2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及參考答案

2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請(qǐng)按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分.假如考生的解答方法和本解答不同，只要思緒合理，環(huán)節(jié)對(duì)的，在評(píng)卷時(shí)請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）本題共有6小題，每題均給出了代號(hào)為的四個(gè)答案，其中有且僅有一個(gè)是對(duì)的的.將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).每小題選對(duì)得7分；不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字母超過(guò)一個(gè)（不管是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.1．設(shè)，，且，則代數(shù)式的值為（）5.7.9.11.【答】.解由題設(shè)條件可知，，且，所以是一元二次方程的兩根，故，，因此.故選.2．如圖，設(shè)，，為三角形的三條高，若，，，則線段的長(zhǎng)為（）.4...【答】.解由于，，為三角形的三條高，易知四點(diǎn)共圓，于是△∽△，故，即，所以.在Rt△中，.故選.3．從分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二張卡片上的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，則所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是（）....【答】.解可以組成的兩位數(shù)有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20個(gè)，其中是3的倍數(shù)的數(shù)為12，15，21，24，42，45，51，54，共8個(gè).2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第1頁(yè)（共9頁(yè)）所以所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是.故選.2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第1頁(yè)（共9頁(yè)）4．在△中，，，和分別是這兩個(gè)角的外角平分線，且點(diǎn)分別在直線和直線上，則（）...和的大小關(guān)系不擬定.【答】.解∵，為的外角平分線，∴.又，∴，∴.又，∴，∴.因此，.故選.5．現(xiàn)有價(jià)格相同的5種不同商品，從今天開(kāi)始天天分別降價(jià)10％或20％，若干天后，這5種商品的價(jià)格互不相同，設(shè)最高價(jià)格和最低價(jià)格的比值為，則的最小值為（）....【答】.解容易知道，4天之后就可以出現(xiàn)5種商品的價(jià)格互不相同的情況.設(shè)5種商品降價(jià)前的價(jià)格為，過(guò)了天.天后每種商品的價(jià)格一定可以表達(dá)為，其中為自然數(shù)，且.要使的值最小，五種商品的價(jià)格應(yīng)當(dāng)分別為：，，，，，其中為不超過(guò)的自然數(shù).所以的最小值為.故選.6．已知實(shí)數(shù)滿足，則的值為（）.2023..1.2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2頁(yè)（共9頁(yè)）【答】.2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2頁(yè)（共9頁(yè)）解∵，∴，，由以上兩式可得.所以，解得，所以.故選.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1．設(shè)，則.解∵，∴，∴.2．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，為所在直線上的兩點(diǎn)，且，，則四邊形的面積為解設(shè)正方形的中心為，連，則，,,∴.又，2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第3頁(yè)（共9頁(yè)），2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第3頁(yè)（共9頁(yè)）所以△∽△，故，從而.根據(jù)對(duì)稱性可知，四邊形的面積.3．已知二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且.設(shè)滿足上述規(guī)定的的最大值和最小值分別為，，則解根據(jù)題意，是一元二次方程的兩根，所以，.∵，∴，.∵方程的判別式，∴.，故，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得；，故，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.所以，，于是.4．依次將正整數(shù)1，2，3，…的平方數(shù)排成一串：4…，排在第1個(gè)位置的數(shù)字是1，排在第5個(gè)位置的數(shù)字是6，排在第10個(gè)位置的數(shù)字是4，排在第2023個(gè)位置的數(shù)字是1.解到，結(jié)果都只各占1個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都只各占2個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都只各占3個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都只各占4個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都只各占5個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；此時(shí)還差個(gè)數(shù)位.到，結(jié)果都只各占6個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位.2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第4頁(yè)（共9頁(yè)）所以，排在第2023個(gè)位置的數(shù)字恰好應(yīng)當(dāng)是的個(gè)位數(shù)字，即為1.2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第4頁(yè)（共9頁(yè)）第二試（A）一．（本題滿分20分）已知，對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)，不等式（1）恒成立.當(dāng)乘積取最小值時(shí)，求的值.解整理不等式（1）并將代入，得（2）在不等式（2）中，令，得；令，得.易知，，故二次函數(shù)的圖象（拋物線）的開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0和1之間.由題設(shè)知，不等式（2）對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)恒成立，所以它的判別式，即.由方程組（3）消去，得，所以或.