2024重慶市拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟高二下學(xué)期三月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案

西南大學(xué)附中重慶育才中學(xué)高2025屆拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟高二下三月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題滿(mǎn)分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）命題學(xué)校：重慶育才中學(xué)2024年3月注意事項(xiàng)：．答題前，考生先將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)/座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。22B鉛筆填涂；答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)；必須在題號(hào)對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)無(wú)效；保持答卷清潔、完整。3．考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷自行保管，以備評(píng)講）。第Ⅰ卷一．選擇題：本題共8小題，每小題540分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是1A．x'x．x4'x3．2'2'D．2x2x2fx在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)f'x的圖象如圖所示，則2．設(shè)函數(shù)A．函數(shù)fx有極大值f．函數(shù)fx有極大值f2fx的單調(diào)遞增區(qū)間為D．函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,2C．函數(shù)x22y22a，b，則方程1可表示焦點(diǎn)在x軸上的不同橢圓的個(gè)數(shù)為3abA．98．7D64．在等差數(shù)列aaaSS的值是n3772A．1218．24D30f'x是函數(shù)fxxR的導(dǎo)數(shù)，且xR，f'x2x，f25，則不等式fxx21的解集為5A．,22,D．,22,B．．a(chǎn)naaa9aaa的值是32466．已知正項(xiàng)數(shù)列A．1log3an1a1nN*3n357．2．3D4第1頁(yè)共4頁(yè){#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}x2y2a2b27F,F是雙曲線C:ab0Q為雙曲線CFQ3FP，2112且FPFQ，則雙曲線C的離心率為222535A．．．D．x,x21fxexax2，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)8122f1fx21a恒成立，則的取值范圍是1x2D．A．．．二．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列計(jì)算正確的是Annn2nmB．3A．mnmC．nm1D．456An1f'x是fx的導(dǎo)函數(shù)，f''x是函數(shù)f'xf''x0有實(shí)數(shù)解xx,fx10．000yfx.為函數(shù)fxx3xb圖象的對(duì)稱(chēng)中心為32，則下列說(shuō)法中正確的有中心.已知函數(shù)fx的極大值與極小值之和為6a，b30A．B．函數(shù)fx有三個(gè)零點(diǎn)D．函數(shù)fx在區(qū)間[上的最小值為1C．函數(shù)xmy經(jīng)過(guò)拋物線E:x22pyp0的焦點(diǎn)FEABE的準(zhǔn)線l交于點(diǎn)C則，3A．p23m3CN0,的取值范圍是2D，，成等差數(shù)列，則第Ⅱ卷三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．st2sint(s)t2s時(shí)，彈12．一水平彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的函數(shù)為的單位是3簧振子瞬時(shí)速度是cm/s．第2頁(yè)共4頁(yè){#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}13214．若實(shí)數(shù)x，x分別是方程ln(xx3，xxe2的根，則xxx的值為_(kāi)________．12122四．解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題13分）已知函數(shù)fxx2aex在，f0處的切線平行于直線2xy10．（）求a的值；（）求fx的極值．