一個球外接于該正方體，那么這個球的表面積是（）

A.^ncm2B.127rcm2C.3ncm2D.—ncm2

33

6.已知圓錐的高是其底面半徑的百倍，體積為3兀，則其內(nèi)切球的表面積為（）

A.4兀B.87rC.127rD.16兀

7.如圖，已知四面體ABC。的各條棱長均等于4,E,尸分別是棱4。，8c的中點.若用一個與直

線EF垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面a去截該四面體，由此得到一個多邊形截面,

則該多邊形截面面積最大值為（）.

A

A.3A/2

8.已知各棱長均為1的四面體A-BC。中,石是4。的中點,P為直線CE上的動點，則|BP|+|DPI

的最小值為

A.1+當(dāng)B.J1+乎C.1D.

9.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AC=BC=2,AB=2?PC=1,則三棱錐P-ABC的外

接球的表面積為（）

A.yB,4?rC.127rD.胃

10.己知三棱錐P-ABC的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,ZL48C是邊長為2的正三角

形，E,F分別P4PB的中點，NCEF90,則球O的體積為（）

A.6遙兀B.4v不rC.2遙兀D.V6?r

11.己知正四面體（四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形）的棱長為2,則此正四面體的外接球表面

積為

A.回B.47rC.5兀D.67r

4

12.已知球。是正三棱錐4—BCD的外接球，底邊BC=3,側(cè)棱A8=2K，點E在線段8。上，且

BD=3BE,過點E作球。的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）

A.洋,4兀］B.［2匹4兀］C.件，鈦］D.［等,4兀］

13.已知正方體4BC0-4B1C1D1，棱長為2,棱CD中點為M,點尸是平面4BB14內(nèi)任意一點，

平面GPM與平面A8CD和平面4BB遇1所成的角（銳角）相等，則點尸到當(dāng)最短距離是

A.2B.迎C.漁D.1

523

14.已知三棱錐P-4BC中，/.PAB=^PAC=/.BAC=90°,PA=1,AB=AC=2,M,N分別為

PB,PC的中點，則直線MN被三棱錐P-ABC外接球截得的線段長為

A.V7B.V2C.—D.2企

2

二、填空題（本大題共13小題，共65.0分）

15.已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且三條側(cè)棱長分別為1,V2,V3，則此三棱錐外

接球的表面積為.

16.已知在半徑為3的球面上有A,B,C,力四點，若2B=CD=2,則四面體ABC。體積的最大

值為.

17.已知平面內(nèi)一正六邊形ABCQEF的邊長為1,中心為點O,將該正六邊形沿對角線AO折成二

面角E-AD-C,則當(dāng)EC=1時，三棱錐。一CEF的外接球表面積為.

18.三棱錐中成異面直線的一對棱稱為相對的棱，已知三棱錐4-BCD中三組相對的棱分別相等，

AB=5,BC=VH，且所有頂點都在一個半徑為座的球面上，則三棱錐A-BCD的體積為

2

19.底面邊長為2或，各側(cè)面均為直角三角形的正三棱錐的四個頂點都在同一球面上，則此球的體

積為?

20.已知正四棱柱4BCD-4道傳1。1的底面邊長為2,側(cè)棱長為4,過點A作平面a與正四棱柱的三

條側(cè)棱Ba,CG，分別交于E,G,F,且BE=DF,若多面體4BCD-AEGF和多面體

&B1G5-4EGF的體積比為3:5,則截面AEGF的周長為.

21.己知直三棱柱ABC-A/iG外接球的表面積為52兀,AB=1,若△ABC外接圓的圓心01在AC上，

半徑=1,則直三棱柱ABC-力遇也1的體積為.

22.如圖，在長方體ABCD中，48=3。=魚813,4。08。=。西是81。（含端點）上一

動點，

①0E〃平順iG。；

②0E與平面5CC14所成角最小為45。；

③三棱錐4-BDE體積為定值；

④0E與4G所成的最大角為90。，

則上述命題中，正確的序號是.

