高中數(shù)學(xué)選修第一冊：選擇性必修第一冊第一章 1

第2課時(shí)空間向量基本定理的初步應(yīng)用

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會用基底法表示空間向量.2.初步體會利用空間向量基本定理求解立體幾何問

題的思想.

知識梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

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知識點(diǎn)一證明平行、共線、共面問題

（1）對于空間任意兩個(gè)向量”，伏8/0）,a〃占的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使“=勸.

（2）如果兩個(gè)向量a,6不共線，那么向量p與向量a,匕共面的充要條件是存在唯一的有序

實(shí)數(shù)對（%,y）,使p=xa+yZ>.

思考怎樣利用向量共線、向量共面解決幾何中的證明平行、共線、共面問題？

答案平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題.

知識點(diǎn)二求夾角、證明垂直問題

d-h

（1）6為a,8的夾角，貝"cos面.

（2）若a,%是非零向量，則a,BOa0=0.

思考怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求夾角、證明垂直問題？

答案幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍.

知識點(diǎn)三求距離（長度）問題

同=^^（|蕊|=4還?贏）?

思考怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求距離（長度）問題？

答案幾何中求距離（長度）都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用數(shù)量積可以求得.

-思考辨析判斷正誤

1.四點(diǎn)A,B,C,。構(gòu)成平行四邊形ABC。的充要條件是贏=虎.（X）

2.若贏=亦，則A,B,C,。四點(diǎn)共線.（X）

3.已知兩個(gè)向量NM,MP的夾角為60°,則/NMP=60o.（X）

4.如果。>=血+蘇，則四點(diǎn)0,P,M,N一定共面.（V）

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

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一、證明平行、共面問題

例1如圖，已知正方體ABCD-A'B'CD',E,尸分別為A4'和CC'的中點(diǎn).

c

求證：BF//ED'.

證明BF=BC+CF=BC+1CC7*=AD+^DD'',

ED''=EA't+AZD'=^AA'r+AD=^DD^+AD,

:.BF=ED',

：.BF//ED'',

；直線BF與ED'沒有公共點(diǎn)，：.BF//ED'.

反思感悟證明平行、共面問題的思路

(1)利用向量共線的充要條件來證明點(diǎn)共線或直線平行.

(2)利用空間向量基本定理證明點(diǎn)線共面或線面平行.

跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在平行六面體ABC。一AiaCiDi中，E,尸分別在修3和。。上,

?12

JLBE=-jBBi，DF=2DDi.

求證：A,E,Ci，尸四點(diǎn)共面.

證明因?yàn)锳Ci=AB+A￡)+A4i

=AB+AD+1-A4I+1A4I

=AB+^E+AD+DF=^E+AF,

所以石，AE,贏共面，

所以A,E,Ci,尸四點(diǎn)共面.

二、求夾角、證明垂直問題

例2如圖所示，在三棱錐A-BCD中，DA,DB,OC兩兩垂直，且。B=OC=/M=2,E

為BC的中點(diǎn).

A

C

(1)證明：AELBC；

(2)求直線AE與DC的夾角的余弦值.

.—?—?—?1—?—?—?—?—?—?

(1)證明因?yàn)锳E=Z)E—ZM=2(OB+OC)-￡M,CB=DB—DC,

所以贏.無=6加+;比一面)(加一比)

=^DB2-^DC2-DADB+DADC,

又DA,DB,0c兩兩垂直，且。8=DC=D4=2,

所以靠?無=0,

故AE±BC.

(2)解AEDC^[^DB+^DC-DAj-DC

=/協(xié)慶+城;2-亦慶=昴?=2,

由AE2=(^DB+；￡>(7-DA〉=^Z5B2+^5C2+5^=6,得|靠|=就.

_AEDC_2_y[6

所以cos(AE,DC}

~\AE\\DC\^X2~6

故直線AE與。C的夾角的余弦值為平.

反思感悟求夾角、證明線線垂直的方法

fi.h

利用數(shù)量積定義可得cos(a,b>=言不求〈出b〉的大小，進(jìn)而求得線線角，兩直線垂直

可作為求夾角的特殊情況.

跟蹤訓(xùn)練2在長方體ABC。一AiBiGA中，AB=2,BC=BiB=l,M,N分別是AD,DC

的中點(diǎn).求異面直線MN與BG所成角的余弦值.

