高考高中數(shù)學(xué)：必考核心考點總結(jié)詳解

高中數(shù)學(xué)：必考核心考點總結(jié)詳解

一、三角函數(shù)部分

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：siYa+cos2a=1、把上=tana、tanacota=l

cosa

2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

sin(a±/7)=sinacos/7±cosasin/7

cos(a±/?)=cosacos+sinctsinp

(,tana±tan

tana±/?)=---------------

1qptanatan

3、降幕公式：

sinxcosx=;sin2K；sin2x-^-(l-cos2x)；cos2x=^(1+cos2x)

4、4$m0.七+6008加工5/^~7~^\111(3：+0)(輔助角/由(。,6)所在象限決定，tan。=g)

5、二倍角的正弦、余弦、正切公式：

siii2a2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-11l-2sin“a

c2tana

tan2a=-------

1-tana

6、正弦定理：-^—=^—=-^—=2R(火是△48c外接圓的半徑)

sin/smgsinC

7,余弦定理：

a1-bz+cz-26ccosA;b2=a2+c:-2accosB;c2=b2+a2-2bacosC.

8、三角形面積公式：

①S=

(2)S=gbcsin/=^acsinB=gabsinC

③s=%(R為△襁(2外接圓半徑)

47?

④S=；(o+b+c)r(r為△ASC內(nèi)切圓半徑)

⑤海倫公式：S=ylp(p-a')(p-b)(p-c)(其中p=g(a+，+c))

⑥坐標(biāo)表示：/月=($*),AC=(x2,y2),則$=3囚為%|

9、常用名稱和術(shù)語：坡角、仰角、俯角、方位角、方向角

二、數(shù)列部分

用("=1)

10、?！迸cS"的關(guān)系：%=，

S“—S,i(”22)

11、等差數(shù)列:

①定義：an-an_x=d在2)或4“-4=dOeNQ

②等差數(shù)列的通項公式及其變形：

+(〃_1)<7=加+%(neN+)；an=am+(n-m)d(m、neN.)

d-———(n^m,m、neN.)

n-m

③等差數(shù)列的前九項和S〃：

n（a+a?）~n（n-l）,

Si=2=%7中；S”=啊+'d

12、等比數(shù)列：

①定義：~^~=q（q*0,WGN,,〃22）或&^=4（#0,力eN.）

an-\an

②等比數(shù)列的通項公式及其變形：

勺=4"=［亍,（叱°，〃"+）

4=%(?""(qx°,"‘，〃cN+)

(9=°,相，?€Nt)

SE=S”+SH=S“+SH

%（夕=1）

③等比數(shù)列的前，項和S”：<=4（l-/）_q_/g~

、17=If

13、求數(shù)列的通項公式的方法

①公式法：

若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列：找.和d,再利用公式4=4+5-1）"（?eN+）；

若數(shù)列｛3｝是等差數(shù)列：找4和以再利用公式q=q?。ā╟NQ.

工（〃=1）

②知S,求％法：利用%=°<\”\；

③疊加法：形如：%=%T+/(")(蚱N,,〃》2)或%+i=%+g(〃)(weN,)；

④構(gòu)造法：形如：％=左4T+6（k、b均為常數(shù)，且上wl,b^O,〃cN.,n>2）；

構(gòu)造一：設(shè)（4+2）=W/-i+2）n{4+可是等比數(shù)列

構(gòu)造二：由4=%1T+6n4+1=垢“+6,相減整理：左n式

an~4-1

等比數(shù)列

⑤廣義疊加法：形如：4=%T+/（〃）（左為常數(shù)，且左Hl,〃GN,，珍2）或

4+i=?+g（M）（左為常數(shù)，且化h1，?eN+）

構(gòu)造一：4=牝-+/（的=>*=第+等，令轉(zhuǎn)化成年=%+g（〃）

KKK八,

再疊加；

構(gòu)造二：%=3+g⑺n鬻=小+整?，令時尸普,轉(zhuǎn)化成加1=4+〃⑺

再疊加；

?疊乘法：形如:3-=/（"）（〃eN,,*2）或“叱=8（“）OeN,）；

4Tan

⑦對數(shù)變換法：形如：％=她/">°，4>°，〃GM，吟2）或%“=她上（6>0,

4>0,〃eN+，）；

構(gòu)造一：。”=ba.=>lga“=Alga-十1g6，令6M=1g/,化成bn=kbn_x+加再用構(gòu)

