高中數(shù)學(xué)2輪14 作業(yè)18

專題訓(xùn)練?作業(yè)（十八）

一、單項選擇題

1.（2021?濟南市高三模擬）環(huán)保部門為降低某社區(qū)在改造過程中產(chǎn)生的揚塵污染，決定對全

部街道采取灑水降塵作業(yè).該社區(qū)街道的平面結(jié)構(gòu)如圖所示（線段代表街道），灑水車隨機選

擇A,B,C,D,E,尸中的一點駛?cè)脒M行作業(yè)，則選擇的駛?cè)朦c使灑水車能夠不重復(fù)地走

遍全部街道的概率為（）

FED

ABC

11

A6B3

D.g

答案B

解析由題圖知，要使灑水車能夠不重復(fù)地走遍全部街道，則要選擇從點B或點E駛?cè)耄?/p>

若選擇點B或點￡外的點駛?cè)耄瑒t都會重復(fù)，所以選擇的駛?cè)朦c使灑水車能夠不重復(fù)地走

21

遍全部街道的概率.故選B.

o5

2.（2021?重慶一中月考）甲、乙、丙三人被系統(tǒng)隨機地預(yù)約到A,B,C三家醫(yī)院接種新冠疫

苗，每家醫(yī)院恰有1人預(yù)約.已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體新冠疫苗，B

醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活新冠疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白新冠疫

苗，問：甲不接種只打一針的腺病毒載體新冠疫苗且丙不接種需要打三針的重組蛋白新冠疫

苗的概率等于（）

12

A.QB3

11

C，2D.§

答案C

解析甲、乙、丙三人被系統(tǒng)隨機地預(yù)約到A,B,C三家醫(yī)院接種新冠疫苗的情況有A3?

=6種，符合題意的情況有3種，故所求概率為P=13=；1.故選C.

3.（2021.湖北新高考適應(yīng)性測試）如果3個正整數(shù)按照一定順序可以組成一個等比數(shù)列，則

稱這3個數(shù)為一組“等比數(shù)”（如1,2,4為一組“等比數(shù)”）.從1,2,3,4,5,6,7,8,

9中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組“等比數(shù)”的概率為（）

答案c

解析從9個數(shù)中任取3個不同的數(shù)，有Cg3=84種情況，其中，構(gòu)成一組“等比數(shù)”的情

況有{1,2,4},{1,3,9},{2,4,8},{4,6,9},共4種，故任取3個不同的數(shù)構(gòu)成一

41

組“等比數(shù)”的概率P=含=(.故選C.

OH-Z1

4.(2021?呂梁第三次模擬)北斗導(dǎo)航系統(tǒng)由55顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組

網(wǎng)部署，全面投入使用.北斗七星自古是我國人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星

分別為天樞、天璇、天磯、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗，一名天文

愛好者從七顆星中隨機選兩顆進行觀測，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為()

權(quán)

開而A

c—

。42

答案B

解析從七顆星中隨機選兩顆，共有C72=21種可能的結(jié)果，玉衡和天權(quán)至少一顆被選中共

有C21c5l+C22=ll種可能的結(jié)果，所以所求概率尸=".故選B.

5.(2021?開封市一模)某盞吊燈上并聯(lián)著4個燈泡，如果在某段時間內(nèi)每個燈泡能正常照明

的概率都是0.8,那么在這段時間內(nèi)該吊燈上的燈泡至少有2個能正常照明的概率是()

A.0.8192B.0.9728

C.0.9744D.0.9984

答案B

解析設(shè)吊燈上正常照明的燈泡數(shù)量為X,則隨機變量X服從二項分布，即X?B(4,0.8),

記吊燈上燈泡至少有2個能正常照明為事件A,

方法一：P(A)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=C42X0.82XON+C43X08X0.2+C44X0.84=

0.9728.故選B.

方法二：P(A)=l—P(X=0)-P(X=l)=l-C4°X0.24—C/X0.8X0.23=0.9728.故選B.

