第14講 直線的方程8種常見考法歸類解析版-新高二數(shù)學暑假自學課講義

第14講直線的方程8種常見考法歸類根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式)，體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.知識點1直線方程的點斜式、斜截式名稱條件方程圖形點斜式直線l過定點P(x0，y0)，斜率為ky－y0＝k(x－x0)斜截式直線l的斜率為k，且與y軸的交點為(0，b)(直線l與y軸的交點(0，b)的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距)y＝kx＋b注：1．直線的點斜式及斜截式方程適用條件是什么？斜率存在及已知點(或直線在y軸上的截距)．2．經(jīng)過點P0(x0，y0)的直線有無數(shù)條，可以分為兩類：(1)斜率存在的直線，方程為y－y0＝k(x－x0)；(2)斜率不存在的直線，方程為x－x0＝0，即x＝x0.3．當直線與x軸平行或重合時，方程可簡寫為y＝y(tǒng)0.特別地，x軸的方程是y＝0；當直線與y軸平行或重合時，不能應(yīng)用點斜式方程．此時可將方程寫成x＝x0.特別地，y軸的方程是x＝0.4．直線的斜截式y(tǒng)＝kx＋b是直線的點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)的特例．如：直線l的斜率為k且過點(0，b)，該直線方程為y＝kx＋b.5．縱截距不是距離，它是直線與y軸交點的縱坐標，所以可取一切實數(shù)，即可為正數(shù)、負數(shù)或零．6．斜截式方程與一次函數(shù)的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有區(qū)別：當k≠0時，y＝kx＋b為一次函數(shù)；當k＝0時，y＝b，不是一次函數(shù)．故一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一條直線的斜截式方程．知識點2直線的兩點式與截距式方程兩點式截距式條件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2在x軸上截距a，在y軸上截距b圖形方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍不表示垂直于坐標軸的直線不表示垂直于坐標軸的直線及過原點的直線注：（1）兩點式方程①利用兩點式求直線方程必須滿足x1≠x2且y1≠y2，即直線不垂直于坐標軸．（即：當經(jīng)過兩點(x1，y1)，(x2，y2)的直線斜率不存在(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y(tǒng)2)時，不能用兩點式方程表示．）②兩點式方程與這兩個點的順序無關(guān)．③方程中等號兩邊表達式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等．截距式方程①如果已知直線在兩坐標軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程．②將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點常被用來作圖．③與坐標軸平行和過原點的直線都不能用截距式表示．④過原點的直線的橫、縱截距都為零．知識點3直線的一般式方程1．定義：關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．2．系數(shù)的幾何意義：當B≠0時，則－eq\f(A,B)＝k(斜率)，－eq\f(C,B)＝b(y軸上的截距)；當B＝0，A≠0時，則－eq\f(C,A)＝a(x軸上的截距)，此時不存在斜率．3．直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征①方程是關(guān)于x，y的二元一次方程．②方程中等號的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列．③x的系數(shù)一般不為分數(shù)和負數(shù)．④雖然直線方程的一般式有三個參數(shù)，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程．4.當直線方程Ax＋By＋C＝0的系數(shù)A，B，C滿足下列條件時，直線Ax＋By＋C＝0有如下性質(zhì)：①當A≠0，B≠0時，直線與兩條坐標軸都相交；②當A≠0，B＝0，C≠0時，直線只與x軸相交，即直線與y軸平行，與x軸垂直；③當A＝0，B≠0，C≠0時，直線只與y軸相交，即直線與x軸平行，與y軸垂直；④當A＝0，B≠0，C＝0時，直線與x軸重合；⑤當A≠0，B＝0，C＝0時，直線與y軸重合．注：（1）平面直角坐標系中的每一條直線都可以用一個關(guān)于x，y的二元一次方程表示（2）每一個關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為零)都能表示一條直線1、求直線的點斜式方程的方法步驟(1)求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)；(2)點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．2、直線的斜截式方程的求解策略(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在．(2)用斜截式求直線方程，只要確定直線的斜率和截距即可，同時要特別注意截距和距離的區(qū)別；(3)直線的斜截式方程y＝kx＋b不僅形式簡單，而且特點明顯，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距，只要確定了k和b的值，直線的圖象就一目了然．因此，在解決一次函數(shù)的圖象問題時，常通過把一次函數(shù)解析式化為直線的斜截式方程，利用k，b的幾何意義進行判斷．3、求直線的兩點式方程的策略以及注意點(1)當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件：兩點的連線不平行于坐標軸，若滿足，則考慮用兩點式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程．(2)由于減法的順序性，一般用兩點式求直線方程時常會將字母或數(shù)字的順序錯位而導致錯誤．在記憶和使用兩點式方程時，必須注意坐標的對應(yīng)關(guān)系．4、截距式方程應(yīng)用的注意事項(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可．(2)選用截距式直線方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直．(3)要注意截距式直線方程的逆向應(yīng)用．5、求直線一般式方程的策略(1)當A≠0時，方程可化為x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，則方程化為eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需確定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值．因此，只要給出兩個條件，就可以求出直線方程．(2)在求直線方程時，設(shè)一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式．6、含參直線方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距．令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．(3)解分式方程要注意驗根．7、利用直線的斜截式方程解決直線平行與垂直問題的策略已知直線l1：y＝k1x＋b1與直線l2：y＝k2x＋b2，(1)若l1∥l2，則k1＝k2，此時兩直線與y軸的交點不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2時，l1∥l2.所以有l(wèi)1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，則k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1時，l1⊥l2.所以有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.注若已知含參數(shù)的兩條直線平行或垂直，求參數(shù)的值時，要注意討論斜率是否存在，若是平行關(guān)系注意考慮b1≠b2這個條件．8、利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.9、與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法（1）由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點斜式寫方程．（2）①可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過的點確定C1；②與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過的點確定C2.考點一：直線的點斜式方程例1．（2023秋·高二課時練習）已知直線的方程是，則（）A．直線經(jīng)過點，斜率為-1 B．直線經(jīng)過點，斜率為-1C．直線經(jīng)過點，斜率為-1 D．直線經(jīng)過點，斜率為1【答案】C【分析】將直線的方程化為點斜式方程的形式，即可得出答案.【詳解】根據(jù)已知可得出直線的點斜式方程為，所以，直線經(jīng)過點，斜率為-1.故選：C.變式1．（2023秋·高二課時練習）已知直線l經(jīng)過點，，求直線l的方程，并求直線l在y軸上的截距.【答案】，.【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率，再利用直線點斜式方程求解作答.【詳解】依題意，直線的斜率，直線的方程為，即，當時，，所以直線的方程為，直線l在y軸上的截距為.變式2．（2023春·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）在平面直角坐標系中，過點且傾斜角為的直線不經(jīng)過第__________象限.【答案】四【分析】由題意可寫出直線的方程，作出其圖象，即可得答案.【詳解】由題意知在平面直角坐標系中，過點且傾斜角為的直線方程為，即，直線與x軸交點為，與y軸交點為，即該直線經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故答案為：四變式3．（河南省開封市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題）已知直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由直線的方向向量求出直線的斜率，再由點斜式求出直線方程.【詳解】因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率，又直線經(jīng)過點，所以直線的方程為，即.故選：D變式4．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）直線過點，且與向量垂直，則直線的方程為______.【答案】【分析】依題意可得直線的斜率，再由點斜式求出直線方程.【詳解】因為直線過點，且與向量垂直，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即.故答案為：變式5．（2023秋·高一單元測試）已知的頂點分別為，求：(1)直線AB的方程(2)AB邊上的高所在直線的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）由AB的坐標可得斜率，由點斜式方程可寫出方程，化為一般式即可；（2）由垂直關(guān)系可得高線的斜率，由高線過點C，同（1）可得.【詳解】（1），，由點斜式方程可得，化為一般式可得（2）由（1）可知，故AB邊上的高線所在直線的斜率為，又AB邊上的高線所在直線過點，所以方程為，化為一般式可得.