解MN=DN-DM=^(DC-DA),

BCi^BC+CC^-DA+DDi,

2

所以疝氤1=&（c—（—應(yīng)+5z）|）=^DA=1,

又閑=3應(yīng)|=羋，|闔=啦,

1_

疝前i/yi5

所以cos(MN,BCi)

~\MN\\BC]~^X^2~10

故異面直線MN與BCi所成角的余弦值為曙.

三、求距離（長度）問題

例3已知平面a_L平面￡,且aC￡=/,在/上有兩點(diǎn)A,B,線段ACUa,線段BOUS,

并且AC_U,BDll,AB=6,BD=24,AC=8,則CD=.

答案26

解析?.?平面aJ_平面￡,且aC￡=/,在/上有兩點(diǎn)A,B,線段ACU明線段BDU.,

AC1I,BD±I,AB=6,20=24,AC=8,

：.CD=CA+AB+Bb,

J.CD1=（CA+AB+BD）2

^C^+AB'+BD2=64+36+576=676,

：.CD=26.

反思感悟求距離（長度）問題的思路

選擇已知長度和夾角的三個(gè)向量作為基向量，利用基底表示向量，將距離（長度）問題轉(zhuǎn)化為

向量的模的問題.

跟蹤訓(xùn)練3正方體ABC。-的棱長為0,病=領(lǐng)3，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，則

I血等于（）

A陪

>?$au.3i

答案A

解析,?MN=AN-AM=AN~^\Ci

—?—?I―?—??

=AB+BN-^(AB+AD+AAi)

=^AB+^AAi-5。，

一/4fC1—_1fc

?,?|%V|='g\AB\2+^\AAi|2+g|AD|2

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

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1.（多選）已知A,B,C三點(diǎn)不共線，。為平面ABC外的任一點(diǎn)，貝「'點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C

共面”的充分條件是（）

\.dM=2OA-OB-OC

B.OM^OA+OB-OC

C.OM=6A+^OB+^OC

D.OM=^OA+^OB+^OC

236

答案BD

解析根據(jù)“血=x3^+y加+z詼,若x+y+z=l,則點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C共面”，

因?yàn)?+（—1）+（—1）=0^1,1+1+（—1）=1,l+|+|=y^l,^+|+|=1,

由上可知，BD滿足要求.

2.設(shè)A,B,C,。是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足通?/1=（）,AC-AD=O,AB-AD=O,則△BCD

是（）

A.鈍角三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.不確定

答案B

解析在△BCD中，正?應(yīng)）=（公一贏）?（曲一贏）=贏2＞（）,，臺為銳角，

同理，C,。均為銳角.

3.如圖，三棱錐5—ABC中，SA_L底面ABC,ABLBC,AB=BC=2,SA=2也貝！ISC與

AB所成角的大小為（）

s,

C

A.90°B.60°

C.45°D.30°

答案B

解析因?yàn)镾A_L底面ABC,所以SA_LAC,SA±AB,所以五?贏=0,

XABXBC,AB=BC=2,

所以ZBAC=45°,AC=2巾.

因此而啟=|AB||AC|COS45。=2X2取吟~=4,

所以文.油=病.西一而.贏=4,

又SA=2巾，所以SC^y/SA2+AC2^4,

EU/六汽、交施41

因此cos（SC,AB）'——.——5,

周同4Xv2o2

所以SC與42所成角的大小為60°.

4.如圖，已知=A8CZ）中，AD=4,CD=3,ZD=60°,B4_L平面A8CD且B4=6,則尸C

的長為.

答案7

解析,：PC=i^+AD+DC,

.,.|PC|2=PC-PC=(^+AD+5c)2=|^4|2+|Ab|2+|5c|2+2fi4-Ab+2^4DC+2Ab-Z5c

=62+42+32+2|AD||Z5C|COS120°=61-12=49.

:.PC=I.

5.已知a,b是空間兩個(gè)向量，若|a|=2,\b\=2,\a-b\=^,則cos〈a,b)=.

答案!

o

解析將1〃一萬|=由化為(ai)2=7,求得a仍=3，

再由a0=|a||Z>|cos(a,b)求得cos(a,b)=g.

■課堂小結(jié)—

1.知識清單：

(1)空間向量基本定理.

(2)空間向量共線、共面的充要條件.

(3)向量的數(shù)量積及應(yīng)用.

2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸.

3.常見誤區(qū)：

(1)向量夾角和線線角的范圍不同，不要混淆.

⑵轉(zhuǎn)化目標(biāo)不清：表示向量時(shí)沒有轉(zhuǎn)化目標(biāo)，不理解空間向量基本定理的意義.

