高考高中數(shù)學：數(shù)列-專項訓練含解析

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高考高中數(shù)學：數(shù)列-必考點專項訓練含解析

」一、單透露

1.等差數(shù)列a.的前n項和為S..若4=63,則再+4/耳9=（）

A.12B.9C.6D.3

2.等比數(shù)列an的前n項和為S”,目的、2馬.馬成等差數(shù)列,若則5=｛）

A.15B.16C.31D.32

3.已知等差數(shù)列｛aj前n項和為Sn.若5o=1O,5al=60,貝IJSQ=（）

A.110B.150C.210D.280

4.若數(shù)列”的前n項和為S”,且a7,a=2.5,+1Sp+1=鼠尸1則5,=（）

nn+1,

A.---B.TC.2"-1D.2+1

5.設S”為數(shù)列3的前in0和，5,=3a『2nwN.則a.的通項公式為（）

6.對于數(shù)列an.規(guī)定Aar為數(shù)列an的一階差分數(shù)列，其中'a,=a、，-a.cwN.對自

l

然數(shù)kk＞2,規(guī)定Aan為故列an的k階差分數(shù)列,其中.可,=AiaM-Aia,.若

n

A=1,且■AZ耳-△aM+同=-2nTN，則數(shù)列an的通項公式為（）

A.=n*1-2*'B.4=mT'

C.，=n+1?2皿D.2n-l-2"-1

7.等比數(shù)列an的各項均為正數(shù).已知向St占=a4a,6=.且a-b-4.則

log閏+1嗎馬+…+1°923＞。=（）

A.12B.10C.5D.2+10%5

8.數(shù)列a0滿足：葉一玉,2a「nI.CEN.給出下述命8J正確的個數(shù)是：（）

①若數(shù)列a“滿足：馬＞4,則'a”nlnrN；

②存在常數(shù)C.使得a,■cneN成立；

③若p+q（其中pqmnwN）,則?+4,二可?、邸保?/p>

④存在常數(shù)d,使得a_a,+n1dneN都成立

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、多選題

9等差數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,若a0.公差d=0.則下列命就正確的是（

A.若工=§,則必有§4=0B.若，=0,則必有5?是5。中最大的項

C.若$6>5,則必有§>qD.若S6>§,則必有

10.已知等比數(shù)列a”中，滿足目=Lq=2,則（）

A.數(shù)列an是等比數(shù)列B.數(shù)列—是遞增數(shù)列

21a"

c.數(shù)列l(wèi)ogza”是等差數(shù)列D.數(shù)列an中，S^S4Sg仍成等比數(shù)列

11.設等比數(shù)列a?的公比為q,其前n項和為S0,前n項積為％,并且滿足條件J>1,

a6al>1,主?<0,則下列結(jié)論正確的是（）

西-?

A.0<q<1B.a6^>l

C.Sn的最大值為5D.7；的最大值為心

12.設x為不超過拗最大整數(shù)，a0為[xx]xw0,n能取到所有值的個數(shù)，是數(shù)列

-前礴的和，則下列結(jié)論正確的有（）

[an+2nj

A.a3=4B.190是數(shù)列an中的項

c.5o=?D.當n=7時，亙=21取最小值

6n

三、填空題

13.數(shù)列（25-2n）2"’的最大項所在的項數(shù)為______.

14.設數(shù)列an滿足a）=a,a^,-ll-an=2anneM,若數(shù)列an的前2019項的乘積為

3,則2=_____.

a-2a-2

15.在數(shù)列a中，0=3,且一2—----2—=2.

nn+1n

（1）an的通項公式為___________；

（2）在耳、馬、馬、…、joe這2019項中，被10除余2的項數(shù)為___________.

四、解答題

a-1

16.已知數(shù)列an滿足a,=1,且=

(1)證明數(shù)列，是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式.

(2)若。=—求數(shù)列。的前n項和Sn.

an+1

17.已知等差數(shù)列｛a?滿足a5=9,32+36=14.