變式6．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知在第一象限，若，，，，求：(1)AB邊所在直線的方程；(2)AC邊所在直線的點斜式方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得直線與軸平行，且過點，可得直線的方程；（2）由題意可得直線的傾斜角為，可得斜率，根據(jù)點斜式方程求解即可．【詳解】（1）如圖所示，

直線過點，，可得直線與軸平行，故邊所在直線的方程為（2）由可得直線的傾斜角為，故斜率，故所在直線的方程為．考點二：直線的斜截式方程例2．（2023·高二課時練習）寫出下列直線的斜率以及在y軸上的截距.并畫出圖形.(1)；(2).【答案】(1)斜率為－3，在y軸上的截距為5，圖像見解析(2)斜率為，在y軸上的截距為0，圖像見解析【分析】（1）根據(jù)斜率和截距的概念可直接寫出結(jié)果，然后兩點作圖法作出圖像即可；（2）根據(jù)斜率和截距的概念可直接寫出結(jié)果，然后兩點作圖法作出圖像即可.（1）斜率為－3，在y軸上的截距為5；圖像如下圖：（2）斜率為，在y軸上的截距為0，圖像如下圖：變式1．【多選】（2023秋·高二課時練習）一次函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．當時，函數(shù)圖像經(jīng)過一、二、三象限B．當時，函數(shù)圖像經(jīng)過一、三、四象限C．時，函數(shù)圖像必經(jīng)過一、三象限D(zhuǎn)．時，函數(shù)在實數(shù)上恒為增函數(shù)【答案】ABCD【分析】根據(jù)一次函數(shù)的斜率以及的正負，對選項逐個判斷即可；【詳解】在一次函數(shù)中，若，則圖像經(jīng)過一、二、三象限；若，則圖像經(jīng)過一、三、四象限；若，函數(shù)圖像必經(jīng)過一、三象限，且函數(shù)在實數(shù)上恒為增函數(shù)；故選:ABCD.變式2．（2023·高二課時練習）已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率與軸上的截距的關(guān)系判斷選項即可得解.【詳解】，直線的方程在軸上的截距不小于2，且當時，軸上的截距為2，故D正確，當時，,故B不正確，當時，或，由圖象知AC正確.故選：B變式3．【多選】（2023·高二課時練習）已知直線，，則它們的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由兩直線的解析式可得直線的斜率為a、縱截距為b，的斜率為，縱截距為a，再逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.【詳解】選項A，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，可能成立；選項B，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，可能成立；選項C，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，不成立；選項D，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，不成立.故選：AB.變式4．（2023·全國·高三專題練習）在同一平面直角坐標系下，直線總在直線的上方，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】結(jié)合直線的圖像，利用直線的斜率與縱截距進行判斷.【詳解】因為直線總在直線的上方，所以直線與直線平行，且直線在y軸上的截距必大于直線在y軸上的截距，所以，．故A，B，D錯誤.故選：C.考點三：直線的兩點式方程例3．【多選】（2023秋·貴州貴陽·高二貴陽一中校考階段練習）下列說法正確的有（