課時(shí)對點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

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g基礎(chǔ)鞏固

1.已知。,4,8是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C,滿足2元+為=0,則元等于()

A.2OA-OBB.-OA+2OB

C.|oA—D.—

答案A

解析由已知得2(又一宓)+(勵(lì)一無)=0,

.?.沆=2近一赤

2.如圖，已知空間四邊形ABC。中，AC=BD,順次連接各邊中點(diǎn)P,Q,R,S,所得圖形

是()

C

A.長方形

B.正方形

C.梯形

D,菱形

答案D

~?—?—?1-?1—?1―?

解析因?yàn)槭琎=BQ—3P=18C—1E4=]AC

—?I—?—?—?

同理SR=]AC,所以PQ=SR,

所以四邊形PQRS為平行四邊形.

-A-A-?1—?1―?1―?

又尸S=AS—AP=1AO—洲3=滑￡),

-1-1

所以IPS尸引5。|,即尸S=15D

-*?1-?

又1尸。1=440，

故PQ—^AC,而AC—BD,

所以PS=P0,故四邊形ABC。為菱形.

3.如圖，長方體ABC。一AiBiGA中，AAi=AB=2,AD=l,E,F,G分別是Z）C,AB,

CG的中點(diǎn)，則異面直線4E與G尸所成角的余弦值是（）

A.0

D彎

c坐

答案A

解析根據(jù)題意可得,

A?E-GF=(AA+Ab+Z5￡)-(GC+CB+BF)

—(—AAi+AZ)+g￡)C)一(一2AAi—AD—~^DC)

=3誦2-AZ)2-15C2=|X4-1-|X4=0,

從而得到隨和后垂直，故其所成角的余弦值為0.

4.在正三棱柱ABC—4SG中，若AB=y^BBi，則CAX與GB所成的角的大小是（）

A.60°B.75°

C.90°D.105°

答案C

解析設(shè)|麗i|=〃z,CA=a,CB=b,CCi=c,

則CAI=Q+C,CiB=b—c,

CAvC^B

=(〃+c)0—c)

=ab-\-b'C—ac—c2

=y[2m'y[2mcos^+0—0—m2=0,

：.CAi±QB,

???CAi與CiB所成的角的大小是90°.

27r-

5.如圖，二面角a一/一萬等于行，A,2是棱/上兩點(diǎn)，BD,AC分別在平面a,/內(nèi)，AC，/,

BDM,且2AB=AC=BO=2,則CO的長等于()

A.2小B.V13

C.4D.5

答案B

.27T->—>2冗jr

解析，?,二面角a—/一￡等于于，AC±l,BD±l,所以(CA,BD)=兀一5=Q，

"：CD^CA+AB+BD,

：.cb2=CA-+^-+BD2+2O{AB+2ABBb+2^Bb

=22+12+22+0+0+2X2X2XCOS生=13.即CD=y[l3.

6.已知向量a,&滿足條件⑷=3/，|臼=4,m=a+b,n=a+^.b,〈a,b>=135°,m±n,

則實(shí)數(shù)4=.

答案*3

解析因?yàn)榉?〃=0,所以(“+方>(。+勸)=0,

所以a2+(l+A)a-6+Xb2=0,

所以+162=0,

3

解得力=一］.

7.如圖，在空間四邊形42cD中，/ABD=/CBD巧,ZABC^,BC=BD=1,AB=正,

則異面直線AB與CD所成角的大小是.

4

D

答案I

解析依題意可知CD=y[^西訪，贏.而=贏,向）—的）

=^3BD-ABBC=0+^BC=\^\\^c\cos45°=1.

ABCD11

設(shè)直線AB與CD所成角為a,則cosa,故a=?

|AB||cb|^2X^22

8.如圖,平行六面體ABCD-AiBiCi。中，\AB\=\AD\=\AAi\=l,ZBAD=ZBAAi=120°,

ZDA4i=60°,則線段AG的長度是

答案小

解析,?ACi=^+AD+AAi,

：.然2=而+助2+而2+2而病+2病況+2病涵

=1+1+1+2X1X1X^-￡)+2X1X1X^-^+2X1X1X1=2,

；.ACi=p.

9.在平行六面體ABCD-AiSGP中，設(shè)疝=a,AD^b,AAi=c,E,E分別是AA，BD

的中點(diǎn).

⑴用向量a,b,c表示萬山,EF-,

(2)若￡)/=xa+M+2C,求實(shí)數(shù)x,y,z的值.