23.一個圓臺的上、下底面半徑長分別為10和20,它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是18()，則這

個圓臺的表面積是

24.正方體的棱長為4,M、P分別為必當(dāng)和的中點，過。、M、

點的平面與棱CCi交于點N,貝lJPN=

25.已知四面體A8CD的四個頂點均在球。的表面上，且△ABC為正三角形,BD1CD,BD=CD=1,

AD=V3.則球。的表面積為.

26.(1)觀察下列不等式

222

1+￡+翥<|,

12_±±<Z

I十+2Z+十32+42<4,

照此規(guī)律，第五個不等式為.

(2)在四邊形ABCD中，/W〃BC,AB=26,4。=514=30。，點E在線段CB的延長線上，且

AE=BE,貝麗-AE=-

(3)已知/(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x20時，/(%)=/-4x,那么，不等式+2)<5的

解集是.

(4)如圖，正方體ABCC-41B1G2的棱長為1,P為BC的中點，。為線段CC】上的動點，過點

A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是一(寫出所有正確命題的編

號)?

①當(dāng)0<CQ<；時，S為四邊形;

②當(dāng)CQ=T時，S為等腰梯形;

③當(dāng)CQ=；時，S與Ci。1的交點R滿足G%=3

④當(dāng)：<CQ<1H寸，S為六邊形;

⑤當(dāng)“=1時，S的面積為串

27.如圖所示，在棱長為a的正方體4BC。一公86。1中，E是棱

的中點，F(xiàn)是棱AB的中點，Q為側(cè)面CDDiQ上的動點，旦B0”

面&EF,則Q在側(cè)面CD5G上的軌跡的長度是.

三、多空題(本大題共1小題，共4.0分)

28.如圖所示是一幾何體的三視圖，正視圖是一等腰直角三角形，且

斜邊8。長為2,側(cè)視圖是一直角三角形，俯視圖為一直角梯形，

且4B=BC=1,該幾何體的體積為表面積為_(2)_；

四、解答題(本大題共2小題，共24.0分)

29.如圖所示的幾何體中，BE1平面ABCD,AF//BE,四邊形A8C。為菱形，AB=4F=2,點M,

N分別在棱尸Z),E￡)±.

⑴若BF〃平面MAC,設(shè)r=九求;I的值;

(2)若乙4BC=60。，索直線8N與平面ABC。所成角的正切值為漁，求三棱錐BENF的

、/ND23

體積.

30.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD//BC,ABLAD,AD=3,PA=AB=遮，PC=BC=1,

PB=y/2.

(1)證明：P。J■平面PAC；

(2)求四棱錐P-ABC。的高.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征以及直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.連接&E,A.D,BCBCi,

在正方體4BCD—4B1GD1中，利用線面垂直判定定理得到BCi±平面，進(jìn)而得解.

解：如圖,

連接&E,4D,BCBC],則&Eu平面&DCB1.

在正方體4BCD-4B1GD1中，

DC1BCi，B]C1BCi，DCAB】C=C,

???BCi，平面AiOCBj

而&Eu平面為DCBi，

???AXE1BC1.

故選C.

2.答案：A

解析：

本題考查球的表面公式和三棱錐的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是由題意得出圓的半徑,

先由三角形外接圓半徑公式可得R=器，再由圖分析可得外接球是的半徑0P,

4S

然后由球的表面積公式可得答案.

解：因為AB=BC=dT^,AC=6,所以三角形的面積為3遍,

所以三角形外接圓半徑為絲臀亙=4

3V6X42V€

由圖可得。？就是外接球的半徑，

R=Vr2+I2-

??S=4兀/?2=47rX—=—7T.

?82

故選A.

3.答案：D

解析：

畫出幾何體的直觀圖，判斷MN的位置，然后結(jié)合直觀圖可求線段MN的長度的最大值.

【詳解】

D

B網(wǎng)

由三視圖可知，該三棱錐的底面是直角三角形,

一條側(cè)棱與底面垂直（AD_L平面ABC）,

為幾何體的直觀圖如圖，M在AD上，B,N重合，

當(dāng)M與。重合時，

線段MN的長度的最大值為BD=卜+C=3V3.

故選D.

本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題

是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的

關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相

同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響.

