2024屆內(nèi)蒙古呼和浩特市高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題文（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古呼和浩特市2024屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（文）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題1.若，則z的虛部是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗，故z的虛部是1.故選：B.2.設(shè)集合，集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題設(shè)，所以.故選：D.3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由三視圖知：幾何體是將底面半徑為1、高為2的圓柱體去掉四分之一所得，所以，幾何體體積是圓柱體的，即.故選：C.4.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，即，因，故或（舍）所以，由得，故選：D.5.已知是奇函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗由題設(shè)，則，而滿足題設(shè).所以.故選：C6.正六邊形的邊長是2，則（）A. B. C. D.12〖答案〗D〖解析〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，故.故選：D7.設(shè)O為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A，則點(diǎn)A落在區(qū)域內(nèi)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗表示圓心為原點(diǎn)，半徑為2的圓以及內(nèi)部，區(qū)域表示圓心為原點(diǎn)，半徑為2和半徑為1的圓環(huán)以及內(nèi)部，所以概率為，故選：D.8.若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，單調(diào)遞增,又因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理，.故選：A.9.某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到相同主題的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，甲乙抽到的主題都有6種，故甲乙抽到主題的組合有種，甲乙抽到相同主題的組合有6種，所以甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到相同主題的概率為.故選：A10.已知函數(shù)的最小正周期為，時(shí)函數(shù)圖像位于最低點(diǎn)，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗由題意，則，且，所以.故選：C11.已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程．則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則，因?yàn)椋?dāng)時(shí)取最小值，所以的最小值為.故選：D12.設(shè)A，B為雙曲線右支上的兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則直線AB的方程是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則有，兩式相減，得，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，因此由，即直線AB的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因?yàn)?，所以線段AB存在，故選：C.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題13.若x，y滿足約束條件，則的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，其中，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為2，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最大，最小，，所以的最小值為.故〖答案〗為：14.若，，則__________．〖答案〗〖解析〗由題設(shè).故〖答案〗為：15.已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到焦點(diǎn)F的距離為__________．〖答案〗4〖解析〗因?yàn)樵谏希?，A到準(zhǔn)線的距離為，故A到焦點(diǎn)F的距離為4.故〖答案〗為：4.16.已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，滿足，，，若平面ABC，則__________．〖答案〗〖解析〗由，，，得，所以，又平面ABC，如圖，以為長寬高作長方體，則長方體的體對(duì)角線即為三棱錐的直徑，即，所以.故〖答案〗為：.三、解答題17.某教育集團(tuán)為了辦好人民滿意的教育，每年底都隨機(jī)邀請(qǐng)8名學(xué)生家長代表對(duì)集團(tuán)內(nèi)甲、乙兩所學(xué)校進(jìn)行人民滿意度的民主測(cè)評(píng)（滿意度最高120分，最低0分，分?jǐn)?shù)越高說明人民滿意度越高，分?jǐn)?shù)越低說明人民滿意度越低）．去年測(cè)評(píng)的結(jié)果（單位：分）如下甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；乙校：108，101，94，105，96，93，97，106；（1）分別計(jì)算甲、乙兩所學(xué)校去年人民滿意度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為這兩所學(xué)校中哪所學(xué)校的人民滿意度比較好．解：（1），，，；（2）甲乙的平均數(shù)相同，但是甲的方差大，數(shù)據(jù)波動(dòng)就大，乙的方差小，數(shù)據(jù)相對(duì)集中，所以乙的人民滿意度比較好18.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．（1）求通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知時(shí)，，時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以.19.如圖所示，AB為圓O的直徑，平面ABC，Q在線段PA上．（1）求證：平面平面ACQ；（2）若Q為靠近P的一個(gè)三等分點(diǎn)，，，求的值．（1）證明：由題知，∵平面ABC，平面ABC，∴，又∵，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；又∵平面BCQ，∴平面平面ACQ.（2）解：.20.設(shè)函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）∵∴，，，∴切線方程為：.（2），①當(dāng)時(shí)，，R上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，負(fù)0正減極小值增綜上所述：時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為R；時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間.（3），令，即，.①時(shí)，，單調(diào)遞增，，故不成立，舍去.②時(shí)，恒成立，此時(shí).③時(shí)，由（2）知，，故只需即可，，即.綜上所述：21.已知拋物線C：焦點(diǎn)為，直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，且，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求拋物線C的方程；（2）求證：直線l過定點(diǎn)．（1）解：由題設(shè)，則，所以拋物線方程為.（2）證明：令l：，，，聯(lián)立得：，則，，，解得或，由得：，故，∴l(xiāng)：過定點(diǎn).請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題計(jì)分．［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］22.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）若與只有一個(gè)公共點(diǎn)，寫出的直角坐標(biāo)方程．