又由于，所以或，于是方程組（3）的解為或所以的最小值為，此時(shí)的值有兩組，分別為和.2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第5頁(yè)（共9頁(yè)）2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第5頁(yè)（共9頁(yè)）二．（本題滿分25分）如圖，圓與圓相交于兩點(diǎn)，為圓的切線，點(diǎn)在圓上，且.（1）證明：點(diǎn)在圓的圓周上.（2）設(shè)△的面積為，求圓的的半徑的最小值.解（1）連，由于為圓心，，所以△∽△，從而.由于，所以，所以，因此點(diǎn)在圓的圓周上.（2）設(shè)圓的半徑為，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，易知.設(shè)，，，則，，.由于,,，所以△∽△，所以，即，故.所以，即，其中檔號(hào)當(dāng)時(shí)成立，這時(shí)是圓的直徑.所以圓的的半徑的最小值為.三．（本題滿分25分）設(shè)為質(zhì)數(shù)，為正整數(shù)，且（1）求，的值.解（1）式即，設(shè)，則（2）故，又，所以（3）2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第6頁(yè)（共9頁(yè)）由（1）式可知，能被509整除，而509是質(zhì)數(shù)，于是能被509整除，故為整數(shù)，即關(guān)于的一元二次方程（3）有整數(shù)根，所以它的判別式為完全平方數(shù).2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第6頁(yè)（共9頁(yè)）不妨設(shè)（為自然數(shù)），則.由于和的奇偶性相同，且，所以只也許有以下幾種情況：①兩式相加，得，沒(méi)有整數(shù)解.②兩式相加，得，沒(méi)有整數(shù)解.③兩式相加，得，沒(méi)有整數(shù)解.④兩式相加，得，沒(méi)有整數(shù)解.⑤兩式相加，得，解得.⑥兩式相加，得，解得，而不是質(zhì)數(shù)，故舍去.綜合可知.此時(shí)方程（3）的解為或（舍去）.把，代入（2）式，得.第二試（B）一．（本題滿分20分）已知，對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)對(duì)，不等式（1）恒成立.當(dāng)乘積取最小值時(shí)，求的值.解由可知.在（1）式中，令，得；令，得.2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第7頁(yè)（共9頁(yè)）將代入（1）式，得，即2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第7頁(yè)（共9頁(yè)）（2）易知，，故二次函數(shù)的圖象（拋物線）的開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0和1之間.由題設(shè)知，不等式（2）對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)恒成立，所以它的判別式，即.由方程組（3）消去，得，所以或，又由于，所以或.于是方程組（3）的解為或所以滿足條件的的值有兩組，分別為和.二．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同. 第二試（C）一．（本題滿分20分）題目和解答與（B）卷第一題相同.二．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.三．（本題滿分25分）設(shè)為質(zhì)數(shù)，為正整數(shù)，且滿足2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第8頁(yè)（共9頁(yè)）求的值.2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第8頁(yè)（共9頁(yè)）解（1）式即，設(shè)，則（3）故，又，所以（4）由（1）式可知，能被509整除，而509是質(zhì)數(shù)，于是能被509整除，故為整數(shù)，即關(guān)于的一元二次方程（4）有整數(shù)根，所以它的判別式為完全平方數(shù).不妨設(shè)（為自然數(shù)），則.由于和的奇偶性相同，且，所以只也許有以下幾種情況：①兩式相加，得，沒(méi)有整數(shù)解.②兩式相加，得，沒(méi)有整數(shù)解.③兩式相加，得，沒(méi)有整數(shù)解.④兩式相加，得，沒(méi)有整數(shù)解.⑤兩式相加，得，解得.⑥兩式相加，得，解得，而不是質(zhì)數(shù)，故舍去.綜合可知，此時(shí)方程（4）的解為或（舍去）.把，代入（3）式，得，即.代入（2）式得，所以，，因此.2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第9頁(yè)（共9頁(yè)）2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第9頁(yè)（共9頁(yè)）2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1.設(shè)，則（A）A.24.B.25.C..D..2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，則BC＝（C）A..B..C..D..3．用表達(dá)不大于的最大整數(shù)，則方程的解的個(gè)數(shù)為（C）A.1.B.2.C.3.D.4.4．設(shè)正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，在以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個(gè)，它們的面積相等的概率為（B）A..B..C..D..5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點(diǎn)A作半圓的切線AE，則CBE＝（D）A..B..C..D..6．設(shè)是大于1909的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的的個(gè)數(shù)是（B）A.3.B.4.C.5.D.6.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1．已知是實(shí)數(shù)，若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，則的最小值是____________.2．設(shè)D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，作DE//BC交AC于點(diǎn)E，作DF//AC交BC于點(diǎn)F，已知△ADE、△DBF的面積分別為和，則四邊形DECF的面積為_(kāi)_____.3．假如實(shí)數(shù)滿足條件，，則______.4．已知是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對(duì)共有___7__對(duì).第二試一．（本題滿分20分）已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為A、B，與軸的交點(diǎn)為C.設(shè)△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P.（1）證明：⊙P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn).（2）假如AB恰好為⊙P的直徑且，求和的值.