2023-2024學(xué)年江蘇省鹽城市高二上學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鹽城市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題：共8小題，每題5分，共40分.1.已知直線方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得：，直線的斜率，直線的傾斜角為.

故選：C.2.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A.1 B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗將直線化為，因?yàn)橹本€與直線平行，設(shè)兩條平行線間的距離為，所以根據(jù)兩平行線之間的距離公式.故選：B.3.過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意設(shè)所求方程為，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，所以所求直線為.故選：A.4.以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.5.直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交且過圓心 B.相切C.相離 D.相交但不過圓心〖答案〗D〖解析〗圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心到直線的距離，又因?yàn)橹本€不過圓心，所以直線與圓相交但不過圓心．故選：D.6.已知圓的方程為，過點(diǎn)的該圓的所有弦中，最短弦的長為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗整理為，故圓心為，半徑為，設(shè)，故當(dāng)與圓的弦垂直時，弦最短，其中，由垂徑定理得.故選：B7.已知點(diǎn)，，若圓：上存在點(diǎn)M，使得，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，點(diǎn)，，可得以為直徑的圓的方程為，則圓心，半徑，又由圓：，可得圓心，半徑，兩圓的圓心距為，要使得圓：上存在點(diǎn)M，使得，即兩圓存在公共點(diǎn)，則滿足，即，解得,所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故選：A.8.阿波羅尼斯（公元前262年~公元前190年），古希臘人，與阿基米德、歐幾里得一起被譽(yù)為古希臘三大數(shù)學(xué)家．阿波羅尼斯研究了眾多平面軌跡問題，其中阿波羅尼斯圓是他的論著中的一個著名問題：已知平面上兩點(diǎn)A，B，則所有滿足（，且）的點(diǎn)P的軌跡是一個圓．已知平面內(nèi)的兩個相異定點(diǎn)P，Q，動點(diǎn)M滿足，記M的軌跡為C，若與C無公共點(diǎn)的直線l上存在點(diǎn)R，使得的最小值為6，且最大值為10，則C的長度為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，M的軌跡C是圓，設(shè)其圓心為點(diǎn)D，半徑為r，顯然直線l與圓C相離，令點(diǎn)D到直線l的距離為d，由圓的性質(zhì)得：，解得，，所以C的長度為.故選：B.二、多選題：共4小題，每題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若直線過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，則直線的方程可能為（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A：顯然在上，且在x、y軸上的截距均為1，符合；B：顯然在上，且在x、y軸上的截距均為3，符合；C：顯然在上，且在x、y軸上的截距均為0，符合；D：不在上，不符合.故選：ABC.10.已知圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則（）.A.兩圓的圓心距B.直線AB的方程為C.圓上存在兩點(diǎn)P和Q使得D.圓上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為〖答案〗BD〖解析〗由圓和圓，可得圓和圓，則圓的圓心坐標(biāo)為和半徑為，圓的圓心坐標(biāo)和半徑，

對于A，因?yàn)閮蓚€圓相交，所以兩圓的圓心距，故A錯誤；對于B，將兩圓方程作差可得，即得公共弦AB的方程為，故B正確；對于C，直線AB經(jīng)過圓的圓心坐標(biāo)，所以線段AB是圓的直徑，故圓中不存在比AB長的弦，故C錯誤；對于D，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線AB：的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為，故D正確．故選：BD.11.以下四個命題表述錯誤的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.圓上有且僅有個點(diǎn)到直線的距離都等于C.曲線與恰有四條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.已知圓，為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引條切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因?yàn)橹本€，即，令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，故A錯誤；對于B，因?yàn)閳A的圓心是，半徑為，則圓心到直線距離為，故圓上有且僅有個點(diǎn)到直線的距離都等于，故B正確；對于C，曲線，即，圓心為，半徑為，曲線，即，圓心為，半徑為，若兩圓恰有四條公切線，則兩圓相離，則，解得，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，故?dāng)最小時，最小，又最小值為圓心到直線的距離，即，故的最小值為，故D錯誤．故選：ACD．12.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，頂點(diǎn)、，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（）A.的“歐拉線”方程為B.圓M上存在三個點(diǎn)到直線的距離為C.若點(diǎn)在圓M上，則的最小值是D.