專題08 新函數(shù)圖象與性質(zhì)探究-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（解析版）

專題08新函數(shù)圖象與性質(zhì)探究題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練了解和掌握新函數(shù)的圖象和性質(zhì)出題形式和考試方向；學(xué)會(huì)運(yùn)用新函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行研究；了解和掌握含絕對(duì)值的新函數(shù)、分段函數(shù)及與函數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用是本專題知識(shí)點(diǎn)的關(guān)鍵。新函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究題型既考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解，又考查學(xué)生對(duì)實(shí)際問題和幾何圖形的分析能力以及作圖能力，新函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究題大致可歸納為3種類型：(1)函數(shù)圖象的變形；(2)實(shí)際情景中新函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究；(3)與幾何結(jié)合的新函數(shù)的圖象與性質(zhì)．本專題主要對(duì)新函數(shù)圖象探究題型進(jìn)行總結(jié)，對(duì)其解法進(jìn)行歸納總結(jié)，所選題型為近幾年期末考試中的?？碱}型。模型01新函數(shù)問題通過對(duì)以往函數(shù)的學(xué)習(xí)，在所學(xué)函數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的函數(shù)形式，對(duì)對(duì)應(yīng)變量的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行有關(guān)函數(shù)圖象及性質(zhì)的探究及運(yùn)用。考查學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象、函數(shù)性質(zhì)以及與函數(shù)圖象結(jié)合的相關(guān)知識(shí)的綜合掌握和運(yùn)用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與圖形結(jié)合的密切聯(lián)系，屬于中考的一種常考題型。模型02函數(shù)與幾何結(jié)合問題函數(shù)與幾何結(jié)合的模型，主要是為了研究幾何中角度、線段長(zhǎng)度或則圖形面積等通過常規(guī)方式不容易求解對(duì)應(yīng)數(shù)量時(shí)，我們借助函數(shù)模型進(jìn)行探究。在解題中抽象出對(duì)應(yīng)變量的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行有關(guān)函數(shù)圖象及性質(zhì)的探究及運(yùn)用，綜合考查學(xué)生對(duì)幾何有關(guān)圖形性質(zhì)、定理知識(shí)以及函數(shù)的圖象等知識(shí)的綜合掌握和運(yùn)用能力。模型03函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題中通過對(duì)實(shí)際情景問題中抽象出對(duì)應(yīng)變量的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行有關(guān)函數(shù)圖象及性質(zhì)的探究及運(yùn)用．考查學(xué)生對(duì)幾何有關(guān)圖形性質(zhì)、定理知識(shí)以及函數(shù)的圖象等知識(shí)的綜合掌握和運(yùn)用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，屬于中考的一種?？碱}型。模型01新函數(shù)問題考｜向｜預(yù)｜測(cè)新函數(shù)問題該題型近年主要以解答題型出現(xiàn)，解決這類問題的關(guān)鍵是對(duì)初中階段學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的定義圖象和性質(zhì)充分了解，然后結(jié)合幾類函數(shù)的圖形和性質(zhì)特點(diǎn)進(jìn)行演變分析。在所學(xué)函數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的函數(shù)形式，對(duì)對(duì)應(yīng)變量的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行有關(guān)函數(shù)圖象及性質(zhì)的探究及運(yùn)用。答｜題｜技｜巧第一步：觀察新函數(shù)特點(diǎn)（表達(dá)式特點(diǎn)、圖象特點(diǎn)），結(jié)合所學(xué)基本函數(shù)特征進(jìn)行分析；第二步：確定函數(shù)圖象（注意列表、描點(diǎn)、）；第三步：結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究（對(duì)稱性、增減性、最值）；第四步：對(duì)對(duì)應(yīng)變量的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行有關(guān)函數(shù)圖象及性質(zhì)的探究及運(yùn)用；例1．（2023·廣西）中考新考法：注重過程性學(xué)習(xí)，某數(shù)學(xué)小組在研究函數(shù)時(shí)，對(duì)函數(shù)的圖象進(jìn)行了探究，探究過程如下：…123……3461…