）A．直線的斜率越大，則傾斜角越大B．兩點式適用于不垂直于x軸和y軸的任何直線C．若直線l的一個方向向量為，則直線l的傾斜角為135°D．任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化【答案】BC【分析】選項A，選取，求解對用傾斜角，可判斷；選項B，由兩點式中，分析可判定；選項C，化簡方向向量得到，故，分析可判定；選項D，分析直線，可判斷.【詳解】選項A，當時，對應(yīng)傾斜角，當時，對應(yīng)傾斜角，錯誤；選項B，由于兩點式中，故垂直于x軸和y軸的直線不能用兩點式表示，其他直線都能選取兩個點滿足，可用兩點式表示，正確；選項C，方向向量可化簡為，故斜率，故對應(yīng)傾斜角，正確；選項D，直線斜率不存在，不能轉(zhuǎn)化為斜截式，錯誤.故選：BC變式1．（2023秋·高二課時練習）直線l過點，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的兩點式方程運算求解.【詳解】因為，則線l的方程為，整理得，所以直線l的方程為.故選：D.變式2．（2023秋·高二?？颊n時練習）已知的三個頂點分別為，M為AB的中點，則中線CM所在直線的方程為()A． B．C． D．【答案】D【分析】求得點M的坐標，由直線的兩點式方程求解.【詳解】點M的坐標為(2,1)，由直線的兩點式方程得，即.故選：D變式3．（2023秋·山東濟寧·高二?？茧A段練習）萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知的三個頂點坐標分別是，，則的歐拉線方程為______．【答案】【分析】根據(jù)已知點的坐標，分別求得三角形垂心和重心的坐標，再求歐拉線方程即可.【詳解】由，，，可知邊上的高所在的直線為，又，因此邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線為：，即，聯(lián)立，所以的垂心坐標為，由重心坐標公式可得的重心坐標為，所以的歐拉線方程為：，化簡得．故答案為：.考點四：直線的截距式方程例4．【多選】（2023秋·高二課時練習）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是()A．y=-x+5 B．y=x+5C．y= D．y=-【答案】AC【分析】分兩種情況求解，過原點時和不過原點時，結(jié)合所過點的坐標可求.【詳解】當直線過坐標原點時，直線過點,所以直線方程為y=;當直線不過坐標原點時，設(shè)直線方程為=1，代入點，可得a=5，即y=-x+5.故選:AC.變式1．（2023春·上海閔行·高二?？茧A段練習）經(jīng)過點，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線有（

）條A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)直線過原點和不過原點，即可求解直線方程.【詳解】若直線經(jīng)過原點，則，在坐標軸上的截距均為0，符合題意，若截距均不為0，則設(shè)直線方程為，將代入得，此時直線方程為，故選：C變式2．（2023春·湖南衡陽·高二衡陽市一中?？茧A段練習）過點且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為__________.【答案】或【分析】對兩坐標軸上的截距是否為零進行分類討論，再利用待定系數(shù)法即可求得直線方程.【詳解】若直線在兩坐標軸上的截距為0，則直線過坐標原點，所以直線方程可以寫為，即；當截距不為零時，不妨設(shè)直線方程為，代入點可得，即；綜上可知，直線方程為或.故答案為：或變式3．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第一中學校考階段練習）過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等的直線方程為（

）A．B．C．或D．或或【答案】D【分析】直線過原點求出直線方程，直線不過原點設(shè)出直線方程，利用待定系數(shù)法求解.【詳解】當此直線過原點時，直線方程為，化為；當此直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，或，把點分別代入可得，或，解得，．直線的方程為或．綜上可知：直線的方程為或，．故選：D．變式4．（2023秋·高二課時練習）過點且在兩坐標軸上截距之和為0(不過原點)的直線方程為______，此直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為______.【答案】【分析】設(shè)直線的截距式方程，將點坐標代入求解即可；先求出直線與坐標軸的交點，利用三角形面積公式求解即可.【詳解】當直線不過原點時，可知直線在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)，且不為0.可設(shè)直線方程為，因為直線過，所以，解得，所以直線方程為.當直線方程為時，與x軸的交點坐標為，與y軸的交點坐標為，故答案為.變式5．（2023秋·高二?？颊n時練習）過點(2，0)，且在兩坐標軸上截距之和等于6的直線方程是____.【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，根據(jù)條件列方程組求解即可.【詳解】設(shè)直線的方程為，則解得則直線的方程為+=1，即.故答案為：變式6．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距小1，且過定點，則直線l的方程為________________.【答案】或.【分析】設(shè)直線方程的截距式為，將代入解方程即可得求出的值，進而求出直線l的方程.【詳解】設(shè)直線方程的截距式為.則，解得或，則直線方程是或，即或.故答案為：或.變式7．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求經(jīng)過點且與兩坐標軸所圍成的三角形面積為的直線的方程.【答案】或【分析】依題意設(shè)所求直線的方程為，即可得到方程組，解得、，即可得解.【詳解】由題意知，直線在兩坐標軸上的截距存在且不為零，故可設(shè)所求直線的方程為，由已知可得，解得或，所以或，故直線的方程為或．變式8．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）若直線過點，則的最小值為______．【答案】/【分析】由直線過點，可得，利用基本不等式“1”的代換，求出最小值．【詳解】∵直線過點，．，當且僅當，即，時取等號．的最小值為．故答案為：．考點五：直線的一般式方程（一）直線的一般式方程及辨析例5．（2023春·上海浦東新·高一上海市建平中學校考期末）已知點，則直線的一般式方程為___________.【答案】【分析】利用點斜式求出直線方程，再化為一般式即可.【詳解】，則直線的方程為，即.故答案為：.變式1．【多選】（2023秋·高二課時練習）已知直線l的方程為，則下列判斷正確的是（