(1)求｛a〃｝的通項公式；

^

(2)若h=af,+q"q>0，求數(shù)列｛d｝的前〃項和5

18.設d為等差數(shù)列｛an｝的公差，數(shù)列｛?｝的前n項和工，滿足/=(neNl,且

d=^=",若實數(shù)meR=｛x|ak_2<x<Q+3｝(keN\k>3),則稱m具有性質(zhì)月.

(1)請判斷h、4是否具有性質(zhì)?，并說明理由；

(2)設S.為數(shù)列｛aj的前n項和，若｛5-力.％｝是單調(diào)遞增數(shù)列，求證：對任意的k(keN,

k>3),實數(shù)，都不具有性質(zhì)B；

(3)設日?是數(shù)列｛%｝的前n項和，若對任意的ncN,村24|都具有性質(zhì)只，求所有滿足條件的

k的值.

參考答案

1.B

【解析】

【分析】

利用等差中項的性質(zhì)可得51=21引，求得引=3；再根據(jù)下角標的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】

由等差數(shù)列性質(zhì)可知：冬,解得：

1=21aH=63%=3

二33+4+09=3^=9

本題正確選項：B

【點睛】

本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

【分析】

設等比數(shù)列an的公比為q,根據(jù)題意得出關(guān)于q的二次方程，求出q的值，然后利用等比數(shù)列求

和公式可求出Z的值.

【詳解）

設等比數(shù)列的公比為由于的、馬、馬成等差數(shù)列，且

anq,2a,=1,

.?.也;的+劣，即旬=4+cf，即d-M+duO,解得q=2.

a,1-dlx1-25

因此，Si；=-----------=------------=31?

1-q1-2

故選：C.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列求和.解題的關(guān)鍵就是計算出等比數(shù)列的首項和公比，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)

3.D

【解析）

【分析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得5°,§O-5o,冬0-50,S旬-%也成等差數(shù)列，由此求得￡的值.

【詳解】

解：??.等差數(shù)列｛2?｝前/1項和為S”

???5。，§0-§0,50-§0,S閱一%也成等差數(shù)列

故（&-S&）+$o=2（5201slo）,

.?￡=150

又：（&-5o）+（S＜）-&）=2（$-＞）

,?.$^=280

故選D.

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列前n項和公式的應用.

4.C

【解析】

【分析】

對已知Sn+1S“2+1=Smi+12,進行化簡,令。=5,+1,可得0.32=虻…即A為等

比數(shù)列，利用J=La?=2可計算出。的首項和公比,從而可求得。的通項,得到S”的通項.

I詳解】

???Sn+1Sgz+1=SN+12，

令。=Sc+1

二。-切2=氏1，可得A為等比數(shù)列，設其公比為q

t|=Sj+l=a|+l=Zt^=^+1=al4-a2+1=4

.??=3=2,.?.。=牛小=2＞2~=2"

n

Sn=bn-l=2-l,故選C項.

【點睛】

本題考查換元法求數(shù)列的通項，等比數(shù)列求通項，考查內(nèi)容比較簡單，屬于簡單題.

5.B

【解析】

【分析】

先根據(jù)遞推公式求出首項，再遞推一步，兩個等式相減，即可判斷出數(shù)列an是等比數(shù)列，最后求

出通項公式即可.

【詳解】

因為5?=33。-2(口€叱)...①,n=1時，5=陽-2.可得5=1,

3

n22時，SM=3a>1-2…②，①-②得an=3ar,-3a^,an=-a^,,

所以an是等比數(shù)列，an=lx(±r=(^r'.

故選：B

【點睛】

本題考查了通過遞推公式求等比數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)學運算能力.

6.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題中定義結(jié)合等式△,n-AaM+a.u-Z1neN可得出=2。+2",等式兩邊同時除

以2湎,可得出爵=/+；,可知數(shù)列|關(guān)：是以;為首項，以;為公差的等差數(shù)列，求出數(shù)列

fa1

［才j的通項公式，即可得出an.

【詳解】

n

根據(jù)題中定義可得△2an-aa(Hi+arl=Aa^,-Aan-Aawl+an=-2neN.

即an-Aan=a.-a^y-an=2an-a向=-2",即a2=2a0+2”,

111

爵naa3

得

n-且

=-+--=2=-

2>-22

2nr

所以，數(shù)列擺是以;為首項，以;為公差的等差數(shù)列一n-1=，

因此，an=n-2^'.

