2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)素養(yǎng)提升第4章三角函數(shù)解三角形第3講兩角和與差的三角函數(shù)二倍角公式第1課時三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用

幫助角公式的應(yīng)用應(yīng)用1求值(2024·浙江)若3sinα－sinβ＝eq\r(10)，α＋β＝eq\f(π,2)，則sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cos2β＝eq\f(4,5).[解析]三角函數(shù)的恒等變換(理性思維)因為α＋β＝eq\f(π,2)，所以β＝eq\f(π,2)－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝3sinα－cosα＝eq\r(10)sin(α－φ)＝eq\r(10)，其中sinφ＝eq\f(\r(10),10)，cosφ＝eq\f(3\r(10),10).所以α－φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以α＝eq\f(π,2)＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ＋2kπ))＝cosφ＝eq\f(3\r(10),10)，k∈Z.因為sinβ＝3sinα－eq\r(10)＝－eq\f(\r(10),10)，所以cos2β＝1－2sin2β＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).應(yīng)用2求最值1．(2017·全國Ⅱ)函數(shù)f(x)＝2cosx＋sinx的最大值為eq\r(5).[分析]干脆利用幫助角公式化為Asin(ωx＋φ)．[解析]f(x)＝eq\r(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx·\f(2\r(5),5)＋sinx·\f(\r(5),5)))＝eq\r(5)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中cosφ＝\f(\r(5),5)，sinφ＝\f(2\r(5),5)))，明顯f(x)的最大值為eq\r(5).2．函數(shù)f(x)＝2eq\r(3)sinx·cosx－2sin2x的值域為[－3,1].[分析]高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用幫助角公式化為Asin(ωx＋φ)．[解析]f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x＋\f(1,2)cos2x))－1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1.明顯f(x)max＝1，f(x)min＝－3.故f(x)的值域為[－3,1]．應(yīng)用3求單調(diào)區(qū)間函數(shù)f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sinxcosx(x∈[0，π])的單調(diào)遞減區(qū)間為(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))[解析]函數(shù)f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z.∵x∈[0，π]，∴當(dāng)k＝0時，可得單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，故選B．名師點撥：用幫助角公式變形三角函數(shù)式時：1．遇兩角和或差的三角函數(shù)，要先綻開再重組；2．遇高次時，要先降冪；3．熟記以下常用結(jié)論：(1)sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4)))；(2)eq\r(3)sinα±cosα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,6)))；(3)sinα±eq\r(3)cosα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,3))).【變式訓(xùn)練】1．(2024·湖南瀏陽一中期中)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＋cosα＝－eq\f(\r(3),3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝(C)A．－eq\f(2\r(2),3) B．eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)[解析]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＋cosα＝－eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＋cosα＝－eq\f(\r(3),3)，即eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(3,2)cosα＝－eq\f(\r(3),3)∴eq\f(1,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝－eq\f(1,3)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,3)，故選C．2．(2024·北京，14)若函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值為2，則常數(shù)φ的一個取值為eq\f(π,2)(取值滿足φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)即可).[解析]本題考查三角恒等變換及幫助角公式的應(yīng)用．f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx＝sinxcosφ＋cosxsinφ＋cosx＝cosφsinx＋(sinφ＋1)cosx＝eq\r(cos2φ＋sinφ＋12)·sin(x＋θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(sinφ＋1,cosφ)))，由f(x)的最大值為2，所以eq\r(cos2φ＋sinφ＋12)＝2，化簡可得sinφ＝1，則φ可為eq\f(π,2)，其取值滿足φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)即可．3．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x，則f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的增區(qū)間為(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(2π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,12)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))[解析]f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x＝cosxsinx－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a