09第九章-基礎(chǔ)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布

第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1．理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理．2．會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．◆教材通關(guān)◆1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．3．分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．[小題診斷]1．從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選1人主持本班某次主題班會(huì)，不同選法種數(shù)為()A．6種 B．5種C．3種 D．2種2．(2018·濱州模擬)甲、乙兩人從4門課程中選修2門，則甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法有()A．6種 B．12種C．24種 D．30種3.現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A．24種 B．30種C．36種 D．48種解析：按A→B→C→D順序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(種)．答案：D4．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)，a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有()A．30個(gè) B．42個(gè)C．36個(gè) D．35個(gè)解析：∵a＋bi為虛數(shù)，∴b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知可以組成6×6＝36個(gè)虛數(shù)．答案：C5．(2018·西安質(zhì)檢)如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個(gè)．解析：當(dāng)相同的數(shù)字不是1時(shí)，有Ceq\o\al(1,3)個(gè)；當(dāng)相同的數(shù)字是1時(shí)，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有“好數(shù)”Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝12(個(gè))．答案：12◆易錯(cuò)通關(guān)◆1．分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨(dú)立的．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步與步之間是相關(guān)聯(lián)的．[小題糾偏]1．從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有()A．30B．20C．10D．6解析：從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有N＝3＋3＝6種．答案：D2．用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．243 B．252C．261 D．279解析：0,1,2，…，9共能組成9×10×10＝900(個(gè))三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個(gè))，∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個(gè))．答案：B授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第162頁(yè)考點(diǎn)一分類加法原理自主探究基礎(chǔ)送分考點(diǎn)——自主練透[題組練通]1．我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有()A．18個(gè) B．15個(gè)C．12個(gè) D．9個(gè)解析：依題意知，這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個(gè)位數(shù)之和為4.由4,0,0組成3個(gè)數(shù)，分別為400,040,004；由3,1,0組成6個(gè)數(shù)，分別為310,301,130,103,013,031；由2,2,0組成3個(gè)數(shù)，分別為220,202,022；由2,1,1組成3個(gè)數(shù)，分別為211,121,112.共計(jì)3＋6＋3＋3＝15個(gè)“六合數(shù)”．答案：B2.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有________個(gè)．解析：法一：按個(gè)位數(shù)字分類，個(gè)位可為2,3,4,5,6,7,8,9，共分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)，7個(gè)，8個(gè)，則共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36個(gè)兩位數(shù)．法二：按十位數(shù)字分類，十位可為1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)，則共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36個(gè)兩位數(shù)．答案：363．如圖，從A到O有__________種不同的走法(不重復(fù)過一點(diǎn))．解析：分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個(gè)點(diǎn)，有A→B→O和A→C→O2種不同的走法；第三類，中間過兩個(gè)點(diǎn)，有A→B→C→O和A→C→B→O2種不同的走法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5種不同的走法．答案：54．若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為________．解析：當(dāng)m＝1時(shí)，n＝2,3,4,5,6,7，共6個(gè)；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝3,4,5,6,7，共5個(gè)；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝4,5,6,7，共4個(gè)；當(dāng)m＝4時(shí)，n＝5,6,7，共3個(gè)；當(dāng)m＝5時(shí)，n＝6,7，共2個(gè)．故共有6＋5＋4＋3＋2＝20個(gè)滿足條件的橢圓．答案：20使用分類加法原理時(shí)2個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏．(2)分類時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．考點(diǎn)二分步乘法原理自主探究基礎(chǔ)送分考點(diǎn)——自主練透[題組練通]1．(2018·佛山模擬)教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，由一層到五層的走法有()A．10種 B．25種C．52種 D．24種解析：每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有24種不同的走法．答案：D2．張、王兩家夫婦各帶一個(gè)小孩一起到動(dòng)物園游玩，購(gòu)票后排隊(duì)依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這六人入園順序的排法種數(shù)為()A．12B．24C．36D．48解析：將兩位爸爸排在兩端，有2種排法；將兩個(gè)小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個(gè)位置上，有2Aeq\o\al(3,3)種排法，故總的排法有2×2×Aeq\o\al(3,3)＝24(種)．答案：B3．設(shè)集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個(gè)數(shù)為________．解析：易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，∴x有2種取法，y有5種取法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，A*B的元素有2×5＝10(個(gè))．答案：104．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點(diǎn)，則：(1)P可表示平面上________個(gè)不同的點(diǎn)．(2)P可表示平面上________個(gè)第二象限的點(diǎn)．解析：(1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成：第1步，確定a的值，共有6種方法；第2步，確定b的值，也有6種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6×6＝36.(2)確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第1步，確定a，由于a<0，所以有3種方法；第2步，確定b，由于b>0，所以有2種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2＝6.答案：(1)36(2)6利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)3個(gè)注意點(diǎn)(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事．