造法即可

構(gòu)造一：%+i=加廣=Iga.1=-ga“+lg6,令6”+i=lg%+i，化成4+1=瓦>“+心再用

構(gòu)造法即可

注意：底數(shù)不一定要取10,可根據(jù)題意選擇

⑧倒數(shù)變換法：形如：（左為常數(shù)且左NO，?eN+,”22）或

man

一％=納（々為常數(shù)且左看。，?eN）eg；<2=---~（k,m,b均為不

+n+]<7（2^十K

為零常數(shù)，?cN+）

11,[i1

構(gòu)造一：4一?！币?==二■■一~=~kn{-}是等差數(shù)列；

an%J

構(gòu)造二：4“一區(qū)=%+14=>7一一；=—=]（是等差數(shù)列

ma1k\b,1

構(gòu)造三：氏+產(chǎn)n嬴令％=工？化成時|=9"+夕再用

構(gòu)造法.

⑨遞推公式：形如：4m%（左，b均為不為零常數(shù)，〃。+）

.、/、p+q-t

法一（待定系數(shù)法）%+2=k4+1+bann(4+2-qa“+J=p(a-qa)<

n+1n[-pq=b

=｛%+「幽,｝是等比數(shù)列，進而化歸為?！?1=?0+8（〃）形式再用廣義疊加法即可.

法二（特征根法〉an+2=kan+1+ban,%=a,。=若％,W是特征方程

x2-kx-b=0的兩個根，當(dāng)菁工電時，％=出一+叱t（月，8由3=。，%=尸，

"=L2決定）；

當(dāng)芭=/時，an-[A+Bn）x^'（A,8由％=/，4=夕，〃=L2決定）.

說明：若數(shù)列｛（｝是斐波那契數(shù)列：滿足4=a,T+a“-2（?€N+,啰3）

pa+qk

?不動點法:形如：-=嬴/（-6，夕，4均為常數(shù)，且武工效，必。，“一丁

/2GN+)

構(gòu)造：“e二符號n特征方程'=當(dāng)特征方程有且僅有一根％時’則

?二一,是等差數(shù)列；當(dāng)特征方程有兩個不同的實根看,9時，貝J%』，是等

MFUrJ

比數(shù)列.

14、求數(shù)列的前〃項和公式S"的方法:主要看通項的形式，選擇不同的方法.

①公式法：

%=加+6=>先猜后證｛叫是等差數(shù)列=>5?=也善）或1=的+紇114；

??,(?=1)

4二樹1n先猜后證｛4｝是等比數(shù)列=>凡=q（l-

-4—

1一夕

②倒序相加法：如：等差數(shù)列前”項和s.=〃（'4+""）由此法得到.

2

③裂項相消法：形如：」一（｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，HGNJ常見的拆項

如下:

1_1<1____]_]1_11

^^一￡〔工-嬴/”(“+i)”“+i

1=i(1______L_1

(2n-l)(2n+l)-2<2n-l2n+l)

-J—(攵為常數(shù)，且上工0);

力(力+左)k\nn-v\)

?錯位相減法：形如：｛《?｝或體(｛4｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列)

IAJ

四步：乘以公比、錯位相減、等比求和、化簡.

⑤十秒錯位相減法：

kb—y4

n｝n

形如：an=(kn+b)q-,Sn=(An+B)q-B(其中/=工，B=—y)

?九秒錯位相減法：

形如：an=(kn+b](f,Sn=工+----J/----，一,卜城q

1q-\(?-i)J["1(g-1))

⑦分組求和法：形如通項(=等差土等比土常見數(shù)列，分類求和再相加減.

