專題12尺規(guī)作圖題型總結(jié)-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（解析版）

專題12尺規(guī)作圖題型總結(jié)題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練本專題主要對(duì)初中階段的一般考查學(xué)生對(duì)基本作圖的掌握情況和實(shí)踐操作能力,并且在作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)一步推理計(jì)算(或證明)。尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。尺規(guī)作圖是中考必考知識(shí)點(diǎn)之一，復(fù)習(xí)該版塊時(shí)要?jiǎng)邮侄喈媹D，熟能生巧！本專題主要總結(jié)了五個(gè)?？嫉幕咀鲌D題型，（1）作相等角；（2）作角平分線；（3）作線段垂直平分線；（4）作垂直（過一點(diǎn)作垂線或圓切線）；（5）用無刻度的直尺作圖。模型01作相等角①以∠α的頂點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑作弧，交∠α的兩邊于點(diǎn)P，Q；②作射線O'A'；③以O(shè)'為圓心，OP長為半徑作弧，交O'A'于點(diǎn)M；④以點(diǎn)M為圓心，PQ長為半徑作弧，交③中所作的弧于點(diǎn)N；⑤過點(diǎn)N作射線O'B'，∠A'O'B'即為所求作的角.原理：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形對(duì)應(yīng)角相等延伸：作平行線模型02作角平分線①以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③過點(diǎn)O作射線OP，OP即為∠AOB的平分線.原理：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形對(duì)應(yīng)角相等延伸：到兩邊的距離相等的點(diǎn)②作三角形的內(nèi)切圓模型03作線段垂直平分線①分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB長為半徑，在AB兩側(cè)作弧，分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N；②過點(diǎn)M，N作直線MN，直線MN即為線段AB的垂直平分線.原理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上延伸：①到兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)②作三角形的外接圓找對(duì)稱軸（旋轉(zhuǎn)中心）找圓的圓心模型04作垂直（過一點(diǎn)作垂線或圓切線）（點(diǎn)P在直線上）①以點(diǎn)P為圓心，任意長為半徑向點(diǎn)P兩側(cè)作弧，分別交直線l于A，B兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M；③過點(diǎn)M，P作直線MP，則直線MP即為所求垂線.原理：等腰三角形的“三線合一”，兩點(diǎn)確定一條直線延伸：確定點(diǎn)到直線的距離（內(nèi)切圓半徑）（點(diǎn)P在直線外）①以點(diǎn)P為圓心，大于P到直線l的距離為