(3)對(duì)完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定.考點(diǎn)三兩個(gè)原理的應(yīng)用多維探究題點(diǎn)多變考點(diǎn)——多角探明[鎖定考向]兩個(gè)原理的常見命題角度有：(1)涂色問題．(2)幾何問題．(3)集合問題．角度一涂色問題1.如圖，圖案共分9個(gè)區(qū)域，有6種不同顏色的涂料可供涂色，每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相鄰區(qū)域的顏色不相同，則涂色方法有()A．360種 B．720種C．780種 D．840種解析：由題意知2,3,4,5的顏色都不相同，先涂1，有6種方法，再涂2,3,4,5，有Aeq\o\al(4,5)種方法，故一共有6·Aeq\o\al(4,5)＝720種．答案：B2．如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)是________．解析：法一：可分為兩大步進(jìn)行，先將四棱錐一側(cè)面三個(gè)頂點(diǎn)染色，然后再分類考慮另外兩個(gè)頂點(diǎn)的染色情況，用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)論．由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60種染色方法．當(dāng)S，A，B染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見，當(dāng)S，A，B已染好時(shí)，C，D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7＝420種．法二：以S，A，B，C，D順序分步染色．第一步，S點(diǎn)染色，有5種方法；第二步，A點(diǎn)染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步，B點(diǎn)染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步，C點(diǎn)染色，也有3種方法，但考慮到D點(diǎn)與S，A，C相鄰，需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類，當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S，B也不同色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)也有2種染色方法．由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420種．法三：按所用顏色種數(shù)分類．第一類，5種顏色全用，共有Aeq\o\al(5,5)種不同的方法；第二類，只用4種顏色，則必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色(A與C，或B與D)，共有2×Aeq\o\al(4,5)種不同的方法；第三類，只用3種顏色，則A與C，B與D必定同色，共有Aeq\o\al(3,5)種不同的方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為Aeq\o\al(5,5)＋2×Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(3,5)＝420.答案：420角度二幾何問題3．從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有()A．24對(duì) B．30對(duì)C．48對(duì) D．60對(duì)解析：法一：與正方體的一個(gè)面上的一條對(duì)角線成60°角的對(duì)角線有8條，故共有8對(duì)，正方體的12條面對(duì)角線共有8×12＝96對(duì)，且每對(duì)均重復(fù)計(jì)算一次，故共有eq\f(96,2)＝48(對(duì))．法二：正方體的面對(duì)角線共有12條，兩條為一對(duì)，共有12×11÷2＝66(對(duì))．同一面上的對(duì)角線不滿足題意，對(duì)面的面對(duì)角線也不滿足題意，一組平行平面共有6對(duì)不滿足題意的對(duì)角線對(duì)數(shù)，所以不滿足題意的共有3×6＝18(對(duì))．從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有66－18＝48(對(duì))．答案：C角度三集合問題4．(2018·保定調(diào)研)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B為集合M的非空子集，若對(duì)?x∈A，y∈B，x＜y恒成立，則稱(A，B)為集合M的一個(gè)“子集對(duì)”，求集合M的“子集對(duì)”個(gè)數(shù)．解析：當(dāng)A＝{1}時(shí)，B有23－1種情況；當(dāng)A＝{2}時(shí)，B有22－1種情況；當(dāng)A＝{3}時(shí)，B有1種情況；當(dāng)A＝{1,2}時(shí)，B有22－1種情況；當(dāng)A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}時(shí)，B均有1種情況；所以滿足題意的“子集對(duì)”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(個(gè))．兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的1個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)解決綜合問題時(shí)，可能同時(shí)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，即分類的方法可能要運(yùn)用分步完成，分步的方法可能會(huì)采取分類的思想求．[即時(shí)應(yīng)用]1．已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A．40B．16C．13D．10解析：分兩類情況討論：第一類，直線a分別與直線b上的8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面；第二類，直線b分別與直線a上的5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個(gè)不同的平面．答案：C2．設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個(gè)數(shù)為()A．60B．90C．120D．130解析：設(shè)t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|，t＝1說明x1，x2，x3，x4，x5中有一個(gè)為－1或1，其他為0，所以有2·Ceq\o\al(1,5)＝10(個(gè))元素滿足t＝1；t＝2說明x1，x2，x3，x4，x5中有兩個(gè)為－1或1，其他為0，所以有Ceq\o\al(2,5)×2×2＝40(個(gè))元素滿足t＝2；t＝3說明x1，x2，x3，x4，x5中有三個(gè)為－1或1，其他為0，所以有Ceq\o\al(3,5)×2×2×2＝80(個(gè))元素滿足t＝3，從而，共有10＋40＋80＝130(個(gè))元素滿足1≤t≤3.答案：D3.(2018·定州模擬)將“?！薄暗摗薄皦邸碧钊氲饺鐖D所示的4×4小方格中，每格內(nèi)只填入一個(gè)漢字，且任意的兩個(gè)漢字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有()A．288種 B．144種C．576種 D．96種解析：依題意可分為以下3步：(1)先從16個(gè)格子中任選一格放入第一個(gè)漢字，有16種方法；(2)任意的兩個(gè)漢字既不同行也不同列，第二個(gè)漢字只有9個(gè)格子可以放，有9種方法；(3)第三個(gè)漢字只有4個(gè)格子可以放，有4種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的填寫方法有16×9×4＝576種．答案：C4.如圖所示的幾何體由一個(gè)正三棱錐P-ABC與正三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有________種．解析：先涂三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面，然后涂三棱柱ABC-A1B1C1的三個(gè)側(cè)面，共有3×2×1×2＝12種不同的涂色方案．答案：12課時(shí)作業(yè)單獨(dú)成冊(cè)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第311頁(yè)A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1．某電話局的電話號(hào)碼為139××××××××，若前六位固定，最后五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話號(hào)碼的個(gè)數(shù)為()A．20 B．25C．32 D．60解析：依據(jù)題意知，后五位數(shù)字由6或8組成，可分5步完成，每一步有2種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，符合題意的電話號(hào)碼的個(gè)數(shù)為25＝32.答案：C2．用10元、5元和1元來支付20元錢的書款，不同的支付方法的種數(shù)為()A．3 B．5C．9 D.12解析：只用一種幣值有2張10元，4張5元，20張1元，共3種；用兩種幣值的有1張10元，2張5元；1張10元，10張1元；3張5元，5張1元；2張5元，10張1元；1張5元，15張1元，共5種；用三種幣值的有1張10元，1張5元，5張1元，共1種．由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有3＋5＋1＝9(種)．答案：C3．