故選：B.

【點睛】

本題考查利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，涉及數(shù)列的新定義以及等差數(shù)列的定義，考查運算求解能

力，屬于中等題.

7.C

【解析】

【分析】

利用數(shù)量積運算性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)運算性質(zhì)即可得出.

【詳解】

向量a=（a4,*）,6=（馬，2）,且ab=4,

2馬+a5a6—4,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：弓加:……二a4a7=a5a6=2,

則10gz司+log2a2++log2%=Sg2（74?%）=loa^log.2^5.

故選C.

【點睛】

本題考查數(shù)審積運算性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)運算性質(zhì)，考查推理能力與計算能力，屬于中

檔題.

8.A

【解析】

【分析】

由aa+aN>2an得.az-a;1>an-a”],然后結(jié)合條件,逐一判斷四個命題的真假.

1詳解】

由a”1+>2an,得a^-an>an-,即數(shù)列a?,-an是遞增數(shù)列.

對于①，若％>a,則an->a^,-a^2>???>馬-a|>0,「高。>a^,成立，正確；

對于②，若數(shù)列an為遞減數(shù)列，如：1，；，；，；，…，滿足題意，但是當n->+s時，a.f-8.

不存在常數(shù)c,使得a,>cneM成立，錯誤；

對于③，若數(shù)列an為遞減數(shù)列，如：1，；，！，；，…，滿足題意，2+4>1+3,但是

32+a4<a,+a3,錯誤；

對于④，若數(shù)列an為遞減數(shù)列，如：I，；[，；，…，滿足題意，但是當2+s時，a.T-8,

故不存在常數(shù)d,使得a。>a,+n-1dneN都成立，錯誤.

故選：A.

【點睛）

本題主要考查數(shù)列遞推式以及數(shù)列單調(diào)性的應用,意在考查學生的邏輯推理能力，屬于中檔題.

9.ABC

【解析】

【分析】

直接根據(jù)等差數(shù)列｛an｝的前n項和公式s.=g+'』逐一判斷.

【詳解】

等差數(shù)列｛aj的前n項和公式Sn=na,+-~--.

若W=，，則5a,+10d=9a,+36d,

13d

2al+13d=0,4=--,q>0,d<0,

W。，§4=74+8,4=0,q對；

nnld

..Sn=3+-=-咽+nn」d.業(yè)二呵,由二次函數(shù)的性質(zhì)知§是

222-2

中最大的項，①寸；

若$6>§,則%=a,+6d<0,q<-6d.

>0,：.d<0,4=a+5d<-6d+d=-d>0,^=a7+d<a7<0,

§>&=§+4，;

故選：ABC.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式及其應用，屬于中檔題.

10.AC

【解析】

【分析】

*,

根據(jù)題意求出等比數(shù)列an的通項公式,即可求出數(shù)列馬。,羨,log2an的通項公式，并

判斷數(shù)列類型，由等比數(shù)列前n項和公式.可求出SWSR,S3c.即可判斷選項D的真假.

【詳解)

n

等比數(shù)列an中，0=1,q=2,所以名=2)Sn=2-1.

于是故數(shù)列是等比數(shù)列,

a2c=4",,1092an=n-1,a2n

數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列l(wèi)ogzq,是等差數(shù)列.

因為3O率，所以不成等比數(shù)列.

5O=2'°-1,§2O=22°-1,§O=2-1,

而Ao

故選:AC.

【點胤

本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用，以及通過通項公式判斷數(shù)列類型，屬于

基礎(chǔ)題.

11.AD

【解析】

【分析】

分類討論86.0大于1的情況，得出符合題意的一項.

【詳解】

a,-1八

①a6>1e>L與題設工^<0矛盾.

37T

符合題意.

②&>La7VL

a—1

③aeVl?<1,與題設個彳<0矛盾.

訪-1

④aevLa,〉］與題設0>1矛盾.

得則工的最大值為

a6>1,a7cL0<q<1,Z.

.--B.C.錯誤.

故選：AD.

