高中數(shù)學(xué)解題思維策略1

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一、《高中數(shù)學(xué)解題的思維策略》

導(dǎo)讀

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的

途徑，是進(jìn)行有效的訓(xùn)練，本策略結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況，從以下

四個(gè)方面進(jìn)行講解：

一、數(shù)學(xué)思維的變通性

根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活設(shè)想和解題方案

二、數(shù)學(xué)思維的反思性

提出獨(dú)特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信。

三、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性

考察問題嚴(yán)格、準(zhǔn)確，運(yùn)算和推理精確無(wú)誤。

四、數(shù)學(xué)思維的開拓性

對(duì)一個(gè)問題從多方面考慮、對(duì)一個(gè)對(duì)象從多種角度觀察、對(duì)一個(gè)

題目運(yùn)用多種不同的解法。

什么”轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)他們的思維能力。

《策略》的即時(shí)性、針對(duì)性、實(shí)用性，已在教學(xué)實(shí)踐中得到了全

面驗(yàn)證。

第一講數(shù)學(xué)思維的變通性

一、概念

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的,

必須具有思維的變通性一一善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方

案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練：

(1)善于觀察

心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺的

高級(jí)狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的

途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。

任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)

題目的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透

過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。

1

例如，求和++—+

1,22,33?4n(n+1)

這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且

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.=-,因此，原式等于+--：=1^問題很

n(n+1)nn+1223nn+1n+1

快就解決了。

(2善于聯(lián)想

聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、

間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特

征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。

x+y=2

例如，解方程組

刁=-3

這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為2,這兩個(gè)數(shù)的積為-3。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，X、

y是一元二次方程產(chǎn)-2f-3=o的兩個(gè)根，

所以一二或一I?可見，聯(lián)想可使問題變得簡(jiǎn)單。

.)'=3[y=-1

(3)善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換。可

見，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的

思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問題，把抽

象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時(shí)，觀察具體特征,

聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。

例如，已知'+'+■=,(abc^O,a+b+c^0),

abca+h+c

求證a、b、c三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。

恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡(jiǎn)單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：

(a+b)(b+c、)(c+a)=0

思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢(shì)。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用

同一種思維方法解決若干問題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問題。

它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的

極大的障礙，必須加以克服。

綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的

具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

(D觀察能力的訓(xùn)練

雖然觀察看起來(lái)是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必

須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體

特征，采用特殊方法來(lái)解題。

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例1已知a,O,c,d都是實(shí)數(shù)，求證+&+d?2J(a-c)2+3—d)2.

思路分析從題目的外表形式觀察到，要證的

結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而

左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，

可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。

證明不妨設(shè)A(a,b),8(c,d)如圖1—2—1所示，

貝二d(a-c)、(b-d)2.

|0A|=7a2+b2,\OB\=y/c2+d2,

在A04B中，由三角形三邊之間的關(guān)系知:

\OA\+\OB\>\AB\當(dāng)且僅當(dāng)AB上時(shí)，等號(hào)成立。

因此,~\lci~+b~+yjc2+d'2J(a-c)2+(6-d)~.

思維障礙很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法

等，而此題利用這些方法證明很繁。學(xué)生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩

點(diǎn)間距離公式相似的原因，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不

牢固。因此，平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。

例2已知3x2+2/=6x,試求/+y2的最大值。

解由3W+2)2=6%得

2_32,0

y=—x+3x.

2

3

>0,.*.—+3x20,.二0<x<2.

2

又X2+y?=x2-—x2+3x=(x-3)2+—,

222

io

.?.當(dāng)X=2時(shí)，/+y2有最大值，最大值為—](2—3)2+萬(wàn)=4.