(1)①與的幾組對(duì)應(yīng)值如下表，請(qǐng)補(bǔ)全表格；②在上圖平面直角坐標(biāo)系中，描出上表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并根據(jù)描出的點(diǎn)畫出該函數(shù)的圖象；(2)我們知道，函數(shù)的圖象是由二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到的．類似地，請(qǐng)直接寫出將的圖象經(jīng)過怎樣的平移可以得到的圖象；(3)若一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，連接，求的面積．【答案】(1)見解析，(2)向左平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位(3)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，補(bǔ)全表格為：…123……3461…圖象如下：

（2）的圖象向左平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位可以得到的圖象；（3）一次函數(shù)的圖象，如圖，可知，∴的面積為．

模型02函數(shù)與幾何結(jié)合問題考｜向｜預(yù)｜測(cè)函數(shù)與幾何結(jié)合問題主要是借助函數(shù)模型進(jìn)行探究幾何問題，對(duì)實(shí)際幾何問題中抽象出對(duì)應(yīng)變量的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行有關(guān)函數(shù)圖象及性質(zhì)的探究及運(yùn)用。該題型在考試中主要以解答題的形式出現(xiàn)，具有一定的難度，除了考查學(xué)生對(duì)幾何有關(guān)圖形性質(zhì)、定理知識(shí)外，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等也需要真正理解，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，屬于中考的一種?？碱}型。答｜題｜技｜巧第一步：理解題意，找到實(shí)際情境的數(shù)學(xué)模型；第二步：從學(xué)過的基礎(chǔ)函數(shù)入手，建立函數(shù)關(guān)系；第三步：利用函數(shù)的性質(zhì)，從特殊到一般的探究學(xué)習(xí)；第四步：按照題意設(shè)計(jì)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)逐次解決問題；例1．（2023·湖南）【教材再現(xiàn)】：北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第122頁(yè)第21題：“怎樣把一塊三角形的木板加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面？”某小組同學(xué)對(duì)此展開了思考．（1）若木板的形狀是如圖（甲）所示的直角三角形，，，根據(jù)“相似三角形對(duì)應(yīng)的高的比等于相似比”可以求得此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)是________．【問題解決】：若木板是面積仍然為的銳角三角形，按照如圖（乙）所示的方式加工，記所得的正方形的面積為，如何求的最大值呢？某學(xué)習(xí)小組做了如下思考：設(shè)，，邊上的高，則，，由得：，從而可以求得，若要內(nèi)接正方形面積最大，即就是求的最大值，因?yàn)闉槎ㄖ?，因此只需要分母最小即可．?）小組同學(xué)借鑒研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，令．探索函數(shù)的圖象和性質(zhì)：①下表列出了與的幾組對(duì)應(yīng)值，其中________．…1234……44…②在如圖（丙）所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的大致圖象；③結(jié)合表格觀察函數(shù)圖象，以下說法正確的是A．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．B．該函數(shù)的圖象可能與坐標(biāo)軸相交．C．該函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱．D．當(dāng)該函數(shù)取最小值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍在之間．【答案】（1）；（2）①；②見解析；③D【詳解】解：（1）作交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，∵，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得，此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)是，故答案為：；解：（2）①當(dāng)時(shí)，，故答案為：；②描點(diǎn)、連線，圖象如圖所示，③由圖可知：A、當(dāng)時(shí)，隨的增大，先減小后增大，原說法錯(cuò)誤；B、a不能為零，可知與y軸無(wú)交點(diǎn)，a為正數(shù)可知，,與橫軸無(wú)交點(diǎn)，即該函數(shù)的圖象不可能與坐標(biāo)軸相交，原說法錯(cuò)誤；C、該函數(shù)圖象沒有對(duì)稱軸，原說法錯(cuò)誤；D、當(dāng)，函數(shù)值先減少后增加，故當(dāng)該函數(shù)取最小值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍在之間，說法正確．故選：D．模型03函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題考｜向｜預(yù)｜測(cè)函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題通過對(duì)實(shí)際情景問題中抽象出對(duì)應(yīng)變量的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行有關(guān)函數(shù)圖象及性質(zhì)的探究及運(yùn)用．