解（1）易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，，則，.設(shè)⊙P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，所以O(shè)A×OB＝OC×OD，則.由于，所以點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D在軸的正半軸上，所以點(diǎn)D為定點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(0,1).（2）由于AB⊥CD，假如AB恰好為⊙P的直徑，則C、D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.又，所以，解得.二．（本題滿分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點(diǎn).PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F.求證：EF∥AB.解由于BN是∠ABC的平分線，所以.又由于CH⊥AB，所以，因此.又F是QN的中點(diǎn)，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四點(diǎn)共圓.又，所以FC＝FH，故點(diǎn)F在CH的中垂線上.同理可證，點(diǎn)E在CH的中垂線上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.三．（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件：①②是否存在認(rèn)為三邊長(zhǎng)的三角形？假如存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法1將①②兩式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以或或，即或或.因此，認(rèn)為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.解法2結(jié)合①式，由②式可得，變形，得③又由①式得，即，代入③式，得，即.，所以或或.結(jié)合①式可得或或.因此，認(rèn)為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1.若均為整數(shù)且滿足，則（B）A．1.B．2.C．3.D．4.2．若實(shí)數(shù)滿足等式，，則也許取的最大值為（C）A．0.B．1.C．2.D．3.3．若是兩個(gè)正數(shù)，且則（C）A．.B．.C．.D．.4．若方程的兩根也是方程的根，則的值為（A）A．－13.B．－9.C．6.D．0.5．在△中，已知，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且，，,則(B)A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.6．對(duì)于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如，，則（D）A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1．已知實(shí)數(shù)滿足方程組則13.2．二次函數(shù)的圖象與軸正方向交于A，B兩點(diǎn)，與軸正方向交于點(diǎn)C．已知，，則．3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝，PC＝5，則PB＝______．4．將若干個(gè)紅、黑兩種顏色的球擺成一行，規(guī)定兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5個(gè)或10個(gè)球的兩個(gè)球必為同一種顏色的球.按這種規(guī)定擺放，最多可以擺放_(tái)___15___個(gè)球.第二試（A）一．（本題滿分20分）設(shè)整數(shù)（）為三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，求符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù).解由已知等式可得①令，則，其中均為自然數(shù).于是，等式①變?yōu)?，即②由于均為自然?shù)，判斷易知，使得等式②成立的只有兩組：和（1）當(dāng)時(shí)，，.又為三角形的三邊長(zhǎng)，所以，即，解得.又由于三角形的周長(zhǎng)不超過(guò)30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，相應(yīng)可得到5個(gè)符合條件的三角形.（2）當(dāng)時(shí)，，.又為三角形的三邊長(zhǎng)，所以，即，解得.又由于三角形的周長(zhǎng)不超過(guò)30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，相應(yīng)可得到6個(gè)符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù)為5＋6＝11.二．（本題滿分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分線與AB邊交于點(diǎn)P，M為△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC邊的切點(diǎn)，作MD//AC，交⊙I于點(diǎn)D.證明：PD是⊙I的切線.證明過(guò)點(diǎn)P作⊙I的切線PQ（切點(diǎn)為Q）并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)N.由于CP為∠ACB的平分線，所以∠ACP＝∠BCP.又由于PA、PQ均為⊙I的切線，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.又由于MD//AC，所以MD和MQ為同一條直線.又點(diǎn)Q、D均在⊙I上，所以點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合，故PD是⊙I的切線.三．（本題滿分25分）已知二次函數(shù)QUOTE的圖象通過(guò)兩點(diǎn)P，Q.（1）假如都是整數(shù)，且，求的值.（2）設(shè)二次函數(shù)QUOTE的圖象與軸的交點(diǎn)為A、B，與軸的交點(diǎn)為C.QUOTE假如關(guān)于的方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，求△ABC的面積.解點(diǎn)P、Q在二次函數(shù)QUOTE的圖象上，故，，解得，.（1）由知解得.又為整數(shù)，所以，，.(2)設(shè)QUOTE是方程的兩個(gè)整數(shù)根，且.由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，消去，得，兩邊同時(shí)乘以9，得，分解因式，得.所以或或或解得或或或又是整數(shù)，所以后面三組解舍去，故.因此，，，二次函數(shù)的解析式為.易求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（1,0）和（2,0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2），所以△ABC的面積為.第二試（B）一．（本題滿分20分）設(shè)整數(shù)為三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，求符合條件且周長(zhǎng)