2024春七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)專項(xiàng)3.3平方差公式綜合高分必刷含解析新版浙教版

Page12專項(xiàng)3.3平方差公式綜合高分必刷1．（青白江區(qū)校級(jí)月考）如圖，邊長(zhǎng)為（m+2）的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為m的正方形之后余下部分又剪開拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無縫隙），若拼成的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為2，其面積是（）A．2m+4 B．4m+4 C．m+4 D．2m+2【答案】B【解答】解：依題意得剩余部分為（m+2）2﹣m2＝m2+4m+4﹣m2＝4m+4，而拼成的矩形一邊長(zhǎng)為2，∴另一邊長(zhǎng)是（4m+4）÷2＝2m+2．∴面積為2（2m+2）＝4m+4．故選：B．2．（建始縣校級(jí)模擬）計(jì)算（2m﹣3n）（﹣2m﹣3n）的結(jié)果是（）A．﹣4m2+9n2 B．﹣4m2﹣9n2 C．4m2﹣9n2 D．4m2+9n2【答案】A【解答】解：（2m﹣3n）（﹣2m﹣3n）＝（﹣3n）2﹣（2m）2＝﹣4m2+9n2，故選：A．3．（任城區(qū)校級(jí)月考）已知a+b＝6，則a2﹣b2+12b的值為（）A．6 B．12 C．24 D．36【答案】D【解答】解：∵a+b＝6，∴a2﹣b2+12b＝（a+b）（a﹣b）+12b＝6（a﹣b）+12b＝6a﹣6b+12b＝6a+6b＝6（a+b）＝6×6＝36，故選：D．4．（電白區(qū)月考）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A．21024 B．21024+1 C．22048 D．22048+1【答案】C【解答】解：設(shè)S＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）∴（2﹣1）S＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1）＝（21024﹣1）（21024+1）＝22048﹣1，∴（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1＝S+1＝22048﹣1+1＝22048．故選：C．5．（如東縣期中）已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2+n2＝2+mn，則（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最小值為（）A．24 B． C． D．﹣4【答案】D【解答】解：∵m2+n2＝2+mn，∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2＝5m2+5n2﹣12mn＝5（mn+2）﹣12mn＝10﹣7mn，∵m2+n2＝2+mn，∴（m+n）2＝2+3mn≥0（當(dāng)m+n＝0時(shí)，取等號(hào)），∴mn≥﹣，∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（當(dāng)m﹣n＝0時(shí)，取等號(hào)），∴mn≤2，∴﹣≤mn≤2，∴﹣14≤﹣7mn≤，∴﹣4≤10﹣7mn≤，即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最小值為﹣4，故選：D．6．（相城區(qū)期末）若a2﹣2a﹣1＝0，那么代數(shù)式（a+2）（a﹣2）﹣2a的值為（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3【答案】B【解答】解：（a+2）（a﹣2）﹣2a＝a2﹣4﹣2a＝a2﹣2a﹣4，∵a2﹣2a﹣1＝0，∴a2﹣2a＝1，∴原式＝1﹣4＝﹣3．故選：B．7．（南召縣期中）若一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“好數(shù)”．下列正整數(shù)中能稱為“好數(shù)”的是（）A．205 B．250 C．502 D．520【答案】D【解答】解：依據(jù)平方差公式得：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．所以兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的“好數(shù)”是8的倍數(shù)205，250，502都不能被8整除，只有520能夠被8整除．故選：D．8．（梁平區(qū)期末）假如一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過2017的正整數(shù)中，全部的“和諧數(shù)”之和為（）A．255024 B．255054 C．255064 D．250554【答案】A【解答】解：設(shè)相鄰的兩奇數(shù)分別為2n+1，2n﹣1（n≥1，且n為正整數(shù)），（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，依據(jù)題意得：8n≤2017，∴n≤252，∴n最大為252，此時(shí)2n+1＝505，2n﹣1＝503，∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．故選：A．9．（東莞市期末）如圖，邊長(zhǎng)為m+4的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個(gè)矩形，若拼成的矩形一邊長(zhǎng)為4，則另一邊長(zhǎng)為．