甲、乙兩人從4門課程中選修2門，則甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法有()A．6種 B．12種C．24種 D.30種解析：分步完成，第一步，甲、乙選修同一門課程有4種方法．第二步，甲從剩余的3門課程中選一門有3種方法．第三步，乙從剩余的2門課程中選一門有2種方法，∴甲、乙恰有1門相同課程的選法有4×3×2＝24種．答案：C4．把3封信投到4個(gè)信箱，所有可能的投法共有()A.24種 B．4種C．43種 D．34種解析：第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有43種方法．答案：C5．有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙．“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則有幾種不同的選擇方式()A.24 B．14C．10 D．9解析：第一類：一件襯衣，一件裙子搭配一套服裝有4×3＝12種方式，第二類：選2套連衣裙中的一套有2種選法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有12＋2＝14(種)選擇方式．答案：B6．滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A．14 B．13C．12 D．10解析：①當(dāng)a＝0時(shí)，有x＝－eq\f(b,2)，b＝－1,0,1,2，有4種可能；②當(dāng)a≠0時(shí)，則Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，(ⅰ)當(dāng)a＝－1時(shí)，b＝－1,0,1,2，有4種可能；(ⅱ)當(dāng)a＝1時(shí)，b＝－1,0,1，有3種可能；(ⅲ)當(dāng)a＝2時(shí)，b＝－1,0，有2種可能．∴有序數(shù)對(duì)(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13個(gè)．答案：B7．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．6 D．8解析：以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9.以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2,4,8.以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4,6,9.把這4個(gè)數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個(gè)數(shù)列，∴所求的數(shù)列共有2×(2＋1＋1)＝8個(gè)．答案：D8．(2018·合肥市質(zhì)檢)某社區(qū)新建了一個(gè)休閑小公園，幾條小徑將公園分成5塊區(qū)域，如圖．社區(qū)準(zhǔn)備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域，要求每個(gè)區(qū)域種植一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所選花卉顏色不能相同，則不同種植方法的種數(shù)共有()A.96 B．114C.168 D.240解析：先在a中種植，有4種不同方法，再在b中種植，有3種不同方法，再在c中種植，若c與b同色，則d有3種不同方法，若c與b不同色，c有2種不同方法，d有2種不同方法，再在e中種植，有2種不同方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(種)．答案：C9．已知某公園有5個(gè)門，從任一門進(jìn)，另一門出，則不同的走法的種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．解析：分兩步，第一步選一個(gè)門進(jìn)有5種方法，第二步再選一個(gè)門出有4種方法，所以共有5×4＝20種走法．答案：2010．設(shè)集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個(gè)數(shù)為________(用數(shù)字作答)．解析：易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，∴x有2種取法，y有5種取法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，A*B的元素有2×5＝10(個(gè))．答案：1011．如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復(fù)過一點(diǎn))．解析：分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個(gè)點(diǎn)，有A→B→O和A→C→O共2種不同的走法；第三類，中間過兩個(gè)點(diǎn)，有A→B→C→O和A→C→B→O共2種不同的走法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5種不同的走法．答案：512．若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為________(用數(shù)字作答)．解析：當(dāng)m＝1時(shí)，n＝2,3,4,5,6,7共6個(gè)；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝3,4,5,6,7共5個(gè)；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝4,5,6,7共4個(gè)；當(dāng)m＝4時(shí)，n＝5,6,7共3個(gè)；當(dāng)m＝5時(shí)，n＝6,7共2個(gè)，故共有6＋5＋4＋3＋2＝20個(gè)．答案：2013．在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”．比如“102”，“546”為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字1,2,3,4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有________個(gè)．解析：十位上的數(shù)為1時(shí)，有213,214,312,314,412,413，共6個(gè)，十位上的數(shù)為2時(shí)，有324,423，共2個(gè)，所以共有6＋2＝8(個(gè))．答案：814.如圖所示，在連結(jié)正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答)．解析：把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個(gè))．第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個(gè))．答案：40B組——能力提升練1．從集合{1,2,3,4，…，10}中，選出5個(gè)數(shù)組成子集，使得這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有()A．32個(gè) B．34個(gè)C．36個(gè) D．38個(gè)解析：將和等于11的放在一組：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.從每一小組中取一個(gè)，有2種，共有2×2×2×2×2＝32個(gè)．答案：A2．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一個(gè)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．9 B．14C．15 D．21解析：當(dāng)x＝2時(shí)，x≠y，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1×7＝7個(gè)．當(dāng)x≠2時(shí)，由P?Q，∴x＝y(tǒng)，∴x可從3,4,5,6,7,8,9中取，有7種方法，因此滿足條件的點(diǎn)共有7＋7＝14個(gè)．答案：B3．三個(gè)人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種 B．6種C．10種 D．16種解析：分兩類：甲第一次踢給乙時(shí)，滿足條件有3種方法(如圖)，甲乙甲乙甲甲乙甲丙甲同理，甲先傳給丙時(shí)，滿足條件也有3種方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有3＋3＝6種傳遞方法．答案：B4．將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.72 B．120C．192 D．240解析：將數(shù)字“124467”重新排列后所得數(shù)字為偶數(shù)，則末位數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，(1)若末位數(shù)字為2，因?yàn)楹?個(gè)4，所以有eq\f(5×4×3×2×1,2)＝60種情況；(2)若末位數(shù)字為6，同理有eq\f(5×4×3×2×1,2)＝60種情況；(3)若末位數(shù)字為4，因?yàn)橛袃蓚€(gè)相同數(shù)字4，所以共有5×4×3×2×1＝120種情況．綜上，共有60＋60＋120＝240種情況．答案：D5．用a代表紅球，b代表藍(lán)球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展開式1＋a＋b＋ab表示出來，如：“1”表示一個(gè)球都不取，“a”表示取出一個(gè)紅球，而“ab”則表示把紅球和籃球都取出來．以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)別的紅球、5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球中取出若干個(gè)球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)D．