思路分析要求/+V的最大值，由已知條件很快將一+/變?yōu)橐辉魏?/p>

數(shù)/(X)==(X-3>+看然后求極值點(diǎn)的X值，聯(lián)系至仃2皿這一條件，既快又

準(zhǔn)地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。

思維障礙大部分學(xué)生的作法如下：

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3

由31+2y2=6x得y2=--X2+3X,

1,9

x~+y=x~-+3x-——(x—3)'+—,

Q

當(dāng)X=3時(shí)，/+y2取最大值，最大值為/

這種解法由于忽略了VNO這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，要注

意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件,

既要注意主要的已知條件

又要注魯次要條件，積樣:才能正確地解題，提高思維的變通性。

有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。

例3已知二次函數(shù)/(x)=aF+云+c=0(。>0),滿足關(guān)系

f(2+x)=f(2-x),試比較f(0.5)與f⑺的大小。

思路分析由已知條件“2+x)=/(2-x)可知，在與x=2左右等距離的點(diǎn)的

函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又由

已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致yf

圖像簡(jiǎn)捷地解出此題。：,

解(如圖1—2—2)由/(2+x)=/(2—x),I：J

知是以直線x=2為對(duì)稱軸，開口向上的拋物線J：

它與x=2距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。】：

圖j-2一

?.?[2-0.5|>|2-制，/(0.5)>/(〃)"-

思維障礙有些同學(xué)對(duì)比較/。5)與/(%)的大小，只想到求出它們的值。而

此題函數(shù)〃x)的表達(dá)式不確定無(wú)法代值，所以無(wú)法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，

是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問題，對(duì)

每一個(gè)已知條件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思

維的變通性。

(與聯(lián)想能力的訓(xùn)練

例4在A48c中，若NC為鈍角，則限4/8的值

。等于1⑹小于1。大于1O不能確定

思路分析此題是在AA8C中確定三角函數(shù)次小火8的值。因此，聯(lián)想到三角

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函數(shù)正切的兩角和公式fg(A+8)=可得下面解法。

1-tgA-tgB

解???NC為鈍角，."gC<0.在A/LBC中A+B+C=?，C=%一(A+B)

且4、B均為銳角，

?，?tgC=吆[乃一(A+B)]=-tg(A+B)=_產(chǎn)于々<°-

1-tgAtgB

tgA>O,tgB>0,:.i-tgAtgB>0.即fgA-tgB<1.

故應(yīng)選擇(B

思維障礙有的學(xué)生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對(duì)三角函數(shù)

的基本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用

基本公式。

例5若(z-x>-4(x-y)(y-z)=0,證明：2y=x+z.

思路分析此題一般是通過因式分解來(lái)證。但是，如果注意觀察已知條件的

特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二

次方程的知識(shí)來(lái)證題。

證明當(dāng)》一行0時(shí)，等式(z-x)2—4(x—y)(y-z)=0

可看作是關(guān)于t的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的條件，

在進(jìn)一步觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1,根據(jù)韋達(dá)定理就有：

--=1即2y=x+z

x-y

若x-y=O,由已知條件易得z-x=0,即x=y=z,顯然也有2y=x+z.

例6已知人〃、c均為正實(shí)數(shù)，滿足關(guān)系式/+62=。2,又〃為不小于3的自

然數(shù)，求證:a"+「"<c".

思路分析由條件/+/=,2聯(lián)想到勾股定理，人反，可構(gòu)成直角三角形

的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。

證明設(shè)a、b、c所對(duì)的角分別為4、B、C.則C是直角，A為銳角，于是

sinA=—,cosA-2,且0<sinA<l,0<cosA<1,

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當(dāng)3時(shí)，有sin〃A<sin?A,cos/fA<cos2A

于是有sin"4+cos"A<sin2A4-cos2A=1

即(-r+(-r<1,

cc

從而就有a"+b"<cn.

思維阻礙由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)〃的命題，一些學(xué)生都會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸

納法來(lái)證明，難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系,

單純學(xué)代數(shù)，學(xué)幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起

來(lái)。

(3問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練

我們所遇見的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先觀察具體

特征，聯(lián)想有關(guān)知識(shí)，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡(jiǎn)單的問題來(lái)解。恰

當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問題很快得到解決，所以，進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。

。轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目

例11已知a+A+。=,+4+』=1,求證a、b、c中至少有一個(gè)等于L

abc

思路分析結(jié)論沒有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式

子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。8、c中至少有一個(gè)為1,也就是說

b-Lc-l中至少有一個(gè)為零，這樣，問題就容易解決了。

證明v—+—+—=1,/.be+ac+ab-abc.

abc

于是(a-l)(b-D(c-1)=abc-(ab+ac+be-\)+(a+b+c)=0.