6.已知某高級中學(xué)高三學(xué)生有2000名，在第一次模擬考試中數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布

Ml20,小)，已知Ri00<f<120)=0.45,若學(xué)校教研室欲按分層抽樣的方式從中抽出100

份試卷進行分析研究，則應(yīng)從140分以上的試卷中抽()

A.4份B.5份

C.8份D.10份

答案B

解析因為P0140）」=2P（1臀＜120）=005,所以從14（）分以上的試卷中抽

0.05X2000

X100=5（份）.

2000

7.（2021?山西適應(yīng)性調(diào)研考試）某班會上，班主任擬安排甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)以新

冠肺炎疫情為主題分享體會，要求甲不能排前三位，且乙必須排在丙、丁的前面，則不同的

安排方法的種數(shù)為（）

A.8B.12

C.16D.24

答案C

解析本題考查排列組合的應(yīng)用.根據(jù)題意，分3步進行：第一步，甲不能排前三位，則甲

有2種安排方法；第二步，乙必須排在丙、丁的前面，則這三人有C43X2=8種安排方法；

第三步，將戊安排在最后剩下的一個位置上，則共有2X8=16種不同的安排方法.故選C.

8.（2021?云南高中畢業(yè)檢測）甲、乙、丙三名志愿者到某醫(yī)院參加抗擊新冠肺炎疫情活動，

該醫(yī)院有48兩種類型的機器各一臺，其中甲只會操作4種類型的機器，乙、丙兩名志愿

者兩種類型的機器都會操作.現(xiàn)從甲、乙、丙三名志愿者中選派2人去操作該醫(yī)院A,B兩

種類型的機器（每人操作一臺機器），則不同的選派方法一共有（）

A.2種B.4種

C.6種D.8種

答案B

解析本題考查分類加法計數(shù)原理及排列的應(yīng)用.由題知，當選擇甲、乙時，有1種選派方

法；當選擇甲、丙時，有1種選派方法；當選擇乙、丙時，有A?2=2種選派方法.綜上，

不同的選派方法共有1+1+2=4（種）.故選B.

9.（2021?山東中學(xué)大聯(lián)考）“總把新桃換舊符”（王安石），“燈前小草寫桃符”（陸游），春節(jié)

是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現(xiàn)代人們通過貼

“?！弊帧①N春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿.某商家在春節(jié)前開展商品促銷

活動，顧客凡購物金額滿50元，則可以從“?！弊?、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費領(lǐng)

取一件，若有4名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率

是（）

A?

答案B

解析4名顧客每人任意領(lǐng)取一件禮品，基本事件總數(shù)為34=81,他們中有且僅有2人領(lǐng)取

的禮品種類相同包含的基本事件個數(shù)為C42A33=36,所以有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同

364

的概率尸=所=§.故選B.

10.（2021?重慶巴蜀中學(xué)適應(yīng)性測試）小明在做一個與扔質(zhì)地均勻的正六面體骰子有關(guān)的游

戲，規(guī)定：若骰子1點或2點向上，則小明前進1步，若骰子3點或4點向上，則小明前進

2步，若骰子5點或6點向上，則小明前進3步.小明連續(xù)扔了三次骰子，則他一共前進了

8步的概率是（）

A萬B27

9

答案c

解析易知小明三次共前進了8步時，只能是2次前進3步，1次前進2步的情況.根據(jù)題

意得，前進1步、前進2步、前進3步的概率相同，均為點故所求概率P=C32X《）2X《＞

=?.故選C.

11.（2021?廈門市高中畢業(yè)班質(zhì)檢）如圖，已知電路中3個開關(guān)閉合的概

（―——

率都是1看且是相互獨立的，則燈亮的概率為（）I—|甲7

31

A-8B21|F0—

=屋8u屋-8

答案C

解析由題意，燈泡亮包括三個開關(guān)都閉合，只有下邊的開關(guān)閉合，只有上邊兩個閉合，下

邊閉合上邊閉合一個，

這四種情況是互斥的，每一種情況中的事件都是相互獨立的，

所以燈泡亮的概率為:*梟昇裊［義1+9；乂；+2乂裊］義；=1.故選C.

