2024屆貴州省六盤水市高三第一次診斷性監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省六盤水市2024屆高三第一次診斷性監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)全集，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以，又，所?故選：D.2.已知a，b都是正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由可得；當(dāng)時(shí)，可得.則“”是“”的充要條件.故選：A.3.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故選：A.4.若為奇函數(shù)，則（）A.－1 B.0 C. D.1〖答案〗D〖解析〗的定義域?yàn)镽，若為奇函數(shù)，則恒成立，整理得恒成立，所以，即.故選：D.5.已知O，P，N在所在平面內(nèi)，滿足，，且，則點(diǎn)O，P，N依次是的（）A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，內(nèi)心C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，內(nèi)心〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以點(diǎn)O到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以O(shè)為的外心；記BC的中點(diǎn)為D，因?yàn)椋?，所以P，A，D三點(diǎn)共線，故點(diǎn)P在中線AD上，同理，點(diǎn)P也在的另外兩條中線上，即點(diǎn)P為中線的交點(diǎn)，即為重心；如圖，作，因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)N在BE上，同理，點(diǎn)N在的另外兩條高上，即為高的交點(diǎn)，所以N為的垂心.故選：C.6.已知是相互垂直的單位向量.若向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭窍嗷ゴ怪钡膯挝幌蛄浚?又，，所以，所以，又，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B7.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以；又因?yàn)?，所以；綜上所述：.故選：C.8.盤興鐵路全長98.309公里，是貴州省“市市通高鐵”的最后一個(gè)項(xiàng)目，盤興鐵路全線橋隧長為89.13公里，是目前貴州高鐵中橋隧比最高的線路.如圖所示，施工隊(duì)為了估計(jì)盤興鐵路某隧道DE的長度，在山頂P點(diǎn)處測得三點(diǎn)A，B，C的俯角依次為，，，其中A，B，C，D，E為山腳兩側(cè)共線的五點(diǎn).現(xiàn)預(yù)沿直線AC挖掘一條隧道，測得米，米，米，估計(jì)隧道DE的長度為（）A.米 B.300米 C.350米 D.400米〖答案〗C〖解析〗如圖，過點(diǎn)作，垂足為，由題意可知：，則均為等腰直角三角形，可得，且，可得，因?yàn)?，則，解得，所以，即隧道DE的長度為350米.故選：C.二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.若，，則B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則C.若，，且，則的最小值為9D.命題“，”的否定為“，”〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)：取，顯然滿足，，但，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：記數(shù)列的公差為d，則，，所以，B正確；C選項(xiàng)：因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，C正確；D選項(xiàng)：命題“，”的否定為“，”，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)，將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.B.在區(qū)間上有6個(gè)零點(diǎn)C.直線是圖象一條對稱軸D.若對任意的恒成立，則〖答案〗ABD〖解析〗將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得，故A錯(cuò)誤；令，得，所以，又，所以，即在區(qū)間上有6個(gè)零點(diǎn)，故B正確；因?yàn)?，所以直線不是圖象的一條對稱軸，故C錯(cuò)誤；對任意的恒成立，即對任意的恒成立，由，得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于直線對稱，且.當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.為偶函數(shù) B.C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，所以，所以函?shù)是以為周期的周期函數(shù)，又因函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，又，所以，所以，所以為偶函數(shù)，故A正確；當(dāng)時(shí)，，，故B錯(cuò)誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)且的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，而函數(shù)在都是減函數(shù)，所以函數(shù)在是減函數(shù)，又因?yàn)榕己瘮?shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為e B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn) D.不等式存在唯一整數(shù)解〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，A錯(cuò)誤；由上知，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，B正確；記，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于有且只有一個(gè)根，等價(jià)于與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以，當(dāng)時(shí)，與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).因?yàn)?，?dāng)時(shí)，易知，，所以，此時(shí)與的圖象沒有交點(diǎn).綜上，與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，C正確；記，因?yàn)?，，，所以函?shù)與的圖象在區(qū)間和都存在零點(diǎn)，分別記為，如圖，在區(qū)間上不等式存在唯一整數(shù)解0.易知，當(dāng)時(shí)，，不等式無實(shí)數(shù)解.當(dāng)時(shí)，記，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，不等式無實(shí)數(shù)解.綜上，不等式存在唯一整數(shù)解0，D正確.故選：BCD三、填空題13.已知向量，.若，則______.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)?，所以，解?故〖答案〗為：1.14.已知，，且，，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，且，，則，，可得，即.