若圓M與圓有公共點(diǎn)，則〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以是等腰三角形，由三線合一得：的外心、重心、垂心均在底邊上的中線或高線上，設(shè)的歐拉線為，則過的中點(diǎn)，且與直線垂直，由、可得：的中點(diǎn)，即，，所以，故的方程為：，即，選項(xiàng)A錯誤；因?yàn)榕c圓相切，故，又圓心到的距離，所以圓M上存在三個點(diǎn)到直線的距離為，B選項(xiàng)正確；點(diǎn)在圓M上，表示圓上的點(diǎn)與的連線的斜率，當(dāng)連線與圓相切且位于圓的下方時（如圖所示），此時，最小，設(shè)直線：，由，解得：，因?yàn)?，所以，即的最小值是，C選項(xiàng)錯誤；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，則要想圓M與圓有公共點(diǎn)，只需兩圓圓心的距離小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對值，故，解得：，故D選項(xiàng)正確.故選：BD.三、填空題：共4小題，每題5分，共20分.13.點(diǎn)到直線的距離為___________.〖答案〗〖解析〗由已知所求距離為．故〖答案〗為：．14.與圓同圓心，且過點(diǎn)的圓的方程是________.〖答案〗〖解析〗依題意，設(shè)所求圓的方程為，由于所求圓過點(diǎn)，所以，解得.所以所求圓的方程為．故〖答案〗：.15.已知實(shí)數(shù)滿足方程，則的取值范圍是_______.〖答案〗〖解析〗方程=化為,表示的圖形是一個半圓,令,即y=kx,如圖所示,當(dāng)直線與半圓相切時,k=,所以的取值范圍是故〖答案〗為16.若直線被圓所截得的弦長為，則的最小值為_______．〖答案〗〖解析〗由，則圓心為，半徑為2，由直線被圓所截得的弦長為，故直線過圓心，所以且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，短軸長為4；（2）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到右頂點(diǎn)的距離為1.解：（1）由題意得：，，故，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，故橢圓方程為.（2）如圖，由題意得：，，所以，，結(jié)合焦點(diǎn)在軸上，故橢圓方程為：.18.已知平面內(nèi)兩點(diǎn)．（1）求的垂直平分線方程；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，求直線的方程．解：（1）易求得中點(diǎn)坐標(biāo)為．又，所以的中垂線的斜率為，的中垂線的方程為即．（2）由（1）知，，所以直線的方程為，直線經(jīng)過點(diǎn)得，綜上：為和19.已知直線.（1）求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)P；（2）經(jīng)過點(diǎn)P有一條直線l，它夾在兩條直線與之間的線段恰被P平分，求直線l的方程.解：（1）證明：將直線l的方程改寫為，令，且，兩式聯(lián)立，解得，，所以直線過定點(diǎn).（2）如圖，設(shè)直線l夾在直線，之間的部分是AB，且AB被平分，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，則有，，又A，B兩點(diǎn)分別在直線，上，所以，，由以上四個式子解得，，即，所以直線AB的方程為.20.已知圓C過點(diǎn)，且圓心C在直線上．（1）求圓C的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線恰好平分圓C的圓周，求反射光線的一般方程．解：（1）由，得直線AB的斜率為，線段中點(diǎn)所以，直線CD的方程為，即，聯(lián)立，解得，即，所以半徑，所以圓C的方程為；（2）由恰好平分圓C圓周，得經(jīng)過圓心，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則直線MN與直線垂直，且線段MN的中點(diǎn)在上，則有，解得，所以，所以直線CN即為直線，且，直線方程為，即.21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2-4x=0及點(diǎn)A（-1，0），B（1，2）．（1）若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且MN=AB，求直線l的方程；（2）圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA2+PB2=12?若存在，求點(diǎn)P的個數(shù)；若不存在，請說明理由．解：（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心C（2，0），半徑為2．因?yàn)閘∥AB，且A（-1，0），B（1，2），所以直線l的斜率為．設(shè)直線l的方程為x-y+m=0，則圓心C到直線l的距離為．因?yàn)?，而，所以，解得m=0或m=-4，所以直線l的方程為x-y=0或x-y-4=0．（2）假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)P（x，y），則，所以PA2+PB2=，整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+(y-1)2=4．因?yàn)?，所以圓(x-2)2+y2=4與圓x2+(y-1)2=4相交，所以點(diǎn)P的個數(shù)為2．22.已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B（B在A上方），且|AB|.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)A任作一條直線與圓O：x2+y2＝1相交于M，N兩點(diǎn).求證：為定值，并求出這個定值.解：（1）過C向y軸作垂線，垂足為P，則|CP|＝1，|BP|，|AB|，∴圓C的半徑為|BC|，故C（1，），∴圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-1)2+(y)2.（2）由（1）可知A（0，），B（0，2），設(shè)M（cosα，sinα），則∴，故為定值．江蘇省鹽城市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題：共8小題，每題5分，共40分.1.已知直線方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得：，直線的斜率，直線的傾斜角為.