半徑作弧，分別交直線l于A，B兩點(diǎn)；②分別以A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧交于點(diǎn)N；③過點(diǎn)P，N作直線PN，則直線PN即為所求垂線.原理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上模型05僅用無刻度直尺作圖無刻度直尺作圖通常會(huì)與等腰三角形的判定，三角形中位線定理，矩形的性質(zhì)和勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.模型01作相等角考｜向｜預(yù)｜測(cè)做相等角該題型近年主要以解答題形式出現(xiàn)，一般為解答題型的其中一問，難度系數(shù)較小，在各類考試中基本為送分題型。解這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意熟練應(yīng)用尺規(guī)作圖，一般考試中涉及的做相等角包含角相等或者作平行線，需要我們很好的理解題意，根據(jù)題意畫圖，保留清晰的作圖痕跡。答｜題｜技｜巧第一步：作任一射線；第二步：以所作角的頂點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，然后以同樣長為半徑，以射線端點(diǎn)為圓心畫弧；第三步：以原角中所畫弧中一個(gè)交點(diǎn)為圓心，到另一個(gè)交點(diǎn)的距離為半徑畫??；第四步：以射線中的交點(diǎn)為圓心，同樣長為半徑畫弧，交于一點(diǎn)，連接射線端點(diǎn)與弧的交點(diǎn)，所得角即為所求；例1.（2023·吉林四平·三模）如圖，用尺規(guī)作圖完成下列作圖步驟：①以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交射線、于點(diǎn)C、D；②以點(diǎn)B為圓心，以長為半徑畫，交射線于點(diǎn)，點(diǎn)F與點(diǎn)C在的異側(cè)）；③以點(diǎn)E為圓心，以長為半徑畫，交于點(diǎn)N，作射線即可得到，連接、．則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．， D．的依據(jù)是【答案】D【詳解】解：由作圖可知，，∴，∴，，∴，，∴，，∴A、B、C正確，故不符合要求；D錯(cuò)誤，故符合要求；故選：D．例2．（2023·陜西）尺規(guī)作圖（不寫作法，只保留作圖痕跡）如圖，已知點(diǎn)在的邊上，過點(diǎn)作直線，使得．【答案】作圖見詳解【詳解】解：如圖所示，作即可，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，作，以點(diǎn)圓心，以任意長（這里以線段）為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接；以點(diǎn)為圓心，以線段為半徑畫弧，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，以為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線；∵，∴，∴，∴，∴即為所求直線．模型02作角平分線考｜向｜預(yù)｜測(cè)作角平分線該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，在解答題中主要考查角平分線的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)作對(duì)應(yīng)圖形，難度系數(shù)不大，在各類考試中得分率較高。掌握角平分線的性質(zhì)是考試的重點(diǎn)，在應(yīng)用題型中，根據(jù)題意會(huì)進(jìn)行尺規(guī)作圖畫角平分線，有時(shí)依據(jù)題意畫平行線時(shí)也是畫角平分線。答｜題｜技｜巧第一步：以角的頂點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，交兩點(diǎn)M、N；第二步：以M點(diǎn)為圓心，MN的距離為半徑畫弧，再以N點(diǎn)為圓心，同樣長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P；第三步：連接角的頂點(diǎn)和P點(diǎn)，所畫直線即為所求；例1．（2024·山東泰安·一模）如圖，在中，，．小明按以下操作進(jìn)行尺規(guī)作圖：以為圓心，任意長為半徑畫弧，交、于點(diǎn)、點(diǎn)，分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，畫射線交于點(diǎn)；分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于、點(diǎn)，作直線交于，交于，連接．可以求得度．【答案】25【詳解】解：∵，．∴，根據(jù)作法得：垂直平分線段，∴，∴，∴，由作法得：平分，∴，故答案為：．例2．（2023·福建）如圖，，平分，且交于點(diǎn)C．(1)作的角平分線交于點(diǎn)F（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法和結(jié)論，保留作圖痕跡）；(2)根據(jù)（1）中作圖，連接，若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）如圖，為所作；（2）平分，，∵，，，，同理可得，，而，四邊形為平行四邊形，，四邊形是菱形．∴，，，，∴，∴∴四邊形的面積為．模型03作線段垂直平分線考｜向｜預(yù)｜測(cè)作線段垂直平分線該題型近年在尺規(guī)作圖題型中主要考①到兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)；②作三角形的外接圓；③找對(duì)稱軸（旋轉(zhuǎn)中心）；④找圓的圓心等幾個(gè)方面。讓學(xué)生真正理解線段垂直平分線的性質(zhì)是本節(jié)內(nèi)容的重心，尺規(guī)作線段垂直平分線是中考的必考內(nèi)容之一?？碱}常以選擇、填空等形式出現(xiàn)，該題型主要難點(diǎn)在熟練應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)，會(huì)畫線段的垂直平分線，難度系數(shù)不是很大，屬于容易得分項(xiàng)。答｜題｜技｜巧第一步：以線段任一端點(diǎn)為圓心，大于一半的長為半徑上下畫弧；第二步：以線段另一端點(diǎn)為圓心，同樣長為半徑畫弧，所畫弧交于兩點(diǎn)MN；第三步：連接MN，MN所在直線即為所求；例1．（2024·山東泰安·一模）如圖，在中，，．小明按以下操作進(jìn)行尺規(guī)作圖：以為圓心，任意長為半徑畫弧，交、于點(diǎn)、點(diǎn)，分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，畫射線交于點(diǎn)；分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于、點(diǎn)，作直線交于，交于，連接．可以求得度．【答案】25【詳解】解：∵，．∴，根據(jù)作法得：垂直平分線段，∴，∴，∴，由作法得：平分，∴，故答案為：．例2．（2024·廣東東莞·一模）如圖，在四邊形中，是對(duì)角線.(1)尺規(guī)作圖，作的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)O（不寫作法，保留作圖痕跡，并標(biāo)明字母）；(2)若，求證：.【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求；（2）證明：∵，∴，由作圖過程可知：，在和中，，∴，∴．