a-kb—l、c-l中至少有一個(gè)為零，即a、b、c中至少有一個(gè)為L(zhǎng),

思維障礙很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明

三者中至少有一個(gè)為1,其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生

問題變?yōu)槭煜栴}。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。

例12直線L的方程為、=一々，其中。>0;橢圓￡的中心為。'(2+々,0),

焦點(diǎn)在X軸上，長(zhǎng)半軸為2,短半軸為1,它的一個(gè)頂點(diǎn)為問p在什么

范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)

到直線工的距離。

思路分析從題目的要求及解析幾何的知識(shí)可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線

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y2=2px

(1)

是，又從已知條件可得橢圓后的方程為

[X-(2+91

---------^—+y2=1(2

因此，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組(1)、(2)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求。的取值

范圍。將(2)代入(1)得：

x1+(7p-4)x+—+2p=0.

4

(3)

確定P的范圍，實(shí)際上就是求(3)有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組：

f,pi

(7p—4>一4(J+2p)>0

,4

<-^-+2p>0

4

7P-4<0

在P>0的條件下，得0<p<13.

本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問題：解方程組和不等式組的

問題。

G逆向思維的訓(xùn)練

逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思

維方式。當(dāng)問題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問題的反面，從反面入手，使問題

得到解決。

例13已知函數(shù)“X)=2》2+3+〃，求證『⑴卜|/(2)|、|/(3)|中至少有一個(gè)

不小于1.

思路分析反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用

的解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)；一般可考

慮采用反證法。

證明(反證法)假設(shè)原命題不成立，即火1)|、|〃2)|、|/(3)|都小于L

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1/(1)|<1-l<2+m+n<l-3<m+?<-1

-|/(2)|<1=<—1<8+2m+〃<19<2m+〃<—7

.1/0)1<1-l<18+3m+H<l-19<3m+〃<-17

①

②

③

①+③得-11<2m+〃<一9,

與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即|/(2)|、|/(3)|中至少有一個(gè)不小于L

6一題多解訓(xùn)練

由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同，因而，同一

問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)

生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。

例14已知復(fù)數(shù)z的模為2,求卜-力的最大值。

解法一(代數(shù)法)設(shè)％=工+刀(小yeR),

則犬+y2=4.|z-z|=yjx~+(y—1)-=j5-2y.

???|y|<2,/,當(dāng)y=-2時(shí),|Z—4M=3.

解法二(三角法)設(shè)z=2(cos6+isin8),

貝lj|z-z|=J4cos2什(2sin，-l)2=j5-4sin6.

???當(dāng)sin8=—1時(shí),k-z|=3.

IImax

解法三(幾何法)

???忖=2".點(diǎn)1是圓/+y2=4上的點(diǎn)，

|z-i|表示z與i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離。

如圖如2-3所示,可知當(dāng)z=-2i時(shí),

解法四(運(yùn)用模的性質(zhì))

圖

,/|z-z|<|z|+1-z|=2+1=31-2-3

而當(dāng)z=—2i時(shí)，上一，=3.，卜7心=3-

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解法五（運(yùn)用模的性質(zhì)）

:卜一4=(z-i)(z-i)=zz+(z-z)i+\

=5+2/(z),(/(z)表z的虛部).

=3.

max

第二講數(shù)學(xué)思維的反思性

一、概述

數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見解，精細(xì)地檢查思維過程，

不盲從、不輕信。在解決問題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問

題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。本講重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的

訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

（1）檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。

X

例1已知=+若—3〈/⑴<0,3<〃2)<6,求〃3)的范圍。

b

錯(cuò)誤解法由條件得

-3<a+h<0

b

3<2。+上<6

l2

①

②

②X2—①得6<〃<15

③

①X2—②得

④

③得—<3?+-<—,即竺］⑶W”.

33333

錯(cuò)誤分析采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)

/（x）=ax+F，其值是同時(shí)受。和6制約的。當(dāng)。取最大（小）值時(shí)，b不一定取

b

最大（?。┲担蚨麄€(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。

正確解法由題意有

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f(l)=a+b

<b

/⑵=2*

12

解得:a=-[2f(2)-f(V)],b=-[2f(l)-f(2)],

.-./(3)=3?+1=^/(2)-1/(1).

把/⑴和/(2)的范圍代入得y</(3)<y.