(1＋a5)(1＋b5)解析：分兩步：第一步，5個(gè)無區(qū)別的紅球可能取出0個(gè)，1個(gè)，…，5個(gè)，則有1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5種不同的取法．第二步，5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球都取出或都不取出，則有1＋b5種不同取法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)種取法．答案：A6．(2018·云南五市聯(lián)考)eq\x\to(ab)表示一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別用a，b表示，記f(eq\x\to(ab))＝a＋b＋3ab，如f(eq\x\to(12))＝1＋2＋3×1×2＝9，則滿足f(eq\x\to(ab))＝eq\x\to(ab)的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．15 B．13C．9 D．7解析：由題意，得a＋b＋3ab＝10a＋b，其中a∈{1,2，…，9}，b∈{0,1,2，…，9}．整理，得3a＝ab.又a≠0，所以b＝3.這樣十位可以取1到9，共9個(gè)數(shù)，所以滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為9，故選C.答案：C7．5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法有________種(用數(shù)字作答)．解析：每位同學(xué)都有2種報(bào)名方法，因此，可分五步安排5名同學(xué)報(bào)名，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的報(bào)名方法共2×2×2×2×2＝32(種)．答案：328．定義集合A與B的運(yùn)算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，則集合A*B的元素個(gè)數(shù)為________(用數(shù)字作答)．解析：顯然(a，a)，(a，c)等均為A*B中的關(guān)系，確定A*B中的元素是A中取一個(gè)元素來確定x，B中取一個(gè)元素來確定y，由分步計(jì)數(shù)原理可知A*B中有3×4＝12個(gè)元素．答案：129.現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，求有多少種不同的著色方法．解析：需要先給C塊著色，有4種結(jié)果；再給A塊著色，有3種結(jié)果；再給B塊著色，有2種結(jié)果；最后給D塊著色，有2種結(jié)果，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4×3×2×2＝48(種)．10．從－1,0,1,2這4個(gè)數(shù)中任選3個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，求可組成多少個(gè)不同的二次函數(shù)．解析：a，b，c的一組不同的取值對(duì)應(yīng)著一個(gè)不同的二次函數(shù)．第1步，確定a(a≠0)的值，有3種方法；第2步，確定b的值，有3種方法(這時(shí)，b可取0)；第3步，確定c的值，有2種方法．故可組成3×3×2＝18個(gè)不同的二次函數(shù)．第二節(jié)排列與組合1．理解排列、組合的概念．2．能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．3．能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第163頁(yè)◆教材通關(guān)◆1．排列與排列數(shù)(1)排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作Aeq\o\al(m,n).2．組合與組合數(shù)(1)組合從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．(2)組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作Ceq\o\al(m,n).3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)性質(zhì)(1)Aeq\o\al(n,n)＝n??；(2)0?。?(1)Ceq\o\al(0,n)＝1；(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(C\o\al(n－m,n))；(3)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)備注n，m∈N*且m≤neq\a\vs4\al([必記結(jié)論])與組合數(shù)相關(guān)的幾個(gè)公式(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n(全組合公式)．(2)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).(3)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).[小題診斷]1．(2018·山西質(zhì)量監(jiān)測(cè))A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會(huì)，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有()A．60種B．48種C．30種D．24種解析：由題知，不同的座次有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48(種)，故選B.答案：B2．方程3Aeq\o\al(3,x)＝2Aeq\o\al(2,x＋1)＋6Aeq\o\al(2,x)的解為________．解析：由排列數(shù)公式可知3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，∵x≥3且x∈N*，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝eq\f(2,3)(舍去)，∴x＝5.答案：53．已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，則Ceq\o\al(m,8)＝________.解析：由已知得m的取值范圍為{m|0≤m≤5，m∈Z}．eq\f(m！5－m！,5！)－eq\f(m！6－m！,6！)＝eq\f(7×7－m！m！,10×7！)，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.故Ceq\o\al(m,8)＝Ceq\o\al(2,8)＝28.答案：28◆易錯(cuò)通關(guān)◆易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問題與順序有關(guān)，組合問題與順序無關(guān)．[小題糾偏]用1,2,3,4,5,6組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)，滿足1不在左、右兩端，2,4,6三個(gè)偶數(shù)中有且只有兩個(gè)偶數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．423B．288C．216 D．144解析：若2,4相鄰，把2,4捆綁在一起，與另外四個(gè)數(shù)排列(相當(dāng)于5個(gè)元素排列)，1不在左、右兩側(cè)，則六位數(shù)的個(gè)數(shù)為2×Ceq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(4,4)＝144，同理2,4與6相鄰的有Aeq\o\al(2,2)×2×2×Aeq\o\al(3,3)＝48個(gè)，所以只有2,4相鄰的有144－48＝96個(gè)，全部符合條件的六位數(shù)有96×3＝288個(gè)．答案：B授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第164頁(yè)考點(diǎn)一排列應(yīng)用題互動(dòng)探究重點(diǎn)保分考點(diǎn)——師生共研[典例]3名女生和5名男生排成一排．(1)如果女生全排在一起，有多少種不同排法？(2)如果女生都不相鄰，有多少種排法？(3)如果女生不站兩端，有多少種排法？(4)其中甲必須排在乙前面(可不鄰)，有多少種排法？(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少種排法？解析：(1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合在一起有6個(gè)元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)種排法，而其中每一種排法中，三個(gè)女生間又有Aeq\o\al(3,3)種排法，因此共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,3)＝4320種不同排法．(2)(插空法)先排5個(gè)男生，有Aeq\o\al(5,5)種排法，這5個(gè)男生之間和兩端有6個(gè)位置，從中選取3個(gè)位置排女生，有Aeq\o\al(3,6)種排法，因此共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,6)＝14400種不同排法．(3)法一：(位置分析法)因?yàn)閮啥瞬慌排?，只能?個(gè)男生中選2人排列，有Aeq\o\al(2,5)種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有Aeq\o\al(6,6)種排法，因此共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(6,6)＝14400種不同排法．法二：(元素分析法)從中間6個(gè)位置選3個(gè)安排女生，有Aeq\o\al(3,6)種排法，其余位置無限制，有Aeq\o\al(5,5)種排法，因此共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(5,5)＝14400種不同排法．