故〖答案〗為：.15.已知圓M圓心在曲線上，且圓M與直線相切，則圓M面積的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由圓M圓心在曲線上，可設(shè)，又圓M與直線相切，則圓M的的半徑，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以圓M的的半徑，所以圓M面積的最小值為.故〖答案〗為：.16.在正方體中，以點(diǎn)A為球心，棱AB為半徑的球?qū)⒄襟w截為P（含球心的部分）和Q兩部分，則四邊形被球A截得的區(qū)域面積與P的表面積之比為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)正方體的棱長為1，由題可知為球的，故P的表面積為，設(shè)交于點(diǎn)，則，⊥，又⊥平面，平面，故⊥，因?yàn)槠矫?，，所以⊥平面，因?yàn)椋室詾閳A心，半徑為的半圓即為四邊形被球A截得的區(qū)域，如圖所示，故面積為，故四邊形被球A截得的區(qū)域面積與P的表面積之比為.故〖答案〗為：四、解答題17.已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.（1）求的〖解析〗式；（2）當(dāng)時(shí)，求使成立的x的取值集合.解：（1）由圖可知，，所以，又函數(shù)圖象過點(diǎn)，所以，即，得，又，所以，所以.（2）由（1）知，由，得，解得，所以使成立的x的取值集合為18.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足，，.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）記等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則由題可得，，解得，又等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以，.（2）由（1）可得，，所以19.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).水城春茶因富含有機(jī)茶硒和十余種人體必需的微量元素而享譽(yù)貴州省內(nèi)外.經(jīng)驗(yàn)表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r，飲用口感最佳.為方便控制水溫，某研究小組采用了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體的初始溫度是，室溫是，則經(jīng)過時(shí)間t（單位：分鐘）后物體的溫度（單位：）滿足，其中k為正常數(shù).該研究小組在的室溫下，通過多次測量取平均值的方法，測得200mL初始溫度為的水的溫度降至相應(yīng)溫度所需時(shí)間如下表所示：從降至所需時(shí)間3.4分鐘從降至所需時(shí)間5.0分鐘（1）從上表中選取一組數(shù)據(jù)求出k的值（精確到0.01），并根據(jù)上述冷卻模型寫出冷卻時(shí)間t關(guān)于冷卻后水溫的函數(shù)〖解析〗式；（2）在（1）的條件下，現(xiàn)用200mL水在的室溫下泡制水城春茶，從泡制到獲得最佳飲用口感約需要多少分鐘？（精確到0.1分鐘）（參考數(shù)據(jù)：，，，）解：（1）由題可知，有，若取第一組數(shù)據(jù)，則有，得，此時(shí)〖解析〗式為；若取第二組數(shù)據(jù)，則有，解得，此時(shí)〖解析〗式為.綜上，所求〖解析〗式為（2）由（1）知，，令，則，解得.所以，從泡制到獲得最佳飲用口感約需要分鐘.20.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求B；（2）若的中線BD長為，求的最大值.解：（1）因?yàn)?，所以，又，所以，所以，整理得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，?（2）因?yàn)镈為AC中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，整理得，所以，得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最大值為8.21.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知N）.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由N*）得N*，），兩式相減得：，即N*，），∵是等比數(shù)列，所以；又則，∴，∴（2）由（1）知，則∵，∴∵…①-②得∴22.已知函數(shù).（1）若，求的最值；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，易知，在R上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，有最小值，無最大值.（2）令，得.記，則，記，因?yàn)?，所以在R上單調(diào)遞減，又，所以，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，有最大值.而，又當(dāng)時(shí)，恒成立，所以可得函數(shù)的草圖如圖所示，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為.貴州省六盤水市2024屆高三第一次診斷性監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)全集，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，所以，又，所?故選：D.2.已知a，b都是正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由可得；當(dāng)時(shí)，可得.則“”是“”的充要條件.故選：A.3.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故選：A.4.若為奇函數(shù)，則（）A.－1 B.0 C. D.1〖答案〗D〖解析〗的定義域?yàn)镽，若為奇函數(shù)，則恒成立，整理得恒成立，所以，即.故選：D.5.已知O，P，N在所在平面內(nèi)，滿足，，且，則點(diǎn)O，P，N依次是的（）A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，內(nèi)心C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，內(nèi)心〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以點(diǎn)O到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以O(shè)為的外心；記BC的中點(diǎn)為D，因?yàn)?，所以，所以P，A，D三點(diǎn)共線，故點(diǎn)P在中線AD上，同理，點(diǎn)P也在的另外兩條中線上，即點(diǎn)P為中線的交點(diǎn)，即為重心；如圖，作，因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)N在BE上，同理，點(diǎn)N在的另外兩條高上，即為高的交點(diǎn)，所以N為的垂心.故選：C.6.已知是相互垂直的單位向量.若向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭窍嗷ゴ怪钡膯挝幌蛄?，所?又，，所以，所以，又，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B7.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以；又因?yàn)?，所以；綜上所述：.故選：C.8.盤興鐵路全長98.309公里，是貴州省“市市通高鐵”的最后一個(gè)項(xiàng)目，盤興鐵路全線橋隧長為89.13公里，是目前貴州高鐵中橋隧比最高的線路.