模型04作垂線（過一點(diǎn)作垂線或圓的切線）考｜向｜預(yù)｜測(cè)作垂線（過一點(diǎn)作垂線或圓的切線）該題型主要包括①過直線上一點(diǎn)作垂線；②過直線外一點(diǎn)作垂線；③過圓上一點(diǎn)作切線；④作高等。幾種題型的核心點(diǎn)均是作線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行解題。答｜題｜技｜巧第一步：以所過點(diǎn)為圓心，以一定長度為半徑截取線段長（如果點(diǎn)在線段上以任意長度為半徑，如果點(diǎn)在線段外以大于點(diǎn)到線段的長為半徑）；第二步：作該線段的垂直平分線；第三步：過該點(diǎn)的線段垂直平分線即為所求；例1．（2023·江蘇）在矩形紙片中，，，現(xiàn)將矩形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕交于點(diǎn)(1)尺規(guī)作圖，畫出折痕；(2)判斷四邊形是什么特殊四邊形？并證明；(3)求折痕的長度？【答案】(1)見解析(2)四邊形是菱形．證明見解析(3)．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．；（2）解：四邊形是菱形．理由如下：∵四邊形是矩形，∴，∴．設(shè)與交于點(diǎn)，由題意可得，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．由折疊可知，，∴四邊形是菱形（3）解：∵四邊形是菱形，∴，∴，∴．設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解得，∴．由（2）知，四邊形是菱形，∴，，∴，∴．模型05僅用無刻度直尺作圖考｜向｜預(yù)｜測(cè)僅用無刻度直尺作圖該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在應(yīng)用題型中或者與幾何相結(jié)合的題型中，具有一定的綜合性和難度。無刻度直尺作圖，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵。答｜題｜技｜巧第一步：確定所求結(jié)論（一般作角相等或垂直）；第二步：無刻度直尺只能連線，根據(jù)題意連接線段長或射線；第三步：注意利用幾何知識(shí)點(diǎn)的性質(zhì)，比如說角相等的判定、圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)等；例1．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）實(shí)踐操作：如圖，是正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長都為1．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出等腰，使得點(diǎn)在格點(diǎn)上，，且；(2)僅用無刻度直尺作出的中位線，使得點(diǎn)分別在上，并保留作圖痕跡．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，即為所求；例2．（2024·天津河?xùn)|·一模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等邊三角形內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)，均在格點(diǎn)上．（Ⅰ）線段的長等于；（Ⅱ）若點(diǎn)在圓上，與相交于點(diǎn)，請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)，使為等邊三角形，并簡要說明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】見解析．【詳解】解：（Ⅰ）由網(wǎng)格可知，，故答案為：；（Ⅱ）如圖，取格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，連接并延長與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)；連接與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G，連接并延長與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)，連接并延長與圓相交于點(diǎn)，分別連接并延長相交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．理由：由作圖可得：，，，，，，，是等邊三角形．1．（2023·廣西）如圖，在中，，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)尺規(guī)作圖可知，是角平分線，，在中，，，，故選．2．（2023·廣西）如圖，在中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N．作直線，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．若，則的周長為（）A．25 B．22 C．19 D．18【答案】C【詳解】解：由題意可得，垂直平分，∴，∵的周長是，∴，∵，∴，∴的周長是19，故選：C．3．（2023·四川）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如下，則要說明，需要證明（寫出全等的簡寫）．【答案】【詳解】解：根據(jù)作圖可知：，，，從而可以利用判定其全等．故答案為：．4．（2023·山東）如圖，在中，．按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D和E，，，則的長為．【答案】【詳解】解：連接，如圖：由作圖可得，是的垂直平分線，∴，∵，∴，∴，在中，，故答案為：．5．（2023·廣東）如圖，點(diǎn)A是邊OM上一點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：在射線的上方，作（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若且與交于點(diǎn)B，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2），理由如下：∵，∴，∵，∴．6．（2023·山西）如圖，已知，(1)請(qǐng)以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，射線為一邊，在邊的下方利用尺規(guī)作，使得（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；(2)直接寫出直線與直線的位置關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：即為所求；（2）解：，理由如下由作圖知：，，，，，．7．（2023·福建）如圖，已知在中，點(diǎn)D在邊上，且．(1)用尺規(guī)作圖法，作的平分線，交于點(diǎn)P；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)在（1）的條件下，連接、求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）證明：∵平分，∴，在和中，，∴，∴．8．（2023·湖南）如圖，的斜邊，．(1)用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線l，分別交于點(diǎn)D，E（保留作圖痕跡，不要求寫作法、證明）；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：如圖，線段的垂直平分線l，為所求；（2）解：由作圖可得：，在中，，∴，，∵l是的垂直平分線，，，∴，∴．9．（2023·江蘇）如圖，已知在中，，以A為圓心，的長為半徑作圓，是的切線與的延長線交于點(diǎn)E．