4.答案：D

解析：

本題考查與球有關(guān)的組合體問題、球半徑和圓的面積公式，屬于中檔題.根據(jù)題中數(shù)據(jù)，結(jié)合正棱錐

的結(jié)構(gòu)特征，得到PSPA,PC兩兩垂直，可將正三棱錐P-4BC看作正方體的一角，記正方體的

體對角線的中點為0，得到點0也是正三棱錐P-ABC的外接球的球心，記外接球半徑為R,過球

心的截面圓面積最大，再求出。。的值，根據(jù)球的結(jié)構(gòu)特征可得，當(dāng)0Q垂直于過。的截面時，截

面圓面積最小，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.

解：因為正三棱錐P-4BC,PB=PC=PA=y[2,ACBC=AB=2,

所以PB2+融2=極,即PBJ.PA,

同理PB1PC,PC1PA,

因此正三棱錐P-ABC可看作正方體的一角，如圖：

記正方體的體對角線的中點為0,

由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得，0點即為正方體外接球球心，

所以點。也是正三棱錐P-ABC的外接球的球心，

記外接球半徑為R，則R="2+2+2=漁，

22

因為球的最大截面圓為過球心的圓，

所以過。點的平面截三棱錐P-4BC的外接球所得截面的面積最大為萬?。喝f，

又Q為BC中點，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得OQ=當(dāng)，

由球的結(jié)構(gòu)特征可知，當(dāng)。。垂直于過。的截面時，截面圓半徑最小為r=J十一OQ2=1,

=71T.=開，

因此，過。的平面截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積范圍為伏,|用.

故選。.

5.答案：B

解析：略

6.答案：A

解析：

本題主要考查該圓錐內(nèi)切球的表面積，考查學(xué)生的計算能力，確定內(nèi)切球的半徑是關(guān)鍵，是中檔題.

由已知求得圓錐的底面半徑與高，再由等面積法求出該圓錐內(nèi)切球的半徑，再由球的表面積公式得

答案.

解：作出圓錐截面圖如圖，

p

設(shè)4B=2x,則高為Ex,母線長為2x,

所以軸截面為等邊三角形，

圓錐的體積為Ux2.gx3TT,解得x=V3，

<5

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則利用軸截面，

根據(jù)等面積可得出x(2百產(chǎn)=工x(2>/3+2V3+2V3)r.

42

r=1,

;該圓錐內(nèi)切球的表面積為47rxI2=4it.

故選4.

7.答案：B

解析：

本題主要考查與棱錐截面有關(guān)的面積計算，屬于較難題.

補全圖形，補成正方體，根據(jù)面積即可計算.

解：將正四面體ABCC補成正方體，如圖.

?:E、尸分別為A。、BC中點，

EF為正方體上下面中心的連線,

則EF為高，與上下底面均垂直，

在AC、AB、BD、CO上分別取K、L、M、N,使KL"BC"MN,KN//AD//LM,

???根據(jù)線面、面面平行的判定可知平行四邊形KLMN即為與EF垂直的四面體的截面,

、兒KLMNQ

設(shè)一=—=A,

BCBC

則生="=弛

ADADBA

=1一年=1一孩=一九

NK,KL-

----------=1,

ADBC

又正方體中4。=BC=4,

NK+KL=AD=BC=4,

V.KL//BC,KN//AD,E.AD1BC,

KN1KL,即EIKLMN為矩形,

NK+KL：

《(—)=4,

/.sm彬NNKL=NK-KL2

當(dāng)且僅當(dāng)NK=KL=2時取等號,

故選B.

8.答案：B

解析：

本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，其中把平面3EC及平面CEO以CE為折線展平得出：在平面DEBC中,

連接BD,與EC相交于P點，則DP+BP為最短距離，是解題的關(guān)鍵.把平面8EC及平面CED以

CE為折線展平，三角形CEC是正三角形的一半，故在平面QEBC中，連接BQ與EC相交于尸點,

則OP+BP為最短距離，再利用余弦定理即可得出.屬難題.