在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思

性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，才能反思性地看問題。

例2證明勾股定理：已知在AA6C中，ZC=90°,求證cZu/+bZ.

錯(cuò)誤證法在RfAABC中，sinA=—,cosA=々而sin24+cos2A=1,

cc

■?-(-)2+(-)2=1,即，2=。2+/.

cc

錯(cuò)誤分析在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，siMA+cos24=1這個(gè)公式本身是從勾股定

理推出來(lái)的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循

環(huán)論證的錯(cuò)誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學(xué)習(xí)中對(duì)所學(xué)的

每個(gè)公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依

據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是

思維具有反思性的體現(xiàn)。

0驗(yàn)算的訓(xùn)練

驗(yàn)算是解題后對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。通過驗(yàn)算，可以檢查解題過程的正確

性，增強(qiáng)思維的反思性。

例3已知數(shù)歹！]｛明｝的前〃項(xiàng)和S.=2"+1,求明.

錯(cuò)誤解法an=S“一=(2"+1)-⑵-+1)=2"-2"T=2"一！

錯(cuò)誤分析顯然，當(dāng)〃=1時(shí)，/==3。=1,錯(cuò)誤原因，沒有注意公式

a=Sn-S?_,成立的條件是〃22(〃eN).因此在運(yùn)用an=Sn時(shí)，必須檢驗(yàn)

[Si(n=1)

〃=1時(shí)的情形。即：

Srl｛n>2,neN)

例4實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓一+產(chǎn)一2公+/-1=0與拋物線/=gx有兩個(gè)公

第11頁(yè)共122頁(yè)

共點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法將圓爐+/一2辦+。2一1=0與拋物線/二^工聯(lián)立，消去y,

得x2-(2a—^)x+a'—1=0(x＞0).

①

△=0

因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)相等正根，得2。-《＞0

2

a~-1＞0.

17

解之，得

O

錯(cuò)誤分析(如圖2-2-1;2—2—a顯然，當(dāng)。=0時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)

公共點(diǎn)。

要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)

相等正根。

[A＞0

當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時(shí)，得2八解之，得-1＜。＜上

a-1＜0.

171

因此，當(dāng)a=胃或一1＜。＜1時(shí)，圓+V-2ax+a2-1=0與拋物線y?=彳*有

82

兩個(gè)公共點(diǎn)。

思考題：實(shí)數(shù)。為何值時(shí)，圓/+V-2ax+a2T=()與拋物線＞2=；x,

(1)有一個(gè)公共點(diǎn)；

(2)有三個(gè)公共點(diǎn)；

(3)有四個(gè)公共點(diǎn)；

(4沒有公共點(diǎn)。

養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無(wú)理方程、無(wú)理不等

式；對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可

第12頁(yè)共122頁(yè)______________________________________

能會(huì)發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，

找回失根。

③獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見解

受思維定勢(shì)或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這

不利于增強(qiáng)思維的反思性。因此，在解決問題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對(duì)題

目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

例530支足球隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，決出一個(gè)冠軍，問需要安排多少場(chǎng)比賽？

解因?yàn)槊繄?chǎng)要淘汰1個(gè)隊(duì)，30個(gè)隊(duì)要淘汰29個(gè)隊(duì)才能決出一個(gè)冠軍。因此

應(yīng)安排29場(chǎng)比賽。

思路分析傳統(tǒng)的思維方法是：30支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有1升7

+4+2+1=29場(chǎng)比賽。而上面這個(gè)解法沒有盲目附和，考慮到每場(chǎng)比賽淘汰1

個(gè)隊(duì)，要淘汰29支隊(duì)，那么必有29場(chǎng)比賽。

例6解方程X?-2x+3=cosx.

考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)y=(x-l)2+2,y=cosx,它們的圖象無(wú)交點(diǎn)。

所以此方程無(wú)解。

例7設(shè)a、夕是方程-―2履+%+6=0的兩個(gè)實(shí)根，則(a_l)2+(￡_l)2的最

小值是()

49

(A)--;(B)8;(C)18;(。)不存在

4

思路分析本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：a+/3=2k,a/3=k+6,

(a-1)2+(/?-l)2=a2-2a+l+/?2-2/?+l

=(a+—2a/3—2(a+/?)+2

3、249

44

49、

有的學(xué)生一看到-：，常受選擇答案(目的誘惑，盲從附和。這正是思維缺

乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來(lái)源和它們之間的

區(qū)別，就能從中選出正確答案。

???原方程有兩個(gè)實(shí)根a、B,

A=4火2-4（4+6）20,J.k<-2或&23.