考查學(xué)生對(duì)幾何有關(guān)圖形性質(zhì)、定理知識(shí)以及函數(shù)的圖象等知識(shí)的綜合掌握和運(yùn)用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，屬于中考的一種常考題型。答｜題｜技｜巧第一步：理解題意，找到實(shí)際情境的數(shù)學(xué)模型；第二步：從學(xué)過的基礎(chǔ)函數(shù)入手，建立函數(shù)關(guān)系；第三步：利用函數(shù)的性質(zhì)，從特殊到一般的探究學(xué)習(xí)；第四步：按照題意設(shè)計(jì)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)逐次解決問題；例1．（2023·四川）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，由題意可知，，，主橋拱半徑R，，是半徑，且，，在中，，，解得：，故選B

例2．（2023·山東）【問題背景】“刻漏”是我國(guó)古代的一種利用水流計(jì)時(shí)的工具．綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個(gè)透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大?。┑能浌苤谱骱?jiǎn)易計(jì)時(shí)裝置．【實(shí)驗(yàn)操作】綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了如下的實(shí)驗(yàn)：先在甲容器里加滿水，此時(shí)水面高度為，開始放水后每隔觀察一次甲容器中的水面高度流水時(shí)間010203040水面高度（觀察值）302928.12725.8任務(wù)1：分別計(jì)算表中每隔水面高度觀察值的變化量．【建立模型】小組討論發(fā)現(xiàn)：“，”是初始狀態(tài)下的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻任務(wù)2：利用時(shí)，；時(shí)，，求出h關(guān)于t的函數(shù)解析式；【反思優(yōu)化】經(jīng)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差，減少偏差．通過查閱資料后知道：t為表中數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù)解析式求出所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與表中觀察值偏差的平方和記為w；w越小，偏差就越??；任務(wù)3：（1）計(jì)算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值；（2）請(qǐng)確定經(jīng)過的一次函數(shù)解析式的w值，使得w的值最小；【設(shè)計(jì)刻度】得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實(shí)踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計(jì)刻度，通過刻度直接讀取時(shí)間．任務(wù)4：請(qǐng)你簡(jiǎn)要寫出時(shí)間刻度的設(shè)計(jì)方案．【答案】任務(wù)1：，，，；任務(wù)2：；任務(wù)3：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，w的最小值為0.038；任務(wù)4：將零刻度放在水位最高處，在容器外壁每隔標(biāo)記一次刻度，就代表時(shí)間經(jīng)過了10分鐘【詳解】任務(wù)1：變化量分別為：，，，，∴每隔水面高度觀察值的變化量為：，，，．任務(wù)2：設(shè)水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式為，∵時(shí)，，時(shí)，；∴，解得：，∴水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式為；任務(wù)3：（1）；（2）設(shè)：，則∴當(dāng)時(shí)，w有最小值為0.038；任務(wù)4：由任務(wù)3知，優(yōu)化后的函數(shù)解析式為．∴時(shí)間刻度方案要點(diǎn)為，零刻度放在水位最高處，在容器外壁向下每隔標(biāo)記一次刻度，就代表時(shí)間經(jīng)過了10分鐘．∵時(shí)，，∴最大量程為294分鐘．1．（2023·南京）如圖是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4米時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面2米，水面下降1米時(shí)，水面的寬度為米．【答案】【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過，縱軸y通過中點(diǎn)O且通過C點(diǎn)，如圖，拋物線以y軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，和可求出為的一半，為2米，拋物線頂點(diǎn)C坐標(biāo)為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，通過以上條件可設(shè)頂點(diǎn)式，代入A點(diǎn)坐標(biāo)，可得，解得：，所以拋物線解析式為，當(dāng)水面下降1米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的拋物線上兩點(diǎn)之間的距離，也就是直線與拋物線相交的兩點(diǎn)之間的距離，可以通過把代入拋物線解析式得出：，解得：，所以水面寬度為米，故答案為：．2．（2023·湖北）在2024年中考體育考試前，小康對(duì)自己某次實(shí)心球的訓(xùn)練錄像進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，實(shí)心球的飛行高度（單位：米）與飛行的水平距離（單位：米）之間具有函數(shù)關(guān)系，則小康這次實(shí)心球訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)槊祝敬鸢浮?2【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，整理，得，解得，（舍），所以小康這次實(shí)心球訓(xùn)練的成績(jī)是12米．