小學奧數(shù)知識點趣味學習-整數(shù)的分拆

小學奧數(shù)知識點趣味學習—整數(shù)的分拆

整數(shù)的拆分，就是把一個自然數(shù)表示成為若干個自然數(shù)的和的形式，每一種表示方法，就是自然數(shù)的

一個分拆。

整數(shù)的分拆是古老而又有趣的問題，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在國內(nèi)外數(shù)學競賽中，整數(shù)分拆

的問題常常以各種形式出現(xiàn)，如，存在性問題、計數(shù)問題、最優(yōu)化問題等。

例L

電視臺要播放一部30集電視連續(xù)劇，若要求每天安排播出的集數(shù)互不相等，則該電視連續(xù)劇最多可

以播幾天？

分析與解：由于希望播出的天數(shù)盡可能地多，所以，在每天播出的集數(shù)互不相等的條件下，每天播放

的集數(shù)應(yīng)盡可能地少。

我們知道,1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集數(shù)分別為我2,道4,5,6,7時,那么七

天共可播出28集，還剩2集未播出。由于已有過一天播出2集的情形，因此，這余下的2集不能再

單獨于一天播出，而只好把它們分到以前的日子，通過改動某一天或某二天播出的集數(shù)，來解決這個

問題。例如，各天播出的集數(shù)安排為1,2,3,4,5,7,8或1,2,3,4,5,6,9都可以。

所以最多可以播7天。

??

例2:

有面值為1分、2分、5分的硬幣各4枚，用它們?nèi)ブЦ?角3分。問：有多少種不同支付方法？

分析與解：要付2角3分錢，最多只能使用4枚5分幣。因為全部1分和2分幣都用上時，共值12

分，所以最少要用3枚5分幣。

當使用3枚5分幣時,5x3=15,23-15=8,所以使用2分幣最多4枚，最少2枚，可有

23=15+(2+2+2+2),

23=15+(2+2+2+1+1),

23=15+(2+2+1+1+1+1),

共3種支付方法。

當使用4枚5分幣時,5x4=20,23-20=3,所以最多使用1枚2分幣，或不使用，從而可有

23=20+(2+1),

23=20+(1+1+1),

共2種支付方法。

總共有5種不同的支付方法。

例3:

把37拆成若干個不同的質(zhì)數(shù)之和，有多少種不同的拆法？將每一種拆法中所拆出的那些質(zhì)數(shù)相乘，

得到的乘積中，哪個最??？

解:37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23

=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17

=2+7+11+17,共10種不同拆法,其中3x5x29=435最小。

說明：本題屬于迄今尚無普遍處理辦法的問題，只是硬湊。比37小的最大質(zhì)數(shù)是31，但37-31=6,

6不能分拆為不同的質(zhì)數(shù)之和，故不??；再下去比37小的質(zhì)數(shù)是29,37-29=8,而8=3+5。其余

的分拆考慮與此類似。

例4:求滿足下列條件的最小自然數(shù)：它既可以表示為9個連續(xù)自然數(shù)之和，又可以表示為10個連

續(xù)自然數(shù)之和，還可以表示為11個連續(xù)自然數(shù)之和。

解：9個連續(xù)自然數(shù)之和是其中第5個數(shù)的9倍，10個連續(xù)自然數(shù)之和是其中第5個數(shù)和第6個數(shù)

之和的5倍，U個連續(xù)自然數(shù)之和是其中第6個數(shù)的11倍。這樣，可以表示為9個、10個、11

個連續(xù)自然數(shù)之和的數(shù)必是5,9和11的倍數(shù)，故最小的這樣的數(shù)是[5,9,11]=495。

對495進行分拆可利用平均數(shù)，采取"以平均數(shù)為中心，向兩邊推進的方法"。例如，495+10=49.5,

則10個連續(xù)的自然數(shù)為45,46,47,48,49,(49.5),50,51,52,53,54。

于是495=45+46+...+54。同理可得495=51+52+...+59=40+41+...+50。

例5:

若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每只盒子里

取出一個小球，然后把這些小球再放到小球數(shù)最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。小聰回來，仔