解：由于各棱長均為1的四面體是正四面體，把平面BEC及平面CEO以CE為折線展平，三角形

CEO是正三角形的一半，

A

CE=—,DE=之,CD=1,BE=—,BC=1,/I\

222/I\￡1

故在平面OEBC中，連接BO,與EC相交于P點，則。P+BP為最短

D

距離，在三角形8EC中，

根據(jù)余弦定理，

CQSZ-BEC=-^-4______2

c.r~^

2V一3

2224

???ME—,COSWEB

=cos(90°+4BEC)=-sinzBFC=一苧

???BD2=BE2+DE2-2BE?DE?cos乙DEB

V31

—2x—x—x

22

=1+”

9.答案：D

解析：

本題考查了三棱錐的外接球表面積，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

取A8中點尸，PC中點E.設(shè)△ABC的外心為?！竿饨訄A半徑為r,三棱錐P-ABC的外接球的球心為

0,由*=(b產(chǎn)+(]—7)2,可得r=2.

在四邊形。。iCE中，設(shè)NOCE=a,外接球的半徑為R,則一?一=—4~可得7cosa=V5s譏an

cosacos(j-a)

cosa=:可求R即可.

解:取AB中點F,PC中點E,

PA=PB=AC=BC=2,

PF=CF=1,PFLAB,CFLAB,

,:PF、CF為平面PEF內(nèi)兩條相交直線，

4B_L平面PEF,

???在平面ABC內(nèi)，

平面PEF1平面ABC,

設(shè)4ABC的外心為Oi，外接圓半徑為r,三棱錐P-ABC的外接球的球心為0,

則。。1，平面ABC,0E1PC,

由戶=(b)2+(1-r)2.可得r=2,

因為PF=CF=PC=1,所以△PCF為等邊三角形,

在四邊形001CE中，設(shè)NOCE=a,外接球的半徑為R,

1r

貝！=—4~可得7cosa=y/3sina=cosa=不

cosacos(--a)V52

?.?KR—-—1X*—短=r一—/回一，

2V3y]3

???則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4兀/?2=等.

故選。.

10.答案：D

解析：

本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，是中檔題.

由題意畫出圖形，證明三棱錐P-4BC為正三棱錐，且三條側(cè)棱兩兩互相垂直，再由補形法求外接

球球。的體積.

解：由24=PB=PC及zMBC是邊長為2的正三角形可知，

取AC中點G,則AC1BG,AC1PG,可得力C_LPBG,

則AC1PB,因為E,F分別是P4AB的中點，

所以BC〃4D,

又因為NCEF90，即EF1CE,

所以PB1CE,得PB1PAC,

所以PB1PA.PB1PC,

因為APAB竺AP.AC'絲APBC，

所以PA1PC,即正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，

把三棱錐補形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球,

其直徑為正方體的體對角線的長度，

即d=y/PA2+PB2+PC2=V6,半徑為漁,

2

3

則球。的體積為扣xg）=V67T.

故選。.

11.答案：D

解析：

將正四面體補成一個正方體，正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長，即可得出結(jié)論.

本題考查球的內(nèi)接多面體等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查邏輯思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

解：將正四面體補成一個正方體，則正方體的棱長為企,正方體的對角線長為歷，

???正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長，

???外接球的表面積的值為47r.（曰）=6小

故選。.

12.答案：B

解析：

本題考查正三棱錐的外接球及球的截面的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

過E作球0的截面圓中，面積最大的是過球心。的截面圓，最小的是垂直于0E的截面圓，即可解

答.

解：顯然過E作球0的截面圓中，面積最大的是過球心。的截面圓，最小的是垂直于0E的截面圓，

設(shè)三棱錐的外接球半徑為凡設(shè)A點在底面88上的射影為則4H=3,BH=如,

由B//2+?！?=。/得（臼）2+（3-R）2=R2,解得R=2,截面圓面積最大為4兀，

如圖，在aBEH中，

由余弦定理得E//2=BH2+BE2-2BH-BE-cos300=3+l-2xV3xlx—=1，：.OE2=

2

EH2+OH2=1+1=2,

???垂直于OE的截面圓半徑r滿足N=R2—。E2=4-2=2,.??5=?！?=2兀，即截面圓最小面積

為2兀，所以截面圓面積的取值范圍是[2兀,4兀]

故選8.

13.答案：A

解析:

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查二面角及空間距離問題，屬于較難題.

設(shè)點M在平面上的射影是點Mi，點P在平面ABC。上的射影是點Pi，則點Mi是棱AB的中

點.設(shè)平面QPM與平面A8CQ和平面4BB14所成的角（銳角）分別是a,0,根據(jù)二面角及空間距離

問題計算即可.