故選：C.2.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A.1 B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗將直線化為，因?yàn)橹本€與直線平行，設(shè)兩條平行線間的距離為，所以根據(jù)兩平行線之間的距離公式.故選：B.3.過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意設(shè)所求方程為，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，所以所求直線為.故選：A.4.以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.5.直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交且過圓心 B.相切C.相離 D.相交但不過圓心〖答案〗D〖解析〗圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心到直線的距離，又因?yàn)橹本€不過圓心，所以直線與圓相交但不過圓心．故選：D.6.已知圓的方程為，過點(diǎn)的該圓的所有弦中，最短弦的長為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗整理為，故圓心為，半徑為，設(shè)，故當(dāng)與圓的弦垂直時，弦最短，其中，由垂徑定理得.故選：B7.已知點(diǎn)，，若圓：上存在點(diǎn)M，使得，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，點(diǎn)，，可得以為直徑的圓的方程為，則圓心，半徑，又由圓：，可得圓心，半徑，兩圓的圓心距為，要使得圓：上存在點(diǎn)M，使得，即兩圓存在公共點(diǎn)，則滿足，即，解得,所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故選：A.8.阿波羅尼斯（公元前262年~公元前190年），古希臘人，與阿基米德、歐幾里得一起被譽(yù)為古希臘三大數(shù)學(xué)家．阿波羅尼斯研究了眾多平面軌跡問題，其中阿波羅尼斯圓是他的論著中的一個著名問題：已知平面上兩點(diǎn)A，B，則所有滿足（，且）的點(diǎn)P的軌跡是一個圓．已知平面內(nèi)的兩個相異定點(diǎn)P，Q，動點(diǎn)M滿足，記M的軌跡為C，若與C無公共點(diǎn)的直線l上存在點(diǎn)R，使得的最小值為6，且最大值為10，則C的長度為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，M的軌跡C是圓，設(shè)其圓心為點(diǎn)D，半徑為r，顯然直線l與圓C相離，令點(diǎn)D到直線l的距離為d，由圓的性質(zhì)得：，解得，，所以C的長度為.故選：B.二、多選題：共4小題，每題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若直線過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，則直線的方程可能為（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A：顯然在上，且在x、y軸上的截距均為1，符合；B：顯然在上，且在x、y軸上的截距均為3，符合；C：顯然在上，且在x、y軸上的截距均為0，符合；D：不在上，不符合.故選：ABC.10.已知圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則（）.A.兩圓的圓心距B.直線AB的方程為C.圓上存在兩點(diǎn)P和Q使得D.圓上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為〖答案〗BD〖解析〗由圓和圓，可得圓和圓，則圓的圓心坐標(biāo)為和半徑為，圓的圓心坐標(biāo)和半徑，

對于A，因?yàn)閮蓚€圓相交，所以兩圓的圓心距，故A錯誤；對于B，將兩圓方程作差可得，即得公共弦AB的方程為，故B正確；對于C，直線AB經(jīng)過圓的圓心坐標(biāo)，所以線段AB是圓的直徑，故圓中不存在比AB長的弦，故C錯誤；對于D，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線AB：的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為，故D正確．故選：BD.11.以下四個命題表述錯誤的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.圓上有且僅有個點(diǎn)到直線的距離都等于C.曲線與恰有四條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.