高中數(shù)學導數(shù)的應用極值與最值課后練習一新人教版

專題：導數(shù)的應用——極值與最值

設f(x)=2x3+ax2+bx+l的導數(shù)為廣(x),若函數(shù)y=f<x)的圖象關(guān)于直線x=一^對稱，且f，(l)

=0.(1)求實數(shù)a,b的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值.

f(x)的導函數(shù)f，(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是圖中的().

設awR,若函數(shù)y=e'+ax,xeR有大于零的極值點，則().

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a>——a<——

A."TB.?>-1C.eD.E

設a<l,集合A={xGR|x>0},B={xGR42x2—3(l+a)x+6a>0},D=ADB.

(1)求集合D(用區(qū)間表示)；

(2)求函數(shù)f(x)=2x3—3(l+a)x2+6ax在D內(nèi)的極值點.

已知函數(shù)f(x)=x—ln(x+a)的最小值為0,其中a>0.

(1)求a的值；(2)若對任意的xG[0,+oo),有f(x)Wkx2成立，求實數(shù)k的最小值;

—x3+ax2+

己知函數(shù)f(x)=的圖象在點(一2,f(—2))處的切線方程為16x+y+

20=0.

⑴求實數(shù)a、b的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1,2］上的最大值;

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是().

A.-l<a<2B.-3<a<6

C.a<-3或a>6D.a<-l或a>2

課后練習詳解

答案：⑴a=3,b=-12；(2)極大值21,極小值-6.

詳解：⑴因為f(x)=2x3+ax2+bx+L故f'(x)=6x2+2ax+b.

從而f，(x)=6(x+1)+b-f,即丫=廣的的圖象關(guān)于直線x=*對稱，

從而由題設條件知一看=得，解得a=3.

又由于f'(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12.

(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2—12x+l,廣(x)=6x2+6x-12=6(x-l)(x+2).

令f，(x)=0,即6(x-l)(x+2)=0,解得xl=-2,x2=l.

當xG(—8,一2)時，fl(x)>0,故f(x)在(一8,-2)上為增函數(shù)；

當xW(—2,1)時，廣(x)V0,故f(x)在(一2,1)上為減函數(shù)；

當xd(l,+8)時，r(x)>0,故f(x)在(1,+8)上為增函數(shù).

從而函數(shù)f(x)在xl=-2處取得極大值f(—2)=21,

在x2=l處取得極小值f(l)=-6.

答案：A.

詳解:?.?xG(-oo,-2)U(0,+oo)時「(x)〈0,

在(一8,—2)和(0,+應上f(x)是減函數(shù),排除B、C、D.

答案：A.

詳解：?.?y=/+ax,

又，:函數(shù)丁="+"》有大于零的極值點，即方程''="=°有大于零的解,

即。=一/(x>0).；x>0時，-e'<一1,二”T.

答案：見詳解.

詳解:(l)xeD=x>0且2x2—3(l+a)x+6a>0.

令h(x)=2x2—3(1+a)x+6a,

△=9(1+a)2-48a=3(3a-l)(a-3).

①當g<a<l時，A<0,/.VxreR,h(x)X),QB=R.于是D=AClB=A=(0,+oo).

②當a=g時，△=(),此時方程h(x)=0有唯一解，

+3(1+；)

xl=x2=-------------=-----------=1,??B=(-8,1)U(1,+oo).

于是D=ArB=(0,l)U(l,+oo).

③當a<§時，A>0,此時方程h(x)=O有兩個不同的解

3+3a-J、3+32+^\/~

x2=4

Vxl<x2Mx2>0,/.B=(—oo,xl)U(x2,+oo).又,.?xl>0Qa>0,所以

i)當0<a<1時，D=AAB=(0,xl)U(x2,+oo)；

ii)當a<0時，D=(x2,+oo).

(2)f4(x)=6x2—6(1+a)x+6a=6(x—l)(x—a).

當a<l時，f(x)在R上的單調(diào)性如下表:

X(—8,a)a(a,l)1(1,+oo)

f'(x)+0—0+

f(x)極大值極小值

①當上a<l時，D=(0,+oo).

由表可得，x=a為f(x)在D內(nèi)的極大值點，x=l為f(x)在D內(nèi)的極小值點.

②當a=g時，D=(OJ)U(1,+oo).

由表可得，x=W為f(x)在D內(nèi)的極大值點.

③當Ovag時，D=(0,xl)U(x2,+ooj.

3+3a-d——3+3a-{——16a2

=4=4

13+3a

>^[3+3a—(3—5a)]=2a>a且xl<-~<1,

3+3a+^\/二~3+3a+*\/二+二3+3a+-

44>4

=1,

/.aeD,l$D.

由表可得，x=a為f(x)在D內(nèi)的極大值點.

④當agO時，D=(x2,+8)且x2>l.由表可得，f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增.

因此f(x)在D內(nèi)沒有極值點.

答案：(』)a=l；(2)5?

|x-I-ri—1

詳解：(l)f(x)的定義域為(一a,+oo).r(x)=l—-T-=一之一.

XIaX十a(chǎn)

由f，(x)=O,得x=l—a>—a.

當x變化時，「(x),f(x)的變化情況如下表:

X(―a,l—a)1—a(1-a,+oo)

f'(x)—0+

f(x)極小值

因此，f(x)在x=l—a處取得最小值，故由題意f(l—a)=l-a=O,所以a=l.

(2)當kWO時，取x=l,有f(l)=l—ln2>0,故kWO不合題意.

當k>0時;令g(x)=f(x)—kx2,即g(x)=x—ln(?x+l)—kx2.

g'(x)=^y_2kx=x［2kx1-----------.令g，(x)=0,得xl=0,x2=^j^>—1.

①當W時，與苦柳，g，⑻<0在(0,+oo)上恒成立，因此g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，從

而對任意的xG［0,+8),總有g(shù)(x)Sg(O)=O,即f(x)Skx2在［0,+<?)上恒成立,故k弓符合題

意.

②當OVkV；時，，5對于xW(0,\J),gl(x)>0,故g(x)在(0,、［卜)內(nèi)單調(diào)遞增,

因此當取x0W(0,?2J)時'g(xO)>g(O)=O，即f(xO)Wkx0不成立，故(XkV^不合題意.

綜上，k的最小值為宗

答案：(l)a=l,b=0；(2)當cW專時，f(x)在［―1,2］上的最大值為2：當c>專時，f(x)在［―

1,2］上的最大值為cln2.

詳解：⑴當x<l時，f'(x)=-3x2+2ax+b.因為函數(shù)圖象在點(一2,f(—2))處的切線方程為

16x+y+20=0.所以切點坐標為(-2,12),

-=8+4a—2b=12,

解得a=l,b=0.

f-=-12-4a+b=-16,

2

(2)由(1)得,當x<l時，f(x)=-x3+x2,令f，(x)=-3x2+2x=0可得x=0或x=§,

f(x)在(一1,0)和(1,1)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

對于X<1部分：f(x)的最大值為max{—,f(1)j=f