）A．若，則直線l的斜率小于0B．若，則直線l的傾斜角為C．直線l可能經(jīng)過坐標原點D．若，則直線l的傾斜角為【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由直線的斜率即可判斷A，將代入即可判斷B，將原點坐標代入即可判斷C，將即可判斷D.【詳解】對于A選項，若，則直線l的斜率，故A正確；對于B選項，若，則直線l的方程為，其傾斜角為，故B正確；對于C選項，將代入中，顯然不成立，故C錯誤；對于D選項，若，則直線l的方程為，其傾斜角為，故D正確.故選：ABD.變式2．（2023秋·高二課時練習）當直線方程的系數(shù)A，B，C滿足什么條件時，該直線分別具有以下性質(zhì)？(1)過坐標原點；(2)與兩條坐標軸都相交；(3)只與x軸相交；(4)是x軸所在直線；(5)設(shè)為直線上一點，證明：這條直線的方程可以寫成．【答案】(1)且不同為(2)都不為0(3)且(4)(5)證明見解析【分析】（1）將代入可得答案；（2）分、討論，可得答案；（3）直線只與x軸相交，就是與軸平行、重合均可，根據(jù)直線方程可化成形式可得答案；（4）將直線方程化為可得答案；（5）將代入直線方程得，再代入直線方程化簡可得答案.【詳解】（1）將代入得，當且不同為方程表示過坐標原點的直線；（2）直線與兩條坐標軸都相交說明橫縱截距都存在，當且時直線過原點滿足條件，當時，令時，令時，所以都不為0，綜上所述，時直線與兩條坐標軸都相交；（3）直線只與x軸相交，就是與軸平行、重合均可，因此直線方程可化成形式，故且；（4）x軸的方程為，因此方程中時方程表示的直線是x軸所在直線；（5）因為為直線上一點，所以，所以，所以方程可化為，即，所以這條直線的方程可以寫成．變式3．（2023·全國·高三對口高考）以下關(guān)于直線的說法中，不正確的是（

）A．直線一定不經(jīng)過原點B．直線一定不經(jīng)過第三象限C．直線一定經(jīng)過第二象限D(zhuǎn)．直線可表示經(jīng)過點的所有直線【答案】B【分析】首先求出直線過定點坐標，即可判斷A、D，再分、、三種情況討論，分別判斷直線所過象限，即可判斷B、C；【詳解】對于直線，令，解得，故直線恒過點，一定不經(jīng)過原點，故A正確；當時直線即為，直線過二、三象限，當時直線即為，若，則，，直線過一、二、三象限，若，則，，直線過二、三、四象限，所以直線一定過二、三象限，故B錯誤，C正確；因為直線恒過點，所以直線可表示經(jīng)過點的所有直線，故選：B（二）直線的一般式方程的應(yīng)用例6．（2023秋·江蘇鹽城·高二校考期末）若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由一次函數(shù)的性質(zhì)判斷【詳解】直線即，經(jīng)過第一、二、四象限，則，得，故選：B變式1．（2023·全國·高二假期作業(yè)）如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】將直線化為，結(jié)合已知條件即可判斷不經(jīng)過的象限.【詳解】由題設(shè)，直線可寫成，又，，∴，，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.故選：A.變式2．（2023秋·黑龍江佳木斯·高二校考開學考試）若直線不過第二象限，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線不過第二象限可確定斜率、在軸截距的范圍，從而構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】直線不過第二象限，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C.變式3．【多選】（2023·高二課時練習）直線的方程分別為，，它們在坐標系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由斜率為正及大小關(guān)系可確定；由直線在軸截距的正負可確定正負.【詳解】直線斜率存在，則直線方程可化為，；，，又，，C正確，D錯誤；又，，，A錯誤，B正確.故選：BC.變式4．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線在x軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，則________.【答案】/-0.5【分析】先分別求出x軸上的截距及y軸上截距，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系計算求解即可.【詳解】令，得，令，得．由于直線在軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，故，解得．故答案為：變式5．（2023秋·高二課時練習）已知直線在x軸的截距大于在y軸的截距，則A、B、C應(yīng)滿足條件（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別令、得直線在y軸、x軸上的截距，再由在x軸的截距大于在y軸的截距可得答案.【詳解】由已知，令得直線在y軸的截距為，令得直線在x軸的截距為，由直線在x軸的截距大于在y軸的截距可得，即.故選：D.考點六：兩直線平行與垂直的應(yīng)用由直線方程的一般式研究直線的平行與垂直例7．【多選】（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)直線：，：，下列說法正確的是（