已知圓，為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引條切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因?yàn)橹本€，即，令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，故A錯誤；對于B，因?yàn)閳A的圓心是，半徑為，則圓心到直線距離為，故圓上有且僅有個點(diǎn)到直線的距離都等于，故B正確；對于C，曲線，即，圓心為，半徑為，曲線，即，圓心為，半徑為，若兩圓恰有四條公切線，則兩圓相離，則，解得，故C錯誤；對于D，因?yàn)椋十?dāng)最小時，最小，又最小值為圓心到直線的距離，即，故的最小值為，故D錯誤．故選：ACD．12.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，頂點(diǎn)、，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（）A.的“歐拉線”方程為B.圓M上存在三個點(diǎn)到直線的距離為C.若點(diǎn)在圓M上，則的最小值是D.若圓M與圓有公共點(diǎn)，則〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以是等腰三角形，由三線合一得：的外心、重心、垂心均在底邊上的中線或高線上，設(shè)的歐拉線為，則過的中點(diǎn)，且與直線垂直，由、可得：的中點(diǎn)，即，，所以，故的方程為：，即，選項(xiàng)A錯誤；因?yàn)榕c圓相切，故，又圓心到的距離，所以圓M上存在三個點(diǎn)到直線的距離為，B選項(xiàng)正確；點(diǎn)在圓M上，表示圓上的點(diǎn)與的連線的斜率，當(dāng)連線與圓相切且位于圓的下方時（如圖所示），此時，最小，設(shè)直線：，由，解得：，因?yàn)?，所以，即的最小值是，C選項(xiàng)錯誤；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，則要想圓M與圓有公共點(diǎn)，只需兩圓圓心的距離小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對值，故，解得：，故D選項(xiàng)正確.故選：BD.三、填空題：共4小題，每題5分，共20分.13.點(diǎn)到直線的距離為___________.〖答案〗〖解析〗由已知所求距離為．故〖答案〗為：．14.與圓同圓心，且過點(diǎn)的圓的方程是________.〖答案〗〖解析〗依題意，設(shè)所求圓的方程為，由于所求圓過點(diǎn)，所以，解得.所以所求圓的方程為．故〖答案〗：.15.已知實(shí)數(shù)滿足方程，則的取值范圍是_______.〖答案〗〖解析〗方程=化為,表示的圖形是一個半圓,令,即y=kx,如圖所示,當(dāng)直線與半圓相切時,k=,所以的取值范圍是故〖答案〗為16.若直線被圓所截得的弦長為，則的最小值為_______．〖答案〗〖解析〗由，則圓心為，半徑為2，由直線被圓所截得的弦長為，故直線過圓心，所以且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，短軸長為4；（2）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到右頂點(diǎn)的距離為1.解：（1）由題意得：，，故，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，故橢圓方程為.（2）如圖，由題意得：，，所以，，結(jié)合焦點(diǎn)在軸上，故橢圓方程為：.18.已知平面內(nèi)兩點(diǎn)．（1）求的垂直平分線方程；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，求直線的方程．解：（1）易求得中點(diǎn)坐標(biāo)為．又，所以的中垂線的斜率為，的中垂線的方程為即．（2）由（1）知，，所以直線的方程為，直線經(jīng)過點(diǎn)得，綜上：為和19.已知直線.（1）求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)P；（2）經(jīng)過點(diǎn)P有一條直線l，它夾在兩條直線與之間的線段恰被P平分，求直線l的方程.解：（1）證明：將直線l的方程改寫為，令，且，兩式聯(lián)立，解得，，所以直線過定點(diǎn).（2）如圖，設(shè)直線l夾在直線，之間的部分是AB，且AB被平分，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，則有，，又A，B兩點(diǎn)分別在直線，上，所以，，由以上四個式子解得，，即，所以直線AB的方程為.20.已知圓C過點(diǎn)，且圓心C在直線