(4)8名學(xué)生的所有排列共Aeq\o\al(8,8)種，其中甲在乙前面與乙在甲前面的各占其中eq\f(1,2)，∴符合要求的排法種數(shù)為eq\f(1,2)Aeq\o\al(8,8)＝20160(種)．(5)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置．法一：(特殊元素法)甲在最右邊時(shí)，其他的可全排，有Aeq\o\al(7,7)種；甲不在最右邊時(shí)，可從余下6個(gè)位置中任選一個(gè)，有Aeq\o\al(1,6)種．而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個(gè)中的任一個(gè)上，有Aeq\o\al(1,6)種，其余人全排列，共有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)種．由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)＝30960(種)．法二：(特殊位置法)先排最左邊，除去甲外，有Aeq\o\al(1,7)種，余下7個(gè)位置全排，有Aeq\o\al(7,7)種，但應(yīng)剔除乙在最右邊時(shí)的排法Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)種，因此共有Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)＝30960(種)．法三：(間接法)8個(gè)人全排，共Aeq\o\al(8,8)種，其中，不合條件的有甲在最左邊時(shí)，有Aeq\o\al(7,7)種，乙在最右邊時(shí)，有Aeq\o\al(7,7)種，其中都包含了甲在最左邊，同時(shí)乙在最右邊的情形，有Aeq\o\al(6,6)種．因此共有Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(6,6)＝30960(種).解決排列問題的主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算捆綁法相鄰問題捆綁處理，即把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中消序法定序問題消序(除法)處理的方法，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列[即時(shí)應(yīng)用]1.將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序?yàn)椤癆，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有()A.12種B．20種C．40種D．60種解析：五個(gè)元素沒有限制全排列數(shù)為Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以這三個(gè)元素的全排列Aeq\o\al(3,3)，可得這樣的排列數(shù)有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))×2＝40種．答案：C2.若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤方法共有________種．解析：把g、o、o、d4個(gè)字母排一列，可分兩步進(jìn)行，第一步：排g和d，共有Aeq\o\al(2,4)種排法；第二步：排兩個(gè)o，共一種排法，所以總的排法種數(shù)為Aeq\o\al(2,4)＝12(種)．其中正確的有一種，所以錯(cuò)誤的共Aeq\o\al(2,4)－1＝12－1＝11(種)．答案：113.若A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)不同元素排成一列，要求A不排在兩端，且B，C相鄰，則不同的排法有________種(用數(shù)字作答)．解析：由于B，C相鄰，把B，C看做一個(gè)整體，有2種排法．這樣，6個(gè)元素變成了5個(gè)．先排A，由于A不排在兩端，則A在中間的3個(gè)位子中，有Aeq\o\al(1,3)＝3種方法，其余的4個(gè)元素任意排，有Aeq\o\al(4,4)種不同方法，故不同的排法有2×3×Aeq\o\al(4,4)＝144種．答案：144考點(diǎn)二組合應(yīng)用題互動(dòng)探究重點(diǎn)保分考點(diǎn)——師生共研[典例](1)某學(xué)校為了迎接市春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，從5名男生和4名女生組成的田徑運(yùn)動(dòng)隊(duì)中選出4人參加比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為()A.85 B．86C.91 D．90(2)若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法的種數(shù)是()A.60B．63C．65D．66(3)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為_______．解析：(1)法一(直接法)：由題意，可分三類考慮：第1類，男生甲入選，女生乙不入選的方法種數(shù)為：Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(3,3)＝31；第2類，男生甲不入選，女生乙入選的方法種數(shù)為：Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(3,4)＝34；第3類，男生甲入選，女生乙入選的方法種數(shù)為：Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,4)＝21.所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為31＋34＋21＝86.法二(間接法)：從5名男生和4名女生中任意選出4人，男、女生都有的選法有Ceq\o\al(4,9)－Ceq\o\al(4,5)－Ceq\o\al(4,4)＝120種；男、女生都有，且男生甲與女生乙都沒有入選的方法有Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(4,4)＝34種．所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為120－34＝86.(2)因?yàn)?,2,3，…，9中共有4個(gè)不同的偶數(shù)和5個(gè)不同的奇數(shù)，要使取出的4個(gè)不同的數(shù)的和為偶數(shù)，則4個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，故有Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)＝66種不同的取法．(3)第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(種)．第二類，不含有紅色卡片，不同的取法有Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝220－12＝208(種)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的取法共有264＋208＝472(種)．答案：(1)B(2)D(3)472有限制條件的組合問題的解法組合問題的限制條件主要體現(xiàn)在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型．“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型．考慮逆向思維，用間接法處理.[即時(shí)應(yīng)用]1.在5×5的棋盤中，放入3顆相同的黑子和2顆相同的白子，它們均不在同一行也不在同一列，則不同的排列方法有()A.150種 B．200種C.600種 D．1200種解析：首先選出3行3列，共有Ceq\o\al(3,5)×Ceq\o\al(3,5)種方法，然后放入3顆黑子，共有3×2×1種方法，然后在剩下的2行2列中放2顆白子，共有2×1種方法，所以不同的排列方法為Ceq\o\al(3,5)×Ceq\o\al(3,5)×3×2×1×2×1＝1200(種)．故選D.答案：D2.現(xiàn)有2門不同的考試要安排在5天之內(nèi)進(jìn)行，每天最多進(jìn)行一門考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試安排方案種數(shù)是()A.12B．6C．8D．16解析：若第一門安排在開頭或結(jié)尾，則第二門有3種安排方法，這時(shí)共有Ceq\o\al(1,2)×3＝6種安排方案；若第一門安排在中間的3天中，則第二門有2種安排方法，這時(shí)共有Ceq\o\al(1,3)×2＝6種安排方案．綜上可得，不同的考試安排方案共有6＋6＝12(種)．答案：A考點(diǎn)三分組分配問題多維探究題點(diǎn)多變考點(diǎn)——多角探明[鎖定考向]分組分配問題是排列、組合問題的綜合運(yùn)用，解決這類問題的一個(gè)基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配．關(guān)于分組問題，無論分成幾組，應(yīng)注意只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象．常見的命題角度有：(1)整體均分問題.(2)部分等分問題.(3)不等分問題.角度一整體均分問題1.國(guó)家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法．解析：先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有Aeq\o\al(3,3)＝6種方法，故6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90種分派方法．答案：90角度二部分等分問題2.(2017·高考全國(guó)卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A.12種 B．