2024屆河南省平許濟洛高三上學期第一次質量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省平許濟洛2024屆高三上學期第一次質量檢測數(shù)學試題一、選擇題1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，則，所以.故選：D.2.復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以可化為所以，所以.故選：C..3.已知橢圓的離心率為分別為的左、右頂點，為的上頂點．若，則橢圓的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗顯然離心率，解得，即，分別為C的左右頂點，B為上頂點，則，，于是，而，即，又，因此聯(lián)立解得，所以橢圓的方程為.故選：B.4.過圓內點有若干條弦，它們的長度構成公差為d的等差數(shù)列，且，其中分別為過點的圓的最短弦長和最長弦長，則的取值集合為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知：圓的圓心為，半徑，則，可知，因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，又因為且，則，所以的取值集合為.故選：C.5.如圖，正方形中，是線段上的動點，且，則的最小值為（）A. B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗正方形中，，則，而，則，又點共線，于是，即，而，因此，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值.故選：C6.定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調遞增．若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由以及偶函數(shù)可得，故，由此可得，即函數(shù)的周期是4．偶函數(shù)在,上單調遞增，函數(shù)在,上單調遞減．，,故即．故選：A.7.2023賀歲檔電影精彩紛呈，小明期待去影院觀看．小明家附近有甲、乙兩家影院，小明第一天去甲、乙兩家影院觀影的概率分別為和．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率為；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率為．若小明第二天去了甲影院，則第一天去乙影院的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設小明第一天去甲影院為事件A，第二天去甲影院為事件B，小明第一天去乙影院為事件C，第二天去乙影院為事件D.故，由可得，故，則小明第二天去了甲影院，則第一天去乙影院的概率為.故選：D8.已知，當時，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，當時，，即，，令，則，因為恒成立，故在R上單調遞增，故，即，令，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在處取得極大值，也最大值，最大值為，故，解得.故選：B.二、選擇題9.已知向量，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.“”是“與的夾角為鈍角”的充要條件D.若，則在上的投影向量的坐標為〖答案〗ABD〖解析〗選項A，若，則，又，則，則，故，A項正確；選項B，，若，則，解得，B項正確；選項C，，若，則，其中當時，與共線且反向，此時與的夾角為鈍角，故與的夾角為鈍角，即“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件，C項錯誤；選項D，若，則，又，則，則在上的投影向量的坐標，故D正確.故選：ABD.10.小張等四人去甲、乙、丙三個景點旅游，每人只去一個景點，記事件A為“恰有兩人所去景點相同”，事件為“只有小張去甲景點”，則（）A.這四人不同的旅游方案共有64種 B.“每個景點都有人去”的方案共有72種C. D.“四個人只去了兩個景點”的概率是〖答案〗CD〖解析〗A選項，每個人都有3種選擇，故共有種旅游方案，A錯誤；B選項，每個景點都有人去，則必有1個景點去了2個人，另外兩個景點各去1人，故有種方案，B錯誤；C選項，恰有兩人所去景點相同，即有1個景點去了2個人，另外兩個景點各去1人，由B選項可知，，又事件，即小張去甲景點，另外3人有兩人去了同一個景點，其余1人去另一個景點，故，所以，C正確；D選項，“四個人只去了兩個景點”，分為2種情況，第一，有3人去了同一個景點，另外一個去另外一個景點，則有種方案，第二，2人去了同一個景點，另外2人去了另一個景點，故有種方案，由A選項可知，這四人不同的旅游方案共有81種，故“四個人只去了兩個景點”的概率為，D正確.故選：CD.11.在棱長為4的正方體中，分別為線段上的動點，下列結論正確的是（）A.平面B.過的平面截該正方體，所得截面面積的最大值為16C.當為線段中點時，異面直線與所成角的余弦值為D.當三棱錐的體積最大時，其外接球表面積為〖答案〗ACD〖解析〗在棱長為4的正方體中，對于A，連接，正方體的對角面是矩形，則，而平面，平面，于是平面，同理平面，又平面，因此平面平面，而平面，所以平面，A正確；對于B，當與重合，與重合時，平面是過的平面，矩形是該平面截該正方體所得截面，而矩形的面積為，B錯誤；對于C，以點A為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設異面直線與所成的角為，則，C正確；對于D，三棱錐的體積最大，當且僅當面積最大，當且僅當與重合，此時三棱錐的外接球即為正方體的外接球，其球半徑，所以當三棱錐的體積最大時，其外接球表面積為，D正確.