1615已知數(shù)列an項(xiàng)乘積為T(mén)Taaaa，若對(duì)nnN*，都有n1n12成立，且nnn123naa4．12（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；9（）若數(shù)列bn項(xiàng)和為SblogT求使得S成立的n的最大值．nnn2nn1715x2y213,．3已知橢圓C:ab0的離心率為e，且過(guò)點(diǎn)a2b222（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；y（AFA的直線交橢圓于點(diǎn)P（P軸于點(diǎn)Q2SS，求直線的方程．5第3頁(yè)共4頁(yè){#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}18．（本小題17分）已知函數(shù)fxalnx1ax．（）討論fx的單調(diào)性；（）設(shè)Fxfxx1，求證：當(dāng)a1Fx在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．1917對(duì)于整系數(shù)方程fx0，當(dāng)x的最高次冪大于等于3時(shí)，求解難度較大．我們常采用試根的方法求解：若xf(x)(xx)g(x)g(x)0g(x)011再一次試根，分解因式，以此類(lèi)推，直至問(wèn)題解決．求根的過(guò)程中常用到有理根定理：rsanxnan1xn1axa00anx中r、sZs0，1(s,r)1r|a，s|a．0n符號(hào)說(shuō)明：對(duì)于整數(shù)m，n，(,n)m，n的最大公約數(shù)；m|nn是m的倍數(shù)，即mn．（）過(guò)點(diǎn)P作曲線yx3x的切線，借助有理根定理求切點(diǎn)橫坐標(biāo)；（）試證明有理根定理；（）若整數(shù)a，b3的倍數(shù)，且存在有理數(shù)x，使得2x3a2x2b2x10a，b．第4頁(yè)共4頁(yè){#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}西南大學(xué)附中重慶育才中學(xué)高2025屆拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟高二下三月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見(jiàn)12345678910DBCDBAABABf1fx8．解析：因?yàn)?1，不妨設(shè)1x20，則有f1fx1x2，1x22fxxfxxgxfxx，由函數(shù)單調(diào)性可知，gx在0,上單調(diào)遞增，即1122''fx1ex10則gx在0,上恒成立.法一：若ex10ex1，yex相切的切線方程為yx1，又過(guò)點(diǎn)由函數(shù)圖象可知，只需a1即可.exx0,，法二：若ex10hxe1，hxexa，x'令若若ahx01'hx在0,上單調(diào)遞增，hxh00，符合題意，所以a1；xlna，所以hx在lna上單調(diào)遞減，，ahx01'hxh00，不合題意，舍；a.1xex1e1axax0,，法三：若ex10ex1xxxexeex1xxx2sxx0,s'x令，xx2txex1，txex1exxex0，x'x令tx在0,上單調(diào)遞增，txt00，0則sxsx在0,上單調(diào)遞增，'，所以ex1ex1，所以1a.由洛必達(dá)法則知x0xx01xmyFpA選項(xiàng)正確；2過(guò)A作l于B作A1l于B11，1，1112A在第二象限，過(guò)B作AA1于D，因?yàn)?，所以，3所以斜率km3，3答案第1頁(yè)，共5頁(yè){#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}同理，當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，m3，B選項(xiàng)錯(cuò)誤12124112xN(0,x,y若1，11111111ty且t2，0111令，1tt22t2t4t2t41122C選項(xiàng)正確；tt2t21,,成等差數(shù)列，所以，可得，23112又，1，所以AA1即，1133311，，所以F為中點(diǎn)，則，選項(xiàng)D正確.62121314，37e2．解析：x,x分別是方程ln(xxxxe2的根，ln(xxxxe2，121122x(xe2xx，22即xx，變形為ln(xe(2，從而(1e1211111(x1(xx,x1.同構(gòu)得：eexx且12212設(shè)f(x)xx，f'(x)1xf(x))在上單調(diào)遞增，(xf(x2)，）由已知可得e(xx，從而xx212x2x2(1x2x2e2.