⑧奇偶求和法：針對奇、偶數(shù)項，要考慮符號的數(shù)列求其，就必須分奇偶來討論，最

后進行綜合

⑨分類討論法：針對數(shù)列｛4｝的其中幾項符號與另外的項不同，而求各項絕對值的和

的問題，主要是分段求.如：求數(shù)列｛⑸|｝的前附項和.

⑩數(shù)學(xué)歸納法：針對無法求出通項或無法根據(jù)通項求出各項之和的數(shù)列，先用不完全

歸納法猜出S.的表達式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明之.

三、立體幾何部分

15、三視圖：將三視圖還原實物圖：（三步法）

看視圖，明關(guān)系一分部分，想整體-綜合起來，定整體.

16、六大必考定理：（碼條件）

①線面平行

符號：

條件：qua,b（za,b//a

結(jié)果：b//ct

②線面垂直：

條件：aua、bua,a^]b=P,ILa,lib

結(jié)果：Zia

③面面平行：

符號：

條件：ac/?,bu0,aD6=P,a//a,b//a

結(jié)果：oc//p

④面面垂直

條件：ILa,lc/3

結(jié)果：oclp

⑤線面平行=>線線平行

符號：

條件：a//a,au/3,afl/?=b

結(jié)果：b//a

⑥面面垂直=>線面垂直

符號：

條件：al/?,Zc/?,aC\^=a,ILa

結(jié)果：IVa

17、空間向量與立體幾何（理科）

（1）空間向量

①空間兩點間的距離：設(shè)點力（大，乂,zj,B（x2,y2,z2）,

貝1|^|=J（馬一西）2+（%-Y）2+（22—4）2

②空間向量直角坐標(biāo)運算：設(shè)￡=（苞，乂，4）,5=（々,%/2）則：

a+b=（x}+x2,y,+y2,zI+z2）；a-Z>=（x]-x2,y,-z2）；

Xa=（疝],丸必，丸4）（丸wR）；a-b-XyX2+y}y2z}z2*

③空間向量的坐標(biāo)表示：設(shè)N=（和虐用），3=（毛,%,Z2）,

則：BA=OA-OB=（x}-x2,yi-y2,z}-z2）

④空間的線線平行、垂直、夾角公式：設(shè)2=（4陣zj,3=（%/，%），貝U：

Xj=AX2

a//boa=兀b（6W6）J=；

Zi=乜

a-Lbab=Q\x2+>[必+ZR=0；

夾角公式：8S?&=7T豐普等一（飆閆。㈤）

&+y：+z：W+y；+z；'/L」

推論：（演E+PM+z/JW（J+y：+zj（￥+y；+z；）（三維柯西不等式）

異面直線所成的角6：6>e（0°590°]

卜產(chǎn)2+必先+2/2|

cos9=cosb,B&+i+z；（其中。為異面直線。，b所

成的角.%，3分別為異面直線。，方的方向向量）;

直線4B與平面a所成的角6：6>e[00,90°]

UB-W\AB-/w

sin9=]1__,0=arcsin------（前為平面a的法向量，方為直線,45的方

.加卜阿.阿

向向量）;

二面角a-/一月的平面角6：6>G[0°,180°]

八m*n八m-nm-n

cos0=]—TiTT1,9=arccos,成re-arccospjpj（”為平面a、尸的法向量）

RHHHm\\n\

⑤利用法向量求空間距離：

,1

點。到直線/的距離：d=~（點若。為直線/外的一點，刀在直線

a

/上，萬為直線/的方向向量，h-PQ^則點Q到直線/距離為）

點/到平面a的距離：若點/為平面々外一點，點/為平面a內(nèi)任一點，平面a的法

向量為小則。到平面a的距離就等于礪在法向量元方向上的投影的絕對值.

n-MP\n-MP

即d枷|

異面直線間的距離：設(shè)向量分與兩異面直線。，b都垂直，M&a,Peb則兩異面直

線a,3間的距離d就是宓在向量[方向上投影的絕對值.

