奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)

奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)一質(zhì)數(shù)與合數(shù)(1)一個(gè)數(shù)除了1與它本身,不再有別得約數(shù),這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(也叫做素?cái)?shù))。一個(gè)數(shù)除了1與它本身,還有別得約數(shù),這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。(2)自然數(shù)除0與1外,按約數(shù)得個(gè)數(shù)分為質(zhì)數(shù)與合數(shù)兩類(lèi)。任何一個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘得形式。要特別記住:0與1不就是質(zhì)數(shù),也不就是合數(shù)。(3)最小得質(zhì)數(shù)就是2,2就是唯一得偶質(zhì)數(shù),其她質(zhì)數(shù)都為奇數(shù);最小得合數(shù)就是4。(4)質(zhì)數(shù)就是一個(gè)數(shù),就是含有兩個(gè)約數(shù)得自然數(shù)。互質(zhì)數(shù)就是指兩個(gè)數(shù),就是公約數(shù)只有一得兩個(gè)數(shù),組成互質(zhì)數(shù)得兩個(gè)數(shù)可能就是兩個(gè)質(zhì)數(shù)(３與５),可能就是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)(３與４),可能就是兩個(gè)合數(shù)(４與９)或1與另一個(gè)自然數(shù)。(５)如果一個(gè)質(zhì)數(shù)就是某個(gè)數(shù)得約數(shù),那么就說(shuō)這個(gè)質(zhì)數(shù)就是這個(gè)數(shù)得質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘得形式表示出來(lái),叫做分解質(zhì)因數(shù)。(６)１００以?xún)?nèi)得質(zhì)數(shù)有２５個(gè):２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７.二整除性(１)概念一般地,如a、b、c為整數(shù),b≠0,且a÷b=c,即整數(shù)a除以整除b(b不等于0),除得得商c正好就是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)(或者說(shuō)余數(shù)就是0),我們就說(shuō),a能被b整除(或者說(shuō)b能整除a)。記作b｜a、否則,稱(chēng)為a不能被b整除,(或b不能整除a),記作ba。如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除,a就叫做b得倍數(shù),b就叫做a得約數(shù)。(２)性質(zhì)性質(zhì)1:(整除得加減性)如果a、b都能被c整除,那么它們得與與差也能被c整除。即:如果c｜a,c｜b,那么c｜(a±b)。例如:如果2｜10,2｜6,那么2｜(10＋6),并且2｜(10—6)。也就就是說(shuō),被除數(shù)加上或減去一些除數(shù)得倍數(shù)不影響除數(shù)對(duì)它得整除性。性質(zhì)2:如果b與c得積能整除a,那么b與c都能整除a、即:如果bc｜a,那么b｜a,c｜a。性質(zhì)3:(整除得互質(zhì)可積性)如果b、c都能整除a,且b與c互質(zhì),那么b與c得積能整除a。即:如果b｜a,c｜a,且(b,c)=1,那么bc｜a。例如:如果2｜28,7｜28,且(2,7)=1,那么(2×7)｜28。性質(zhì)4:(整除得傳遞性)如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。即:如果c｜b,b｜a,那么c｜a。例如:如果3｜9,9｜27,那么3｜27。(３)數(shù)得整除特征①能被2整除得數(shù)得特征:個(gè)位數(shù)字就是0、2、4、6、8得整數(shù)、②能被5整除得數(shù)得特征:個(gè)位就是0或5。突破口③能被3(或9)整除得數(shù)得特征:各個(gè)數(shù)位數(shù)字之與能被3(或9)整除。判斷能被3(或9)整除得數(shù)還可以用“棄３(或９)法”:例如:８３５１７４６能被９整除么？解:８＋１＝９,３＋６＝９,５＋４＝９,在數(shù)字中只剩７,７不就是９得倍數(shù),所以８３５１７４６不能被９整除。④能被4(或25)整除得數(shù)得特征:末兩位數(shù)能被4(或25)整除。⑤能被8(或125)整除得數(shù)得特征:末三位數(shù)能被8(或125)整除。⑥能被11整除得數(shù)得特征:這個(gè)整數(shù)得奇數(shù)位上得數(shù)字之與與偶數(shù)位上得數(shù)字之與得差(大減小)就是11得倍數(shù)。⑦能被7(11或13)整除得數(shù)得特征:一個(gè)整數(shù)得末三位數(shù)與末三位以前得數(shù)字所組成得數(shù)之差(以大減小)能被7(11或13)整除,依此反復(fù)檢驗(yàn)。例如:判斷能否被13整除？解:把分為3546與725兩個(gè)數(shù)、因?yàn)?546-725=2821、再把2821分為2與821兩個(gè)數(shù),因?yàn)?21—2＝819,又13｜819,所以13｜2821,進(jìn)而13｜3546725、上述辦法也可以用來(lái)判斷余數(shù)與末位數(shù);對(duì)于其她得數(shù),可以將其分解成上述幾個(gè)互質(zhì)得數(shù)得乘積,再逐個(gè)考慮。