解：設(shè)點M在平面ABB14上的射影是點Mi，點P在平面488上的射影是點則點是棱AB

的中點.如圖，

設(shè)平面GPM與平面ABC。和平面488送1所成的角（銳角）分別是a,0,

則cosa="CM,cos0=

5y-I,

APC1M3APC]M

因為a=0,

所以SAP[CM=SAPBIMJ

設(shè)點P到直線a%的距離是d,

易知CM=1,Bi”[=遮，點3到直線CM的距離是2,

則：x1x2=gx遍xd,所以d=￥，

即點P在與直線aMi平行，且與直線&距離為管的直線上，

所以點P到為最短距離是手.

故選A.

14.答案：A

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查幾何體外接球問題，屬中檔題，

依題意，將三棱錐補成一個長方體，長方體外接球的半徑R=|,

球心(體對角線的中點)到MN的距離為了，從而求得結(jié)果.

解：將三棱錐補成一個長方體，長方體外接球的半徑R=|,

球心(體對角線的中點)到MN的距離為當(dāng)，

所以截得的線段長為1=2,(I?一倒=V7-

故選A.

15.答案：6Tt

解析：

本題考查四面體的外接球的表面積，

依題意，知三棱錐是長方體的一個角，擴展的長方體與三棱錐有相同的外接球，

進(jìn)而求得外接球的半徑，即可求得外接球的表面積.

解：三棱錐S-4BC中，共頂點5的三條棱兩兩相互垂直，且其長分別為1,或，V3,

三棱錐的四個頂點同在一個球面上，三棱錐是長方體的一個角，擴展為長方體，

三棱錐的外接球與長方體的外接球相同，長方體的對角線就是球的直徑，

22

所以球的直徑為：J12+(V2)+(V3)=V6＞半徑為浮

外接球的表面積為：4兀x件)=6兀，

故答案為67r.

16.答案：述

3

解析：

本題考查了球的結(jié)構(gòu)特征、棱錐的體積和基本不等式，屬于中檔題.

當(dāng)異面直線AB,C￡＞互相垂直時體積最大，可以把四面體ABC。補在長方體中，運用基本不等式由

體積相減即可得出四面體ABC。體積的最大值.

解：當(dāng)異面直線A8,互相垂直時體積最大，可以把四面體ABCD補在長方體中，如圖，

則a2+爐+c?=36,b2+c2=4,a=4-\/2,

則4=b2+c2>2bc,

四面體ABCD的體積V如面送=4&bc-4x乙x工x4abe=-4V2bc<—.

四四小AB33233

故答案為隨.

3

17.答案：27r

解析：

本題考查二面角的應(yīng)用、三棱錐的外接球的表面積的求解，考查空間線面垂直的判斷與性質(zhì)，屬于

中檔題.

取線段。。的中點G,連接EG,CG,先證明AD_L平面EGC,進(jìn)而得到EF，平面EGC,則EF1EC,

求出三棱錐。-CEF的棱長，并確定外接球球心位置和半徑，進(jìn)而求出表面積即可.

解：由題意作圖，取線段0。的中點G,連接EG,CG,

可知EG1AD,CGIAD,EGCtCG=G,所以力。，平面EGC.

由AD〃EF,得EFJ?平面EGC,又ECu平面EGC,EF1EC,

因此在三棱錐0—CE尸中，OC=OF=OE=EC=EF=1,FC=&，

三棱錐。-CEF外接球球心為線段FC的中點，半徑為五，

2

外接球表面積為4;rx(4)=2TT.

故答案為27r.

18.答案:20

解析：

本題考查三棱錐的體積，屬于中檔題.

構(gòu)造長方體，其面上的對角線構(gòu)成三棱錐4-BCD,計算出長方體的長、寬、高，即可求得三棱錐

4-BCD的體積.

解：由題意，構(gòu)造長方體如圖所示，其面上的對角線構(gòu)成三棱錐力-BCD,

設(shè)長方體的長，寬，高分別為a,b,c,

2+/；2=25

a2+c2=41,解得a=4,b=3,c=5.