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作的垂線交的延長線于點(diǎn)D．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，連接．①試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；②若，的半徑為3，求的長．【答案】(1)見解析(2)①與相切，理由見解析；②6【詳解】（1）如圖，為所作垂線；

（2）①與相切，理由如下∶在中，是的垂線，，且是的垂直平分線，，，與相切于點(diǎn)，，即，與相切；②在中，根據(jù)勾股定理，得：在中，10．（2023·安徽）如圖，在中，，D是上一點(diǎn)（D與C不重合）．(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)D作的垂線交于點(diǎn)E．作的平分線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H（保留作圖痕跡，不用寫作法）．(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）如圖，即為所求的垂線．即為所求的角平分線．（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵AF為的平分線，∴，∴，∴．11．（2023·湖北）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，三角形中任意一點(diǎn)經(jīng)平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，將三角形作同樣的平移得到三角形．(1)畫出平移后的三角形；(2)線段在平移的過程中掃過的面積為________；(3)連接，僅用無刻度直尺在線段上畫點(diǎn)D使；(4)若，點(diǎn)E在直線上，則的最小值為________．【答案】(1)見解析(2)18(3)見解析(4)【詳解】（1）解：點(diǎn)經(jīng)平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，可知三角形的平移方式為：向右平移4個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位，三角形如下圖：（2）由圖可知，線段在平移的過程中掃過的面積為四邊形的面積，由平移性質(zhì)可得：四邊形為平行四邊形，；（3）如圖，連接，將平移至處，作交于點(diǎn)D，即為所求；（4）由垂線段最短可知當(dāng)時(shí)，最短，，即，解得：．12．（2023·江西）如圖，在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，請(qǐng)僅用無刻度直尺，分別按下列要求作圖．(1)在圖①中，過點(diǎn)C作邊上的高線；(2)在圖②中，過點(diǎn)E作的平行線．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：連接，交于，再連接，并延長交于F，∵，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，又∵，∴點(diǎn)為三角形三條高的交點(diǎn)，∴，如圖所示，線段即為所求；（2）解：∵，D是的中點(diǎn)，∴，，∴，又∵，∴，∴，∵分別是的高，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．如圖所示，直線即為所求．1．（2024·貴州黔南·一模）如圖，已知，以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑畫?、伲謩e交于點(diǎn)E，F(xiàn)，再以點(diǎn)E為圓心，以的長為半徑畫弧，交弧①于點(diǎn)D，畫射線，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，連接，根據(jù)作圖過程可知：，，在和中，，，，，故選：C．2．（2024·天津·一模）如圖，在中，，分別以A，為圓心，大于長為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于，兩點(diǎn)，直線分別交，于點(diǎn)，，連接，則下列結(jié)論一定正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)作法可知：是線段的垂直平分線，∴，∵，∴，∴，即，則∴是的中位線，∴．故選B．3．如圖，在中，以點(diǎn)A為圓心AB長為半徑作弧交于點(diǎn)F，分別以點(diǎn)B、F為圓心，大于的長度為半徑作弧，交于點(diǎn)G，連接并延長交于點(diǎn)E，若，，則的長為．