]^-MP

即d=

n

四、概率與統(tǒng)計部分

18、數(shù)字特征：

-1

平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即x=-（須+電+/+…+4）；

n

_2_2_2"|

樣本方差：52=-11一%）+（工2-%）+…+（/一x）I;

19、線性回歸方程：y=bx+a（最小二乘法）

，n___

^x^-nxy

b=—____________

Vv2-n；2注意：線性回歸直線經(jīng)過定點（%,少）

乙/〃兀

1=1

a=y-bx

20、獨立性檢驗：K2=——1_其中〃=a+b+c+d為樣本容

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

量，K?的值越大，說明“x與y有關(guān)系”成立的可能性越大.

21、概率部分

(1)隨機事件/的概率：P(/)=—(O<P(>1)<1)

n

(2)互斥事件：P(A+B)=P(A)+P(B)

（3）對立事件：。（⑷+。（%）=1

m

（4）古典概型：事件,4發(fā)生的概率。（月）=一

n

d的測度

（5）幾何概型:「（月）=其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面

D的測度’

積、體積等.

（6）離散型隨機變量的分布列：離散型隨機變量X可能取的不同值為王，…，七，

(7)兩點分布：X~(O,1),E(X)=p,D(X)=p(\-p)

⑻二項分布：X-B(n,p),E(X)=np,。(丫)=吶(1-p)

(9)超幾何分布：X~H{k,M,N),典星)=玲儀幻=吟(1《)俱與

(10)條件概率：公式：P(8|/)=今黑，2(力)>0.

(11)事件的獨立性：P(AB)=P(A)-P(B).

(12)獨立重復(fù)試驗的概率公式：

如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在"次獨立重復(fù)試驗中這個試驗恰好發(fā)

生上次的概率：與(左一0)""(左=0,1,2,…〃)

(13)取有限值的離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差：

2

E(X)"Pi+*2P2+…+…+玉2;D(X)=￡(七-E(X))Pl

1=1

E(aX+b)=aE[X)+b；D(aX+6)=a2D(X)

五、圓錐曲線部分

22、超級韋達定理:

廬=1,消了得(//2+6282*+(為2/。卜+/(02_6252)=0

Ax+By-\-C-0

A=4a2b2B2(a2A2+b2B2-C2)>0^>a2A2+b2B2-C2>0

2a2AC

a2(C2-b2B2}

2ab?"+￥?+/戌-c?

23、弦長硬算公式：弦長|9|

24、弦長公式:

2

①|(zhì)AB|=>/l+Xr|xj-x2|=Jl+%2J(X[+x2-4XJX2

必_閔=Jl+±J(M+%)2-4%%=>表音

25、點差法：將將月（士,乂），6（受,8）代入橢圓方程中做差：（M（Xo，%）是相交弦

4-2222

大-XK

2+-J/2o

中點）,2

ABa

+

弁一義一（必一%）（乂+必）一左.為=_包

C-a<xQ<a')

V-X；（玉一工2）（玉+%2）月BxQa

22

26、若為（%,%）在橢圓「+斗=1上，則過片的橢圓的切線方程是岑+浮=L

a2b2a甘

r2V2

27、若打（X。,梵）在橢圓）+-=1外，則過P。作橢圓的兩條切線切點為Pi、P2,

ab

則切點弦P1P2的直線方程是笄+誓=1-

ab

28、若PQ是橢圓W+4=l（a>b>0）上對中心張直角的弦，貝I」

a2h2

3+3=4+』(”的弓=匹).