【答案】2m+4【解答】解：設(shè)拼成的矩形的另一邊長(zhǎng)為x，則4x＝（m+4）2﹣m2＝（m+4+m）（m+4﹣m），解得x＝2m+4．故答案為：2m+4．10．（同心縣校級(jí)期末）如圖兩幅圖中，陰影部分的面積相等，則該圖可驗(yàn)證的一個(gè)初中數(shù)學(xué)公式為．【答案】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：第一個(gè)圖的陰影部分的面積是：a2﹣b2，其次個(gè)圖形陰影部分的面積是：（a+b）（a﹣b），則a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．11．（市北區(qū)期中）數(shù)學(xué)愛好小組發(fā)覺：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1利用你發(fā)覺的規(guī)律：求：72024+72024+72024+…+7+1＝．【答案】【解答】解：72024+72024+72024+…+7+1＝×（7﹣1）（72024+72024+72024+…+7+1）＝×（72024﹣1）＝．故答案為：．12．（碑林區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：20242﹣2024×2024＝．【答案】4【解答】解：原式＝20242﹣（2024+2）（2024﹣2）＝20242﹣（20242﹣22）＝20242﹣20242+4＝4．故答案為：4．13．（李滄區(qū)期末）假如一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“才智數(shù)”．例如3＝22﹣12，7＝42﹣32，16＝52﹣32，3，7，16就是三個(gè)才智數(shù)．在正整數(shù)中，從1起先，第2024個(gè)才智數(shù)是．【答案】2699【解答】解：設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為k+1，k，其中k≥1，且k為整數(shù)．則（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為k+1，k﹣1，其中k≥1，且k為整數(shù)．則（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，k＝2時(shí)，4k＝8，∴除4外，全部能被4整除的偶數(shù)都是才智數(shù)．∴4k（k≥2且k為整數(shù)）均為才智數(shù)；除1外，全部的奇數(shù)都是才智數(shù)；除4外，全部能被4整除的偶數(shù)都是才智數(shù)；這樣還剩被4除余2的數(shù)，特殊值2，6，10都不是才智數(shù)，也就是被4除余2的正整數(shù)都不是才智數(shù)，推廣到一般式，證明如下：∵假設(shè)4k+2是才智數(shù)，那么必有兩個(gè)正整數(shù)m和n，使得4k+2＝m2﹣n2，∴4k+2＝2（2k+1）＝（m+n）（m﹣n）①，∵m+n和m﹣n這兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同，∴等式①的右邊要么是4的倍數(shù)，要么是奇數(shù)，而左邊確定是偶數(shù)，但確定不是4的倍數(shù)．可左、右兩邊不相等．所以4k+2不是才智數(shù)，即被4除余2的正整數(shù)都不是才智數(shù)．∴把從1起先的正整數(shù)依次每4個(gè)分成一組，除第一組有1個(gè)才智數(shù)外，其余各組都有3個(gè)才智數(shù)，而且每組中其次個(gè)不是才智數(shù)，又∵（2024﹣1）÷3＝673??????2，∴第2024個(gè)才智數(shù)在1+673+1＝675（組），并且是第三個(gè)數(shù)，即675×4﹣1＝2699，是個(gè)奇數(shù)，∴2k+1＝2699，解得k＝1349，k+1＝1350，即第2024個(gè)才智數(shù)是2699，1349和1350是它的才智分解．故答案為：2699．14．（閔行區(qū)期中）如圖，正方形ABCD與正方形CEFG的面積之差是6，求陰影部分的面積．【解答】解：設(shè)正方形ABCD與正方形CEFG的邊長(zhǎng)分別為a和b，由題意得：b2﹣a2＝6．由圖形可得：S陰＝a（b﹣a）+（b2﹣ab）＝ab﹣a2+b2﹣ab＝（b2﹣a2）＝×6＝3．故陰影部分的面積為3．15．（西安期末）探究活動(dòng)：（1）將圖1中陰影部分裁剪下來，重新拼成圖②一個(gè)長(zhǎng)方形，則長(zhǎng)表示為，寬為．（2）則圖2中陰影部分周長(zhǎng)表示為．學(xué)問應(yīng)用：運(yùn)用你得到的公式解決以下問題（3）計(jì)算：已知a＝5m﹣3n，b＝3m+5n，則圖2中陰影部分周長(zhǎng)是多少？【解答】解：（1）由題意可得：圖2長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：a+b，寬為：a﹣b，故答案為：a+b，a﹣b；（2）圖2中陰影部分周長(zhǎng)表示為：2（a+b+a﹣b）＝4a，故答案為：4a；（3）∵a＝5m﹣3n，b＝3m+5n．∴陰影部分周長(zhǎng)是4a＝4（5m﹣3n）＝20m﹣12n．16．（天橋區(qū)期末）如圖，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b（b＜a）的小正方形，如圖2是由圖1中的陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）設(shè)圖1陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，請(qǐng)干脆用含a，b的式子表示S1＝，S2＝，寫出上述過程中所揭示的乘法公式；（2）干脆應(yīng)用，利用這個(gè)公式計(jì)算：①（﹣x﹣y）（y﹣x）；②102×98．