）A．當時，直線與不重合B．當時，直線與相交C．當時，D．當時，【答案】BD【分析】舉出反例判斷A；聯(lián)立，結(jié)合是否為0，討論方程組解的情況，判斷直線的位置關(guān)系，判斷，討論是否為0，結(jié)合可判斷兩直線是否垂直，判斷D.【詳解】對于A，時，若,,且時，兩直線：，：重合，A錯誤；對于B，聯(lián)立，可得,當時，，此時方程組有唯一一組解，故直線與相交，B正確；對于C，時，若，則無解，此時；若，則有無數(shù)多組解，此時重合，故C錯誤；對于D，若，則由可得，即兩直線斜率之積等于，故；若,則可得，此時滿足，直線：，：，此時，故當時，，D正確，故選：變式1．（2023秋·山東東營·高二統(tǒng)考期末）若直線l：與直線m：互相平行，則______．【答案】/【分析】根據(jù)兩直線方程，判斷斜率存在，由題意可得，解出a后，驗證是否符合題意，可得答案.【詳解】由題意可知直線l：的斜率為，因為直線l：與直線m：互相平行，故直線m：的斜率存在，且為，則，解得或，當時，直線l：與直線m：重合，不合題意，當時，直線l：與直線m：互相平行，故答案為：變式2．（2023·全國·高三專題練習）若直線與直線平行，則m的值為（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)直線的平行可列出方程，求得m的值，驗證直線是否重合，即得答案.【詳解】由題意知直線與直線平行，而直線的斜率為，則直線必有斜率，即，則，故，解得或，當時，直線與直線重合，不合題意；當時，直線與直線平行，符合題意，故，故選：B變式3．（2023秋·河北滄州·高二任丘市第一中學校考階段練習）已知，，直線與直線平行，則的最小值是______.【答案】9【分析】由兩直線平行，求得，再利用基本不等式求的最小值【詳解】直線與直線平行，有，即，，當，即時，等號成立，所以的最小值為9.故答案為：9變式4．（2023秋·北京海淀·高二校考階段練習）已知直線，.若，則實數(shù)a=___________，若，則實數(shù)a=___________．【答案】0-1【分析】根據(jù)直線垂直以及平行的充要條件，即可列出方程，解出即得.【詳解】因為，所以有，解得；因為，所以有，解得，當時，與重合，舍去；當時，，，與不重合，滿足條件，所以.故答案為：0；-1.變式5．（2023秋·河北滄州·高二任丘市第一中學?？茧A段練習）直線：，：，則“”是“”的（

）條件A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【分析】先求出兩直線垂直時a的值，進而可判斷充分必要條件．【詳解】直線：，：，當時,有，解得或.所以“”時“”成立，“”時“”不一定成立，則“”是“”的充分不必要條件.故選：B變式6．【多選】（2023秋·高二?？颊n時練習）已知直線，則（

）A．若，則B．若，則C．若與坐標軸圍成的三角形面積為1，則D．當時，不經(jīng)過第一象限【答案】BCD【分析】對于AB，根據(jù)線線位置關(guān)系判斷即可；對于C，由題得即可解決；對于D，數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】由題知，直線對于A，當時，，解得或，故A錯誤；對于B，當時，，解得，故B正確；對于C，在直線中，當時，，當時，，所以與坐標軸圍成的三角形面積為，解得，故C正確；對于D，由題知當時，的圖象為故D正確；故選：BCD由兩條直線的平行、垂直求直線方程例8．（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點且與直線平行的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的斜率相同排除A、B；再由所過的點排除C，即可得答案.【詳解】由斜率為，而A、B中的直線斜率為，與該直線不平行，排除；C、D中直線斜率為，對于，顯然不過，而過已知點，所以C中直線不符合，D中直線符合要求.故選：D變式1．（2023春·廣西南寧·高二校聯(lián)考開學考試）直線過點且與直線垂直，則的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直線的斜率，然后利用點斜式可寫出直線的方程，化為一般式可得出答案.【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故選：C.變式2．（2023春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）已知直線，求：(1)過點且與直線l平行的直線的方程；(2)過點且與直線l垂直的直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩直線平行得到斜率，再利用點斜式寫出方程；（2）根據(jù)兩直線垂直得到斜率，再利用點斜式寫出方程.【詳解】（1）因為直線的斜率為，所以與直線l平行的直線的斜率為，又所求直線過，所以所求直線方程為，即．（2）因為直線的斜率為，所以與直線l垂直的直線的斜率為，又所求直線過，所以所求直線方程為，即．變式3．（2023·全國·高三對口高考）已知直線：，則與已知直線l平行且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為6的直線方程為_________．【答案】【分析】根據(jù)平行關(guān)系可設(shè)直線為，計算與兩坐標交點，根據(jù)面積公式求即可.【詳解】

由題意可設(shè)方程為：，令，得，令，得，由題意知：，得，故直線方程為：，故答案為：考點七：直線過定點問題例9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）不論取何值時，直線恒過第____象限．【答案】四【分析】化簡直線方程為，列方程組，進而求解即可.【詳解】直線可化為，由，得，所以直線恒過定點，因為在第四象限，故直線恒過第四象限．故答案為：四.變式1．（2023·高二課時練習）若直線不經(jīng)過第四象限，則k的取值范圍為_______．【答案】【解析】直線過定點，根據(jù)點所在的象限可得斜率的取值范圍.【詳解】因為可化為，故直線過定點，而為第二象限中的點，且直線不經(jīng)過第四象限，故斜率.故答案為：.變式2．【多選】（2023秋·貴州·高二校聯(lián)考階段練習）對于直線：，下列說法錯誤的是（