故答案為：12．3．（2023·上海）平面直角坐標(biāo)系中，在軸上，且到一條拋物線的頂點(diǎn)及該拋物線與軸的交點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)，稱為這條拋物線與軸的“親密點(diǎn)”，那么拋物線與x軸的“親密點(diǎn)”的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)題意求得頂點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)一步求得過對(duì)稱點(diǎn)和與軸的交點(diǎn)的直線解析式，即可求得“親密點(diǎn)”的坐標(biāo)．【詳解】解：，拋物線開口向上，頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，拋物線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)直線的解析式為，代入得，，解得，直線的解析式為，令，則拋物線與軸的“親密點(diǎn)”的坐標(biāo)是，故答案為：．4．（2023·內(nèi)蒙古）有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)，水面寬米，拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離是米，如圖建立直角坐標(biāo)平面，如果水面上升了米，此時(shí)水面的寬米．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【詳解】設(shè)該拋物線的解析式是，由題意結(jié)合圖象可知，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，代入得：，解得：，∴該拋物線的解析式是，則水面上升了米，此時(shí)，∴，解得：，則此時(shí)水面的寬度是米，故答案為：．5．（2023·陜西）小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．下面是小明的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是；(2)如表列出了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，請(qǐng)寫出m，n的值：m=，n=．x…-1023…y…m0n32…(3)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，描全上表中以各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象（注：圖中小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1）．(4)結(jié)合函數(shù)的圖象，解決問題：當(dāng)函數(shù)值時(shí)，x的取值范圍是：．【答案】(1)x≠1(2)，-1(3)見解析(4)1＜x＜3【詳解】（1）由分式的分母不為0得：，∴x≠1；故答案為：x≠1．（2）當(dāng)x=-1時(shí)，y=+1=，當(dāng)x=時(shí)，y=+1=-1，∴m=，n=-1，故答案為：，-1．（3）如圖：（4）觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)函數(shù)值+1＞時(shí)，x的取值范圍是1＜x＜3，故答案為：1＜x＜3．6．（2023·廣東）如圖1，平行四邊形中，，，連接，，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿折線運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，的面積為，(1)請(qǐng)直接寫出關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)時(shí)請(qǐng)直接寫出x的取值范圍．（結(jié)果保留一位小數(shù)，誤差小于0.2）【答案】(1)(2)圖見解析，當(dāng)時(shí)，隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨x增大而增大．(3)或【詳解】（1）解：由勾股定理，得，∵平行四邊形，∴，當(dāng)點(diǎn)P由運(yùn)動(dòng)時(shí)，即，，即；當(dāng)點(diǎn)P由運(yùn)動(dòng)時(shí)，即，過點(diǎn)A作于E，過點(diǎn)B作交延長(zhǎng)線于F，如圖，∵，∴，∴，∵平行四邊形，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∴，，即；綜上，關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：如圖所示：由圖可得：當(dāng)時(shí)，隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨x增大而增大．（3）解：由圖象可得：當(dāng)時(shí)，或．7．（2023·河北）【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對(duì)景觀帶中一個(gè)長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形水池進(jìn)行加長(zhǎng)改造（如圖①，改造后的水池仍為長(zhǎng)方形，以下簡(jiǎn)稱水池1），同時(shí)，再建造一個(gè)周長(zhǎng)為的矩形水池（如圖②，以下簡(jiǎn)稱水池2）．【建立模型】如果設(shè)水池的邊加長(zhǎng)長(zhǎng)度為，加長(zhǎng)后水池1的總面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：；設(shè)水池2的邊的長(zhǎng)為，面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：，上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖③．