12.概率論起源于博弈游戲.17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當?shù)募住?/p>

乙兩人進行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負，沒有平局.雙方約定，各出賭金48枚金幣，

先贏3局者可獲得全部賭金；但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局.問這

96枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合

理地給出了賭金分配方案.該分配方案是（）

A.甲48枚，乙48枚B.甲64枚，乙32枚

C.甲72枚，乙24枚D.甲80枚，乙16枚

答案c

解析根據(jù)題意，前三局比賽中，博弈水平相當?shù)募住⒁?，即兩人獲勝的概率均為去假設(shè)

兩人繼續(xù)進行比賽，甲獲取96枚金幣的概率P=微1+15*153=*乙獲取96枚金幣的概率P2

-2X2=4,則甲應(yīng)該獲得96義(=72枚金幣；乙應(yīng)該獲得96X(=24枚金幣.故選C.

二、多項選擇題

13.某市有A,B,C,。四個景點，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽A景點的概率

21

為東游覽B,C和。景點的概率都是:，且該游客是否游覽這四個景點相互獨立.用隨機變

量X表示該游客游覽的景點個數(shù)，下列說法正確的是()

A.該游客至多游覽一個景點的概率,

B.P(X=2)=|

C.P(X=4)=擊

13

D.￡(X)=y

答案ABD

解析隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

則P(x=o)=(i-f)x(i-gx

p(x=D=|x(i-1)+(i-|)xc3'x|x(i-1)=^

所以該游客至多游覽一個景點的概率為P(X=0)+P(X=l)=*+5=:，故A正確；

2

P(X=2)=|XC3'X|X(1-￡)+(1-|)XC3X(J)義(1一￡)=*故B正確；

2

P(X=3)=|XC3X(J^X(l-￡)+(l-1)XC33X(g=女,

P(X=4)=|x⑤故C錯誤；

1597213

數(shù)學(xué)期望為E(X)=0X%+1X亢+2X五+3*五+4、五=束，故D正確.故選ABD.

14.(2021?唐山市三模)下列說法正確的是()

A.某投擲類游戲闖關(guān)規(guī)則是游戲者最多投擲5次，只要有一次投中，游戲者即闖關(guān)成功，

并停止投擲，已知每次投中的概率為1多則游戲者闖關(guān)成功的概率為喘31

B.從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為啜￡

C.已知隨機變量X的分布列為P(X=i)=j(*],2,3),則P(X=2)=,

D.若隨機變量〃~N(2,吟,且(5=3〃+1,則P(〃<2)=0.5,E(3)=6

答案AC

解析5次都沒投中的概率為

所以游戲者闖關(guān)成功的概率為1一言=翁，A正確；從10名男生、5名女生中選取4人，則

其中至少有一名女生分為：1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4

名都是女生四種情況.共有C5?o3+C52cl(>2+C53cd+Cs4=l155種情況.而CsS=l

820,所以其中至少有一名女生的概率為C5'C"+C52?)2^C53cH+Cs4)筆孚.B不正確；

。5C15

由P(X=i)=j(￡)(i=l,2,3),則解得"=,,

417

所以尸(X=2)=WXK=G，正確；隨機變量〃?小)，則尸(〃<〃

DZAJvCM2,2)=0.5,E()=2,

所以E(<5)=E(3〃+1)=3E(〃)+1=7,D不正確.故選AC.

三、填空題

15.(2021?滄州聯(lián)考)已知隨機變量X?N(150.42),若P(XW1.75)=06則P(L25WXWL75)

答案0.2

16.一個盒子中裝有3個紅球和2個藍球(小球除顏色外其他均相同)，從盒子中一次性隨機

取出3個小球后，再將小球放回，重復(fù)50次這樣的試驗，記取出的3個小球中有2個紅球,

1個藍球的次數(shù)為則。的方差是.