）A．直線恒過定點B．直線斜率必定存在C．時直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為D．時直線的傾斜角為【答案】BD【分析】求出過的定點判斷A；根據(jù)m的取值情況判斷B；當時，求出直線的橫縱截距計算判斷C；當時，求出直線的斜率判斷D作答.【詳解】對于A，直線：恒過定點，A正確；對于B，當時，直線：垂直于x軸，傾斜角為，斜率不存在，B錯誤；對于C，當時，直線：與x軸、y軸分別交于點，此時直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，C正確；對于D，當時，直線：的斜率，因此傾斜角為，D錯誤.故選：BD變式3．【多選】（2023·高二課時練習）下列說法正確的有（

）A．若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則在第二象限B．直線必過定點C．過點，且斜率為的直線的點斜式方程為D．斜率為，且在軸上的截距為的直線方程為【答案】ABC【分析】由直線經(jīng)過象限可確定的正負，由此知A正確；整理可求得B中直線過定點，得B正確；由直線點斜式和斜截式方程定義可確定CD正誤.【詳解】對于A，由直線經(jīng)過第一、二、四象限可得：，，在第二象限，A正確；對于B，由得：，則直線恒過定點，B正確；對于C，由點斜式方程定義可知該直線方程為：，C正確；對于D，由斜截式方程定義可知該直線方程為：，D錯誤.故選：ABC.變式4．（2023秋·安徽滁州·高二校考期末）已知直線．(1)求證：直線過定點；(2)過點作直線使直線與兩負半軸圍成的三角形的面積等于4，求直線的方程．【答案】(1)直線過定點，證明見詳解；(2)【分析】（1）變形直線方程，分離參數(shù)，利用直線系方程，解方程組求出定點，即可證明.（2）設(shè)直線方程，利用過點作直線使得直線與兩負半軸圍成的三角形面積等于4，得到方程組，即可求出直線方程.【詳解】（1）證明：方程化為：，由直線系方程的性質(zhì)有：，解得，故直線恒過點（2）設(shè)直線，則由題意得：，解得，所以直線，即，所以所求直線方程為：.變式5．（2023·高二課時練習）已知一條動直線，(1)求證：直線恒過定點，并求出定點P的坐標；(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍；(3)若直線與x?y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，的面積為6，求直線的方程.【答案】(1)證明見解析，定點；(2)；(3)或.【分析】（1）整理直線方程得．由且可求；（2）由（1）知，直線恒過定點，討論直線與y軸是否有交點，若有交點，只需縱截距小于等于零即可；（3）設(shè)直線的方程，可得，從而可得所求直線的方程．【詳解】（1）證明：整理直線方程得．由且可得，，故直線恒過定點，；（2）由（1）知，直線恒過定點，當直線與y軸沒有交點時，即，此時直線方程為，符合題意；當直線與y軸有交點時，，求出直線的縱截距，其小于等于零即可滿足題意，令，則，，若直線不經(jīng)過第二象限，則，∴；所以m的取值范圍為；（3）設(shè)直線方程為，，則，①由題意得，，②由①②整理得，解得，，或，，所求直線的方程為或即或．變式6．（2023秋·浙江杭州·高二學軍中學?？计谥校┮阎本€的方程為：.(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）列出方程，分別令，可求出定點；（2）令令，表達出三角形面積后，利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）證明：原方程整理得：．由，可得，不論為何值，直線必過定點.（2）設(shè)直線的方程為．令令．．當且僅當，即時，三角形面積最?。畡t的方程為．考點八：直線與坐標軸圍成三角形的面積、周長問題例10．（2023秋·浙江臺州·高二校考階段練習）已知直線與兩坐標軸正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則面積的最小值為______________【答案】【分析】先由題意及直線的幾何意義可推得，再分別令與求得在兩坐標軸的截距，由此利用三角形面積與基本關(guān)系式即可求得面積的最小值.【詳解】因為直線與兩坐標軸正半軸分別交于A，B兩點，所以由化為，得，即，故，令，則；令，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以，即面積的最小值為.故答案為：..變式1．（2023秋·浙江紹興·高二諸暨中學?？茧A段練習）已知直線l過點，且與x軸、y軸的正方向分別交于A，B兩點，分別求滿足下列條件的直線方程：(1)時，求直線l的方程．(2)當?shù)拿娣e最小時，求直線l的方程．【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)條件可知點是的三等分點，構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形比值關(guān)系即可求出A，B兩點坐標，繼而求出方程;（2）利用截距式找出兩截距關(guān)系，再根據(jù)代入三角形面積計算中即可找出面積的最小值，繼而求出方程.【詳解】（1）作，則.由三角形相似，，可求得，，∴方程為，即；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為，由題意，知，，∵l過點，∴，解得，∴的面積，化簡，得.①∴，解得或（舍去）.∴S的最小值為4，將代入①式，得，解得，∴.∴直線l的方程為.變式2．（2023秋·高二課時練習）已知直線l的傾斜角為銳角，并且與坐標軸圍成的三角形的面積為6，周長為12，求直線l的方程．【答案】直線l的方程為或或或．【分析】設(shè)直線的截距，根據(jù)題意列式求解，再利用直線的截距式方程運算求解.【詳解】設(shè)直線l在x，y的截距分別為，由題意可得，解得或，又因為直線l的傾斜角為銳角，則直線l的斜率，即，可得或或或，所以直線l的方程為或或或變式3．（2023·高二課時練習）已知的三個頂點的坐標為，，．(1)求邊AB上過點C的高所在直線的方程；(2)若直線l與AC平行，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，求直線l與兩條坐標軸圍成的三角形的周長．