【問題解決】(1)若水池2的面積隨長(zhǎng)度的增加而減小，則長(zhǎng)度的取值范圍是_________（可省略單位），水池2面積的最大值是_________；(2)在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是_________，此時(shí)的值是_________；(3)當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，的取值范圍是_________；(4)在范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)的值；(5)假設(shè)水池的邊的長(zhǎng)度為，其他條件不變（這個(gè)加長(zhǎng)改造后的新水池簡(jiǎn)稱水池3），則水池3的總面積關(guān)于的函數(shù)解析式為：．若水池3與水池2的面積相等時(shí)，有唯一值，求的值．【答案】(1)；9(2)C，E；1，4；(3)或(4)(5)【詳解】（1）∵∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，9），對(duì)稱軸為x=3，∵水池2的面積隨長(zhǎng)度的增加而減小，∴長(zhǎng)度的取值范圍是；水池2面積的最大值是9；故答案為：；9；（2）由圖象得，兩函數(shù)交于點(diǎn)C，E，所以，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是C，E；聯(lián)立方程組解得，∴x的值為1或4，故答案為：C，E；1或4（3）由（2）知，C（1，5），E（4，8），又直線在拋物線上方時(shí)，或，所以，水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，的取值范圍是或，故答案為或；（4）在范圍內(nèi)，兩個(gè)水池面積差，∵∴函數(shù)有最大值，∵∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，為即，當(dāng)時(shí)，面積差的最大值為（5）∵水池3與水池2的面積相等，∴，整理得，∵有唯一值，∴解得，8．（2023·山西）小明在課余時(shí)間，找了幾副度數(shù)不同的近視鏡，讓鏡片正對(duì)著太陽(yáng)光，并上下移動(dòng)鏡片，直到地上的光斑最?。藭r(shí)他測(cè)量了鏡片到光斑的距離，得到如下數(shù)據(jù)：鏡片度數(shù)y/度…400625800m…鏡片到光斑的距離x/m…0.250.160.1250.10…（x表示鏡片到光斑的距離，y表示鏡片的度數(shù)）為了進(jìn)一步研究鏡片度數(shù)y與鏡片到光斑的距離x間的關(guān)系，小明借助計(jì)算機(jī)繪制了表示變量間關(guān)系的圖象，并給出了它們的關(guān)系式，如圖：

(1)m的值是______；(2)小亮的眼鏡是近視200度，用小亮的眼鏡做實(shí)驗(yàn)的話，請(qǐng)寫出其鏡片到光斑的距離，并解釋你是怎樣得出這一結(jié)論的；(3)根據(jù)圖表中的信息，發(fā)現(xiàn)隨著x的逐漸變大，y的變化趨勢(shì)是________；(4)你來(lái)預(yù)測(cè)一下，如果是一副平光鏡（近視度數(shù)為0），會(huì)不會(huì)有光斑存在？（直接寫結(jié)論，無(wú)需解釋）【答案】(1)1000(2)(3)y逐漸變小(4)不會(huì)有光斑存在【詳解】（1）將代入得，∴；（2）將代入得，解得∴其鏡片到光斑的距離為；（3）根據(jù)圖表中的信息可得，隨著x的逐漸變大，y逐漸變小；（4）根據(jù)圖表中的信息可得，如果是一副平光鏡（近視度數(shù)為0），不會(huì)有光斑存在．9．（2023·河南）跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛行和落地四個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實(shí)線部分所示），落地點(diǎn)在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點(diǎn)K為飛行距離計(jì)分的參照點(diǎn)，落地點(diǎn)超過K點(diǎn)越遠(yuǎn)，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)的起跳臺(tái)的高度為，基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為，高度為（h為定值）．設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)A起跳后的高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系為．(1)c的值為__________；(2)①若運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)恰好到達(dá)K點(diǎn)，且此時(shí)，求基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度h；②若時(shí)，運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過K點(diǎn)，則b的取值范圍為__________；(3)若運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為時(shí)，恰好達(dá)到最大高度，試判斷他的落地點(diǎn)能否超過K點(diǎn)，并說明理由．【答案】(1)66(2)①基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度h為21m；②b＞；(3)他的落地點(diǎn)能超過K點(diǎn)，理由見解析．