第1章 三角形的證明（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（基礎(chǔ)篇）

第1章三角形的證明（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（基礎(chǔ)篇）一、單選題1．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為x，y，且滿足，則三角形的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．或2．下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（

）A．1，2， B．6，8，10 C．5，12，13 D．1．5，2，33．已知：是等腰三角形，，是底邊上的高，下面結(jié)論不一定成立的是（）A． B． C．平分 D．4．如圖，，分別是線段，的垂直平分線，連接，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧相交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，直線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，連接，若，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．86．如圖，在四邊形中，，，，對(duì)角線平分，則的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，在中，，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，那么的長(zhǎng)度不可能是（

）A． B． C． D．8．如圖，在中，，，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)T，連接，則的度數(shù)是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°9．如圖，中，是邊的高線，平分，，，則的面積是（）A． B． C． D．10．如圖，在△BAC中，∠B和∠C的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BD=5，CE=4，則線段DE的長(zhǎng)為（）?A．9 B．6 C．5 D．4二、填空題11．如圖，在中，，是高，，，則的長(zhǎng)是_________．12．如圖，在中，，，且與交于點(diǎn)H，若，則的度數(shù)為___________°．13．如圖，在中，是的垂直平分線，，，則長(zhǎng)是__________．14．如圖，，，垂足分別為、，、相交于點(diǎn)，且平分，，則______．15．如圖，在中，，，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為________．16．如圖，在中，于點(diǎn)D，C是上一點(diǎn)，，且點(diǎn)C在的垂直平分線上．若的周長(zhǎng)為30，則的長(zhǎng)為_________．17．如圖，等邊和等邊的邊長(zhǎng)都是4，點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)P在線段上，則的最小值為__________．18．已知，P是射線上一動(dòng)點(diǎn)（即P點(diǎn)可在射線上運(yùn)動(dòng)），．設(shè)．則x滿足條件________________________時(shí)，為鈍角三角形．三、解答題19．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，于點(diǎn)E（1）求證：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的長(zhǎng)．20．如圖，在中，是高．動(dòng)手操作：利用尺規(guī)作圖作的平分線，交邊于點(diǎn)E（不寫作法，保留作圖痕）．在（1）的條件下，若，，求的度數(shù)；21．如圖，在中，，，是邊上的一點(diǎn)，以為直角邊作等腰，其中，連接．求證：；若時(shí)，求的長(zhǎng)．22．如圖，在中，，分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．23．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BC交CF的延長(zhǎng)線于D．(1)求證：AE＝CD；(2)若AC＝12cm，求BD的長(zhǎng)24．如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接．求證：；求的度數(shù)；探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，于點(diǎn)M，連接．①的度數(shù)為°；②線段之間的數(shù)量關(guān)系為．（直接寫出答案，不需要說明理由）參考答案1．C【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值，再分4是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解．解：∵，∴，，解得：，，4是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形得三邊分別為4、4、8，∵，∴不能組成三角形；4是底邊時(shí)，三角形得三邊分別為4、8、8，可以組成三角形，周長(zhǎng)，所以三角形得周長(zhǎng)為20．故答案選：D【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，絕對(duì)值的非負(fù)性和平方非負(fù)性的性質(zhì)，根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)算式都等于零求出x、y的值是解此類題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，即如果三角形的三條邊滿足則這個(gè)三角形是直角三角形，即可得出結(jié)果選D解：A、滿足勾股定理的逆定理，故此項(xiàng)不選B、滿足勾股定理的逆定理，故此項(xiàng)不選C、滿足勾股定理的逆定理，故此項(xiàng)不選D、不滿足勾股定理的逆定理所以不能構(gòu)成直角三角，故選此項(xiàng)故選擇D．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的逆定理，掌握住勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可確定答案．解：由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得：，平分，由等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)不一定有，除非是等腰直角三角形．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)是關(guān)鍵．4．B【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可求解．解：如圖所示，連接，∵，分別是線段，的垂直平分線，∴，故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．A【分析】先利用勾股定理求出，再根據(jù)作圖方法可知是線段的垂直平分線，則，最后根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．解：在中，，，∴，由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，∴，∴的周長(zhǎng)，故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，證明的周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】過D作于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的面積公式求出答案即可．解：過D作于E，∵，對(duì)角線平分，∴，∵，∴，∵，∴，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積和角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．7．D【分析】在中，利用“在直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可求出的長(zhǎng)，由點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)結(jié)合，的長(zhǎng)，即可得出長(zhǎng)的取值范圍，再對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論．解：在中，，，，．點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，，即．