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)直線的斜率公式，結(jié)合互相垂直直線的斜率性質(zhì)、直線的點斜式方程進行求解即可；（2）根據(jù)直線的截距式方程，結(jié)合平行直線的斜率性質(zhì)進行求解即可.【詳解】（1），邊AB上的高所在直線的斜率為，又直線過點，所求直線的方程為：，即；（2）設(shè)直線l的方程為：，即，，，解得：，直線l的方程為：，直線l過點，三角形斜邊長為，直線l與坐標軸圍成的直角三角形的周長為．變式4．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級中學?？茧A段練習）過點的直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于兩點，為坐標原點.(1)求面積的最小值以及面積最小時直線的方程;(2)是否存在直線，使的周長為12，若存在，求出直線的方程;若不存在，說明理由.【答案】(1)最小值為，(2)存在，或【分析】（1）設(shè)直線，代入點坐標，利用均值不等式求解即可；（2）結(jié)合以及周長為12列出方程組，求解即可.【詳解】（1）設(shè)，則直線，直線過點，則故，故，當且僅當，即時取得等號，此時直線，故，此時直線的方程為.（2）假設(shè)存在滿足條件的直線，由已知有解得或故存在滿足條件的直線或變式5．（2023·全國·高三對口高考）過點作直線分別交，的正半軸于，兩點．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；(2)當取最小值時，求直線的方程；(3)當取最小值時，求直線的方程．【答案】(1)，此時直線的方程為．(2)(3)【分析】（1）設(shè)，，，則直線的方程為，依題意可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解；（2）由（1）可知，利用基本不等式求出的最小值，即可求出此時、的值，從而求出直線方程；（3）依題意直線的斜率存在且，設(shè)直線，分別求出，的坐標，求出的方程，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出直線方程即可．【詳解】（1）依題意設(shè)，，，設(shè)直線的方程為，代入得，所以，則，當且僅當，即、時取等號，從而，當且僅當，即、時取等號，此時直線的方程為，即，所以，此時直線的方程為．（2）由（1）可得，所以，當且僅當，即，時取等號，此時直線的方程為，即．（3）依題意直線的斜率存在且，設(shè)直線，令，解得，令，解得，所以，，則，當且僅當，即，即時，取最小值，此時直線的方程為．1．兩條直線垂直的充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】討論直線的斜率存在性，根據(jù)兩線垂直推得相關(guān)系數(shù)的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合充要性定義即可得答案.【詳解】當斜率不存在時、，則垂直的直線的斜率為0，即、，故；所以斜率不存在，同理有；當兩垂直的直線斜率都存在時，此時，故；綜上，題設(shè)兩線垂直的充要條件是.故選：A2．直線與平行（不重合）的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用斜率存在的兩條直線平行的充要條件，列式計算作答.【詳解】直線，即，其斜率為，縱截距為，因直線與平行（不重合），有，化為：，所以直線與平行（不重合）的充要條件是.故選：C3．若直線與直線平行，則___________．【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行，則兩直線斜率相等，得到，解出即可.【詳解】直線的斜率為3直線的斜率即故答案為：.4．直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個單位，所得到的直線為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線過原點，相互垂直直線間的斜率關(guān)系，平移知識，可得到所求直線.【詳解】當直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)時，所得直線斜率為，此時，該直線方程為，再將該直線向右平移1個單位可得：，即.故選：A.5．直線的傾斜角___________．【答案】【分析】先求直線的斜率，進而得傾斜角的正切，從而得解.【詳解】直線，整理得，由直線的方程可得直線的斜率為，則，又由，故所以傾斜角為.故答案為：.6．給定三點，那么通過點A并且與直線BC垂直的直線方程是_______．【答案】【分析】先求得直線BC的斜率，進而得到與直線BC垂直的直線的斜率，進而得到通過點A并且與直線BC垂直的直線方程【詳解】直線BC的斜率，則與直線BC垂直的直線的斜率則通過點A并且與直線BC垂直的直線方程是，即故答案為：一、單選題1．（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學考試）過點且斜率為的直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出直線的點斜式方程，再化為一般式即可.【詳解】過點且斜率為的直線的方程是，即.故選：C2．（2023秋·高一單元測試）若，，則直線不經(jīng)過第象限（

）A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】將直線方程化為，由斜率以及縱截距的正負判斷即可.【詳解】依題意、、均不為，所以直線可化為，因為，，所以，，所以直線的斜率為正，縱截距為正，即直線通過第一、二、三象限，不通過第四象限.故選：D3．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習）已知直線，的傾斜角分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用斜率與傾斜角的關(guān)系判定即可.【詳解】由題意得，，所以為鈍角，為銳角，所以．故選：A．4．（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）若直線與直線互相平行，則實數(shù)的值為（