（3）拓展應(yīng)用，試?yán)眠@個(gè)公式求下面代數(shù)式的結(jié)果．（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．【解答】解：（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），∵S1＝S2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）①（﹣x﹣y）（y﹣x）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2；②102×98＝（100+2）×（100﹣2）＝9996．（3）（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（31024+1）+1，＝（3﹣1）×[（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（31024+1）]÷（3﹣1）+1，＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（31024+1）÷2+1，＝[（31024）2﹣12]÷2+1，＝（32048﹣1）÷2+1，＝17．（大連期末）乘法公式的探究及應(yīng)用．（1）如圖1，是將圖2陰影部分裁剪下來，重新拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是；如圖2，陰影部分的面積是；比較圖1，圖2陰影部分的面積，可以得到乘法公式；（2）運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題：①103×97；②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．【解答】解：（1）由拼圖可知，圖形1的長(zhǎng)為（a+b），寬為（a﹣b），因此面積為（a+b）（a﹣b），圖形2的陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，由圖形1，圖形2的面積相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32＝10000﹣9＝9991；②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]＝（2x）2﹣（y﹣3）2＝4x2﹣（y2﹣6y+9）＝4x2﹣y2+6y﹣9．18．（奉化區(qū)校級(jí)期末）某同學(xué)利用若干張正方形紙片進(jìn)行以下操作：（1）從邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中減去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，如圖1，再沿線段AB把紙片剪開，最終把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形，這一過程所揭示的公式是．（2）先剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形紙片和一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形紙片，再剪出兩張邊長(zhǎng)分別為a和b的長(zhǎng)方形紙片，如圖3，最終把剪成的四張紙片拼成如圖4的正方形．這一過程你能發(fā)覺什么代數(shù)公式？（3）先剪出兩個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形紙片和一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形紙片，再剪出三張邊長(zhǎng)分，別為a和b的長(zhǎng)方形紙片，如圖5，你能否把圖5中全部紙片拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？假如可以，請(qǐng)畫出草圖，并寫出相應(yīng)的等式，假如不能，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）圖1的面積為a2﹣b2，圖2的面積為（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）拼圖前的面積為a2+2ab+b2，拼圖后的面積為（a+b）2，因此可得a2+2ab+b2＝（a+b）2，即完全平方公式；（3）拼圖前的面積為2a2+3ab+b2，因此可以拼成長(zhǎng)（2a+b），寬為（a+b）的長(zhǎng)方形，拼圖如圖所示：19.（寶安區(qū)期末）初中數(shù)學(xué)的一些代數(shù)公式可以通過幾何圖形的面積來推導(dǎo)和驗(yàn)證．如圖①，從邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后，將其沿虛線裁剪，然后拼成一個(gè)矩形（如圖②）．（1）通過計(jì)算圖①和圖②中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的公式是：＝．（2）小明在計(jì)算（2+1）（22+1）（24+1）時(shí)利用了（1）中的公式：（2+1）（22﹣1）（24+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）＝．（請(qǐng)你將以上過程補(bǔ)充完整．）（3）利用以上的結(jié)論和方法、計(jì)算：+（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．【解答】解：（1）圖①中陰影部分的面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，圖②是長(zhǎng)為a+b，寬為a﹣b的長(zhǎng)方形，因此面積為（a+b）（a