2025屆新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.4圓的方程2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件新人教A屆選擇性必修第一冊(cè)

2．4圓的方程2．4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

1．會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)．(重點(diǎn))2．會(huì)根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．(易錯(cuò)點(diǎn))

通過對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).必備知識(shí)?探新知

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)點(diǎn)1(1)條件：圓心為C(a，b)，半徑長為r.(2)方程：____________________.(3)特例：圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長為r的圓的方程是_____________.思考：方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圓的方程嗎？若方程表示圓，m滿足什么條件？此時(shí)圓的圓心和半徑分別是什么？提示：當(dāng)m＝0時(shí)，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示點(diǎn)(－a，－b)．當(dāng)m≠0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓的圓心為(－a，－b)，半徑為|m|.(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2做一做：1.圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是(

)A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9[解析]

由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓的方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故選D.2．若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋5)2＝3，則此圓的圓心坐標(biāo)為_______________，半徑為______.D(1，－5)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷方法位置關(guān)系利用距離判斷利用方程判斷點(diǎn)M在圓上|CM|_____r(x0－a)2＋(y0－b)2_____r2點(diǎn)M在圓外|CM|_____r(x0－a)2＋(y0－b)2_____r2點(diǎn)M在圓內(nèi)|CM|_____r(x0－a)2＋(y0－b)2_____r2＝＝>><<做一做：點(diǎn)P(－2，－2)和圓x2＋y2＝4的位置關(guān)系是(

)A．在圓上 B．在圓外C．在圓內(nèi) D．以上都不對(duì)[解析]

∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，∴點(diǎn)P(－2，－2)在圓外，故選B.B關(guān)鍵能力?攻重難1．求經(jīng)過A(1,3)，B(4,2)兩點(diǎn)，且圓心C在直線l：x＋y－3＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．題型探究題型一求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[規(guī)律方法]

求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心C(a，b)和半徑r，其求解方法：一是待定系數(shù)法，由三個(gè)獨(dú)立的條件建立關(guān)于a，b，r的方程組，進(jìn)而求得圓的方程，它是求圓的方程的常用方法．二是幾何法，常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間距離公式，有時(shí)還用到平面幾何知識(shí)，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線交點(diǎn)必為圓心”等．

求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)圓心在y軸上，半徑長為5，且過點(diǎn)(3，－4)；(2)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，求△ABC的外接圓方程．[解析]

(1)設(shè)圓心C(0，b)，則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8.∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?題型二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系2．已知圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．(1)若點(diǎn)M(6,9)在圓上，求a的值；(2)已知點(diǎn)P(3,3)和點(diǎn)Q(5,3)，線段PQ(不含端點(diǎn))與圓N有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．[規(guī)律方法]

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外．判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有兩種方法：一是用圓心到該點(diǎn)的距離與半徑比較，二是代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷與r2的大小關(guān)系．通過點(diǎn)與圓的位置關(guān)系建立方程或不等式可求參數(shù)值或參數(shù)的取值范圍．

若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則a的取值范圍是(

)A．a(chǎn)<－1或a>1 B．－1<a<1C．0<a<1 D．a(chǎn)＝±1[解析]

由題意可知，(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得a2<1，故－1<a<1.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?B題型三與圓有關(guān)的軌跡問題3．已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．[解析]

(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x0，y0)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)P坐標(biāo)為(2x0－2,2y0)．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x0－2)2＋(2y0)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x′，y′)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2.所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2＝4.[規(guī)律方法]

求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法(1)直接法：根據(jù)題設(shè)條件直接列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓的定義寫出方程．(3)幾何法：利用圓的性質(zhì)列方程．(4)代入法：找出要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?課堂檢測(cè)?固雙基1．點(diǎn)P(1,3)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是(

)A．在圓外 B．在圓內(nèi)C．在圓上 D．不確定[解析]

由12＋32<24可知，點(diǎn)P(1,3)在圓內(nèi)，故選B.B2．以(2，－1)為圓心，4為半徑的圓的方程為(

)A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x－2)2＋(y－1)2＝16[解析]

圓心為(2，－1)，半徑為4的圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝16.C3．經(jīng)過點(diǎn)A(－4，－5)，B(6，－1)，且以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________________.(x－1)2＋(y＋3)2＝294．若圓(x＋1)2