如圖所示，施工隊(duì)為了估計(jì)盤興鐵路某隧道DE的長度，在山頂P點(diǎn)處測得三點(diǎn)A，B，C的俯角依次為，，，其中A，B，C，D，E為山腳兩側(cè)共線的五點(diǎn).現(xiàn)預(yù)沿直線AC挖掘一條隧道，測得米，米，米，估計(jì)隧道DE的長度為（）A.米 B.300米 C.350米 D.400米〖答案〗C〖解析〗如圖，過點(diǎn)作，垂足為，由題意可知：，則均為等腰直角三角形，可得，且，可得，因?yàn)?，則，解得，所以，即隧道DE的長度為350米.故選：C.二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.若，，則B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則C.若，，且，則的最小值為9D.命題“，”的否定為“，”〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)：取，顯然滿足，，但，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：記數(shù)列的公差為d，則，，所以，B正確；C選項(xiàng)：因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，C正確；D選項(xiàng)：命題“，”的否定為“，”，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)，將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.B.在區(qū)間上有6個(gè)零點(diǎn)C.直線是圖象一條對稱軸D.若對任意的恒成立，則〖答案〗ABD〖解析〗將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得，故A錯(cuò)誤；令，得，所以，又，所以，即在區(qū)間上有6個(gè)零點(diǎn)，故B正確；因?yàn)椋灾本€不是圖象的一條對稱軸，故C錯(cuò)誤；對任意的恒成立，即對任意的恒成立，由，得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于直線對稱，且.當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.為偶函數(shù) B.C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，所以，所以函?shù)是以為周期的周期函數(shù)，又因函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，又，所以，所以，所以為偶函數(shù)，故A正確；當(dāng)時(shí)，，，故B錯(cuò)誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)且的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，而函數(shù)在都是減函數(shù)，所以函數(shù)在是減函數(shù)，又因?yàn)榕己瘮?shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為e B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn) D.不等式存在唯一整數(shù)解〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，A錯(cuò)誤；由上知，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，B正確；記，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于有且只有一個(gè)根，等價(jià)于與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以，當(dāng)時(shí)，與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).因?yàn)?，?dāng)時(shí)，易知，，所以，此時(shí)與的圖象沒有交點(diǎn).綜上，與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，C正確；記，因?yàn)?，，，所以函?shù)與的圖象在區(qū)間和都存在零點(diǎn)，分別記為，如圖，在區(qū)間上不等式存在唯一整數(shù)解0.易知，當(dāng)時(shí)，，不等式無實(shí)數(shù)解.當(dāng)時(shí)，記，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，不等式無實(shí)數(shù)解.綜上，不等式存在唯一整數(shù)解0，D正確.故選：BCD三、填空題13.已知向量，.若，則______.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)?，所以，解?故〖答案〗為：1.14.已知，，且，，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，且，，則，，可得，即.故〖答案〗為：.15.已知圓M圓心在曲線上，且圓M與直線相切，則圓M面積的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由圓M圓心在曲線上，可設(shè)，又圓M與直線相切，則圓M的的半徑，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以圓M的的半徑，所以圓M面積的最小值為.故〖答案〗為：.16.在正方體中，以點(diǎn)A為球心，棱AB為半徑的球?qū)⒄襟w截為P（含球心的部分）和Q兩部分，則四邊形被球A截得的區(qū)域面積與P的表面積之比為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)正方體的棱長為1，由題可知為球的，故P的表面積為，設(shè)交于點(diǎn)，則，⊥，又⊥平面，平面，故⊥，因?yàn)槠矫妫?，所以⊥平面，因?yàn)?，故以為圓心，半徑為的半圓即為四邊形被球A截得的區(qū)域，如圖所示，故面積為，故四邊形被球A截得的區(qū)域面積與P的表面積之比為.故〖答案〗為：四、解答題17.已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.（1）求的〖解析〗式；（2）當(dāng)時(shí)，求使成立的x的取值集合.解：（1）由圖可知，，所以，又函數(shù)圖象過點(diǎn)，所以，即，得，又，所以，所以.（2）由（1）知，由，得，解得，所以使成立的x的取值集合為18.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足，，.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）記等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則由題可得，，解得，又等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以，.（2）由（1）可得，，所以19.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).水城春茶因富含有機(jī)茶硒和十余種人體必需的微量元素而享譽(yù)貴州省內(nèi)外.經(jīng)驗(yàn)表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r，飲用口感最佳.為方便控制水溫，某研究小組采用了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體的初始溫度是，室溫是，則經(jīng)過時(shí)間t（單位：分鐘）后物體的溫度（單位：）滿足，其中k為正常數(shù).該研究小組在的室溫下，通過多次測量取平均值的方法，測得200mL初始溫度為的水的溫度降至相應(yīng)溫度所需時(shí)間如下表所示：從降