18種C.24種 D．36種解析：因?yàn)榘才?名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，所以必有1人完成2項(xiàng)工作．先把4項(xiàng)工作分成3組，即2,1,1，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝6種，再分配給3個(gè)人，有Aeq\o\al(3,3)＝6種，所以不同的安排方式共有6×6＝36(種).答案：D角度三不等分問題3.若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．解析：將6名教師分組，分三步完成：第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有Ceq\o\al(1,6)種取法；第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有Ceq\o\al(2,5)種取法；第3步，余下的3名教師作為一組，有Ceq\o\al(3,3)種取法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種取法．再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有Aeq\o\al(3,3)＝6種分法，故共有60×6＝360種不同的分法．答案：360分組分配問題的三種類型及求解策略類型求解策略整體均分解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)部分均分解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)不等分組只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)[即時(shí)應(yīng)用]1.《爸爸去哪兒》的熱播引發(fā)了親子節(jié)目的熱潮，某節(jié)目制作組選取了6戶家庭到4個(gè)村莊體驗(yàn)農(nóng)村生活，要求將6戶家庭分成4組，其中2組各有2戶家庭，另外2組各有1戶家庭，則不同的分配方案的總數(shù)是()A.216 B．420C.720 D．1080解析：先分組，每組含有2戶家庭的有2組，則有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))種分組方法，剩下的2戶家庭可以直接看成2組，然后將分成的4組進(jìn)行全排列，故有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(4,4)＝1080種不同的分配方案.答案：D2.(2018·洛陽(yáng)統(tǒng)考)四名優(yōu)等生保送到三所學(xué)校去，每所學(xué)校至少得一名，則不同的保送方案有________種．解析：分兩步：先將四名優(yōu)等生分成2,1,1三組，共有Ceq\o\al(2,4)種；而后，對(duì)三組學(xué)生全排三所學(xué)校，即進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(3,3)種．依分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有N＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．答案：36課時(shí)作業(yè)單獨(dú)成冊(cè)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第313頁(yè)A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1.從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.24 B．18C.12 D．6解析：當(dāng)從0,2中選取2時(shí)，組成的三位奇數(shù)的個(gè)位只能是奇數(shù)，十位、百位全排列即可，共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝12個(gè)．當(dāng)選取0時(shí)，組成的三位奇數(shù)的個(gè)位只能是奇數(shù)，0必須在十位，共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)＝6個(gè)．綜上，共有12＋6＝18個(gè)．選B.答案：B2.某學(xué)校開設(shè)“藍(lán)天工程博覽課程”，組織6個(gè)年級(jí)的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個(gè)博物館，每個(gè)年級(jí)任選一個(gè)博物館參觀，則有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的情況有()A.Ceq\o\al(2,6)·45種 B．Aeq\o\al(2,6)·54種C.Ceq\o\al(2,6)·Aeq\o\al(4,5)種 D．Ceq\o\al(2,6)·54種解析：有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館共有Ceq\o\al(2,6)種情況，其余四個(gè)年級(jí)每個(gè)年級(jí)各有5種選擇情況，故有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的情況有Ceq\o\al(2,6)×54種．答案：D3.(2018·廣州模擬)GZ新聞臺(tái)做《一校一特色》訪談節(jié)目，分A，B，C三期播出，A期播出兩所學(xué)校，B期，C期各播出1所學(xué)校，現(xiàn)從8所候選學(xué)校中選出4所參與這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有()A.140種 B．420種C.840種 D．1680種解析：由題易知，不同的選法共有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)＝840種．答案：C4.6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144 B．120C.72 D．24解析：先把三把椅子隔開擺好，它們之間和兩端有4個(gè)位置，再把三人帶椅子插放在四個(gè)位置，共有Aeq\o\al(3,4)＝24種放法，故選D.答案：D5.從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有()A.36個(gè) B．24個(gè)C.18個(gè) D．6個(gè)解析：各位數(shù)字之和是奇數(shù)，則這三個(gè)數(shù)字中三個(gè)都是奇數(shù)或兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)，所有符合條件的三位數(shù)有Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝6＋18＝24(個(gè))．答案：B6.2017年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上五位中國(guó)書法家沈鵬、李鐸、張海、蘇士澍、孫伯翔書寫了祝壽福、富裕福、健康安寧福、親人福、向善福，若將這五個(gè)福排成一排，其中健康安寧福、親人福不排兩端，則不同的排法種數(shù)為()A.33 B．36C.40 D．48解析：特殊元素優(yōu)先法，分為兩步：第一步是健康安寧福、親人福不排兩端，從中間三個(gè)位置中任選兩個(gè)位置排這兩個(gè)福，有Aeq\o\al(2,3)種排法；第二步，將余下的三個(gè)福排在其余的三個(gè)位置，有Aeq\o\al(3,3)種不同的排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36種不同的排法．答案：B7.(2018·蘭州實(shí)戰(zhàn)模擬)某國(guó)際會(huì)議結(jié)束后，中、美、俄等21國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人也站前排并與中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對(duì)其他國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A.Aeq\o\al(18,18)種 B．Aeq\o\al(20,20)種C.Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,18)Aeq\o\al(10,10)種 D．Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)種解析：中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站前排并與中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，有Aeq\o\al(2,2)種站法；其他18國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人可以任意站，因此有Aeq\o\al(18,18)種站法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)種站法．故選D.答案：D8.如果小明在某一周的第1天和第7天都吃了3個(gè)水果，且從這周的第2天開始，每天所吃水果的個(gè)數(shù)與前一天相比，僅存在三種可能：“多一個(gè)”“持平”“少一個(gè)”，那么小明在這一周中每天所吃水果個(gè)數(shù)的不同選擇方案種數(shù)為()A.50 B．51C.140 D．141解析：因?yàn)榈?天和第7天吃的水果數(shù)相同，所以從這周的第2天開始后6天中“多一個(gè)”或“少一個(gè)”的天數(shù)必須相同，所以后面6天中水果數(shù)“多一個(gè)”或“少一個(gè)”的天數(shù)可能是0,1,2,3，共四種情況，所以共有Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)＝141種選擇方案．答案：D9.六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A.192種 B．