答案12

解析由題意，知一次試驗中取出2個紅球，1個藍球的概率穿?8(50,

32

二J的方差。?=50X5X5=12.

17.(2021.鴻浩超級聯(lián)考)光明中學(xué)為做到學(xué)校疫情防控常態(tài)化，切實保障學(xué)生的身體健康，

組織1000名學(xué)生進行了一次“防疫知識測試”(滿分100分).測試后，對學(xué)生的成績進行

統(tǒng)計和分析，結(jié)果如下：學(xué)生的平均成績?yōu)椤?80,方差為$2=4.82.學(xué)校要對成績不低于

90分的學(xué)生進行表彰.假設(shè)學(xué)生的測試成績X近似服從正態(tài)分布N3,“2)(其中〃近似為

樣本平均數(shù)三，小近似為樣本方差$2),則估計獲表彰的學(xué)生人數(shù)為.(四舍五入,

保留整數(shù))

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N@,。2),則有Pa—rzw〃+(7)=0.6826,P3

一2c<ZW"+2cr)=0.9544,P(/L3<7<ZW〃+3O)=0.9974.

答案23

解析因為學(xué)生的測試成績X?N(80,4.82),且〃+2。=三+26=80+2X4.8=89.6,所以

P(XN90)=P(X>〃+2c)=；(1-0.9544)=0.0228,估計獲表彰的學(xué)生人數(shù)為1000X0.022

8弋23.

18.(2021?湖北省武漢市調(diào)研)甲、乙兩隊進行排球比賽，采取五局三勝制(當一隊贏得三場

勝利時，該隊獲勝，比賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績可知在每一局比賽中，甲隊獲勝的概率

為|,乙隊獲勝的概率為今若前兩局中乙隊以2：0領(lǐng)先，則下列說法中正確的有(填

序號).

O

①甲隊獲勝的概率為自；

②乙隊以3：0獲勝的概率為:：

2

③乙隊以3：1獲勝的概率通；

4

④乙隊以3：2獲勝的概率為去

答案①②③

解析對于①，在乙隊以2：0領(lǐng)先的前提下，若甲隊獲勝，則第三、四、五局均為甲隊取

勝，所以甲隊獲勝的概率為修=(|)=捺，故①正確；對于②，乙隊以3：0獲勝，即第三

局乙隊獲勝，概率為:，故②正確；對于③，乙隊以3：1獲勝，即第三局甲隊獲勝，第四局

212

乙隊獲勝，概率為］故③正確；對于④，若乙隊以3：2獲勝，則第五局為乙隊取勝,

2214

第三、四局乙隊輸，所以乙隊以3：2獲勝的概率為萬，故④錯誤.

培優(yōu)練：重點班選做

19.(2021?湖南湘潭一模)德國心理學(xué)家艾賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，遺忘在學(xué)習(xí)之后立即開始，而且

遺忘的進程并不是均勻的.最初遺忘速度很快，以后逐漸減慢.他認為“保持和遺忘是時間

的函數(shù)”，他用無實際意義音節(jié)(由若干音節(jié)字母組成，能夠讀出，但無實際意義，即不是

詞的音節(jié))作為記憶材料，用節(jié)省法計算保持和遺忘的數(shù)量，并根據(jù)他的實驗結(jié)果繪成描述

遺忘進程的曲線，即著名的艾賓浩斯遺忘曲線(如圖所示).若一名學(xué)生背了100個英語單詞，

一天后，該學(xué)生在這100個英語單詞中隨機聽寫2個英語單詞，不考慮其他因素，則該學(xué)生

恰有1個單詞不會的概率大約為()

記憶的數(shù)量

100%

44%小時后忘記56%

34%一…讓忘記66%

21%…T...--------------

A：：口個月后忘記79%

°I小時1天I個月學(xué)習(xí)后經(jīng)過的時間

A.0.43B.0.45

C.0.26D.0.15

答案B

解析設(shè)事件M為“該學(xué)生恰有1個單詞不會”，根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線得，一天后，100

個英語單詞忘記了66個，還記得34個.在100個英語單詞中任選2個單詞，有CKX?種不

同的結(jié)果，恰有1個單詞不會，有C661c3/種不同的結(jié)果，則該學(xué)生恰有1個單詞不會的概

率P(M)=C*二0.45.故選B.