當(dāng)kN3時(shí)，（a—l）2+（夕—1）2的最小值是&當(dāng)時(shí),@—1）2+（夕—1）2的

最小值是黨

第13頁(yè)共122頁(yè)

這時(shí)就可以作出正確選擇，只有(B正確。

第三講數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性

二、概述

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問題

時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無(wú)誤。數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密

邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一。但是，由于認(rèn)知水平和心

里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下

幾個(gè)方面：

概念模糊概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的

要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概

念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。

判斷錯(cuò)誤判斷是對(duì)思維對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種

思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致

判斷錯(cuò)誤。例如，"函數(shù)y=(；「是一個(gè)減函數(shù)”就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷。

推理錯(cuò)誤推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的

聯(lián)合。任何一個(gè)論證都是由推理來(lái)實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說明思維不嚴(yán)密。

例如，解不等式x>L

X

解VX>—,X2>1,

X

或X<-1.這個(gè)推理是錯(cuò)誤的。在由x>!推導(dǎo)》2〉1時(shí)，沒有討論

X

X的正、負(fù)，理由不充分，所以出錯(cuò)。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯(cuò)。

①有關(guān)概念的訓(xùn)練

概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開概念?！罢_理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基

礎(chǔ)知識(shí)的前提?！薄吨袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》(試行草案)

例、不等式2

1log(/+2)(3x2-2x-4)>log(?+2)(x-3x+2).

錯(cuò)誤解法???/+2>1,

3尸—2x—4>x2-3x+2,

3、

/.2x2+x-6>0,x>一或％<-2.

第14頁(yè)共122頁(yè)

錯(cuò)誤分析當(dāng)x=2時(shí)，真數(shù)V-3x+2=0且x=2在所求的范圍內(nèi)(因2>1T).,

說明解法錯(cuò)誤。原因是沒有弄清對(duì)數(shù)定義。此題忽視了“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”這

一條件造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

正確解法?.?一+2>1

1+V13.1-V13

x>------或X<-------

3x--2x—4>033

犬2—3x+2>0*x><1

3x~—2.x—4>x~—3x+2

x>—或x<-2

2

x>2或x<-2.

例2求過點(diǎn)(0,1)的直線，使它與拋物線y2=2x僅有一個(gè)交點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法設(shè)所求的過點(diǎn)(0,1)的直線為y=^+l,則它與拋物線的交點(diǎn)為

y=kx+1、

「2>消去y得：(H+l)--2x=0.

y2=2x

整理得k2x2+Qk-2)x+1=0.?.?直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，

.?.△=0,解得％=g..?.所求直線為y=；x+l.

錯(cuò)誤分析此處解法共有三處錯(cuò)誤：

第一，設(shè)所求直線為、=丘+1時(shí)，沒有考慮女=0與斜率不存在的情形，實(shí)際上就

是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上

述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對(duì)于直線與拋物線“相

切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式,

所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即Z。0,而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。

正確解法當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直x軸，因?yàn)檫^點(diǎn)(0,1)，所以x=0,

即y軸，它正好與拋物線V=2x相切。

第15頁(yè)共122頁(yè)

當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y=1,平行X軸，它正好與拋物線F=2x只有一

個(gè)交點(diǎn)。

設(shè)所求的過點(diǎn)(0,1)的直線為y=丘+1伙H0)則

y=kx+\、，1

匕，???左2/+(2左一2)x+l=0.令△=(),解得.?.所求直線

［丁=2》2

為y=gx+l.

綜上，滿足條件的直線為：

y=1,x=0,y=；x+l.

②判斷的訓(xùn)練

造成判斷錯(cuò)誤的原因很多，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個(gè)方面。

①注意定理、公式成立的條件

數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解

題中難免出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例區(qū)實(shí)數(shù)〃?，使方程，+(血+4，口+1+2加=0至少有一個(gè)實(shí)根。

錯(cuò)誤解法???方程至少有一個(gè)實(shí)根，

/.A=(〃?+4z)2—4(1+2mi)=m2-20>0.