又f(e)11fx2xaexx2aexx22x2aex………………2分f02a21a…………………5分2）由（fxx2xefxexx2………6分2xx當(dāng)x2fx0，函數(shù)fx單調(diào)遞增；當(dāng)xfx0，函數(shù)fx單調(diào)遞減；當(dāng)xfx0，函數(shù)fx單調(diào)遞增；……………………9分5故極大值為f2…………………11分e2極小值為fe………………………13分TT）由Tn1n1T2n12222nan1an…………………3分nnTTn1n又由已知條件可得a2a,則a為公比為2的等比數(shù)列，an2n.……………6分21nnn2）T1222nnn22……………8分n211則Tn……………………10分2nnnn12n答案第2頁(yè)，共5頁(yè){#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}121213111n11………………12分n1S1nn1，則n8.……………………14分n1若S1n9又因?yàn)閚N*以n的最大值為7.……………………15分c2a234c31）由題知e即a2b2…………2分a21313,1b21………………4分2b2b2ac3…………………………5分x2C的標(biāo)準(zhǔn)方程y2；………………………6分14Px,yQyyQ2x22）設(shè)直線的方程為：，，，………7分PpQm12yP2SSSSS2SS，所以，12155yQyP2yPyQyP25yPyQ2即，則有，7yPyP2又yy與Q……………10分pyQy7Qx2y21聯(lián)立橢圓C和直線的方程：4x24mm2m4y422yP…………………12分得44myPm22m2246即，m，………………………14分y2733Qm所以直線的方程為：3x6y60或3x6y60.…………15分ax111axx1）f'x1ax10x,，所以1fx在a時(shí)，令fx0',上單調(diào)遞增，當(dāng)，a1a11a11a10x令fx，所以fx在上單調(diào)遞減，……2分'，fx在…………4分當(dāng)0a1時(shí)，fx0'1a110x，所以fx在上單調(diào)遞增，a1a時(shí)，令fx1'當(dāng)，答案第3頁(yè)，共5頁(yè){#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}1a11a10x,fx在,上單調(diào)遞減，……6分'令fx，1a11a1fx在,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；a0綜上所述：當(dāng)fx在上單調(diào)遞增；當(dāng)0a1時(shí)，所以11a1fx在上單調(diào)遞增，在a1,a1上單調(diào)遞減.當(dāng)Fxfxx1lnxx1，2）由題11x11x1g'xx，F(xiàn)'xxgxFx'xx2xF'x0Fx在上單調(diào)遞增，當(dāng)F00，所以Fx在上有一個(gè)零點(diǎn)，即x0………8分xgx0''當(dāng)Fx在上單調(diào)遞減，…………9分分22'110F'010mFm0………………10'又F，2，所以存在1220Fx在m,上單調(diào)遞減，F(xiàn)x，xm，F(xiàn)x0Fx在m上單調(diào)遞增，當(dāng)x,'，2'，22FmF00，F(xiàn)110，而2Fx在,上必存在唯一零點(diǎn)，即Fx在上存在唯一零點(diǎn)…………………12分22g'01'g1x,g'x在,0，當(dāng)上單調(diào)遞增且，2222n,'0，……………13gn分所以存在，使得2x,ngx0''Fx在,n上單調(diào)遞減，當(dāng)當(dāng)又，所以22xn,g'x0n,上單調(diào)遞增，'，所以Fx在1Fn'0'Fn,，使得Ft0…………………15分''，F(xiàn)0，所以存在t210Fx在,txt,時(shí)，F(xiàn)xFx，x,t''0Fx在t,上單調(diào)遞增，時(shí)，，22FtF0Fln20，所以Fx在,上無(wú)零點(diǎn)，.………………17分2Fx在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).2綜上，答案第4頁(yè)，共5頁(yè){#{QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=}#}x03x031）設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03x)，y'3x21，3x0120x0x3x.…………………1分29200012112由有理根定理知，該方程有理根可能為：2,，經(jīng)驗(yàn)證滿(mǎn)足方程，即有理根有x0…2分21xx2x42)0，即：x或x26或x26………4分進(jìn)一步分解因式為：(20000200rrfx的一個(gè)有理根，因此在有理數(shù)域上是x|anxnaxn11xa，n102）因?yàn)閟sr|anxnan1xn1axa01所以，可將………………5分rn1xn1...b，式中b,,0都是整數(shù)分n10f(x)分解為：anxnan1xn1axa01比較兩邊系數(shù)，即得ansbn1,a0rb0.因此，s|a,r|a.…………………………8分n03）求解之前先引入下面引理：2x3a2x2b2x10不存在整數(shù)解.n32222a2nb2)1證明：假