216種C.240種 D．288種解析：若最左端排甲，其他位置共有Aeq\o\al(5,5)＝120種排法；若最左端排乙，最右端共有4種排法，其余4個(gè)位置有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法，所以共有120＋4×24＝216種排法．答案：B10.7人站成兩排隊(duì)列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊(duì)列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對(duì)位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為()A.120 B．240C.360 D．480解析：前排3人有4個(gè)空，從甲、乙、丙3人中選1人插入，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)種方法；對(duì)于后排，若插入的2人不相鄰有Aeq\o\al(2,5)種，若相鄰有Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)種．故共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)(Aeq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2))＝360種，選C.答案：C11.從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有()A.24對(duì) B．30對(duì)C.48對(duì) D．60對(duì)解析：利用正方體中兩個(gè)獨(dú)立的正四面體解題，如圖，它們的棱是原正方體的12條面對(duì)角線．一個(gè)正四面體中兩條棱成60°角的有(Ceq\o\al(2,6)－3)對(duì)，兩個(gè)正四面體有(Ceq\o\al(2,6)－3)×2對(duì)．又正方體的面對(duì)角線中平行成對(duì)，所以共有(Ceq\o\al(2,6)－3)×2×2＝48對(duì)．故選C.答案：C12.將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答)．解析：“小集團(tuán)”處理，特殊元素優(yōu)先，則不同的排法共有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝480(種)．答案：48013.(2018·山西八校聯(lián)考)從數(shù)字0,1,2,3,4中任意取出3個(gè)不重復(fù)的數(shù)字組成三位數(shù)，則組成的三位數(shù)中是3的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是________．解析：若取出的3個(gè)數(shù)字中包含0，則數(shù)字0,1,2或0,2,4滿足題意，共組成8個(gè)三位數(shù)；若取出的3個(gè)數(shù)字中不包含0，則數(shù)字1,2,3或2,3,4滿足題意，共組成2Aeq\o\al(3,3)＝12個(gè)三位數(shù)．綜上，共有20個(gè)三位數(shù)滿足題意．答案：2014.在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無獎(jiǎng)．將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有________種(用數(shù)字作答)．解析：分情況：一種情況將有獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券按2張、1張分給4個(gè)人中的2個(gè)人，種數(shù)為Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,4)＝36；另一種將3張有獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券分給4個(gè)人中的3個(gè)人，種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝24，則獲獎(jiǎng)情況總共有36＋24＝60(種)．答案：6015.用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為1,2，…，9的9個(gè)小正方形，使得任意相鄰(有公共邊)的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為“3,5,7”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有________種．123456789解析：首先看圖形中的3,5,7，有Ceq\o\al(1,3)＝3種涂法．對(duì)于2，有兩種涂法，對(duì)于4有兩種涂法．當(dāng)2,4涂的顏色相同時(shí)，1有2種涂法；當(dāng)2,4涂的顏色不同時(shí)，1有1種涂法．根據(jù)對(duì)稱性可知共有3×(2×2＋2×1)2＝108種涂法．答案：108B組——能力提升練1.(2018·長(zhǎng)沙市模擬)eq\i\su(k＝0,m,C)eq\o\al(n－m,n－k)Ceq\o\al(k,n)＝()A.2m＋n B.eq\f(C\o\al(m,n),2m)C.2nCeq\o\al(m,n) D．2mCeq\o\al(m,n)解析：由組合數(shù)公式可得Ceq\o\al(n－m,n－k)Ceq\o\al(k,n)＝eq\f(n－k！,n－m！·m－k！)·eq\f(n！,k！n－k！)＝eq\f(n！,n－m！m－k！k！)＝eq\f(n！,m！n－m！)·eq\f(m！,m－k！k！)＝Ceq\o\al(m,n)Ceq\o\al(k,m)，所以eq\i\su(k＝0,m,C)eq\o\al(m,n)Ceq\o\al(k,m)＝Ceq\o\al(m,n)(Ceq\o\al(0,m)＋Ceq\o\al(1,m)＋…＋Ceq\o\al(m,m))＝Ceq\o\al(m,n)(1＋1)m＝Ceq\o\al(m,n)2m，故選D.答案：D2.設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4}，那么集合A中滿足條件“xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)≤3”的元素個(gè)數(shù)為()A.60 B．65C.80 D．81解析：根據(jù)題中xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)≤3考慮x1，x2，x3，x4的可能取值：(1)4個(gè)數(shù)均為0，有1個(gè)；(2)有1個(gè)數(shù)取值為0，另外3個(gè)數(shù)從{－1,1}中取，共有Ceq\o\al(1,4)·23＝32個(gè)；(3)有2個(gè)數(shù)取值為0，另外2個(gè)數(shù)從{－1,1}中取，共有Ceq\o\al(2,4)·22＝24個(gè)；(4)有3個(gè)數(shù)取值為0，另外1個(gè)數(shù)從{－1,1}中取，共有Ceq\o\al(3,4)·2＝8個(gè)．所以集合A中滿足條件的元素個(gè)數(shù)為1＋32＋24＋8＝65，故選B.答案：B3.將3本相同的小說，2本相同的詩(shī)集全部分給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少1本，則不同的分法有()A.24種 B．28種C.32種 D．36種解析：將3本相同的小說記為a，a，a；2本相同的詩(shī)集記為b，b，將問題分成3種情況，分別是①aa，a，b，b，此種情況有Aeq\o\al(2,4)＝12種；②bb，a，a，a，此種情況有Ceq\o\al(1,4)＝4種；③ab，a，a，b，此種情況有Aeq\o\al(2,4)＝12種，總共有28種，故選B.答案：B4.某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.168 B．144C.120 D．72解析：先將3個(gè)歌舞類節(jié)目全排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6種情況，排好后，有4個(gè)空位，因?yàn)?個(gè)歌舞類節(jié)目不能相鄰，則中間2個(gè)空位必須安排2個(gè)節(jié)目．分兩種情況討論：①將中間2個(gè)空位安排1個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4種情況，排好后，最后1個(gè)小品類節(jié)目放在兩端，有2種情況，此時(shí)同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是6×4×2＝48種；②將中間2個(gè)空位安排2個(gè)小品類節(jié)目，有Aeq\o\al(2,2)＝2種情況，排好后，有6個(gè)空位，相聲類節(jié)目有6個(gè)空位可選，即有6種情況，此時(shí)同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是6×2×6＝72種．綜合①②，可知同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是48＋72＝120，故選C.答案：C5.(2017·合肥模擬)某校開設(shè)5門不同的數(shù)學(xué)選修課，每位同學(xué)可以從中任選1門或2門課學(xué)習(xí)，甲、乙、丙三位同學(xué)選擇的課沒有一門是相同的，則不同的選法共有()A.330種 B．420種C.510種 D．600種解析：當(dāng)甲、乙、丙三位同學(xué)都只選1門，不同的選法有Aeq\o\al(3,5)＝60(種)；當(dāng)甲、乙、丙三位同學(xué)有一位選1門，另外兩位選2門，不同的選法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90(種)；當(dāng)甲、乙、丙三位同學(xué)有兩位選1門，另一位選2門，不同的選法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝180(種)，共有60＋90＋180＝330(種)．答案：A6.