故選：ACD12.已知函數(shù)，則（）A.若函數(shù)的圖像關于直線對稱，則的值可能為3B.若關于的方程在上恰有四個實根，則的取值范圍為C.若將的圖像向右平移個單位長度，所得圖像關于原點對稱，則的最小值是1D.若函數(shù)在上單調遞增，則〖答案〗BC〖解析〗對于A，因為函數(shù)的圖像關于直線對稱，所以，則，因為，則值不可能為3，故A錯誤；對于B，當時，，若在上恰有四個實根，則，解得，故B正確；對于C，由已知得，因為函數(shù)關于原點對稱，則為奇函數(shù)，所以，即，因為，所以的最小值是1，故C正確；對于D，當時，，因為，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上不單調，故D錯誤．故選：BC．三、填空題13.已知等比數(shù)列的前項和為．若為和的等差中項，，則______．〖答案〗11〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，為和的等差中項，，即，化簡得，則，又，即，代入，解得，故，故〖答案〗為：.14.商場為改進服務質量，提升顧客購物體驗，從2023年第三季度消費過的顧客中隨機抽取部分人進行滿意度問卷調查．并將這部分人滿意度的得分分成以下6組：，統(tǒng)計結果如圖所示．那么該商場顧客滿意度得分的第60百分位數(shù)為______．〖答案〗75〖解析〗由圖可知，第1個小矩形面積為0.1，第2個小矩形面積為0.15，第,3個小矩形面積為0.2，第4個小矩形面積為0.3，則第60百分位數(shù)位于內，設60百分位數(shù)為，則有，則，所以商場顧客滿意度得分的第60百分位數(shù)為75.故〖答案〗為：7515.已知為銳角，，則______．〖答案〗〖解析〗由，得，解得，，由為銳角，，知，，于是，所以.故〖答案〗為：16.已知雙曲線，過其上焦點的直線與圓相切于點A，并與雙曲線的一條漸近線交于點不重合）．若，則雙曲線的離心率為______．〖答案〗〖解析〗由題意得，漸近線方程，設過其上焦點的直線方程為，則圓心到直線的距離為，解得，不妨取負值，如圖所示，故過其上焦點的直線方程為，聯(lián)立與可得，，解得，聯(lián)立與，可得，此時，重合，舍去，聯(lián)立與，可得，此時不重合，滿足要求，因為，所以，故，化簡得，又，故，即，解得，雙曲線的離心率為.故〖答案〗為：四、解答題17.銳角的內角的對邊分別為，設（1）求；（2）若，求的面積的最大值．解：（1）已知銳角中，則，，，是銳角，，，，即，，即；（2），，，由余弦定理得：，，即，，當且僅當時，等號成立，的面積的最大值為．18.設數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項利．解：（1）由，得，即，解得（舍）或，當時，，當時，，所以，.（2），①則，②①-②：.所以，所以．19.“馬街書會”是流行于河南省寶豐縣的傳統(tǒng)民俗活動，為國家級非物質文化遺產(chǎn)之一．每年農歷正月十三來自省內外的說書藝人負鼓攜琴，匯集于此，說書亮藝，河南墜子、道情、曲子、琴書等曲種應有盡有，規(guī)模壯觀．為了解人們對該活動的喜愛程度，現(xiàn)隨機抽取200人進行調查統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：不喜愛喜愛合計男性90120女性25合計200附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別與對該活動的喜愛程度有關聯(lián)？（2）為宣傳曲藝文化知識，當?shù)匚幕衷跁鴷辖M織了戲曲知識競賽活動．活動規(guī)定從8道備選題中隨機抽取4道題進行作答．假設在8道備選題中，戲迷甲正確完成每道題的概率都是，且每道題正確完成與否互不影響；戲迷乙只能正確完成其中的6道題．①求戲迷甲至少正確完成其中3道題的概率；②設隨機變量表示戲迷乙正確完成題個數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．解：（1）補全的列聯(lián)表如下：不喜愛喜愛合計男性3090120女性255580合計55145200根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此我們可以認為成立，即認為對該場活動的喜愛程度與性別無關．（2）①記“戲迷甲至少正確完成其中3道題”為事件A，則．②的可能取值為，，，的分布列為；X234P數(shù)學期望.20.如圖，在三棱臺中，分別為上的點，平面平面．（1）求證：平面；（2）若，求平面和平面的夾角的余弦值．（1）證明：平面平面，平面平面，平面平面．四邊形為平行四邊形，則．為的中點．同理為的中點，則，．又且四邊形是平行四邊形，則．又．又平面，平面；（2）解：．以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系．為等腰直角三角形，即．則，，．設平面的一個法向量為．由，取，得；設平面的一個法向量為．由，取，得．．設平面和平面的夾角為，則．平面和平面的夾角的余弦值．21.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)和的圖象都與平行于軸的同一條直線相切，求的值；（2）若函數(shù)有兩個零點，證明：．（1）解：由題意：函數(shù)的定義域為，，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，由可得，圖象與直線相切．