.a2+b2+c2=50

所以三棱錐4-BCD的體積U=4x3x5-4xjx|x4x3x5=20.

故答案為20.

19.答案：4v57r

解析：

本題考查了正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，三棱錐外接球體積的求法，等價轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬于基

礎(chǔ)題.

根據(jù)題意知此正三棱錐的外接球即是相應(yīng)的正方體的外接球，然后結(jié)合相關(guān)邊的關(guān)系求出外接球半

徑即可求解.

解：由題意知此正三棱錐的外接球即是相應(yīng)的正方體的外接球，

則此正方體的面對角線長為2VL棱長為平=2,

正方體的體對角線是322+22+22=2V3,

設(shè)外接球的半徑為R，則2R=2V3,解得R=V3,

故外接球的體積為7尸』《萬，

M

故答案為4v5兀.

20.答案：10

解析：

本題考查正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征，截面圖形的周長，屬于中檔題.

由已知可得四邊形月EGF是菱形，過E分別作ENLCCi，EM!AAr,垂足分別為N,M,連MF,NF,

可得%-EFN=%_MEF，根據(jù)已知可得多面體A8CD—AEGF的體積，且等于四棱柱A8CD-MENF的體

積，進(jìn)而求出BE,即可求解.

解：在正四棱柱4BCO-AiBiGDi中，平面441。1?！ㄆ矫鍮BiQC,

平面44也。C平面a=AF,平面BBiGCn平面a=EG,：.AF//EG,

同理AE〃FG,所以四邊形4EGF為平行四邊形，因為BE=DF,

所以AE=4F,故四邊形AEGF是菱形，過E分別作ENICC】，EM144,

垂足分別為N,M,連接MF,NF,得EN=BC=AB,因為4E=EG,

^ABERt^ENG,所以GN=BE=CN,又BE=DF=AM,

所以多面體力BCD-MENF為正四棱柱，且％_EFN=匕-MEF，

所以多面體4BCD-4EGF的體積為正四棱柱4BCD-MENF的體積為4BE,

又因為正四棱柱力BCD-的底面邊長為2,側(cè)棱長為4,

所以正四棱柱4BCD-4/165的體積為16,

又因為多面體4BCD-4EGF和多面體力/1GD1-4EGF的體積比為3:5,

所以多面體ABCD-4EGF的體積為V=16x：=6=48E,BE=:

AE=上+(|)2=|,故截面AEG尸的周長為4x|=10.

故答案為：10.

21.答案：6

解析：

本題考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和體積公式，球的表面積公式，考查補形法的應(yīng)用，屬于中檔題.

由題可知圓心01為AC的中點，且AABC是以NABC為直角的直角三角形，即可求出BC的值，把直

三棱柱ABC-&B1G補形為長方體，設(shè)BBi=X,可知其外接球的半徑R=如2+（己）2+6.再由

外接球的表面積為52兀，可得外接球半徑H的值，進(jìn)而得到x的值，再根據(jù)三棱柱的體積公式即可得

解.

解：如圖，ABC外接圓的圓心R在AC上,

BA

3為AC的中點，且△ABC是以/ABC為直角的直角三角形,

由半徑n=1,得AC=2,又AB=1,二BC=d5.

把直三棱柱ABC-Ci補形為長方體，設(shè)BBi=X,

則其外接球的半徑R=[/+(b)2+/.

又直三棱柱ABC-4B1G外接球的表面積為52兀，

???4nR2=52n,即R=V13.

.?./?=iJl2+(V3)2+x2=g，解得》=4V3.

.??直三棱柱ABC-A/iG的體積為；x1xV3x4^3=6.

故答案為：6.

22.答案：①③④

解析：

本題考查線面平行的判定及空間角，考查學(xué)的推理能力，屬于中檔題目.

根據(jù)線面平行的判定及異面直線，線面角，及三棱錐體積，逐一對選項判斷即可.

解：①因為平面/&C〃平面&GD,OEu平面4B1C,所以O(shè)E〃平面&GD,故①對;

②設(shè)的中點為M,連接OM,ME,則OML平面

故/OEM為OE與平面BCC/i所成角，則tan/OEM=翳，

易知E與當(dāng)重合時，EM最大,NOEM最小.