【答案】【詳解】解：如圖，連接，

由作圖可知：，，，，∴，∵，，∴，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴．故答案為：．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求與的值；(2)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作直線，使，且與反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用鉛筆作圖）(3)求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)k的值為，m的值為12；(2)見解析(3)【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得，，解得：，一次函數(shù)關(guān)系式為，將點(diǎn)代入，得，解得：，，將代入，得，的值為，的值為；（2）如圖所示：（3）一次函數(shù)關(guān)系式為，，直線的函數(shù)關(guān)系式為，可聯(lián)立方程組，得，解得：，(舍去)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．5．（2024·湖北黃石·一模）如圖，平分，且交于點(diǎn)C．(1)作的平分線交于點(diǎn)D（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)（1）中作圖，連接，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖，射線為所求；（2）證明：∵，，平分，．，，同理可證，．又，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形．6．（2024·湖南長沙·一模）閱讀材料，完成下面問題：如圖，點(diǎn)A是直線外一點(diǎn)，利用直尺和圓規(guī)按如下步驟作圖．

（1）在直線上任取一點(diǎn)，畫線段．（2）以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．（3）分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧交于點(diǎn)，畫射線（4）以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，畫直線．(1)利用，可得到平分，請(qǐng)根據(jù)作圖過程，直接寫出這兩個(gè)三角形全等的判定依據(jù)；(2)若，，求線段的長．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）解：由作圖可知：，，∵，∴，∴，∴平分，綜上所述：這兩個(gè)三角形全等的判定依據(jù)；故答案為：；（2）解：過點(diǎn)A作，由作圖得，∴，∵平分，∴，在中，，∴，∴．7．如圖，點(diǎn)O為的對(duì)角線的中點(diǎn)．

(1)使用直尺和圓規(guī)，依以下作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；作法如下：①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M、N；②分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③過點(diǎn)O、P畫直線l，分別交邊，于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，．(2)求證：四邊形是菱形；(3)若，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形，如圖所示

（2）證明：在中，，∴，，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，由作圖可知，，即：，∴四邊形是菱形；（3）∵四邊形是菱形，，，∴，，∵，∴，過點(diǎn)作，∴，∴的面積．8．如圖，是菱形的對(duì)角線．(1)在線段上確定一點(diǎn)，使得（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：如圖所示，作線段的垂直平分線交于F，點(diǎn)F即為所求；（2）解：四邊形是菱形，，，∴，，又∵，∴，∴9．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是菱形的對(duì)角線，，

(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖作的垂直平分線，垂足為，交于；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）條件下，連接，求．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：如圖所示，直線即為所求；

（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∴，∵垂直平分線段，∴，∴，∴，∴，作于，則，

設(shè)，則，，，∴．10．如圖，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)，，反比例函數(shù)的圖象與線段交于點(diǎn)，．

(1)求反比例函數(shù)表達(dá)式．(2)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(3)（）中所作的垂直平分線分別與、線段交于點(diǎn)．連接，求證：是的平分線．【答案】(1)；(2)作圖見解析；(3)證明見解析．【詳解】（1）解：∵，，∴點(diǎn)，∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：如圖，以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)、點(diǎn)，連接，則為所求；

（3）解：如圖，過點(diǎn)作于，

∵，，∴點(diǎn)，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)，∴，∵，∴，∵點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，，∴是的平分線．11．（2024·江蘇南通·一模）如圖，已知矩形．(1)用無刻度的直尺和圓規(guī)作菱形，使點(diǎn)分別在邊上，（不寫作法，保留作圖痕跡，并給出證明．）(2)若，求菱形的周長．【答案】(1)圖見解析(2)20【詳解】（1）解：如圖，菱形即為所求作；垂直平分，，，矩形，，，又，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）解：設(shè)菱形邊長為x，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，解得，菱形周長．12．（2024·北京·一模）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，連接．(1)使用直尺和圓規(guī)，在圖中過點(diǎn)A作的切線，補(bǔ)全圖形（點(diǎn)P在上方，保留作圖痕跡）；(2)點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，連接并延長，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，若，，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：如圖，為的切線：（2）解：∵是的直徑，∴∴，∵為的切線，∴即∴∴∴∴，又∴AB=10，∴∵是的中點(diǎn)，∴∴∴∵∴，∴∴∴，∴13．如圖，在平行四邊形中，連接對(duì)角線，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)D作的垂線，垂足為F．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）問所作的