(2018·九江模擬)8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為()A.Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9) B．Aeq\o\al(8,8)Ceq\o\al(2,9)C.Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,7) D．Aeq\o\al(8,8)Ceq\o\al(2,7)解析：不相鄰問題用插空法，8名學(xué)生先排有Aeq\o\al(8,8)種排法，產(chǎn)生9個(gè)空，2位老師插空有Aeq\o\al(2,9)種排法，所以共有Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9)種排法．故選A.答案：A7.某大學(xué)的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游，其中大一、大二、大三、大四每個(gè)年級(jí)各兩名，分乘甲、乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(xué)(乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置)，其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自同一年級(jí)的乘車方式共有()A.24種 B．18種C.48種 D．36種解析：由題意，第一類，大一的孿生姐妹在甲車上，甲車上剩下兩名要來自不同的年級(jí)，從三個(gè)年級(jí)中選兩個(gè)為Ceq\o\al(2,3)＝3，然后分別從選擇的年級(jí)中再選擇一名學(xué)生為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝4，故有3×4＝12種．第二類，大一的孿生姐妹不在甲車上，則從剩下的3個(gè)年級(jí)中選擇一個(gè)年級(jí)的兩名同學(xué)在甲車上為Ceq\o\al(1,3)＝3，然后再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)年級(jí)中分別選擇一人為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝4，這時(shí)共有3×4＝12種．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有12＋12＝24種不同的乘車方式，故選A.答案：A8.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)，且紅包被全部搶完，4個(gè)紅包中有2個(gè)6元，1個(gè)8元，1個(gè)10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有()A.18種 B．24種C.36種 D．48種解析：若甲、乙搶的是一個(gè)6元和一個(gè)8元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12種；若甲、乙搶的是一個(gè)6元和一個(gè)10元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12種；若甲、乙搶的是一個(gè)8和一個(gè)10元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)＝6種；若甲、乙搶的是兩個(gè)6元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有Aeq\o\al(2,3)＝6種，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有36種情況，故選C.答案：C9.某通訊公司推出一組手機(jī)卡號(hào)碼，卡號(hào)的前七位數(shù)字固定，后四位數(shù)從“0000”到“9999”共10000個(gè)號(hào)碼中選擇．公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后四位恰帶有兩個(gè)數(shù)字“6”或恰帶有兩個(gè)數(shù)字“8”的一律作為“金雞卡”，享受一定優(yōu)惠政策．如后四位數(shù)為“2663”“8685”為“金雞卡”．則這組號(hào)碼中“金雞卡”的張數(shù)為()A.484 B．972C.966 D．486解析：①當(dāng)后四位數(shù)中有兩個(gè)“6”時(shí)，“金雞卡”共有Ceq\o\al(2,4)×9×9＝486張；②當(dāng)后四位數(shù)中有兩個(gè)“8”時(shí)，“金雞卡”共有Ceq\o\al(2,4)×9×9＝486張．但這兩種情況都包含了后四位數(shù)是由兩個(gè)“6”和兩個(gè)“8”組成的這種情況，所以要減掉Ceq\o\al(2,4)＝6張，即“金雞卡”共有486×2－6＝966張．答案：C10.(2018·河南八市質(zhì)檢)將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個(gè)籃球，且標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球不能分給同一個(gè)小朋友，則不同的分法種數(shù)為()A.15 B．20C．30D．42解析：四個(gè)籃球中兩個(gè)分到一組有Ceq\o\al(2,4)種分法，三組籃球進(jìn)行全排列有Aeq\o\al(3,3)種，標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球分給同一個(gè)小朋友有Aeq\o\al(3,3)種分法，所以有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)＝36－6＝30種分法，故選C.答案：C11.從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù)，每天安排一人，每人只參加一天，若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當(dāng)甲、乙兩人都參加時(shí)，他們參加社區(qū)服務(wù)的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)解析：根據(jù)題意，分2種情況討論，若只有甲、乙其中一人參加，有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(5,5)＝3600(種)，若甲乙兩人都參加，有Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(2,4)＝1440(種)．則不同的安排種數(shù)為3600＋1440＝5040.答案：504012.(2018·龍巖質(zhì)檢)若用1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)字中的六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字，且任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的六位數(shù)，則這樣的六位數(shù)共有________個(gè)(用數(shù)字作答).解析：分兩步進(jìn)行，第一步，先將1,3,5,7選3個(gè)進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(3,4)＝24(種)排法；第二步，再將2,4,6這3個(gè)數(shù)插空排列有2Aeq\o\al(3,3)＝12(種)排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有24×12＝288(個(gè))．答案：28813.用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為________．解析：首先應(yīng)考慮“0”，當(dāng)0排在個(gè)位時(shí)，有Aeq\o\al(2,9)＝9×8＝72(個(gè))，當(dāng)0不排在個(gè)位時(shí)，有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,8)＝4×8＝32(個(gè))．當(dāng)不含0時(shí)，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,8)＝4×7×8＝224(個(gè))，由分類加法計(jì)數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有72＋32＋224＝328(個(gè))．答案：32814.(2017·臨沂模擬)某學(xué)校安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，要求每位同學(xué)僅報(bào)一科，每科至少有一位同學(xué)參加，且甲、乙不能參加同一學(xué)科，則不同的安排方法有________種．解析：(間接法)把四位同學(xué)分成3組，有Ceq\o\al(2,4)＝6種分法，然后進(jìn)行全排列，即Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)，去掉甲、乙在一個(gè)組的情況，當(dāng)甲、乙在一個(gè)組時(shí)，參加的方式有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)，故符合題意的安排方法為36－6＝30(種)．答案：30第三節(jié)二項(xiàng)式定理1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理．2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題．授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第165頁(yè)◆教材通關(guān)◆1.二項(xiàng)式定理(1)定理：公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二項(xiàng)式定理．(2)通項(xiàng)：