20.(2021?八省聯(lián)考)對一個物理量做”次測量，并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后

結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差&「《()，力，為使誤差旅在(-0.5,0.5)內(nèi)的概率不小于0.9544,

至少要測量________次.(若X?N3,小)，則2@一2O<X<〃+2<T)=0.9544)

答案32

解析由?M0，$，知〃=0,所以^(|X-/Z|<2<7)=P(-2<7<X—/Z<2rr)=P(—

2o<X<2o-)=0.9544,要使誤差的在(-0.5,0.5)內(nèi)的概率不小于0.9544,則(-20,2o)U(一

0.5,0.5),所以0.5》2\^|,得心32.

|備選題

1.(2021?衡水中學(xué)高三調(diào)研)甲、乙兩運動員進行乒乓球比賽，采用7局4勝制.在一局比

賽中，先得11分的運動員為勝方，但打到10平以后，先多得2分者為勝方.在10平后，

雙方實行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個球.若在某局比賽中，甲發(fā)球贏球的概率為右甲

2

接發(fā)球贏球的概率為臺則在比分為10:10后甲先發(fā)球的情況下，甲以13：11贏下此局的

概率為()

,2r3

A-25B10

10端

答案c

13123

解析分兩種情況：①后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為P=5X,X5XW=6；

乙JJJU

②后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為22=；1*25*方1*25=X1.

所以所求事件概率為：P+P24.

2.（2021?長春一模）已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽

出的題不再放回.在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為（）

A.|B.1

C.gD.g

答案c

32

5XV4

解析設(shè)事件A為“第1次抽到代數(shù)題”，事件8為“第2次抽到幾何題”，則P（B|A）=\-

5

=；.故選C.

3.（2021?湖北七市聯(lián)考）清明節(jié)前夕，某校團委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時代英雄”

主題演講比賽，經(jīng)過初賽，共10人進入決賽，其中高一年級2人，高二年級3人，高三年

級5人，現(xiàn)采取抽簽方式?jīng)Q定演講順序，則在高二年級3人相鄰的前提下，高一年級2人不

相鄰的概率為（）

A七B-3

v-24

答案D

解析依題意知，共10人進入決賽，其中高一年級2人，高二年級3人，高三年級5人，

采取抽簽方式?jīng)Q定演講順序，高二年級3人相鄰，基本事件總數(shù)〃=A33A88,在高二年級3

人相鄰的前提下，高一年級2人不相鄰包含的基本事件個數(shù)機=A33A66A72,...在高二年級3

人相鄰的前提下，高一年級2人不相鄰的概率為尸=*A；孩.故選D

4.（2021?衡陽第二次聯(lián)考）算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上

發(fā)明的，“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算，控帶四時，

經(jīng)緯三才.”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，

中間一部分是作定位用的.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百

位…，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5,下面一粒珠（簡稱下珠）代表1,即五粒下珠的大小等于

同組一粒上珠的大小.現(xiàn)在從個位和十位這兩組中隨機選擇往下?lián)芤涣Ｉ现椋蠐?粒下

珠，得到的數(shù)為質(zhì)數(shù)(除了1和本身沒有其他的約數(shù))的概率是()

C.1D.$

答案B

解析依題有，算盤所表示的數(shù)可能有：17,26,8,35,62,71,80,53,其中是質(zhì)數(shù)的

3

有：17,71,53,故所求事件的概率為P=&.