興義市第八中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高三上期末調(diào)研試題含解析_第1頁(yè)
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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線滿足以下條件:①雙曲線E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合;②雙曲線E與過(guò)點(diǎn)的冪函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q,且該冪函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線過(guò)點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則()A.0 B.55 C.66 D.783.已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,,,,則,,滿足()A. B. C. D.4.已知復(fù)數(shù)滿足,(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.35.單位正方體ABCD-,黑、白兩螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行,每走完一條棱稱(chēng)為“走完一段”.白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥,黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線(iN*).設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處,這時(shí)黑、白兩螞蟻的距離是()A.1 B. C. D.06.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是,雙曲線的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)在過(guò)且垂直于軸的直線上,當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達(dá)到最小時(shí),點(diǎn)恰好在雙曲線上,則該雙曲線的方程為()A. B.C. D.7.?dāng)?shù)列滿足,且,,則()A. B.9 C. D.78.若2m>2n>1,則()A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.9.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.如圖所示,三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計(jì),?。?,則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.10811.如圖,在直三棱柱中,,,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),,分別記二面角,,的平面角為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.12.已知集合M={x|﹣1<x<2},N={x|x(x+3)≤0},則M∩N=()A.[﹣3,2) B.(﹣3,2) C.(﹣1,0] D.(﹣1,0)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.記為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則__________.14.?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)____.15.在棱長(zhǎng)為6的正方體中,是的中點(diǎn),點(diǎn)是面,所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且滿足,則三棱錐的體積的最大值是__________.16.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,.若;且,則周長(zhǎng)的范圍為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)在橢圓上,滿足(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線過(guò)點(diǎn),且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),直線與的傾斜角互補(bǔ),且與橢圓交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn)(介于兩點(diǎn)之間),是否存在直線,使得直線,,的斜率按某種排序能構(gòu)成等比數(shù)列?若能,求出的方程,若不能,請(qǐng)說(shuō)理由.18.(12分)已知為各項(xiàng)均為整數(shù)的等差數(shù)列,為的前項(xiàng)和,若為和的等比中項(xiàng),.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求最大的正整數(shù),使得.19.(12分)如圖,在中,,的角平分線與交于點(diǎn),.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面積.20.(12分)在△ABC中,角所對(duì)的邊分別為向量,向量,且.(1)求角的大??;(2)求的最大值.21.(12分)已知函數(shù),直線為曲線的切線(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),若函數(shù)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)一張邊長(zhǎng)為的正方形薄鋁板(圖甲),點(diǎn),分別在,上,且(單位:).現(xiàn)將該薄鋁板沿裁開(kāi),再將沿折疊,沿折疊,使,重合,且重合于點(diǎn),制作成一個(gè)無(wú)蓋的三棱錐形容器(圖乙),記該容器的容積為(單位:),(注:薄鋁板的厚度忽略不計(jì))(1)若裁開(kāi)的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋,求,的值;(2)試確定的值,使得無(wú)蓋三棱錐容器的容積最大.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由已知可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為,可求得冪函數(shù)為,設(shè)出切點(diǎn)通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解雙曲線的離心率.【詳解】依題意可得,拋物線的焦點(diǎn)為,F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn);,,所以,,設(shè),則,解得,∴,可得,又,,可解得,故雙曲線的離心率是.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì),已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo),求冪函數(shù)解析式,直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,難度一般.2、D【解析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計(jì)算出的值,可進(jìn)一步得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后代入轉(zhuǎn)化計(jì)算,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,所以故選:D【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題,以及數(shù)列求和,考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,等差數(shù)列的求和公式,屬于中檔題.3、D【解析】

首先由函數(shù)為偶函數(shù),可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,再由,即可判定大小【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在減,所以在上增,,,,∴.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類(lèi)型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個(gè)中間數(shù),通過(guò)它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞,屬于中檔題.4、A【解析】,故,故選A.5、B【解析】

根據(jù)規(guī)則,觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過(guò)幾段后又回到起點(diǎn),得到每爬1步回到起點(diǎn),周期為1.計(jì)算黑螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算白螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn),即可計(jì)算出它們的距離.【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即過(guò)1段后又回到起點(diǎn),可以看作以1為周期,由,白螞蟻爬完2020段后到回到C點(diǎn);同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑螞蟻爬完2020段后回到D1點(diǎn),所以它們此時(shí)的距離為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題,考查空間想象與推理能力,屬于中等題.6、A【解析】

點(diǎn)的坐標(biāo)為,,展開(kāi)利用均值不等式得到最值,將點(diǎn)代入雙曲線計(jì)算得到答案.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由于為定值,由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時(shí),的外接圓面積取得最小值,也等價(jià)于取得最大值,因?yàn)?,,所以,?dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)最大,此時(shí)的外接圓面積取最小值,點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入可得,.所以雙曲線的方程為.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.7、A【解析】