/.tn>2V5,或，”W-2^5.

錯(cuò)誤分析實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理,

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判

別式是對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二

次方程中，造成解法錯(cuò)誤。

正確解法設(shè)。是方程的實(shí)數(shù)根，則

a2+(m+4i)a+1+2mi-0,

J.a2+ma+1+(4a+2m)i=0.

由于。、機(jī)都是實(shí)數(shù)，

a~+ma+1=0

4a+2m=0

解得fn=±2.

例4已知雙曲線的右準(zhǔn)線為x=4,右焦點(diǎn)F(10,0),離心率e=2,求雙曲線方程。

第16頁(yè)共122頁(yè)

2

錯(cuò)解1vx=—=4,c=10,/.a2=40,A/?2=c2-a2=60.

c

故所求的雙曲線方程為

錯(cuò)解2由焦點(diǎn)產(chǎn)(10,0)知。=10,

c

?/e=—=2,「.a=5/2=c2—a2=75.

a

故所求的雙曲線方程為

22

2575

錯(cuò)解分析這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒有告訴

中心在原點(diǎn)這個(gè)條件。由于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條

件，都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。

正解1設(shè)尸(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為x=4,右焦

點(diǎn)F(10,0),離心率e=2,由雙曲線的定義知

V（x-10）2+y2

|x-4|

（x-2）2/

整理得

1648

正解2依題意，設(shè)雙曲線的中心為(〃7,0)

a.

----Fm=4

ca—4

則<c+m=10解得<c=8

m=2.

-=2.

a

所以b2-c2-a2=64-16=48,

（元—2）2y2

故所求雙曲線方程為i.

1648

______________________________________第17頁(yè)共122頁(yè)

②注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運(yùn)用

我們知道：

如果A成立，那么6成立，即AnB,則稱A是8的充分條件。

如果8成立，那么A成立，即BnA,則稱A是5的必要條件。

如果AoB,則稱A是8的充分必要條件。

充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件

的點(diǎn)的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會(huì)

出錯(cuò)。

例5解不等式

錯(cuò)誤解法要使原不等式成立，只需

x-l>0

*x—30,解得3WxW5.

x-l>(x-3)2

A>0

A>0

錯(cuò)誤分析不等式北？B成立的充分必要條件是：B>0或<

B<0

A>B2

x-l>0

原不等式的解法只考慮了一種情況卜-320

,而忽視了另一種情況

x-l>(x-3)2

」一了;，所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，

x-3<0

其錯(cuò)誤解法的實(shí)質(zhì)，是把充分條件當(dāng)成了充分必要條件。

正確解法要使原不等式成立，則

第18頁(yè)共122頁(yè)

已知OC的方程為（X-3）2+V=9.

設(shè)點(diǎn)P（x,y）a>0）為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且OP與y軸相切于M點(diǎn)，

與。C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得

|CP|=|PM\+3,即J（x-3）2+/=二+3.

化簡(jiǎn)得/=12x（x>0）.

錯(cuò)誤分析本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條

件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)

上，符合題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可

以發(fā)現(xiàn)以x軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓

也符合條件，所以y=0（x>0且X。3）也是所求的方程。即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是

y2=12x（x>0）和

y=0（x>0且x*3）。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析

問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。

③防止以偏概全的錯(cuò)誤

以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題

的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

例7設(shè)等比數(shù)列｛%｝的全〃項(xiàng)和為S”.若S3+S6=2Sg,求數(shù)列的公比q.

錯(cuò)誤解法?.?S3+S6=2S9,

.4（1一/）4（1——

?.---------------------1---------------------=z----------------------

q1-q\-q

整理得q3（2q6—q3_i）=Q

由<7HO得方程2/一/一1=0.（2/+1）（/—i）=o,

V4#.

???q=-------或q=1

2

錯(cuò)誤分析在錯(cuò)解中，由.尸‘）+.（1-心〃/0—心

1—q]_q1-q

整理得/（2q6_q3_i）=0時(shí)，應(yīng)有4和gHL在等比數(shù)歹5]中，是顯

第19頁(yè)共122頁(yè)

然的，但公比q完全可能為1,因此,在解題時(shí)應(yīng)先討論公比q=1的情況，再在4。1

的情況下，對(duì)式子進(jìn)行整理變形。

正確解法若q=l,則有S3=3%,§6=6%,§9=9%.