）A．2或0 B．1 C．0 D．0或【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合直線平行運算求解，注意檢驗防止出現(xiàn)重合.【詳解】若直線與直線互相平行，則，解得或，當時，直線與直線平行，符合題意；當時，直線與直線重合，不符合題意；綜上所述：.故選：C.5．（2023秋·高二課時練習）若直線與垂直，則m的值為（

）A． B． C．5 D．【答案】D【分析】根據(jù)兩直線垂直，斜率之積等于-1求解.【詳解】直線：的斜率，當時，直線：的斜率為，由于兩直線垂直，，解得；若，，直線的斜率不存在，要保證必有，顯然不成立；；故選：D.6．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線與(不同時為0)的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直C．斜交 D．與的值有關(guān)【答案】B【分析】分與都不為零和與中有一個為零討論即可.【詳解】與不能同時為0，①當兩者都不為0時，兩條直線斜率的乘積為，故兩條直線垂直；②當與中有一個為零時，若時，則兩直線分別為與，兩直線垂直，若時，則兩直線分別為與，兩直線垂直，故兩條直線垂直．故選：B7．（2023秋·高二課時練習）直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3，而且它的斜率是直線的斜率的相反數(shù)，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)已知表示出直線mx+ny+3=0的截距以及斜率，即可得出答案.【詳解】因為直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3，所以，0-3n+3=0，解得.因為直線的斜率為，由已知可得，直線mx+ny+3=0的斜率為，即.所以.故選：D.8．（2023秋·高二課時練習）直線，當變動時，所有直線恒過定點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】整理所得直線方程為，根據(jù)題意，即可求得結(jié)果.【詳解】把直線方程整理為，令，故，所以直線恒過定點為.故選：C.二、多選題8．（2023秋·福建·高二校聯(lián)考期中）下列說法正確的有（

）．A．直線過定點B．過點且斜率為的直線的點斜式方程為C．斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為D．經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距相等的直線方程為【答案】AB【分析】求出直線過的定點判斷A；寫出直線的點斜式方程判斷B；求出直線斜截式方程判斷C；求出直線方程判斷D作答.【詳解】對于A，直線恒過定點，A正確；對于B，過點且斜率為的直線的點斜式方程為，B正確；對于C，斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為，C錯誤；對于D，經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距相等的直線過原點時，方程為，當該直線不過原點時，方程為，D錯誤.故選：AB9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列各直線中，與直線平行的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】利用兩直線平行的條件即可判斷各選項.【詳解】直線，即的斜率為2，在軸的截距為，對于A，直線，即的斜率為2，在軸的截距為，所以兩直線平行，A正確；對于B，直線的斜率為2，在軸的截距為，所以兩直線平行，B正確；對于C，直線，即的斜率為2，在軸的截距為，所以兩直線平行，C正確；對于D，直線的斜率為－2，所以兩直線不平行，D錯誤．故選：ABC．10．（2023秋·湖南株洲·高二校考期末）已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線在兩坐標軸上的截距均為1B．向量是直線的一個法向量C．過點與直線平行的直線方程為D．若直線m：，則【答案】BCD【分析】根據(jù)直線截距的概念判斷A即可；根據(jù)直線方向向量與法向量的關(guān)系判斷B即可；根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系求解方程求解直線方程即可判斷C；根據(jù)一般式兩直線垂直的充要條件判斷D即可.【詳解】解：對于A，令，則，令，則，直線在兩坐標軸上的截距均為，故A錯誤；對于B，因為直線的方向向量為或，則，所以向量是直線的一個法向量；故B正確.對于C，設(shè)與直線平行的直線方程為（），因為直線過，所以，所以過點與直線平行的直線方程為，故C正確.對于D，直線：的斜率為1，直線的斜率為，斜率，所以兩直線垂直，故D正確.故選：BCD.11．（2023春·海南·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）若直線經(jīng)過點，且與坐標軸圍成的三角形面積為2，則的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】設(shè)直線的方程，分別求出直線在軸與軸上的截距，由三角形面積為2列方程求出即可得直線的方程.【詳解】易知直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程，令，得；令，得.故圍成的三角形面積為,化簡可得或.對于方程，，故方程無解.對于方程，可得或.故直線的方程或，即或.故選:CD.三、填空題12．（上海市虹口區(qū)2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題）已知平面直角坐標系中的三點、、，若直線過點且與直線平行，則的方程為________.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率，再利用直線的斜截式方程求解作答.【詳解】依題意，直線的斜率，因為，因此直線的斜率為，直線過點，所以直線的方程為.故答案為：13．（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）過點且與直線平行的直線方程是______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出所求直線的方程，利用待定系數(shù)法求解作答.【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程是，依題意，，解得，所以所求直線方程是.故答案為：14．（2023·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校?？寄M預測）已知直線過定點A，直線過定點，與相交于點，則________．【答案】13【分析】根據(jù)題意求點的坐標，再結(jié)合垂直關(guān)系運算求解.【詳解】對于直線，即，令，則，則，可得直線過定點，對于直線，即，令，則，則，可得直線過定點，因為，則，即，所以.故答案為：13.

15．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）過點且在軸、軸上截距相等的直線方程為_________.【答案】或【分析】分截距為