【詳解】（1）解：∵起跳臺(tái)的高度OA為66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案為：66；（2）解：①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度h為21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過K點(diǎn)，∴當(dāng)x＝75時(shí)，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案為：b＞；（3）解：他的落地點(diǎn)能超過K點(diǎn)，理由如下：∵運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76m，∴拋物線的頂點(diǎn)為（25，76），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣25）2+76，當(dāng)x＝75時(shí)，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地點(diǎn)能超過K點(diǎn)．10．（2023·江蘇）乒乓球被譽(yù)為中國(guó)國(guó)球．2023年的世界乒乓球錦標(biāo)賽中，中國(guó)隊(duì)包攬了五個(gè)項(xiàng)目的冠軍，成績(jī)的取得與平時(shí)的刻苦訓(xùn)練和精準(zhǔn)的技術(shù)分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺(tái)的截面示意圖，一位運(yùn)動(dòng)員從球臺(tái)邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對(duì)面球臺(tái)，乒乓球的運(yùn)行路線近似是拋物線的一部分．乒乓球到球臺(tái)的豎直高度記為y（單位：），乒乓球運(yùn)行的水平距離記為（單位：）．測(cè)得如下數(shù)據(jù)：水平距離/豎直高度/

(1)①當(dāng)乒乓球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，與球臺(tái)之間的距離是，當(dāng)乒乓球落在對(duì)面球臺(tái)上時(shí)，到起始點(diǎn)的水平距離是；②求滿足條件的拋物線解析式；(2)技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度，乒乓球的運(yùn)行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng)，又能落在對(duì)面球臺(tái)上，需要計(jì)算出的取值范圍，以利于有針對(duì)性的訓(xùn)練．如圖②．乒乓球臺(tái)長(zhǎng)為，球網(wǎng)高為．現(xiàn)在已經(jīng)計(jì)算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球離度的值約為．請(qǐng)你計(jì)算出乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)處時(shí)，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計(jì)）．【答案】(1)①；；②(2)乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)B處時(shí)，擊球高度的值為【詳解】（1）①觀察表格數(shù)據(jù)，可知當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值相等，則對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，又拋物線開口向下，可得最高點(diǎn)時(shí)，與球臺(tái)之間的距離是，當(dāng)時(shí)，，∴乒乓球落在對(duì)面球臺(tái)上時(shí)，到起始點(diǎn)的水平距離是；故答案為：；．②設(shè)拋物線解析式為，將代入得，，解得：，∴拋物線解析式為；（2）∵當(dāng)時(shí)，拋物線的解析式為，設(shè)乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)B處時(shí)，擊球高度的值為，則平移距離為，∴平移后的拋物線的解析式為，依題意，當(dāng)時(shí)，，即，解得：．答：乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)B處時(shí)，擊球高度的值為．1．如圖，將水以勻速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面圓柱體的容器中，請(qǐng)找出容器內(nèi)水的高度h和時(shí)間t變化關(guān)系的圖象(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】解：因?yàn)閳A柱上下一樣粗，所以水面上升的高度h隨注水時(shí)間t的增大而勻速增大．故選：C．2．如圖1，水鐘在中國(guó)又叫做“刻漏”，在小學(xué)科學(xué)課制作《我們的水鐘》時(shí)，學(xué)生制作了如圖2所示的簡(jiǎn)易水鐘：瓶子內(nèi)部盛一定量的水，不考慮水量變化對(duì)壓力的影響，水從瓶蓋的小孔均勻漏出，瓶身上有刻度，學(xué)生可根據(jù)瓶中水面的位置計(jì)算時(shí)間．若將此簡(jiǎn)易水鐘的瓶子近似看作圓柱，用x表示漏水時(shí)間，y表示水面到瓶蓋的高度，下列圖象適合表示y與x之間關(guān)系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】解：設(shè)瓶子的體積為V，瓶底面積為S，a表示單位時(shí)間滴水量，則，即,上式中，V、S、a都是常數(shù)，則y是x的一次函數(shù)關(guān)系式，且，則其圖象是A選項(xiàng)中的圖象；故選：A．3．如圖①，底面積為的空?qǐng)A柱容器內(nèi)水平放置著由兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”，現(xiàn)向容器內(nèi)勻速注水，注滿為止，在注水過程中，水面高度與注水時(shí)間之間的關(guān)系如圖②．若“幾何體”的下方圓柱的底面積為，求“幾何體”上方圓柱體的底面積為（