解(1)如圖，連接AC,EF,DiF,BDi,

D^B=Dd)+DB

=—AAi+AB—M)=a—b—c,

EF=EA+AF=^D[A+^AC

2121

---?1---?---?

(2)DIF=2(DI￡)+￡)IB)

=2（一

=T(—c+Q——

=%_1—c,

?_1__1

??x-2，y—2，z—i.

10.如圖，在正方體ABC。一A/1GD1中，E,尸分別是GA，小。的中點(diǎn)，正方體的棱長為

1.

⑴求＜CE,AT）的余弦值;

(2)求證：BDiLEF.

>>>>1>>>一A>1>>1>

(1)解AF=A￡>+。歹=4。+/1,CE=CG+GE=AAi+1O)=A4i—]AA

因?yàn)锳BAD=0,ABAAi=0,AD-AAi=0,

所以也能=(A4]—；A8).?9+5AI)=3.

又I石1=|々|=乎，所以cos(CE,嘉〉=|.

⑵證明BDi=BD+DDi=Ab-AB+AAi,

―??-?1-??

EF=EDi+。聲=一2(A2+A4i),

所以麗.肆=0,所以麗_L而.

X綜合運(yùn)用

11.在四面體O—ABC中，G是底面△ABC的重心，且灰?=x5^+y而+z5b,則log3|孫z|

等于（）

A.13B.-1

C.1D.3

答案A

解析連接AG（圖略）,

―?―?―?―?1—>―?—?1―?—>―>—?

OG=OA+AG=OA+-j（AC+AB）=OA+^OC-OA+OB-OA）

=^OA+^OB+^OC=xOA+yOB+zOC,

???x=y=z=g,貝ijlogBlxyzlulogs，^—3.

12.在三棱柱ABC—A/iG中，AAilJfeffiABC,AB=BC=AAi,ZABC=90°,點(diǎn)E,尸分

別是棱AB,的中點(diǎn)，則直線跖和5G所成的角是（）

A.30°B.45°

C.90°D.60°

答案D

解析因?yàn)辄c(diǎn)區(qū)尸分別是棱A5,3囪的中點(diǎn)，

所以EF=BF~RE=^（BBx-BA）,BCi=BC+BRi,

所以E—AFBGA=11（BBA1-3—AA）（B—AC+B81?）=]B1B1?2_,

設(shè)所求異面直線的夾角為6,則

年前I1

cos3=：2,所以6=60。.

\EF]\BCi\

13.如圖，已知正三棱柱ABC—4B1G的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CG的中點(diǎn)，則異面直

線AR和BM所成的角的大小是

答案90°

AAAAA1A

解析不妨設(shè)棱長為2,則ABi=88i一胡，BM=BC+^BBi,

一一（麗一的.帆+T函）o-2+2-O

cos〈ABi,BM}=乖/=2丁義布=仇

則〈涵，BM）=90。.

14.如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCO-AiSGA,其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的

三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60。，下列說法中正確的是.（填序號）

①函+贏+Ab)2=2(歷2.

@ACi-(AB-AD)=O；

③向量氤與涵的夾角是60。；

④BDi與AC所成角的余弦值為坐.

答案①②

解析以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等，它們彼此的夾角都是60。，

可設(shè)棱長為1,則京西=京病=萬)?矗=lXlXcos6(T=；,

(AAl+贏+Ab)2=涵2+施2+壽2_|_2AA[-AB+2.^-Ab+2AAiAD

=1+1+1+3X2X<=6,

而2(AQ2=2(AB+AZ))2=2(AB2+AD2+2AB-AD)

=2(1+1+2X§=2X3=6,所以①正確.

AG-(AB-Ab)=(A^+AB+Ab).(AB-AZ))

2

^AAiAB-AAl-Ab+AB--AB-Ab+Ab-AB-AD^O,所以②正確.

向量瓦運(yùn)=彳而，

顯然4m為等邊三角形，則/44田=60。.

所以向量瓦B與用t的夾角是120。，向量灰與然的夾角是120°,則③不正確.

又曲=刀)+禍—檢，AC=AB+AZ),

則|麗|=4(屐(+然一通)2=也，

?/i=q(贏+冠))2=小，

BDiAC^(AD+AA1-詞?(施+病)=1，

所以cos〈麗，AC)=#^=7^=乎，

\BDi\\AC\72X73

所以④不正確，故①②正確.

g拓廣探究

15.（多選）在四面體產(chǎn)一A