，當時，，當時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，即圖象與直線相切．兩函數(shù)圖象均與平行于軸的同一條直線相切，則，即．（2）證明：，令，由，得，函數(shù)在上為減函數(shù)，故，即即，不妨設，要證，只需證，只需證，即證，因為，只需證，即，令，則，在上單調遞增，，原題得證．22.已知拋物線，直線垂直于軸，與交于兩點，為坐標原點，過點且平行于軸的直線與直線交于點，記動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）點在直線上運動，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，在平面內是否存在定點，使得？若存在，請求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）設，則，由題意線垂直于軸，與交于兩點，知，過點且平行于軸的直線方程為：，直線的方程為：，令，得，即，由得，因為在拋物線上，即，則，化簡得，由題意知不重合，故，所以曲線的方程為（2）由（1）知曲線的方程為，點在直線上運動，當點在特殊位置時，兩個切點關于軸對稱，故要使得，則點在軸上．故設，曲線的方程為，求導得，所以切線的斜率，直線的方程為，又點在直線上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韋達定理得，，當時，恒成立，所以存在定點，使得恒成立.河南省平許濟洛2024屆高三上學期第一次質量檢測數(shù)學試題一、選擇題1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，則，所以.故選：D.2.復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以可化為所以，所以.故選：C..3.已知橢圓的離心率為分別為的左、右頂點，為的上頂點．若，則橢圓的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗顯然離心率，解得，即，分別為C的左右頂點，B為上頂點，則，，于是，而，即，又，因此聯(lián)立解得，所以橢圓的方程為.故選：B.4.過圓內點有若干條弦，它們的長度構成公差為d的等差數(shù)列，且，其中分別為過點的圓的最短弦長和最長弦長，則的取值集合為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知：圓的圓心為，半徑，則，可知，因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，又因為且，則，所以的取值集合為.故選：C.5.如圖，正方形中，是線段上的動點，且，則的最小值為（）A. B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗正方形中，，則，而，則，又點共線，于是，即，而，因此，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值.故選：C6.定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調遞增．若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由以及偶函數(shù)可得，故，由此可得，即函數(shù)的周期是4．偶函數(shù)在,上單調遞增，函數(shù)在,上單調遞減．，,故即．故選：A.7.2023賀歲檔電影精彩紛呈，小明期待去影院觀看．小明家附近有甲、乙兩家影院，小明第一天去甲、乙兩家影院觀影的概率分別為和．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率為；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率為．若小明第二天去了甲影院，則第一天去乙影院的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設小明第一天去甲影院為事件A，第二天去甲影院為事件B，小明第一天去乙影院為事件C，第二天去乙影院為事件D.故，由可得，故，則小明第二天去了甲影院，則第一天去乙影院的概率為.故選：D8.已知，當時，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，當時，，即，，令，則，因為恒成立，故在R上單調遞增，故，即，令，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在處取得極大值，也最大值，最大值為，故，解得.故選：B.二、選擇題9.已知向量，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.“”是“與的夾角為鈍角”的充要條件D.若，則在上的投影向量的坐標為〖答案〗ABD〖解析〗選項A，若，則，又，則，則，故，A項正確；選項B，，若，則，解得，B項正確；選項C，，若，則，其中當時，與共線且反向，此時與的夾角為鈍角，故與的夾角為鈍角，即“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件，C項錯誤；選項D，若，則，又，則，則在上的投影向量的坐標，故D正確.故選：ABD.10.小張等四人去甲、乙、丙三個景點旅游，每人只去一個景點，記事件A為“恰有兩人所去景點相同”，事件為“只有小張去甲景點”，則（）A.這四人不同的旅游方案共有64種 B.“每個景點都有人去”的方案共有72種C. D.