設(shè)AB=BC=五B、B=a,B1M=的7+停j=ga，

a

CL."ZI-

故ta*OEM=aN嬴=禹=手工1,

2

故OE與平面BCGBi所成角最小不為45。，故②不對；

③匕1-BDE=VE-AABD＞底面△&BD面積為定值，

因為當(dāng)。〃41。，&OU平面4BD,81。9平面48。，所以當(dāng)C〃平面4BD.

故E到平面&B。的距離為定值，

所以三棱錐&-BDE體積為定值，故③對；

④因為47/4G，所以O(shè)E與41G所成的角為“0C,

所以E在當(dāng)處時，OE與41cl所成的角最大，為N/OC,

因為BB]_L平面ABCD,OCu平面ABCD,所以1OC.

因為四邊形A8CD為正方形，所以。B1OC.

因為OBCBBi=B,OB,BBiu平面OBBr所以O(shè)C_L平面OBB「

因為OB】u平面OBB「所以。CJ.OB1，即NB]OC=90。.

故0E與4G所成最大角為90。，故④對.

故答案為①③④.

23.答案：IIOOTT

解析：

本題考查了圓臺的側(cè)面積、表面積公式，熟練掌握圓臺的側(cè)面展開圖，扇環(huán)的圓心角公式是解答本

題的關(guān)鍵.解答本題可把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即先在展開圖內(nèi)求母線的長，再進(jìn)一步代入側(cè)

面積公式求出側(cè)面積，進(jìn)而求出表面積.

解：如圖：

設(shè)圓臺的上底面周長為c,〈、

因為扇環(huán)的圓心角是180。，VA

故c=兀?SA=2nx10,)

所以SA=20,Er定冢

同理可得SB=40,

所以48=SB-SA=20,

所以S表面積=S即+S上+S下,

2

=兀(q+r2)-AB+nr/+7rr2,

=TT(10+20)X20+7Tx102+7Tx202,

=IIOOTT,

故圓臺的表面積為IIOOTT.

故答案為1100小

24.答案：也

3

解析：

本題考查空間點線面距離的求法，關(guān)鍵是畫出正方體的截面圖形，考查學(xué)生分析問題解決問題的能

力.

解：畫出如圖所示的過￡>,M,P的平面，

因為正方體的棱長為4,M,P分別為必當(dāng)，當(dāng)口的中點，

所以可得CiE=C1P=2,

由GN〃D】。，則器=蕓，可得乎=：，所以GN=g,

￡/1L>"1cqO<5

故答案為空m.

3

25.答案：37r

解析:

本題考查多面體的外接球、球的表面積，意在考查空間想象能力、運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

由題意得=B/)2+AB2=+4。2,即乙4BC=44CD=90。.4。的中點是球心，即可得球的

半徑及表面積.

解：因為8。1CD,BD=CD=1,所以BC=A/B7+亦=則AB=AC=&，

于是m=BD2+AB2=CD2+AC2t

所以UBO=^ACD=90°.

取AD的中點G,貝IJGA=GB=GC=GD,

所以點G與點O重合，所以球。的半徑為%AD=遺，

22

2

則球O的表面積為4X兀x(?)=3小

故答案為37T.

26.答案:(1)1+蠢+表+爰+/+?！促M；

⑵-1；

⑶（一7,3）；

(4)①②③⑤

解析：略

27.答案：漁a

2

解析：

本題考查線線平行、線面平行、面面平行的判定和性質(zhì)，取CC的中點K,KQ的中點/,易得平面

公/化〃平面當(dāng)“。/7,則線段CN的長度為軌跡的長，屬于中檔題.

解：延長FB至M,使MB=[a,取g名的中點N,,KD的中點/,

連結(jié)為M,CN,,El,因為El“CN,Fl"MC,所以平面&MCN〃平面&E/F,

則點Q的軌跡的長為線段CN的長，在△AKO中，DrD=a,KD=^,

所以CN-D[K-Ja2+^-—~Ya，

故答案為在a.

2

28.答案：|

5刀百

解析：

本題考查了由三視圖求幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是由三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾

何量.

由三視圖知幾何體為四棱錐與三棱錐的組合體，畫出其直觀圖，求出其體積和表面積.

解：由三視圖知幾何體