但囚。0,即得S3+S6H2s外與題設(shè)矛盾，故qHl.

又依題意53+S6=2S9,

%（「/）?.（I-/=.（1—r）

可\-q\-q\-q

整理得43（2q6_g3_］）=0.即（2/+1）（/一1）=0,

因?yàn)樗詑3—l，0,所以2/+l=0.

說明此題為1996年全國(guó)高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法

同錯(cuò)誤解法，根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。

④避免直觀代替論證

我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來(lái)方便。但是，如果完全以圖形的直觀

聯(lián)系為依據(jù)來(lái)進(jìn)行推理，這就會(huì)使思維出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象。

例8（如圖3-2—與，具有公共y軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面a和4所成的二面

角a-y軸一夕等于60。.已知￡內(nèi)的曲線C'的方程是y2=2px'（p>0）,求曲線C'

在a內(nèi)的射影的曲線方程。

錯(cuò)誤解法依題意，可知曲線C'是拋物線,

在△內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是尸（§,0）,P>0.

因?yàn)槎娼莥軸一尸等于60。，

且x'軸±y軸，x軸±y軸,所以Z.xox-60°.

設(shè)焦點(diǎn)尸在a內(nèi)的射影是尸（無(wú)廣）,那么,尸位于1軸上,

從而y=0,4F'0F=60°,NF'FO=90°,

第20頁(yè)共122頁(yè)

所以。/=。尸-8560。=41=。.所以點(diǎn)尸（2（））是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射

影是一條拋物線，開口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。

所以曲線C'在a內(nèi)的射影的曲線方程是V=px.

錯(cuò)誤分析上述解答錯(cuò)誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為

尸是射影（曲線）的焦點(diǎn)，

其次，未經(jīng)證明默認(rèn)C'在a內(nèi)的射影（曲線）是一條拋物線。

正確解法在月內(nèi)，設(shè)點(diǎn)”（/,）/）是曲線上任意一點(diǎn)

（如圖A2—3）過點(diǎn)M作用N_La,垂足為N,

過N作N"_Ly軸，垂足為”.連接〃〃，

則用"_Ly軸。所以NMHN是二面角

a-y軸一￡的平面角，依題意，ZMHN=60°.\2_--------A

在R3NH中,HN=HM-cos60°=-x.同、

又知“M〃x'軸（或M與。重合），

“N//x軸（或”與。重合），設(shè)N（x,y）,

x=-xx=2x

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線>2=2px'（p>0）上,所以點(diǎn)=2p（2x）.

即所求射影的方程為y2=4Px（p>0）.

6推理的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的

核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)

的解題方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須

注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、

推理嚴(yán)密。

例9設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸X在軸上，離心率0='，已知點(diǎn)P（0,j

第21頁(yè)共122頁(yè)

到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是求這個(gè)橢圓的方程。

22

錯(cuò)誤解法依題意可設(shè)橢圓方程為彳+2=1（。＞〃＞0）

b?1

所以一=7，即a=2b.

a24

設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)P的距離為d,

則J2=x2+（y-|）2

2Q

=。2（1一言v）+—3y+1

b4

=—3（y+；y+4/+3.

所以當(dāng)y=時(shí)，＞有最大值，從而d也有最大值。

所以4/+3=（行）2,由此解得：62=32=4

丫2

于是所求橢圓的方程為一+V=1.

錯(cuò)解分析盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的。結(jié)

果正確只是碰巧而已。由當(dāng)y=-；時(shí)，/有最大值，這步推理是錯(cuò)誤的，沒有考

慮y到的取值范圍。事實(shí)上，由于點(diǎn)（x,y）在橢圓上，所以有-bWyWb,因此在

求力的最大值時(shí)，應(yīng)分類討論。即：

若,則當(dāng)y=-b時(shí)，I?（從而d）有最大值。

于是（近）2=（匕+［）2,從而解得0=行_'＞3，與0＜；矛盾。

所以必有匕,此時(shí)當(dāng)y=-；時(shí)，a?（從而“）有最大值，

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所以4從+3=(b)2,解得從=1,〃2=4?

2

于是所求橢圓的方程為r一+V=1.

例10求