r】r,ab

22

29、若橢圓A+A=l(a>b>0)上中心張直角的弦L所在直線方程為小+為，=1

ab

(力Bw0)，則⑴^+^L=A2+B2；(2)L=;

ab2a2A2+bzB2

22222

30、給定橢圓C\：從』+a2y2=。2從(a>b>0),C2：bx+ay=(—；-^raZ>)

a+b

對G上任意給定的點P0(x0,y0)，它的任一直角弦必須經(jīng)過a上一定

a2-b2a2-b2、

x0./+產(chǎn)》

a2+b2

22

31、橢圓2+4=1(a>b>0)的焦半徑公式：lA/^Ua+KJjV/Ua-eXo

ab

32、已知橢圓二+4=1(a>b>0),O為坐標(biāo)原點，P、Q為橢圓上兩動點，且

ab2

。八0。?①春+蘇=》+看②IOPMOQ.的最大值為舞;③

2i2

SbOPQ的最小值是二一.

a+b

22

33、設(shè)P點是橢圓二+與=1(a>b>0)上異于長軸端點的任一點,Fi、F2為其焦點

a2b2

記4"=8，則①IPF^PF21=盧F②S&PRF,=/tan《.

1+COS，2

22

34、設(shè)A、B是橢圓0+1=1(a>b>0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，

a1b2

ZPAB=a,NPA4=Q,N3尸/=7,c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有①

1z

,?2a621cosa|/,2?20b

^4|=-;------■?②tanatan/=l-e.③S=———-cot/.

a-c2cosy△皿b-a

過平面上的。點作直線4：y=2x及4：y=-2x的平行線，分別交X軸于加;N,

35、

aa

交軸于凡。.①若+QN/=/,則尸的軌跡方程是

1v2

\+4=1(0>0力>0).②若|OQ|2+|OH|2=〃，則p的軌跡方程是

a2b“

%+}=l(a>0,6>0).

36、若外(x0,%)在雙曲線1—4=1(a>0,b>0)上，則過外的雙曲線的切線方程

a：b2

是學(xué)—等=1.

cCt)

22

37、若月(4,九)在雙曲x線=-v匕=1(a>0,b>0)外，則過P。作雙曲線的兩條切

(2b

線切點為Pl、P2,則切點弦P1P2的直線方程是學(xué)一袈=1.

ab

22

38、若PQ是雙曲線工■一2T=1(b>a>0)上對中心張直角的弦，則

尹｝吟木科的N砌.

尤2v2

39、雙曲線J-2T=1(a>0,b>o)的焦半徑公式：(月(一c,0),鳥(c,0)

arb

當(dāng)A/(x(),%)在右支上時，\=ex0+a,\MF2\=ex0-a.

當(dāng)u(力,北)在左支上時，|上陰|=-ex0+a,\MF2|=-ex0-a.

22

40、已知雙曲線匚一與=1(b>a>0),0為坐標(biāo)原點，P、Q為雙曲線上兩動點，

a"b

且0”。.①冊+冊=*-奈②IOPEOQ■的最小值為片;

2?2

③見的的最小值是小—.

b-a

六、導(dǎo)數(shù)部分

41、函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)：lim以馬士竺匕?=7'(/)

42、導(dǎo)函數(shù)的定義：,(x)=lim小+"KM=生；

7Ax-oAxdx

43、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：%=/'(不)，尸(飛,%)為切點

44、常見初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

C'=O(。為常數(shù))(/)'=局-1

(sinx)=cosx(cosx)=—sin.r

(優(yōu))=a*lna(。>0且。1)(e、)'=e

(logM=---(]>0且或1)(InxV=—

xlnax

45、導(dǎo)數(shù)的運算法則：設(shè)/(%),g(x)是可導(dǎo)的則

(/(x)±g(x)y=//(x)±gz(x)：(/(x)-g(x))=r(x)g(x)+/(x)g,(x)

7、(x)]1U(x)g(x)-f(x)g'(x)(g(x)?