）A．24 B．12 C．18 D．21【答案】A【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖像得到圓柱形容器的高為，兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”的高度為，水從剛滿過由兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”到注滿用了：，這段高度為：，設(shè)勻速注水的水流速度為，則，解得，即勻速注水的水流速度為；“幾何體”下方圓柱的高為，則，解得，所以“幾何體”上方圓柱的高為，設(shè)“幾何體”上方圓柱的底面積為，根據(jù)題意得，解得，即“幾何體”上方圓柱的底面積為，故選：A．4．【探究】在“動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)”的活動(dòng)課上，老師提出了如下問題：如圖1，在矩形中，，，連接，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間秒，的面積為，請(qǐng)直接寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式以及自變量的取值范圍．【嘗試】小邕學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，常常利用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，因此在這道題的基礎(chǔ)上，他想在平面直角坐標(biāo)系中（圖2）畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，請(qǐng)你按照小邕的思路畫出圖象，并結(jié)合函數(shù)圖象寫出函數(shù)的性質(zhì)（寫出一條即可）．【應(yīng)用】進(jìn)一步思考：結(jié)合函數(shù)圖象，寫出的面積為4時(shí)的值．【答案】探究：；嘗試：見解析；應(yīng)用：或【詳解】解：探究：四邊形是矩形，，，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間秒，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，且，如圖，作于，，，的面積為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，且，，，，的面積為；綜上所述：關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為；嘗試：畫出函數(shù)圖象如圖所示：，由圖象可得：當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，的最大值為；應(yīng)用：當(dāng)時(shí)，令，則，解得：，當(dāng)時(shí)，由圖可得，的面積為4時(shí)的值為或．5．如圖1，一輛灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口H離地面豎直高度為米．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，若下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口米，灌溉車到綠化帶的距離為d米．(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式；(2)下邊緣拋物線與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(3)若米，則灌溉車行駛時(shí)噴出的水能否澆灌到整個(gè)綠化帶？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)能，理由見解析【詳解】（1）解：由題意得：是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)，又∵拋物線過點(diǎn)，∴，解得：，∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為，（2）∵對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，當(dāng)時(shí)，，解得(舍去)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：；（3）∵米，米，米，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，∴灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶．6．在跳繩時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似看作拋物線，如圖，已知甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為6米，距地面均為1米，繩的最高點(diǎn)距離地面的高度為4米，以水平地面為軸，垂直于地面且過繩子最高點(diǎn)的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)身高為1.57米的小明此時(shí)進(jìn)入跳繩，他站直時(shí)繩子剛好通過他的頭頂，小明與甲的水平距離小于小明與乙的水平距離，求小明離甲的水平距離．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由題意知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，即，，，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，則，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：將代入，得，解得，小明與甲的水平距離小于小明與乙的水平距離，，，小明離甲的水平距離為．7．綜合與實(shí)踐．【問題情境】“漏壺”是一種古代計(jì)時(shí)器，在社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，某小組同學(xué)根據(jù)“漏壺”的原理制作了如圖（a）所示的液體漏壺，該漏壺是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組成的，中間連通，液體可以從圓錐容器中勻速漏到圓柱容器中，實(shí)驗(yàn)開始時(shí)圓柱容器中已有一部分液體．