先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列,再根據(jù),,可求出公差,即可求出.【詳解】數(shù)列滿足,則數(shù)列為等差數(shù)列,,,,,,,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正確;而當(dāng)m,n時(shí),檢驗(yàn)可得,A、C、D都不正確,故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小,根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系,需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合特值法得出選項(xiàng).9、D【解析】

將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得,,即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,即可得出結(jié)果.【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng),難度容易.10、B【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,則小直角三角形的邊長(zhǎng)為,

則小正方形的邊長(zhǎng)為,小正方形的面積,

則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,

故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.11、D【解析】

過(guò)點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【詳解】解:因?yàn)?,,所以,即過(guò)點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的大小的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.12、C【解析】

先化簡(jiǎn)N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},再根據(jù)M={x|﹣1<x<2},求兩集合的交集.【詳解】因?yàn)镹={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},又因?yàn)镸={x|﹣1<x<2},所以M∩N={x|﹣1<x≤0}.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-254【解析】

利用代入即可得到,即是等比數(shù)列,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】由已知,得,即,所以又,即,,所以是以-4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以,即,所以。故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查已知與的關(guān)系求,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力,是一道中檔題.14、【解析】

先計(jì)算平均數(shù)再求解方差與標(biāo)準(zhǔn)差即可.【詳解】解:樣本的平均數(shù),這組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)與相似,,過(guò)作于,利用體積公式求解OP最值,根據(jù)勾股定理得出,,利用函數(shù)單調(diào)性判斷求解即可.【詳解】∵在棱長(zhǎng)為6的正方體中,是的中點(diǎn),點(diǎn)是面所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且滿足,又,∴與相似∴,即,過(guò)作于,設(shè),,∴,化簡(jiǎn)得:,,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷,時(shí),取得最大值36,,在正方體中平面.三棱錐體積的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似,幾何體體積以及函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,難度一般.16、【解析】

先求角,再用余弦定理找到邊的關(guān)系,再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解:所以三角形周長(zhǎng)故答案為:【點(diǎn)睛】考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件;基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)不能,理由見(jiàn)解析【解析】

(1)設(shè),則,由此即可求出橢圓方程;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得,則直線斜率為,設(shè)其方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理可得關(guān)于對(duì)稱(chēng),可求得,假設(shè)存在直線滿足題意,設(shè),可得,由此可得答案.【詳解】解:(1)設(shè),則,,所以橢圓方程為;(2)設(shè)直線的方程為,與聯(lián)立得,∴,因?yàn)閮芍本€的傾斜角互補(bǔ),所以直線斜率為,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立整理得,,所以關(guān)于對(duì)稱(chēng),由正弦定理得,因?yàn)?所以,由上得,假設(shè)存在直線滿足題意,設(shè),按某種排列成等比數(shù)列,設(shè)公比為,則,所以,則此時(shí)直線與平行或重合,與題意不符,所以不存在滿足題意的直線.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查計(jì)算能力與推理能力,屬于難題.18、(1)(2)1008【解析】

(1)用基本量求出首項(xiàng)和公差,可得通項(xiàng)公式;(2)用裂項(xiàng)相消法求得和,然后解不等式可得.【詳解】解:(1)由題得,即解得或因?yàn)閿?shù)列為各項(xiàng)均為整數(shù),所以,即(2)令所以即,解得所以的最大值為1008【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式,考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.在等差數(shù)列和等比數(shù)列中基本量法是解題的基本方法.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,由正弦定理得,可得解;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,進(jìn)而得,在中,由正弦定理得,所以的面積即可得解.試題解析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,所以,由正弦定理得,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.在中,.在中,由正弦定理得,所以.所以的面積.20、(1)(2)2【解析】

(1)轉(zhuǎn)化條件得,進(jìn)而可得,即可得解;(2)由化簡(jiǎn)可得,由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】(1),,由正弦定理得,即,又,,又,,,由可得.(2)由(1)可得,,,,,,的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.21、(1);(2).【解析】

試題分析:(1)先求導(dǎo),然后利用導(dǎo)數(shù)等于求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入兩個(gè)曲線的方程,解方程組,可求得;(2)設(shè)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)求得,從而,然后利用求得的取值范圍為.試題解析:(1)對(duì)求導(dǎo)得.設(shè)直線與曲線切于點(diǎn),則,解得,所以的值為1.(2)記函數(shù),下面考察函數(shù)的符號(hào),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí),恒成立.當(dāng)時(shí),,從而.∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.,∴,又曲線在上連續(xù)不間斷,所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知唯一的,使.∴;,,∴,從而,∴,由函數(shù)為增函數(shù),且曲線在

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