_s(x)\g2(x)'

q(x)J=cr(x)(。為常數(shù))

46、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t：設(shè)y=/(〃),"=g(x),則y=/(g(x))

X=y'u?〃'=7'(〃)?g'(x)=/'(g(x))，g'(x)；

47、導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的判斷：

①如果在(。,6)內(nèi)，/z(x)>0,那么/(x)在此區(qū)間是增函數(shù)；

②如果在(。乃)內(nèi)，r(*)<o,那么〃x)在此區(qū)間是減函數(shù)；

③如果在(。,6)內(nèi)，r(x)=0,那么〃X)在此區(qū)間是常數(shù)函數(shù).

48、求單調(diào)區(qū)間的一般步驟：

①求〃x)的定義域；②求/'(X)；③畫出了'(x)的示意圖；④作答.

49、求可導(dǎo)函數(shù)y=/(x)極值的步驟:

⑤列表；⑥作答.

50、求函數(shù)》=/(可在［4可上的最大值與最小值的步驟：

①求函數(shù)J，=/(x)在(。㈤內(nèi)的單調(diào)性；

②求函數(shù)y=/(x)在(兄6)內(nèi)的極值；

③比較函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值〃。)，〃6),其中最大的一個是

最大值，最小的一個是最小值.

51、零點定理：

①零點存在性定理：若y=/(x)在區(qū)間［46］上連續(xù)不斷，則

y=/(x)在(白㈤內(nèi)有零點.

②零點唯一性定理：若y=/(x)在區(qū)間上連續(xù)不斷且單調(diào)，

則丁=〃切在(°㈤內(nèi)有唯一零點.

③等價關(guān)系：函數(shù)y=〃x)的零點o方程7(x)=o的根o與x軸有交點

的橫坐標(biāo).

52、利用導(dǎo)數(shù)解決恒成問題：

①“任意2(<)任意”型

VxeZ),(r為常數(shù))恒成立O1nNf；

VXGZ),a為常數(shù))恒成立O；

VX2€D2,〃玉)2g(毛)恒成立O/(MmmNgGk；

AGD,,Vx2€D2,/(七)Wg(i)恒成立O/(X)MVg(x)m1n.

②“存在2(<)存在”型.

3XGZ),a為常數(shù))能成立o/aL型；

BxeD,f(x)<t"為常數(shù))能成立O;

叫eR,玉2€2，〃占)*(%)能成立O/(X)E3(x)mm；

加吟,3x2eD2,/(網(wǎng))4g(電)能成立o/(x)m1114g(x)皿.

③“任意》(<)存在”型.

Vx,w〃，加2,〃玉絲妙切成立^^/⑺皿么⑺…

叫e2，/(不)《8(毛)成立0/(》)由=0小

HX1cA，VX2€D2,/(%)2g(芍)成立O/(乂心"⑺皿⑼；

叫eR,Vx2€D2,/(%)8(/)成立o11Vg(x)m.

④“存在=存在”型與“任意=存在”型

叫eR,玉M2，〃%)=g(毛)能成立o〃x)與g(x)的值域有公共部分;

VX,€D,,3X2GD2,/(為)=g(毛)能成立o〃x)的值域是g(x)的值域的子集.

53、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式:

①函數(shù)不等式：

函數(shù)類不等式：欲證〃x)>g(x),構(gòu)造尸(M=〃x)-g(x),只需要證明/(x)>0

即可；

②數(shù)列不等式：根據(jù)所證不等式的特征，建立函數(shù)不等式，對自變量適當(dāng)賦值，放

縮.

54、必須爛熟在心里的不等式：當(dāng)x>0時，e>x+l>x>x-l>lnx>l--

x

55、泰勒公式：

23n

X1xXX

C=1+Xd------1--------F…H--------1■…

2!3!fi

一

e=1-xd------------1--??+(-1)"—+.?.

2!3!''?!

352/2+1

.XX/1”X

sinx=x-----+—+???+(-I-----------F???

3!5!(2/7+1)!

-X2X4/X2n

COSX=1-----+—+…+(-1-------H----

214!V7(2?)!