【點睛】

考查等比數(shù)列的性質(zhì)及概念.補充：等比數(shù)列的通項公式：耳,=4/,neN

12.ACD

【解析】

【分析】

先根據(jù)a。的定義可求得a,,%,a3,再確定電的遞推公式，從而求得2?的通項公式求解即可.

【詳解】

當n=1時,xwQi,x=0,xx=0,故[xx]=0,即a,=1,

當n=2時,xe0,2,x=0,1,xxe01,2，故[xx]=0,1,即4=2,

當n=3時,xe0,3,x=0,1,2,xxe0J1,2J4,6，故[XX]=0,1,4,5,即為=4.

以此類推，當nz2,xeO.n時,x=0.1.Z...n,

xxe0M1,2u4,6^[(n-l^.rXn-l),故[xx]可以取的個數(shù)為

,fi-n+2Dn#-0+2--

1+1+2+3+...+D—1-------------.即％=―-~~----,D22

r?-n+2

當n=1時也滿足上式，故a.=!；,neN*.

32-3+2

對A.a,==」=4,故A正確.

%2

n2

對B,令an=」-+2=]90=>n-n-378=0無整數(shù)解故B錯誤.

-1_211、

C,

'an+2n(n+1)(n+2)n+1n+2

11111\i2、仁「25

故公陶7+“廣??+荷-初)=1-自故5。=1-立7故c正確.

對D,生0="+義-lz2x?回亙-L當且僅當《2=>n=2jiie6.7時取等號.

n2n2V2n22n

因為neN*,當n=6時.生且=6+!，當n=7時,包土耳=6+1,

n6n7

故當n=7時,反匹馬取最小值,故D正確.

n

故選：ACD

【點睛】

本題主要考查了數(shù)列中的新定義問題，需要根據(jù)題意求解通項公式迸行分析，主要考查遞推公式推導

通項公式的方法等.屬于難題.

三、填空題

13.11.

I解析】

【分析】

fa>a,

n

an=(252n)2e',nz2時，，得到關(guān)于n的不等式組，解得n的范圍，結(jié)合nwN，,

[an>a^}

得到n的值,再與n=1時進行比較，得到答案.

【詳解】

令為=(25-2力2)

當n?2時，設名為最大項，則％:心,

,—Awl

(25-2n)2f(27-2n)27

即',

(25-2n)2^'>(23-2n)2n,

.2123

解得24口4/?

而neN',所以n=11

又n=1時，有a；=23〈馬=42.

所以數(shù)列(25-2n)2"的最大項所在的項數(shù)為11.

故答案為：11

【點睛】

本題考查求數(shù)列中的最大項，屬于簡單題.

14.2

【解析】

【分析】

本題先根據(jù)遞推式的特點可知名工1,然后將遞推式可轉(zhuǎn)化為再根據(jù)a,=a逐步代入

>~an

前幾項即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列an是以最小正周期為4的周期數(shù)列.再算出一個周期內(nèi)的乘積為1,即可根據(jù)

前2019項的乘積為3求出a的值.

I詳解】

,1+a

解：由題意，根據(jù)遞推式，a.=1,故遞推式可轉(zhuǎn)化為%|=；；~n

I-a?

-1+at1,a+1

Q2019=4*504+3,?二耳,生…％o】9二耳,出,馬二a?------=--=3,

1-8\3)3—1

解得a=2.

故答案為：2.

【點睛】

本題主要考查周期數(shù)列的判定以及周期數(shù)列的性質(zhì)應用.本題屬中檔題.

2

17.an=2n-n+2403

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)款意得知數(shù)列?千工1為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求出數(shù)列12H的

通項公式，即可求出外；

(2)設a*W-n+ZTOk+ZkwZ,可得出10k=n2n-l,由2n-1為奇數(shù)，可得出n為

10的倍數(shù)或2n-1為5的奇數(shù)倍且n為偶數(shù)，求出兩種情況下n值的個數(shù)，相加即可得出答案.

【詳解】

(1)?.?壇F-冬旦2且霽送=1,

所以，數(shù)列12H是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，

??2

?當-2=1+2n-1=2n-1,.\an=2n-n+2；

n

(2)被10整除且余數(shù)為2的整數(shù)可表示為10k+2keZ,

令4=24-門+2=10/(+2,可得10k=n2n-1,

-.nsN',且1vnw2019,貝iJ2n-1為奇數(shù).