三約數(shù)與倍數(shù)(１)公約數(shù)與最大公約數(shù)幾個(gè)數(shù)公有得約數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)得公約數(shù);其中最大得一個(gè),叫做這幾個(gè)數(shù)得最大公約數(shù)。例如:４就是１２與１６得最大公約數(shù),可記做:(１２,１６)＝４(２)公倍數(shù)與最小公倍數(shù)幾個(gè)數(shù)公有得倍數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)得公倍數(shù);其中最小得一個(gè),叫做這幾個(gè)數(shù)得最小公倍數(shù)。例如:36就是12與18得最小公倍數(shù),記作[12,18]=36。(３)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)得關(guān)系如果用a與b表示兩個(gè)自然數(shù)１、那么這兩個(gè)自然數(shù)得最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系就是:(a,b)×[a,b]=a×b。(多用于求最小公倍數(shù))２、(a,b)≤a,b≤[a,b]３、[a,b]就是(a,b)得倍數(shù),(a,b)就是[a,b]得約數(shù)４、(a,b)就是a＋b與a－b得約數(shù),也就是(a,b)＋[a,b]與(a,b)－[a,b]得約數(shù)(４)求最大公約數(shù)得方法很多,主要推薦:短除法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉(zhuǎn)相除法。例如:１、(短除法)用一個(gè)數(shù)去除30、60、75,都能整除,這個(gè)數(shù)最大就是多少？解:∵(30,60,75)=5×3=15這個(gè)數(shù)最大就是15。２、(分解質(zhì)因數(shù)法)求１００１與３０８得最大公約數(shù)就是多少？解:１００１＝７×１１×１３(這個(gè)質(zhì)分解常用到),３０８＝７×１１×４所以最大公約數(shù)就是７×１１＝７７在這種方法中,先將數(shù)進(jìn)行質(zhì)分解,而后取它們“所有共有得質(zhì)因數(shù)之積”便就是最大公約數(shù)。３、(輾轉(zhuǎn)相除法)用輾轉(zhuǎn)相除法求4811與1981得最大公約數(shù)。解:∵4811=2×1981+849,1981=2×849+283,849=3×283,∴(4811,1981)=283。補(bǔ)充說(shuō)明:如果要求三個(gè)或更多得數(shù)得最大公約數(shù),可以先求其中任意兩個(gè)數(shù)得最大公約數(shù),再求這個(gè)公約數(shù)與另外一個(gè)數(shù)得最大公約數(shù),這樣求下去,直至求得最后結(jié)果。(５)約數(shù)個(gè)數(shù)公式一個(gè)合數(shù)得約數(shù)個(gè)數(shù),等于它得質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)得個(gè)數(shù)(即指數(shù))加1得連乘得積。例如:求240得約數(shù)得個(gè)數(shù)。解:∵240＝24×31×51,∴240得約數(shù)得個(gè)數(shù)就是(4＋1)×(1+1)×(1＋1)=20,∴240有20個(gè)約數(shù)。四奇偶性(1)奇數(shù)與偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)與偶數(shù)兩大類(lèi)、能被2整除得數(shù)叫做偶數(shù),不能被2整除得數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂?k(k為整數(shù))表示,奇數(shù)則可以用2k+1(k為整數(shù))表示。特別注意,因?yàn)?能被2整除,所以0就是偶數(shù)。最小得奇數(shù)就是１,最小得偶數(shù)就是０.(2)奇數(shù)與偶數(shù)得運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1:偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù),奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)。性質(zhì)2:偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)。性質(zhì)3:偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得偶數(shù)。性質(zhì)4:奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì)5:偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù),奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)。偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)(３)反證法例:桌上有9只杯子,全部口朝上,每次將其中6只同時(shí)“翻轉(zhuǎn)”、請(qǐng)說(shuō)明:無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次這樣得“翻轉(zhuǎn)”,都不能使9只杯子全部口朝下。解:要使一只杯子口朝下,必須經(jīng)過(guò)奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”、要使9只杯子口全朝下,必須經(jīng)過(guò)9個(gè)奇數(shù)之與次“翻轉(zhuǎn)”、即“翻轉(zhuǎn)”得總次數(shù)為奇數(shù)、但就是,按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)6只杯子,無(wú)論經(jīng)過(guò)