1

l-x+x2-^+…+(-1)2+?■?

1+x

—-1+x+x2+X?+…+x”+…

1-X

234n

XXXX

l[n/(Il+<x\)=x——+------+???,+/(-i].)-----F???

/\X2X3X4

In1-x=-x-------------------

234n

56、洛必達法則：若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件:

limf(x)=0乃lim父(x)=0.

理/(x)=8及蚓g(x)=°°；

那么要^=/.

zg(x)…g(x)

000

洛必達法則可處理7；,—,0.CO,r,00。，0°,8-8型.

08

備注：若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

57、拉格朗日中值定理：

若函數(shù)〃x)滿足如下條件：/(x)在閉區(qū)間口回上連續(xù)；/(x)在開區(qū)間(。,6)內(nèi)

可導(dǎo)，則在(。,6)內(nèi)至少存在一點使得可⑶=八?一八？

七、選考部分

58、坐標(biāo)系與極坐標(biāo)：

（1）點.”的極坐標(biāo)：極徑、極角、點W的極坐標(biāo)記為M3。），也可寫成A/仙。+加）

（左GZ）.

222

（2）極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化：x=pcos,0,y=p3ind,p=x+y,tan8=9xw0）.

59、極坐標(biāo)系下的兩點間的距離公式：=+耳一2?/92cos（6?-4），

p\Pi,a），i=1,2

60、圓錐曲線極坐標(biāo)方程統(tǒng)一形式：p=-空~其中。為焦點到準(zhǔn)線的距離；

1±ecos。

參數(shù)方程:

（1）直線的參數(shù)方程：經(jīng)過點優(yōu),打），傾斜角為a的直線的參數(shù)方程為

x=xQ+tcosa

y=yQ+/sina

x=tj+rcos^

（2）圓的參數(shù)方程：圓心為（。力），半徑為「的圓的參數(shù)方程為■/.?；

'7[y=b+rsin&

x2v2\x=acos3

（3）橢圓的參數(shù)方程：橢圓\+2=1的參數(shù)方程為；

a2b2[y=bsin6

62、直線的參數(shù)方程意義：經(jīng)過點44,（飛,腎），傾斜角為"的直線的參數(shù)方程為

x=xQ+tcosa

y-yQ+￡sina

①設(shè)點W的參數(shù)為f,則|/|=〃小7；

②設(shè)點河2對應(yīng)的參數(shù)分別為4，%,則線段的中點f對應(yīng)的參數(shù)

，=專，線段WGAAI長度為，-力；

63、不等式的性質(zhì)：

①對稱性：a>b<^>b<a-

②傳遞性：a>b,b>c=>a>c.

③加法法則：a>b<=^>a-vob+c；a>byc>d=a+c>b+d.

④減法法貝U：a>b,c<d^>a-c>b-d；

⑤乘法法則：

a>b,c>0=>ac>be\

a>b,c<0=>ac<be；

a>6>0,c>d>0=>aobd.

⑥除法法貝U：a>b>0,0<c<d=>->4

ca

⑦倒數(shù)法則：a>b,ab>Q=>-<^-；

ab

⑧乘方法則：a>b>0=>d'>bn（〃GN+，且〃》2）

⑨開方法則：a>b>0=>4a>^b（?eN+,且吟2）

64、含有絕對值的不等式:當(dāng)a>0時，有

國<aox2<a2o-a<x<a-

國>aox2>a2x>a^x<-a

65、絕對值三角不等式性質(zhì)：同-妝區(qū),±4<同+四

66、柯西不等式：

①設(shè)%b,c,d均為實數(shù),貝11（片+的（/+切43+刎2,當(dāng)且僅當(dāng)次/=*

時等號成立.

②設(shè)4,%，…，4和4，b2,4,…，々均為實數(shù)，

則（d+片+d+…+。；）（6+方；+Y+…+6：）2（44+Q?+%&+…+。也

當(dāng)且僅當(dāng)a=0（z=1,2>3,…）或存在一個實數(shù)左，使得4=屹（/=1.

