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第6講離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征1.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列為X01P9a2-a3-8a則常數(shù)a的值為(A)A.13 B.23 C.13或23 D.-解析由分布列的性質(zhì)可知0≤9a2-a≤12.已知ξ的分布列如表所示.ξ012P?!?其中,“!”處完全無(wú)法看清,盡管兩個(gè)“?”處字跡模糊,但能斷定這兩個(gè)“?”處的數(shù)值相同.據(jù)此計(jì)算,下列各式中:①E(ξ)=1;②D(ξ)>1;③P(ξ=0)≤12,正確的個(gè)數(shù)是(CA.0 B.1 C.2 D.3解析設(shè)“?”=a,“!”=b,則a,b∈[0,1],2a+b=1.①E(ξ)=0×a+1×b+2×a=2a+b=1,因此①正確;②D(ξ)=(0-1)2×a+(1-1)2×b+(2-1)2×a=2a≤1,因此②不正確;③P(ξ=0)=a=1-b2≤123.[2023南昌市一模]某班準(zhǔn)備購(gòu)買班服,確定從A,B兩種款式中選出一種統(tǒng)一購(gòu)買.現(xiàn)在全班50位同學(xué)贊成購(gòu)買A,B款式的人數(shù)分別為20,30,為了盡量統(tǒng)一意見(jiàn),準(zhǔn)備在全班進(jìn)行3輪宣傳,每輪宣傳從全班同學(xué)中隨機(jī)選出一位,介紹他贊成所選款式的理由.假設(shè)每輪宣傳后,贊成該同學(xué)所選款式的不會(huì)改變意見(jiàn),不贊成該同學(xué)所選款式的同學(xué)會(huì)有5位改變意見(jiàn),改成贊成該同學(xué)所選款式.(1)計(jì)算第2輪宣傳選到的同學(xué)贊成A款式的概率.(2)設(shè)經(jīng)過(guò)3輪宣傳后贊成A款式的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.解析(1)記第i輪宣傳選到的同學(xué)贊成A款式為事件Ai,第i輪宣傳選到的同學(xué)贊成B款式為事件Bi,i=1,2,3.因?yàn)镻(A1A2)=2050×2550=P(B1A2)=3050×1550=所以第2輪宣傳選到的同學(xué)贊成A款式的概率P(A2)=P(A1A2)+P(B1A2)=15+950=(2)經(jīng)過(guò)3輪宣傳后贊成A款式的人數(shù)X的所有可能取值為5,15,25,35,則P(X=5)=P(B1B2B3)=3050×3550×4050P(X=15)=P(A1B2B3)+P(B1A2B3)+P(B1B2A3)=2050×2550×3050+3050×1550×3050+3050P(X=25)=P(B1A2A3)+P(A1B2A3)+P(A1A2B3)=3050×1550×2050+2050×2550×2050+2050P(X=35)=P(A1A2A3)=2050×2550×3050所以X的分布列為X5152535P4239293所以E(X)=5×42125+15×39125+25×29125+35×34.[2023南寧市第一次適應(yīng)性測(cè)試]在某次現(xiàn)場(chǎng)招聘會(huì)上,某公司計(jì)劃從甲和乙兩位應(yīng)聘人員中錄用一位,規(guī)定從6個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題作答.假設(shè)甲能答對(duì)的問(wèn)題有4個(gè),乙每個(gè)問(wèn)題能答對(duì)的概率為23(1)求甲在第一個(gè)問(wèn)題答錯(cuò)的情況下,第二個(gè)和第三個(gè)問(wèn)題均答對(duì)的概率;(2)請(qǐng)從期望和方差的角度分析,甲、乙誰(shuí)被錄用的可能性更大.解析(1)記“甲第一個(gè)問(wèn)題答錯(cuò)”為事件A,“甲第二個(gè)和第三個(gè)問(wèn)題均答對(duì)”為事件B,則P(A)=26=13,P(AB)=13×45×∴甲在第一個(gè)問(wèn)題答錯(cuò)的條件下,第二個(gè)和第三個(gè)問(wèn)題均答對(duì)的概率為P(B|A)=P(AB)P((2)設(shè)甲答對(duì)的問(wèn)題數(shù)為X,則X的所有可能取值為1,2,3.P(X=1)=C41C22C63=15,P(X=2)=C42C21∴X的分布列為X123P131E(X)=1×15+2×35+3×15D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15設(shè)乙答對(duì)的問(wèn)題數(shù)為Y,則Y的所有可能取值為0,1,2,3.P(Y=0)=(1-23)3=1P(Y=1)=C31×23×(1-23)P(Y=2)=C32×(23)2×(1-23P(Y=3)=(23)3=8∴Y的分布列為Y0123P1248E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×8(另解:∵Y~B(3,23),∴E(Y)=3×
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