“四個人只去了兩個景點”的概率是〖答案〗CD〖解析〗A選項，每個人都有3種選擇，故共有種旅游方案，A錯誤；B選項，每個景點都有人去，則必有1個景點去了2個人，另外兩個景點各去1人，故有種方案，B錯誤；C選項，恰有兩人所去景點相同，即有1個景點去了2個人，另外兩個景點各去1人，由B選項可知，，又事件，即小張去甲景點，另外3人有兩人去了同一個景點，其余1人去另一個景點，故，所以，C正確；D選項，“四個人只去了兩個景點”，分為2種情況，第一，有3人去了同一個景點，另外一個去另外一個景點，則有種方案，第二，2人去了同一個景點，另外2人去了另一個景點，故有種方案，由A選項可知，這四人不同的旅游方案共有81種，故“四個人只去了兩個景點”的概率為，D正確.故選：CD.11.在棱長為4的正方體中，分別為線段上的動點，下列結論正確的是（）A.平面B.過的平面截該正方體，所得截面面積的最大值為16C.當為線段中點時，異面直線與所成角的余弦值為D.當三棱錐的體積最大時，其外接球表面積為〖答案〗ACD〖解析〗在棱長為4的正方體中，對于A，連接，正方體的對角面是矩形，則，而平面，平面，于是平面，同理平面，又平面，因此平面平面，而平面，所以平面，A正確；對于B，當與重合，與重合時，平面是過的平面，矩形是該平面截該正方體所得截面，而矩形的面積為，B錯誤；對于C，以點A為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設異面直線與所成的角為，則，C正確；對于D，三棱錐的體積最大，當且僅當面積最大，當且僅當與重合，此時三棱錐的外接球即為正方體的外接球，其球半徑，所以當三棱錐的體積最大時，其外接球表面積為，D正確.故選：ACD12.已知函數(shù)，則（）A.若函數(shù)的圖像關于直線對稱，則的值可能為3B.若關于的方程在上恰有四個實根，則的取值范圍為C.若將的圖像向右平移個單位長度，所得圖像關于原點對稱，則的最小值是1D.若函數(shù)在上單調遞增，則〖答案〗BC〖解析〗對于A，因為函數(shù)的圖像關于直線對稱，所以，則，因為，則值不可能為3，故A錯誤；對于B，當時，，若在上恰有四個實根，則，解得，故B正確；對于C，由已知得，因為函數(shù)關于原點對稱，則為奇函數(shù)，所以，即，因為，所以的最小值是1，故C正確；對于D，當時，，因為，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上不單調，故D錯誤．故選：BC．三、填空題13.已知等比數(shù)列的前項和為．若為和的等差中項，，則______．〖答案〗11〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，為和的等差中項，，即，化簡得，則，又，即，代入，解得，故，故〖答案〗為：.14.商場為改進服務質量，提升顧客購物體驗，從2023年第三季度消費過的顧客中隨機抽取部分人進行滿意度問卷調查．并將這部分人滿意度的得分分成以下6組：，統(tǒng)計結果如圖所示．那么該商場顧客滿意度得分的第60百分位數(shù)為______．〖答案〗75〖解析〗由圖可知，第1個小矩形面積為0.1，第2個小矩形面積為0.15，第,3個小矩形面積為0.2，第4個小矩形面積為0.3，則第60百分位數(shù)位于內，設60百分位數(shù)為，則有，則，所以商場顧客滿意度得分的第60百分位數(shù)為75.故〖答案〗為：7515.已知為銳角，，則______．〖答案〗〖解析〗由，得，解得，，由為銳角，，知，，于是，所以.故〖答案〗為：16.已知雙曲線，過其上焦點的直線與圓相切于點A，并與雙曲線的一條漸近線交于點不重合）．若，則雙曲線的離心率為______．〖答案〗〖解析〗由題意得，漸近線方程，設過其上焦點的直線方程為，則圓心到直線的距離為，解得，不妨取負值，如圖所示，故過其上焦點的直線方程為，聯(lián)立與可得，，解得，聯(lián)立與，可得，此時，重合，舍去，聯(lián)立與，可得，此時不重合，滿足要求，因為，所以，故，化簡得，又，故，即，解得，雙曲線的離心率為.故〖答案〗為：四、解答題17.銳角的內角的對邊分別為，設（1）求；（2）若，求的面積的最大值．解：（1）已知銳角中，則，，，是銳角，，，，即，，即；（2），，，由余弦定理得：，，即，，當且僅當時，等號成立，的面積的最大值為．18.設數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項利．解：（1）由，得，即，解得（舍）或，當時，，當時，，所以，.（2），①則，②①-②：.所以，所以．19.“馬街書會”是流行于河南省寶豐縣的傳統(tǒng)民俗活動，為國家級非物質文化遺產(chǎn)之一．每年農歷正月十三來自省內外的說書藝人負鼓攜琴，匯集于此，說書亮藝，河南墜子、道情、曲子、琴書等曲種應有盡有，規(guī)模壯觀．為了解人們對該活動的喜愛程度，現(xiàn)隨機抽取200人進行調查統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：不喜愛喜愛合計男性90120女性25合計200附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別與對該活動的喜愛程度有關聯(lián)？（2）為宣傳曲藝文化知識，當?shù)匚幕衷跁鴷辖M織了戲曲知識競賽活動．活動規(guī)定從8道備選題中隨機抽取4道題進行作答．假設在8道備選題中，戲迷甲正確完成每道題的概率都是，且每道題正確完成與否互不影響；戲迷乙只能正確完成其中的6道題．①求戲迷甲至少正確完成其中3道題的概率；②設隨機變量表示戲迷乙正確完成題個數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．解：（1）補全的列聯(lián)表如下：不喜愛喜愛合計男性3090120女性255580合計55145200根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充