（1）解：在等式兩邊同時(shí)乘以可得，化為普通方程可得，即，又因?yàn)椋是€表示圓的上半圓，因此，曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）解：由題意可知，曲線是過點(diǎn)且傾斜角為的直線，由圖可知，當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與曲線相切，且直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，且，即，由題意可得，解得，因此，的直角坐標(biāo)方程為.［選修4-5：不等式選講］23.已知．（1）畫出的圖像，并寫出的最小值；（2）求與直線圍成的封閉圖形面積．解：（1），畫出的圖象如圖所示：由圖可得函數(shù)的最小值為2.（2）令，可得，或，或，解得或.由圖可知與直線圍成的封閉圖形為，其中，所以內(nèi)蒙古呼和浩特市2024屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（文）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題1.若，則z的虛部是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗，故z的虛部是1.故選：B.2.設(shè)集合，集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題設(shè)，所以.故選：D.3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由三視圖知：幾何體是將底面半徑為1、高為2的圓柱體去掉四分之一所得，所以，幾何體體積是圓柱體的，即.故選：C.4.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，即，因，故或（舍）所以，由得，故選：D.5.已知是奇函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗由題設(shè)，則，而滿足題設(shè).所以.故選：C6.正六邊形的邊長是2，則（）A. B. C. D.12〖答案〗D〖解析〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，故.故選：D7.設(shè)O為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A，則點(diǎn)A落在區(qū)域內(nèi)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗表示圓心為原點(diǎn)，半徑為2的圓以及內(nèi)部，區(qū)域表示圓心為原點(diǎn)，半徑為2和半徑為1的圓環(huán)以及內(nèi)部，所以概率為，故選：D.8.若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，單調(diào)遞增,又因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理，.故選：A.9.某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到相同主題的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，甲乙抽到的主題都有6種，故甲乙抽到主題的組合有種，甲乙抽到相同主題的組合有6種，所以甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到相同主題的概率為.故選：A10.已知函數(shù)的最小正周期為，時(shí)函數(shù)圖像位于最低點(diǎn)，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗由題意，則，且，所以.故選：C11.已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程．則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)取最小值，所以的最小值為.故選：D12.設(shè)A，B為雙曲線右支上的兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則直線AB的方程是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則有，兩式相減，得，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，因此由，即直線AB的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因?yàn)?，所以線段AB存在，故選：C.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題13.若x，y滿足約束條件，則的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，其中，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為2，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最大，最小，，所以的最小值為.故〖答案〗為：14.若，，則__________．〖答案〗〖解析〗由題設(shè).故〖答案〗為：15.已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到焦點(diǎn)F的距離為__________．〖答案〗4〖解析〗因?yàn)樵谏希?，A到準(zhǔn)線的距離為，故A到焦點(diǎn)F的距離為4.故〖答案〗為：4.16.已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，滿足，，，若平面ABC，則__________．〖答案〗〖解析〗由，，，得，所以，又平面ABC，如圖，以為長寬高作長方體，則長方體的體對(duì)角線即為三棱錐的直徑，即，所以.故〖答案〗為：.三、解答題17.某教育集團(tuán)為了辦好人民滿意的教育，每年底都隨機(jī)邀請(qǐng)8名學(xué)生家長代表對(duì)集團(tuán)內(nèi)甲、乙兩所學(xué)校進(jìn)行人民滿意度的民主測(cè)評(píng)（滿意度最高120分，最低0分，分?jǐn)?shù)越高說明人民滿意度越高，分?jǐn)?shù)越低說明人民滿意度越低）．去年測(cè)評(píng)的結(jié)果（單位：分）如下甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；乙校：108，101，94，105，96，93，97，106；（1）分別計(jì)算甲、乙兩所學(xué)校去年人民滿意度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為這兩所學(xué)校中哪所學(xué)校的人民滿意度比較好．解：（1），，，；（2）甲乙的平均數(shù)相同，但是甲的方差大，數(shù)據(jù)波動(dòng)就大，乙的方差小，數(shù)據(jù)相對(duì)集中，所以乙的人民滿意度比較好18.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．（1）求通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知時(shí)，，時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以.19.如圖所示，AB為圓O的直徑，平面ABC，Q在線段PA上．（1）求證：平面平面ACQ；（2）若Q為靠近P的一個(gè)三等分點(diǎn)，，，求的值．（1）證明：由題知，∵平面ABC，平面ABC，∴，又∵，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；又∵平面BCQ，∴平面平面ACQ.（2）解：.20.設(shè)函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）∵∴，，，∴切線方程為：.（2），①當(dāng)時(shí)，，R上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，負(fù)0正減極小值增綜上所述：時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為R；時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間.（3），令，即，.①時(shí)，，單調(diào)遞增，，故不成立，舍去.②時(shí)，恒成立，此時(shí).③時(shí)，由（2）知，，故只需即可，，即.綜上所述：21.已知拋物線C：焦點(diǎn)為，直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，且，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求拋物線C的方程；（2）求證：直線l過定點(diǎn)．（1）解：由題設(shè)，則，所以拋物線方程為.（2）證明：令l：，，，聯(lián)立得：，則，，，解得或，由得：，故，∴l(xiāng)：過定點(diǎn).請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題計(jì)分．［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］22.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）若