2,3,…，力）時，等號成立.

八、選填小題部分

67、摩根定理：①(jN)n(jB)=J(/U8)；②(jz)u(j8)=JjnB)

68、注意區(qū)分集合中元素的含義：【數(shù)集一般都要進一步化簡】

①數(shù)集：

.=｛x|F(x)=O｝方程的解集

8=｛x|y=/(x)｝函數(shù)y=〃x)的定義域

。=卜|〃》)>0｝或｛.“(》)<0｝不等式的解集

D=Wy=f(x)}函數(shù)歹=/(x)的值域

②點集：

4={(x,y)|F(x,y)=0}曲線；8={(x,y)忸(x,y)>0}區(qū)域

C={(x,yW(x,y)<。}區(qū)域；。=卜卜=(/(7)應(yīng)(。?,令a=(x,y),

(蒼吟；?'=｛(內(nèi))忸(％刃=可

則￡?=.

69、ab=0u?a=0或6=0；。方=0。白工0或6/0；

70、合二為一的幾種類型：

b

f+“2=-kC

①‘0不，電是方程Y+-X+上=0的兩根;

caa

x1?x=-

2a

ax,+方匹+c=0

②n$,W是方程R2+6x+c=0的兩根;

ax2+刎+c=0

n〃x)=Ax有兩個不等實根，"n

f(n)=lcn

、,,

③Q\ax.++aby；.++c。==Q0=經(jīng)過收,升'％)，。(生幻兩點的直線方程為汆+“+。=°

_[f(x\x>0|x|“ff(x]x>0

④奇函數(shù)：J'=〃"x<O=T"聞；偶函數(shù)：y\f(x)x<0=*忖)

—J1一XJ—XJX<u

aa>bba>b

⑤^二二max{a,6}；y=<=min{a,6}

ba<baa<b

71、三次函數(shù)〃x)=/+6/+cx+d(a>0)的解析式:

①若己知/(x)=0的三個根為不，巧，三，則可設(shè)=

②若已知/(x)=0的兩個根為%,%則可設(shè)〃x)=a(x-%)(x-xj(x+m)

③若己知/(x)=0的一個根為項，則可設(shè)〃x)=a(x-匹)(/+皿+〃)

72、三次函數(shù)+加:?+cx+d(aw0)有極值的充要條件是

/'(x)=3av2+26x+c=0有兩個不相等的實數(shù)根

73、基本(均值)不等式：一正二定三相等，積定和最小，和定積最大

利用胃2痣或絲—2師(一正二定三相等)等公式來求值域或最值，

一定要看等號能否成立，否則利用數(shù)形結(jié)合法、單調(diào)性法完成：

74、集中分時函數(shù)求最值的方法：

-rnx+n?

①y=((令，=-倒數(shù)換元法)

(ar+b)ax+b

(2)y=(令f=yjmx+n)

，a慰x+：b"

gax2+bx+cmx+n，&.、

③y=---------或》=-----；----(令+

mx+nax+bx+c

75、圖像變換：

(1)平移變換：設(shè)函數(shù)y=f(x)，其他參數(shù)均為正數(shù)

①〃X)T/(X+。)：/(x)的圖象向左平移。個單位

②。)：/(X)的圖象向右平移a個單位

③〃x)f/(x)+6：〃X)的圖象向上平移b個單位

④-6：〃x)的圖象向下平移b個單位

(2)伸縮變換：設(shè)函數(shù)y=/(x),其他參數(shù)均為正數(shù)

①/(x)f/(H)：/(x)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(*>1,伸

縮;0<上<1,拉伸)

②/(x)->"(M：/(X)的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼淖蟊?上>1,拉伸；

0<A-<l,收縮)

(3)翻折變換：

①〃x)f|/(x)|：x軸上方的圖象不變，下方的圖象沿x軸對稱的翻上去

②X