【實(shí)驗(yàn)觀察】下表是實(shí)驗(yàn)記錄的圓柱容器液面高度與時(shí)間的數(shù)據(jù)：時(shí)間12345圓柱容器液面高度610141822【探索發(fā)現(xiàn)】（1）請(qǐng)你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在圖（b）中描點(diǎn)、連線，用所學(xué)過的一次函數(shù)的知識(shí)確定與之間的函數(shù)表達(dá)式；【結(jié)論應(yīng)用】（2）如果本次實(shí)驗(yàn)記錄的開始時(shí)間是上午，那么當(dāng)圓柱容器液面高度達(dá)到時(shí)是幾點(diǎn)？【答案】（1）圖象見解析，；（2）當(dāng)圓柱容器液面高度達(dá)到時(shí)是【詳解】解：（1）描出各點(diǎn)，并連接，如圖所示，

由圖象可知該函數(shù)是一次函數(shù)，設(shè)該函數(shù)的表達(dá)式為，∵點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，∴，解得，∴與之間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）當(dāng)時(shí)，，，，，即當(dāng)圓柱容器液面高度達(dá)到時(shí)是．8．閱讀與思考請(qǐng)仔細(xì)閱讀材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．利用數(shù)學(xué)知識(shí)求電阻的阻值數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系十分密切，數(shù)學(xué)是表達(dá)物理概念、定律簡(jiǎn)明而準(zhǔn)確的語(yǔ)言，同時(shí)，數(shù)學(xué)為物理提供了計(jì)量、計(jì)算的工具和方法．例如：已知兩個(gè)電阻和串聯(lián)后的總電阻為，并聯(lián)后的總電阻為，求這兩個(gè)電阻的阻值各是多少．根據(jù)串聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得①根據(jù)并聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得②把①代入②，得③以上問題也可以通過以下兩種數(shù)學(xué)方法求解．方法：設(shè)的阻值為，則的阻值為根據(jù)③可將問題轉(zhuǎn)化為是否有正數(shù)解的問題．方法：設(shè)兩個(gè)電阻的阻值分別為和，則根據(jù)③，得根據(jù)③，得所以同時(shí)滿足要求的正數(shù)和的值可以看成反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)．任務(wù)：(1)已知兩個(gè)電阻和串聯(lián)后的總電阻為，并聯(lián)后的總電阻為，請(qǐng)你借助“方法”，求這兩個(gè)電阻的阻值各是多少．(2)是否存在兩個(gè)電阻和，使串聯(lián)后的總電阻為，并聯(lián)后的總電阻為？小明借助“方法”解答如下：假設(shè)存在，設(shè)這兩個(gè)電阻的阻值分別為和，根據(jù)①，得______．根據(jù)③，得______．在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，小明分別畫出了滿足條件的反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象．觀察圖象可知，______填“存在”或“不存在”滿足條件的兩個(gè)電阻．【答案】(1)和；(2)，，不存在．【詳解】（1）解：設(shè)，則，根據(jù)題意得，得，將代入，得，解方程得或，這兩個(gè)電阻的阻值分別為：和．（2）設(shè)，則，根據(jù)題意得，求解和的過程即為求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，根據(jù)圖象可知，兩函數(shù)沒有交點(diǎn)，不存在滿足條件的兩個(gè)電阻．故答案為：，，不存在．9．鷹眼系統(tǒng)能夠追蹤、記錄和預(yù)測(cè)球的軌跡，如圖分別為足球比賽中某一時(shí)刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測(cè)畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點(diǎn)O，守門員位于點(diǎn)A，OA的延長(zhǎng)線與球門線交于點(diǎn)B，且點(diǎn)A，B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線．已知OB=28m，AB=8m，足球飛行的水平速度為15m/s，水平距離s（水平距離=水平速度×?xí)r間）與離地高度h的鷹眼數(shù)據(jù)如下表：s/m…912151821…h(huán)/m…4.24.854.84.2…(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)足球落地時(shí)，s=m；(2)求h關(guān)于s的函數(shù)解析式；(3)守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應(yīng)，當(dāng)守門員位于足球正下方時(shí)，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度視為防守成功．已知守門員面對(duì)足球后退過程中速度為2.5m/s，最大防守高度為2.5m；背對(duì)足球向球門前進(jìn)過程中最大防守高度為1.8m．①若守門員選擇面對(duì)足球后退，能否成功防守？試計(jì)算加以說明；②若守門員背對(duì)足球向球門前進(jìn)并成功防守，求此過程守門員的最小速度．【答案】(1)30(2)(3)①守門員不能成功防守；說明見解析；②