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了含度角的直角三角形的性質(zhì)通過解含度角的直角三角形，求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)，，計(jì)算；根據(jù)，得，根據(jù)直角定義計(jì)算的度數(shù)即可．解：因?yàn)?，，所以；因?yàn)?，所以，所以，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，等腰三角形的性質(zhì)，本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，如圖所示：∵是邊的高線，∴，∵平分，∴，∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．10．A【分析】根據(jù)△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F．求證∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，再利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，求證出∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，即BD=DF，F(xiàn)E=CE，然后利用等量代換即可求出線段DE的長(zhǎng)．解：∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，∵DE∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠ECF，∴BD=DF=5，F(xiàn)E=CE=4，∴DE=DF+EF=5+4=9．故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定和平行線的性質(zhì)的理解和掌握，此題難度不大，是一道基礎(chǔ)題．11．16【分析】根據(jù)直角三角形中所對(duì)的邊是斜邊的一半，將的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成即可求解．解：∵在中，，，∴，∵是高，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了直角三角形中所對(duì)的邊是斜邊的一半，熟練掌握等量代換是解題關(guān)鍵．12．130【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得計(jì)算即可得解．解：∵，∴，∴，∵，∴，由三角形的外角性質(zhì)得，．故答案為：130．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．16【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．解：∵是的垂直平分線，∴，∴，故答案為：16．【點(diǎn)撥】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．14．2【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可知．解：∵，，∴，．∵平分，∴．故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)定理．掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵．15．##65度【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出。解：在中，，，則，是的外角，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題關(guān)鍵。16．15【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)解題即可．解：∵于點(diǎn)D，，∴，∵點(diǎn)C在的垂直平分線上，∴，∴，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴，故答案為：15．【點(diǎn)撥】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．8【分析】連接，根據(jù)和都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，證明，可得，所以，進(jìn)而可得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，的值最小，正好等于的長(zhǎng)，即可求解．解：如圖，連接，∵和都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，的值最小，正好等于的長(zhǎng)，∴的最小值為，故答案為：8．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱—最短路線問題、全等三角形的判定和性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．18．或【分析】分兩種情況，當(dāng)和時(shí)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別求得的長(zhǎng)，再根據(jù)鈍角三角形的定義解答．解：當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴當(dāng)或時(shí)，為鈍角三角形，故答案為：或．【點(diǎn)撥】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握所對(duì)的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．19．（1）見分析（2）BD=2【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE，根據(jù)HL定理求出兩個(gè)三角形全等即可．（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．解：（1）證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED，CD=1，∴DC=DE=1．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．20．(1)見分析 (2)的度數(shù)為【分析】（1）依據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖方法，即可得到的平分線；（2）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得出以及的度數(shù)，即可得到的度數(shù)．（1）解：如圖所示，即為所求；；（2）解：∵是高，∴，在中，，，∴，在中，，，∴，由（1）知，為的平分線，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了基本作圖以及三角形內(nèi)角和定理，解決問題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義以及尺規(guī)作圖方法．21．(1)見分析 (2)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，即可根據(jù)證明；（2）勾股定理求得根據(jù)已知條件證明是等腰三角形可得，進(jìn)而根據(jù)即可求解．解：（1）證明：是等腰直角三角形，，，，在與中；，（2）在中，，，,,,,,∴∠ADC=∠ACD，,．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．22．(1)見分析 (2)【分析】（1）利用角平分線平分角，得到，利用平行線的性質(zhì)，得到，從而得到：，即可得到：；（2）利用角平分線的性質(zhì)，得到，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)，，求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理，求出的長(zhǎng)即可．解：（1）證明：∵分交于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，分交于點(diǎn)，，∴，∴，在中，，∵，∴，在中，．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理．熟練掌握有角平分線和平行線，必有等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．23．(1)見分析 (2)BD=6cm．【分析】（1）利用角角邊證明△DBC≌△ECA即可；（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的長(zhǎng)．解：（1）證明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，在△DBC和△ECA中，∵，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE=CD；（2）解：∵△CDB≌△AEC，∴BD=CE，∵AE是BC邊上的中線，∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．∴BD=6cm．【點(diǎn)撥】本題考