則n為10的倍數(shù)，或者2n-1為5的奇數(shù)倍且n為偶數(shù).

當n為10的倍數(shù)時，n的取值有：10、20、30、…、2010.共201個；

當2n-1為5的奇數(shù)倍且n為偶數(shù)時，n的取值有：8、18.28、…、2018,共202個.

綜上所述，在弓、為、馬、…、馬。19這2019項中，被10除余2的項數(shù)為201+202=403

故答案為：2#-“+2;403.

【點睛】

本題考查數(shù)列通項的求解，同時也考查了數(shù)列中項的整除問題,考查分類討論思想的應用，屬于中

等逋.

見解析，n

16.(1)an=^-1(2)Sn=1-n?2+1

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列一；,是等差數(shù)列，并通過數(shù)列-----；的通項公式得到

a+Lla.+1j

數(shù)列的通項公式;

an

2n

(2)因為。=—；="々"，根據(jù)錯位相減法即可求出數(shù)列0的前n項和S“.

3n+l

【詳解】

a「1

(1)因為

an+3

,2a+1

兩邊都加上1,得a*+1=-n=—

a“+3

1if.2^11111

所以------；=-1+―;=力+―;，即:一o.

a^i+l2、an+1J2an+1+1a^+l2

f11111

所以數(shù)列一；是以不為公差，首項為三：=不的等差數(shù)列.

1nn

所以:T方=5,即％=

dn+INZ

2n

(2)因為。=-2)所以數(shù)列d的前n項和.§,=1?1+2,2'+3,22+...+m2-①

a0+1

23

則2Sn=1x2'+2<2+3>2+...+m2-

>

由①一②，得一Sri=1x1+1x2'+1x22+?“+1xZ'-n-2"=1-n2"-1.

n

所以Sn=n-1-2+l

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的證明，等差數(shù)列通項公式的求法，以及錯位相減法的應用.意在考查學生

的數(shù)學運算能力,屬于中檔題.

nn+1,q=1

2n

17.(1)an=2n-1(2)Sn=<ql-q

rr+-------z-,q>0且qw1

、1-w

【解析】

【分析】

(1)設等差數(shù)列｛加｝的首項為動，公差為&將條件轉(zhuǎn)化為基本1再迸行計算，得到0和d的值，從

而得到｛aj的通項公式；(2)先得到4的通項，然后當q>0且qHI時，對。進行分組求和，分為一

個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列，分別求和再相加，當q=1時，々是一個等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求

和公式進行求和.

【詳解】

(1)設等差數(shù)列｛aj的首項為小，公差為d,

則由35=9,32+36=14

|a)+4d=9|a,=1

得;414解得二O

12al+6d=14Id=2

所以｛a力的通項公式加二2n-1.

⑵由而二2。-1,

得。=2n-1+d>l

當q>0且qHI時,

Sn=[1+3+5+7+...+(2/7-1)]+(</+爐+…+中

4+"

1-q2

當g二1時，bn-2/7,則$=n(0+1).

nn-i-1,q=1

所以數(shù)列｛d｝的前〃項和5,=,qi-f

ITH----------=—,q>0且qwl

1-q2

【點睛】

本題考查通過基本量求等差數(shù)列的通項公式，分組求和法求數(shù)列前n項的和.屬于中檔題.

18.(1)。不具有性質(zhì)4具有性質(zhì)總,理由見解析；(2)證明見解析；(3)3和4.

【解析】

【分析】

求得時,數(shù)列｛。｝的前項,可得和首項弓彳導到等差數(shù)列的通項，即可判斷

(1)n=123456,77d｛an｝

久“是否具有性質(zhì)兄；

由題意可得代入等差數(shù)列的通項公式和求和公式,化簡整理可得

(2)-2Aa.“zSn-2Aa0｛a3

入入v-1,結(jié)合集合中元素的特點，即可得證;

(3)求得n=123,4,的特點，結(jié)合k=3456集合的特點,即可得到所求取值.

【詳解】

解：(i)由工+；=2+；=_匕得自=_4,

E+a=h+4+4+a=_4