細查看，沒有發(fā)現(xiàn)有人動過小球和盒子。問：一共有多少只盒子？

分析與解：

設(shè)原來小球數(shù)最少的盒子里裝有a只小球，現(xiàn)在增加到了b只，由于小明沒有發(fā)現(xiàn)有人動過小球和盒

子，這說明現(xiàn)在又有了一只裝有a個小球的盒子，這只盒子里原來裝有（a+1）個小球。

同理，現(xiàn)在另有一個盒子里裝有（a+1）個小球，這只盒子里原來裝有（a+2）個小球。

依此類推，原來還有一只盒子裝有（a+3）個小球，（a+4）個小球等等，故原來那些盒子中裝有的

小球數(shù)是一些連續(xù)整數(shù)。

現(xiàn)在這個問題就變成了：將42分拆成若干個連續(xù)整數(shù)的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少

個加數(shù)？

因為42=6x7,故可將42看成7個6的和，又（7+5）+（8+4）+（9+3）是6個6,

從而42=3+4+5+6+7+8+9,一共有7個加數(shù)。

又因42=14x3,故可將42寫成13+14+15,一共有3個加數(shù)。

又因42=21x2,故可將42寫成9+10+11+12,一共有4個加數(shù)。

于是原題有三個解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子。

例6:

機器人從自然數(shù)1開始由小到大按如下規(guī)則進行染色：

凡能表示為兩個不同合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不符合上述要求的自然數(shù)染成黃色(比如23可

表示為兩個不同合數(shù)15和8之和，23要染紅色；1不能表示為兩個不同合數(shù)之和，1染黃色兀問：

被染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，第2000個數(shù)是多少？請說明理由。

解：顯然1要染黃色，2=1+1也要染黃色，

3=1+2,

4=1+3=2+2,

5=1+4=2+3,

6=1+5=2+4=3+3,

7=1+6=2+5=3+4,

8=1+7=2+6=3+5=4+4,

9=1+8=2+7=3+6=4+5,

11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6。

可見，1,2,3,4,5,6,7,8,9,11均應(yīng)染黃色。

下面說明其它自然數(shù)n都要染紅色。

(1)當n為大于等于10的偶數(shù)時，n=2k=4+2(k-2)。由于n>10,所以k>5,k-2>3,2(k-2)

與4均為合數(shù)，且不相等。也就是說，大于等于10的偶數(shù)均能表示為兩個不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅

色。(1)當n為大于等于13的奇數(shù)時，

n=2k+l=9+2(k-4)o由于n>13,所以k>6,k-4>2,2(k-4)與9均為合數(shù)，且不相等。也就

是說，大于等于13的奇數(shù)均能表示為兩個不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅色。

綜上所述，除了1,2,3,4,5,6,7,8,9,11這10個數(shù)染黃色外，其余自然數(shù)均染紅色，第

k個染為紅色的數(shù)是第(k+10)個自然數(shù)(k>2)o

所以第2000個染為紅色的數(shù)是2000+10=2010。

例7:

把12分拆成兩個自然數(shù)的和，再求出這兩個自然數(shù)的積，要使這個積最大，應(yīng)該如何分拆？

分析與解：把12分拆成兩個自然數(shù)的和，當不考慮加數(shù)的順序時,有1+11,2+10,3+9,4+8,

5+7,6+6六種方法。它們的乘積分別是1x11=11,2x10=20,3x9=27,4x8=32,5x7=35,

6x6=36。

顯然,把12分拆成6+6時，有最大的積6x6=36。

例8:

把11分拆成兩個自然數(shù)的和，再求出這兩個自然數(shù)的積，要使這個積最大，應(yīng)該如何分拆？

分析與解：把11分拆成兩個自然數(shù)的和，當不考慮加數(shù)的順序時,有1+10,2+9,3+8,4+7,

5+6五種方法。它們的乘積分別是1x10=10,2x9=18,3x8=24,4x7=28,5x6=30。

顯然，把11分拆成5+6時，有最大的積5x6=30。

說明：由上面的兩個例子可以看出，在自然數(shù)n的所有二項分拆中，當n是偶數(shù)2m時，以分成m+m

時乘積最大；當n是奇數(shù)2m+l時，以